21 - Noções de Matemática Financeira

1. ~ 1 ~
21 – Noções de Matemática Financeira
PORCENTAGEM
Ao escrevermos 13% lemos “treze por cento” e significa que estamos considerando 13 partes em cada 100.
13
13% =
100
é uma razão centesimal (razão de consequente 100)
Razões como essa de consequente igual a 100 são denominadas de taxas percentuais.
O valor correspondente à taxa percentual é chamado de porcentagem.
Exemplos:
1. 10% de 70 é igual a 7
10
x 70 = 7 porcentagem
100

2. 25% de 100 é igual a 25
25
x 100 = 25 porcentagem
100

Pelos dois últimos exemplos notamos que: aplicando uma taxa percentual que chamamos de i sobre um
valor C , determinamos uma porcentagem p .
C corresponde ao inteiro 100%
p corresponde à fração i%
Sendo uma regra de três simples e direta, escrevemos:
C 100
=
p i
Utilizando esta expressão podemos calcular o valor da porcentagem p ou da taxa percentual i ou do capital
(principal) C , conhecido o valor das outras duas.
Exemplos:
1. Numa cidade de 5 000 habitantes, 1 200 são mulheres. Determinar a taxa percentual de mulheres.
C = 5 000 C 100
Em = , isolando i temos:
p ip = 1 200
100pi = ?
i =
C
100 1 200
i = = 24%
5 000

2. Um quadrado tem uma área igual a 2
9 m . Se aumentarmos o lado de 50%, qual o valor da área desse novo
quadrado?
A área do quadrado é 2
A = = 9 = 9 = 3m 
2
= C = 3 C 100
Em = , isolando p temos:
p ii = 50%
C ip = ? (aumento)
p =
100
3 50
p = = 1,5 p = 1,5
100
novo lado = 3 + 1,5 = 4,5 m
nova área = 4,5 4,5 = 20,25 m





2. ~ 2 ~
3. Num cercado, 25% dos animais são cavalos; 40% são bois e há 70 carneiros. Qual o total de animais?
total percentual = 100%
taxa percentual dos carneiros = 100 - 25 - 40 = 35%
i = 35% C 100
Em = , isolando C temos:
p ip = 70
100pC = ? (total de animais)
C =
i
100 70
C = = 200
35

4. Qual é o valor da taxa percentual se 2
i = (10%) + 100% ?
Lembrando que
10
10% =
100
e
100
100% =
100
, substituímos:
2 2
10 100 1 1 1 + 100 101
i = + = + 1 = + 1 = = = 101%
100 100 10 100 100 100
   
   
   
EXERCÍCIOS
111))) Calcular o valor de 3,8% de R$ 2 000,00.
222))) Qual a taxa percentual que 125 representa de 250 ?
333))) Uma pessoa aplicou R$ 13 000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor aplicado. Qual foi o valor do
seu rendimento?
444))) O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,35 . Qual foi a taxa percentual
aproximada do aumento?
555))) Numa classe 40% dos alunos são meninas e os meninos são 27 . Calcule o número de alunos desta classe.
666))) Comprando uma calça à vista, obtenho um desconto de R$ 9,00 correspondente a 20% do seu preço.
Calcule o preço da calça.
777))) Se a área de um círculo foi aumentada de 2
314cm para 2
490,625cm , qual foi a taxa percentual de aumento
dada ao seu raio? Dado 156,25 = 12,5.
888))) Um livro tem marcado seu preço na capa: R$ 36,00 e é vendido pelas livrarias com 30% de lucro sobre o
preço da capa. Quanto lucrou um livreiro que vendeu 280 desses livros?
999))) Três cidades devem fornecer ao exército 4 800 homens. A primeira tem 30 000 habitantes; a segunda
50 000 e a terceira 80 000. Quantos homens deve fornecer cada cidade?
Sugestão:
total = 30 000 + 50 000 + 80 000 = 160 000
percentual da 1ª cidade = 3 000 000 : 160 000 = 18,75%
111000))) Calcule o valor da taxa percentual 2
i = (100%) .
JUROS
O pagamento feito pelo uso de dinheiro tomado emprestado ou aplicado, nos dá uma idéia de juros.
O dinheiro tomado emprestado ou aplicado é chamado de capital ou principal; o dinheiro pago pela
utilização desse capital recebe o nome de juro, que é função do número de períodos de tempo t ou n e de taxa de
juros i.
TAXA DE JUROS
Taxa percentual corresponde ao juro do capital $ 100 no período determinado pela unidade de tempo.
Exemplo:
i = 3% a.m. (ao mês), significa que a cada $ 100 aplicados rendem $ 3 de juros por mês.

