実験数学3 (大阪大学理学部数学科 3年・4年) 鈴木 譲 2014年5月29日

1. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
実験数学 3
(大阪大学理学部数学科 3 年・4 年)
第 5 回: NP 困難性
鈴木 譲
大阪大学
2014 年 5 月 29 日
2014 年 6 月 12 日 (改訂版)
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 5 回: NP 困難性

2. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
あらまし
1 P と NP
2 SAT から 3SAT への多項式時間還元
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3. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
Turing Machine (TM)
N := {1, 2, · · · }
S := 少なくとも start, halt を要素に含む有限集合
U := {▷} × {0, 1}∗ × {◁}
V := {▷, ◁, 0, 1}
(st, kt, xt) ∈ S × N × U, xt = (x
(1)
t , · · · , x
(mt )
t ), t = 1, · · · , T
s0 := start, k0 := 1, x0 ∈ U から、
A : S × V → S × V × {−1, 0, 1}
(st, x
(kt )
t ) → (st+1, x
(kt )
t+1, kt+1 − kt)
によって生成。T は、st = halt となる最初の t。
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4. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
s0 = start
st
st+1
sT := halt
x
(mt+1−1)
t+1
x
(mt −1)
t
x
(kt −1)
t+1 x
(kt )
t+1 x
(kt +1)
t+1
x
(kt )
t
x
(2)
t+1
x
(2)
t
x
(2)
0
x
(mT −1)
Tx
(2)
T
▷ ◁
◁
◁
◁x
(m0)−1
0
↓
↓
↓ ↓ ↓
kt+1 − kt = −1 0 1
↓
▷
▷
▷
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5. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
x0 ∈ U: 入力データ
xT ∈ U: 出力データ
A: アルゴリズム: 以下を仮定
.
1 kt = 1(ヘッドが左端) でも、x
(1)
t = ▷ は変更されない
.
2 kt = mt(ヘッドが右端) を変更する場合、
mt+1 := mt + 1, x
(mt+1)
t+1 := ◁
.
3 有限の T が存在
st ∈ S: 状態
kt ∈ N: テープのヘッド位置
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6. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
多項式時間で解く
η : U → {0, 1}∗ (U の要素の両端をのぞいたもの)
f : {0, 1}∗
→ {0, 1}∗
, η(x0) → η(xT )
(mT = 3 のときは、f : {0, 1}∗ → {0, 1} となる)
TA: アルゴリズムが A のときの σ := η(x0) ∈ {0, 1}∗ → T ∈ N
Tn,A := max
σ∈{0,1}n
TA(σ)
(入力長が n := |σ| のときのアルゴリズム A の実行時間)
アルゴリズム A が多項式時間で解ける
有限個の n を除いて、Tn,A ≤ nk となる k ∈ N が存在
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7. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
言語の認識
Σ1, Σ0 ⊆ {0, 1}∗, Σ1 ∩ Σ0 = ϕ, Σ := Σ1 ∪ Σ0
言語 Σ の認識 f : Σ → {0, 1}
.
.
TM のアルゴリズムが
入力 σ ∈ Σ に対し、1(σ ∈ Σ1) または 0(σ ∈ Σ0) を出力して halt
例: Σ = {0, 1}∗
.
1 σ ∈ {0, 1}∗
の中の 1 の個数が偶数か否か
2 σ ∈ {0, 1}∗
を 2 進数表記とみたときに、素数であるか否か
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8. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
決定問題と符号化
Π1, Π0: Π1 ∩ Π0 = ϕ, 可算集合
Π := Π1 ∪ Π0 (Π を決定問題、その各要素を事例とよぶ)
φ : Π → Σ ⊆ {0, 1}∗ (全単射, 符号化とよぶ)
φ(Π1) = Σ1, φ(Π0) = Σ0
符号化 φ で、決定問題 Π が言語 Σ の認識に帰着
TM のアルゴリズムが
入力 σ ∈ Σ に対し、1(σ ∈ Σ1) または 0(σ ∈ Σ0) を出力して halt
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9. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
決定問題の例: 充足可能性問題 SAT.
1 有限集合 U = {u1, u2, · · · , un} に対して、
t : U → {T, F}
.
