SucessõEs 4

Introdução ,[object Object],É possível obter uma expressão que permita descobrir o número de cubos de qualquer figura da sequência?

Figura Nº de cubos 1 1 2 1+6  1=7 3 1+6  2=13 4 1+6  3=19 5 1+6  4=25 6 1+6  5=31 … ... n 1+6  (n-1) ... Obtemos a expressão: 1+6  (n-1) = 6n-5

A expressão 6n-5 define uma função que, a cada número natural – a ordem da figura- faz corresponder o número de cubos da figura. O domínio desta função é o conjunto dos números naturais. DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO Sucessão é uma função que faz corresponder a cada número natural um número real: u: N  n u n

Notação: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Ordem Termo da sucessão

[object Object],[object Object],1 2 3 4 5 6 7 8 ... u n         n

Sucessões definidas por recorrência ,[object Object],[object Object],Problema dos coelhos: Um casal de coelhos adultos só começa a procriar dois meses depois do seu nascimento. Admitindo que em cada criação têm um casal de filhos, e, a partir desse momento todos os meses mais um casal, quantos coelhos haverá ao fim de um ano?

Sucessões monótonas ,[object Object],Os termos vão assumindo valores cada vez maiores consoante aumenta a ordem n: Cada termo u n+1 é superior ao anterior u n , ou seja, u n+1 > u n ,  n  ( u n ) é CRESCENTE n u n         1 2 3 4 5 6 7 8 ...

De um modo geral: (u n ) é uma sucessão crescente sse: u n+1  u n ,  n  (em sentido lato) isto é: u n+1 – u n  0 ,  n  ,[object Object],4, 1 , 1/4 , 1/16 , 1/32, ... Os números representam as medidas das áreas dos quadrados Esta sucessão é DECRESCENTE

De um modo geral: (u n ) é uma sucessão decrescente sse: u n+1  u n ,  n  (em sentido lato) isto é: u n+1 – u n  0 ,  n  ,[object Object]

Sucessões limitadas ,[object Object],[object Object],[object Object],,  n 

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],A sucessão ( a n ) diz-se LIMITADA . De um modo geral: (u n ) é uma sucessão limitada sse :  m, M  : m  u n  M ,  n 

Ou:  L  + :  L ,  n  ,[object Object],[object Object]

Progressões ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

, n>1 f n+1 - f n =3 ,  n  A diferença entre cada termo e o anterior é constante e igual a 3. Diz-se que (f n ) é uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA. ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Termo geral de uma progressão aritmética de razão r Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética a n = a 1 + (n-1)r ,  n  ,  n 

[object Object],Aquiles não está satisfeito com o processo utilizado para cortar a relva do seu jardim e decidiu estudar um processo de cortar a relva de modo que em cada dia tenha de trabalhar menos, quase nada, se possível. Para fazer este estudo, estabeleceu que no primeiro dia cortaria um terço, no segundo um terço de um terço, no terceiro um terço de um terço de terço, e assim sucessivamente. Esquematizando:

Obtemos a seguinte sucessão: ... ,  n  O quociente entre cada termo e o anterior é constante e igual a 1/3. Diz-se que (a n ) é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA . Tem-se que: ,  n 

[object Object],[object Object],[object Object],,  n  (a n  0 ,  n  ) Termo geral de uma progressão geométrica de razão r Soma dos n termos consecutivos de uma progressão geométrica com r  1 (Se r=1, S n = na 1 ) a n = a 1  r n-1

[object Object],[object Object],Total da área cortada: SOMA DE TODOS OS TERMOS DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

A sucessão  (u n ) é uma sucessão de termos positivos;  (u n ) é uma sucessão monótona crescente;  O limite de (u n ) existe e está compreendido entre 2 e 3; e n + 

[object Object],O número de Neper representa-se por e sendo e = 2,7182818284590452353602874... ,[object Object]

Bibliografia ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

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