3. ~ 3 ~
TAXA UNITÁRIA
Corresponde ao juro do capital $ 1 no período determinado pela unidade de tempo.
Exemplo:
i = 0,15% a.a. (ao ano), significa que a cada $ 1 aplicados rende $ 0,15 de juro por ano.
Nota:
Para transformar a taxa percentual em taxa unitária basta dividir a taxa percentual por 100. Naturalmente, da
unitária para a percentual multiplicamos a unitária por 100.
Exemplos:
percentual unitária
30% a.a. = 0,30 a.a.
1,5% a.m. = 0,015 a.m.
CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS
Os juros podem ser: juros simples ou juros compostos conforme o processo utilizado no seu cálculo.
Juros simples quando os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial.
Para definirmos juros compostos, vamos definir primeiramente montante:
Montante = Capital + Juros
Juros compostos quando ao final de cada período de capitalização, o montante se torna capital para o período
seguinte e assim por diante.
JUROS SIMPLES
Seja o capital C aplicado à taxa unitária i durante um prazo de n períodos de tempo.
Vamos determinar os juros simples decorrentes desta publicação.
1 1 período i
C n períodos J
Sendo a grandeza juros diretamente proporcional ao capital, à taxa e aos n períodos (tempo), podemos
escrever:
J = C i n 
Cálculo do Montante
Vimos que
Importantíssimo:
a) Para a utilização dessas duas expressões de juros e montante na resolução de problemas de juros simples,
a taxa (i) e o prazo como número de períodos (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo, ou seja, se
o tempo está expresso em anos, a taxa tem que ser anual, se o tempo em meses, a taxa deve ser mensal e
assim por diante. Caso contrário, devemos fazer as devidas conversões.
b) A taxa de juros utilizada nas fórmulas de juros e montante deve ser sempre a taxa unitária.
Montante Capital+ Juros
M C + J, substituindo J = C i n temos:
M C + C i n, colocando C em evidência:
M C (1+i n)

  
  
 

4. ~ 4 ~
Exemplos:
1. Calcular os juros simples produzidos pela aplicação de R$ 3 600,00 à taxa 15% a.a., durante 6 meses.
C = R$ 3 600,00
i = 15% a.a. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,15 a.a.
6 1
n = 6 meses convertidos em anos temos = ano
12 2
J = ?
J = C i n
1
J = 3 600 0,15 = 270
2
J = R$ 270,00
 
 
2. Qual o capital que produziu R$ 300,00 a 20% a.t. (ao trimestre) durante 9 meses?
C = ?
J = R$ 300,00
i = 20% a.t. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,20 a.t.
n = 9 meses = 3 trimestres
J = C i n ou C i n = J
J
C =
i n
300
C = = 500
0,20 3
C = R$ 500,00
   


3. Determine o tempo em que aplicado o capital R$ 12 000,00 rendeu de juros de R$ 240,00 à taxa de
0,2% a.m..
C = R$ 12 000,00
J = R$ 240,00
i = 0,2% a.m. ÷ 100 = 0,002 a.m.
n = ?
J = C i n ou C i n = J
J
n =
C i
240
n = = 10
12 000 0,002
n = 10 meses
   


4. Qual é a taxa mensal que aplicada ao capital de R$ 20 000,00 em 3 anos rende R$ 36 000,00?
i = ?
C = R$ 20 000,00
n = 3 anos 12 = 36 meses
J = R$ 36 000,00
J = C i n
J
i =
C n
36 000
i = = 0,05
20 000 36
i = 0,05 a.m. (taxa unitária)
i = 0,05 100 = 5% a.m.

 




5. ~ 5 ~
5. Qual o montante que o capital de R$ 5 000,00 aplicado a uma taxa 3,6% a.m. atinge 20 dias?
 
 
 
M = ?
C = R$ 5 000,00
i = 3,6% a.m. ÷ 30 = 0,12% a.d. (ao dia) ÷ 100 0 0012 a.d.
n = 20 dias
M = C 1 + i n
M = 5 000 1 + 0,0012 20
M = 5 000 1 + 0,024 = 5 000 1,024 = 5 120
M = R$ 5 120,00
,
 


EXERCÍCIOS
111111))) Depositei em um banco R$ 300,00 a 6% a.a. durante 3 meses. Quanto ganhei?
111222))) Qual o montante produzido por R$ 4 000,00 em 4 meses à taxa de 12% a.a.?
111333))) Durante quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 40 000,00 a 20% a.a. para obter uma importância de
juros igual ao capital aplicado?
111444))) Calcule os juros simples resultantes da aplicação de R$ 3 000,00 a uma taxa de 15% a.a. por um período de
9 meses.
111555))) Quanto terei depois de 5 anos aplicando R$ 50 000,00 a 2% a.m. ?
111666))) Um investidor aplicou R$ 20 000,00 por 30 dias a uma taxa de 12% a.a.; R$ 25 000,00 por 42 dias a uma
taxa de 15% a.a. e R$ 32 000,00 por 60 dias a uma taxa de 30% a.a.. Qual o total de juros que ele obteve?
111777))) Qual será o valor do capital acumulado após 11 meses e 10 dias, produzido por R$ 1 200,00 aplicados a
15% ao bimestre?
111888))) Qual o capital que a 5% a.a. rende R$ 2 500,00 em 4 bimestres?
111999))) A que taxa foi emprestado o capital de R$ 15 000,00, que em 3 anos rendeu R$ 1 800,00?
222000))) Qual foi o capital que aplicado em 6 meses à taxa de 18% a.a. produziu o montante de R$ 915 600,00?
JUROS COMPOSTOS
Vimos que no regime de capitalização composta, os juros do 1º período são calculados em função do capital
inicial e incorporados a ele formam o novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e assim por diante.
Cálculo do Montante
Seja um capital C aplicado a juros compostos, à taxa unitária i durante um determinado período n . No final
de cada período teremos um montante M :
No final do 1º período:
1J = C i 1M = C + Ci  1M = C 1 + i
No final do 2º período:
 2J = C 1 + i i    2M = C 1 + i + C 1 + i i  
2
2M = C 1 + i
No final do 3º período:
 
