O documento resume os principais teoremas e conceitos de geometria analítica ensinados no 9o ano, incluindo Teorema de Tales, semelhança de figuras, trigonometria, áreas de polígonos e circunferências. Exercícios são fornecidos para aplicar esses conceitos.

1. Recuperaçãode Geometria 9º ano - Escola Nova Prof. Andréa Thees

3. Retas transversais (m e n)

4. Segmentos proporcionaisou ou ou É possível estabelecer outras proporções?

5. Exercícios Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore? Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x. 180 m 90 m

6. Teorema de Tales nos triângulos

7. Teorema de Tales nos triângulos

8. Teorema de Tales nos triângulos

9. Teorema de Tales nos triângulos Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso... O que mais é proporcional? Exercício Qual a medida de no lago da figura?

10. Teorema da bissetriz interna

11. Teorema da bissetriz interna Traçamos CM // NA. Pelo Teorema de Tales, Como o ΔACM é isósceles, Logo, Exercício Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m. Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado.

12. Teorema da bissetriz interna 27 m 18 m x 30 - x 30 m Conferindo: Resposta: 12 m e 18 m.

13. Teorema da bissetriz externa

14. Teorema da bissetriz externa ou Exercício Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm. Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â.

15. Teorema da bissetriz externa C 5 cm 4 cm x 6 cm B A Conferindo: Resposta: 10 m.

16. Figuras e polígonos semelhantes Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes. Essas figuras são semelhantes? Por que?

17. Figuras e polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).

18. Figuras e polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos). Exercício As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores?

19. Triângulos semelhantes Teorema fundamental de semelhança Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro. Exercício Determine x e y, sendo .

20. Casos de semelhança Caso AA: (Ângulo – Ângulo) Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado) Caso LLL: (Lado – Lado – Lado) Exercício Ver livro página .......

21. Relações métricas (Δ Retângulo)

22. Relações métricas (Δ Retângulo)

23. Relações métricas (Δ Retângulo)

24. Relações métricas (Δ Retângulo)

25. Relações métricas (Δ Retângulo)

26. Relações métricas (Δ Retângulo)

27. Relações métricas (Δ Retângulo)

28. Relações métricas (Δ Retângulo)

29. Relações métricas (Δ Retângulo)

30. Relações métricas (Δ Retângulo)

31. Relações métricas (Δ Retângulo)

32. Relações métricas (Δ Retângulo)

33. Relações métricas (Δ Retângulo)

34. Relações métricas (Δ Retângulo)

35. Relações métricas (Δ Retângulo)

36. Relações métricas (Δ Retângulo)

37. Relações métricas (Δ Retângulo)

38. Relações métricas - RESUMO Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas! Teorema de Pitágoras Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa. Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.

39. Exercícios Determine as incógnitas indicadas na figura: Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída. (3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km. a . h = b . c => 100.h = 80.60 Logo h = 48 A estrada medirá 48 km. 80 100

40. Trigonometria Ela está em todo lugar!

41. Trigonometria – seno, cosseno e tangente Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego) Exercícios O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.

42. Exercícios Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e determine a medida dos ângulos em graus. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m.

43. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta? Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada? Resposta: O foguete está a 4 km de altura. Resposta: Aproximadamente 1 m.

44. Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km. x Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo.

45. Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°

46. Exercícios De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre? Qual a altura do prédio da figura ao lado? 20 + x Resposta: A altura da torre é 47,3 m aproximadamente. x Resposta: A altura do prédio é 30 m.

47. Circunferência e arcos

48. Relações métricas na circunferência

49. Exercícios O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas? Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.

50. Exercícios Calcule o valor de x nas figuras.

51. Relações métricas polígonos regulares

53. a medida do lado do quadrado circunscrito;

54. o apótema do quadrado inscrito;

55. o apótema do quadrado circunscrito.10 cm

56. Área das figuras planas Polígono regular: S = p.a

57. Exercícios o lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que: Reptiles – M.C.Escher

58. 3- Triângulo isósceles 4- Retângulo 1- Pentágono regular 5- Paralelogramo 2- Losango 6- Círculo

59. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados? Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm? Resposta: 12,56 m2 Resposta: 77,04 m2

60. FIM Feliz 2010!