2 t(ui ) = F ⇐⇒ t( ¯ui ) = T なる ¯U = {¯u1, ¯u2, · · · , ¯un} に対し、
t : U ∪ ¯U → {T, F}
.
3 c ⊆ U ∪ ¯U に対して、
t(c) = T ⇐⇒ t(z) = T for ∃z ∈ c
.
4 U 上の節集合 C に対して、
t(C) = T ⇐⇒ t(c) = T for ∀c ∈ C
リテラル U ∪ ¯U の要素
節 U ∪ ¯U の部分集合 c (|c|: 節の大きさ、要素数)
節集合 節を要素とする集合
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10. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
事例： 有限集合 U, U 上の節集合 C
質問： t(C) = T となる t : U → {T, F} が存在するか。
.
1 U = {u1, u2}, C = {{u1, ¯u2}, {¯u1, u2}} 「存在する」
t(u1) = t(u2) = T なる t に対して t(C) = T。
.
2 U = {u1, u2}, C = {{u1, u2}, {u1, ¯u2}, {¯u1}} 「存在しない」
t(C) = T なる t が存在しない。
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11. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
符号化の例
Ψ := {0, 1, −, [, ], (, ), , }.
1 x ∈ Z: 非負の数は 2 進、負の数は前に −。
. 2 [x]: で数値ではなく、識別のための記号。
.
3 (x1, · · · , xm): x1, · · · , xm からなる列。
Ψ の要素 0 1 − [ ] ( ) ,
2 進列 000 001 010 011 100 101 110 111
.
1 U = {u1, u2}, C = {{u1, ¯u2}, {¯u1, u2}}:
(([1],[10]),(([1],[-10]),([-1],[10])))
を 2 進列に直した 41 × 3 = 123 ビットが入力の長さ
2 U = {u1, u2}, C = {{u1, u2}, {u1, ¯u2}, {¯u1}}:
([1],[10]),(([1],[10]),([1],[-10]),([-1]))
を 2 進列に直した 48 × 3 = 144 ビットが入力の長さ
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12. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
P と NP
決定性 TM (DTM) 1 個の TM のみを適用
非決定性 TM (NDTM) 任意個の TM を適用 (並列演算)
(いずれかの TM で st = halt になるまで)
P
.
.
DTM のアルゴリズムで、多項式時間で解ける決定問題の集合
NP
NTM のアルゴリズムで、多項式時間で解ける決定問題の集合
P ⊆ NP
P ̸= NP であることが強く予想されている
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13. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
多項式時間還元性
Π, Π′: 決定問題
φ : Π → {0, 1}∗: Π における符号化
φ′ : Π′ → {0, 1}∗: Π′ における符号化
Σ0 := φ(Π0), Σ1 := φ(Π1), Σ′
0 := φ′(Π′
0), Σ′
1 := φ(Π′
1),
Π は Π′ に多項式時間で還元 (Π ∝ Π′)
.
任意の σ ∈ Σ について、
σ ∈ Σ1 ⇐⇒ f (σ) ∈ Σ′
1
なる f : Σ → Σ′ を、多項式時間で解けるアルゴリズム A が存在
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14. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
Π ∝ Π′
, Π′
∝ Π′′
=⇒ Π ∝ Π′′
証明:
f : f (Σ) → Σ′, f ′ : f (Σ′) → Σ′′ を多項式時間で解くアルゴリズム
をそれぞれ A, B とおくと、
.
1 σ → f (σ) を、TA(σ) ≤ |σ|kA
の時間で解けるような kA が存在
.
2 f (σ) → f ′
(f (σ)) を、TB (f (σ)) ≤ |f (σ)|kB
の時間で解けるような
kB が存在
.
3 B の入力長、すなわち A の出力長 |f (σ)| は、|σ| + TA(σ) を超えな
い。(◁ を右に移動させるのに 1 ステップ以上要する)
4 全体として、入力長 n = |σ| の多項式時間: n ≥ 2,
k = (kA + 1)(kB + 1) について
T(σ) := TA(σ) + TB (f (σ)) ≤ nkA
+ (n + nkA
)kB
≤ nk
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15. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
Π ∝ Π′
, Π′
∈ P =⇒ Π ∈ P
f : f (Σ) → Σ′ を多項式時間で解くアルゴリズムを A、言語 Σ′ を
多項式時間で認識するアルゴリズムを C とすると、
.