2
3J = C 1 + i i    
2 2
3M = C 1 + i + C 1 + i i  
3
3M = C 1 + i
No final do n-ésimo período:
 
n
nM = C 1 + i

6. ~ 6 ~
Exemplos:
1. Aplicando R$ 5 000,00 a juros compostos, a 8% a.m. durante 2 meses, qual o valor do montante e dos
juros adquiridos?
 
 
n
2
2
C = R$ 5 000,00 M = C 1 + i
i = 8% a.m. = 0,08 a.m. M = 5 000 1 + 0,08
n = 2 meses M = 5 000 1,08
M = ? M = 5 000 1,17
J = ? M = R$ 5 832,00
Como M = C + J, então
J = M - C
J = 5 832 - 5 000
J = R$ 832,00


2. Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 3% a.d. (ao dia), produz em 5 dias um montante de
R$ 231,85?
Dados: log 1,03 = 0,0128 e log 1,16 = 0,0642
   
 
n n
5
5
5
i = 3% a.d. = 0,03 a.d. M = C 1 + i ou C 1 + i = M
n = 5 dias C 1 + 0,03 = 231,85
M = R$ 231,85
C = ? Chamando x = 1,03 e aplicando log:
log x = log 1,03
log x = 5 log 1,03
log x = 5 0,0128
log x = 0,0


642 x = 1,16
231,85
C = 200
1 16
Então C = R$ 200,00


,
3. Por quanto tempo o capital de R$ 600,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 6% a.m. para que
montante produzido seja de R$ 902,18?
Dados: log 1,06 = 0,0253 e log 1,503 = 0,1771
 
 
n
n
n n
n
C = R$ 600,00 M = C 1 + i
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. 902,18 = 600 1 + 0,06
902,18
M = R$ 902,18 1,06 = 1,06 = 1,503
600
n = ? log 1,06 = log 1,503
log 1,503
n =
log 1,06
0,1771
n = 7 n = 7 meses
0 0253,

 

7. ~ 7 ~
4. Que taxa devo aplicar ao capital de R$ 80 000,00 a juros capitalizados mensalmente durante 2 meses para
obter os juros de R$ 16 800,00?
Dados: log 1,21 = 0,0828 e log 1,10 = 0,04139
 
 
   
 
 
n
2
2 2
2
C = R$ 80 000,00 M = C 1 + i
n = 2 meses 96 800 = 80 000 1 + i
M = C + J = 80 000 + 96 800
= 1 + i 1 + i = 1,21
+ 16 800 = R$ 96 800,00 80 000
i = ? log 1 + i = log 1,21
2 log 1 + i = 0,0828
log 1 +


 
0,0828
i = = 0,04139
2
1 + i = 1,10 i = 0,10 ou i = 10% a.m.
EXERCÍCIOS
222111))) Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 200 000,00 capitalizados mensalmente durante 2 meses à
taxa de 5% a.m..
22) Aplicando R$ 65 000,00 a juros compostos durante 3 trimestres capitalizados mensalmente à taxa de
2% a.m., determine o montante resultante e os juros. Dados: log 1,02 = 0,0086 e log 1,1950 = 0,0774 .
23) Qual o capital que aplicado a juros compostos a 7,5% a.a. produz o montante de R$ 76 930,81 em 15 anos?
Dados: log 1,075 = 0,0314 e log 2,9589 = 0,4711 .
24) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 15 000,00 a juros compostos a 4% a.m. para atingir o montante de
R$ 18 249,79? Dados: log 1,04 = 0,0170 e log 1,22 = 0,0852.
25) O jovem Evaristo tomou emprestado de uma tia amiga R$ 5 000,00 à 25% a.m. Qual será o montante que
irá pagar após 18 meses? Dados: log 1,25 = 0,09691 e log 55,51 = 1,7443 .
26) Descontando um título de valor nominal (montante) R$ 6 000,00 a 15% a.m. antecipado em 20 meses, qual
o capital recebido? Dados: log 1,15 = 0,06069 e log 16,366 = 1,2139 .
27) A que taxa deve aplicar R$ 1 000,00 para obter o montante de R$ 1 266,00 após 8 meses? Dados:
log 1,266 = 0,1024 e log 1,03 = 0,0128.
28) A que taxa deve aplicar R$ 12 000,00 para atingir o montante de R$ 30 000,00 após 19 meses? Dados:
log 2,50 = 0,3979 e log 1,05 = 0,02094 .