1 多項式時間還元で、TA(σ) = |σ|kA
.
2 言語の認識は、多項式時間で完了するので、TC (f (σ)) ≤ |f (σ)|kC
.
3 C の入力長、すなわち A の出力長 |f (σ)| は、|σ| + TA(σ) を超えな
い。(◁ を右に移動させるのに 1 ステップ以上要する)
.
4 全体として、入力長 n = |σ| の多項式時間: n ≥ 2,
k = (kA + 1)(kC + 1) について
T(σ) := TA(σ) + TC (f (σ)) ≤ nkA
+ (n + nkA
)kC
≤ nk
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16. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
NP 完全性
NP 完全な決定問題
.
.
.
任意の Π ∈ NP に対して Π ∝ Π′ となる決定問題 Π′ ∈ NP
Π が NP 完全, Π′ が NP, Π ∝ Π′ =⇒ Π′ が NP 完全
Π が NP 完全であることを示せば、Π ̸∈ P の強い証拠
.
.
Π が NP 完全, Π ∈ P なる Π が存在 =⇒ P = NP (予想と矛盾)
Cook の定理
SAT は、NP 完全問題である。
(証明略)
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17. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
NP 困難性
NP 完全 決定問題に対して定義
NP 困難 決定問題ではなくともよいが、その問題が決定性
TM で多項式時間で解かれると、P = NP を意味す
る問題
例:
事例： 有限集合 U, U 上の節集合 C
質問： t(C) = T となる t : U → {T, F} が存在す
るとき、その 1 個を出力せよ
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18. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
3-充足可能性問題 3SAT
事例： 有限集合 U, U 上の大きさ 3 の節からなる節集合 C
質問： t(C) = T となる t : U → {T, F} が存在するか。
3SAT は、NP 完全である。
.
.
SAT ∝ 3SAT
U = {u1, · · · , un}, C = {c1, · · · , cm}: SAT の任意の事例
C と C′ の充足可能性が一致するように 3SAT の事例
U′ := U ∪ (∪m
j=1U′
j ), C′ := ∪m
j=1C′
j , cj = {z1, · · · , zk}
k U′
j C′
j
1 {y1
j , y2
j } {{z1, y1
j , y2
j }, {z1, y1
j , ¯yj
2}, {z1, ¯yj
1, y2
j }, {z1, ¯yj
1, ¯yj
2}}
2 {y1
j } {{z1, z2, y1
j }, {z1, z2, ¯y1
j }}
3 ϕ {cj }
≥ 4 {yi
j |1 ≤ i {{z1, z2, y1
j }, {¯y1
j , z3, y2
j }, {¯y2
j , z4, y3
j }, · · · ,
≤ k − 3} {¯yk−4
j , zk−2, yk−3
j }, {¯yk−3
j , zk−1, zk}}
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19. あらまし P と N P SAT から 3SAT への多項式時間還元
t が C を充足していれば、以下のように t′ が C′ を充足:
.
1 k = 1 では、{y1
j , y2
j } の {T, F} は任意。.
2 k = 2 では、{y1
j } の {T, F} は任意。
. 3 k ≥ 4 では、t(z1) = F, · · · , t(zl−1) = F, t(zl ) = T として、
l = 1, 2: t′
(yi
j ) = F (1 ≤ i ≤ k − 3)
3 ≤ l ≤ k − 2: t′
(yi
j ) =
{
T (1 ≤ i ≤ l − 2)
F (l − 1 ≤ i ≤ k − 3)
l = k − 1, k: t′
(yi
j ) = T (1 ≤ i ≤ k − 3)
t が cj を充足していなければ、k = 1, 2, 3 では、C′
j が充足されな
い。k ≥ 4 では、t(z1) = t(z2) = F より、t(y1
j ) = T。また、
t(¯y1
j ) = t(z3) = F より、t(y2
j ) = T。同様に、
t(y3
j ) = · · · = t(yk−3
j ) = T が必要。しかし、このとき、
t({¯yj
k−3, zk−1, zk}) = F となる。
(SAT の事例の符号長の多項式時間で 3SAT の事例を生成するアル
ゴリズムが存在する証明は省略)
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