1. Prof. Jorge
Professor Antonio Carlos Carneiro
Barroso
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.profantoniocarneiro.com
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
3. Prof. Jorge
As aparências enganam
Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro
dia, Hugo, o melhor aluno da sala em
Matemática, fez a Mateus uma proposta
estranha:
ou melhor,
as potências
Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar
10000 reais por dia. Em compensação, você me
dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia,
o triplo do dia anterior.
4. Prof. Jorge
A operação potenciação
Se a, b e x são números reais, define-se a
operação potenciação, expressa pela
igualdade:
ax
= b
a é a base
x é o expoente
b é a potência
De acordo com o tipo de expoente, a potenciação
apresenta restrições quanto ao valor da base.
5. Prof. Jorge
A operação potenciação
Potência de expoente natural
Se a é real e n é natural, definimos:
a0
= 1 (a ≠ 0)
a1
= a
an
= a.a.a. ... .a (n ≥ 2)
n fatores
9. Prof. Jorge
A operação potenciação
Potência de expoente inteiro fracionário
racional
Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0,
define-se:
a =
m
n n
√am
15. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
Vamos imaginar o seguinte experimento.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC,
aumenta em 30% a cada minuto.
Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é
multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3).
16. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
Vamos obter as temperaturas em o
C, em
alguns instantes do experimento.
Temperatura inicial: T0 = 10
1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3)
2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69)
= 13
= 16,9
3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22
4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6
6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3
t minutos: T = 10.(1,3)t
17. Prof. Jorge
Crescimento exponencial
Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(o
C)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(o
C)
0 10
1 13
2 16,9
3 22
4 28,6
6 48,3
18. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
Vamos supor agora a seguinte situação.
A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC,
diminui em 20% a cada minuto.
Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é
multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8).
19. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
Vamos obter as temperaturas em o
C, em
alguns instantes do experimento.
Temperatura inicial: T0 = 70
1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8)
2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64)
= 56
= 44,8
3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8
4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7
6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3
t minutos: T = 70.(0,8)t
20. Prof. Jorge
Decrescimento exponencial
Veja o gráfico de T em função do tempo t.
t(min)
T(o
C)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5 6
t(min) T(o
C)
0 70
1 56
2 44,8
3 35,8
4 28,7
6 18,3
21. Prof. Jorge
Funções exponenciais
Funções como a que acabamos de analisar
são chamadas de funções exponenciais.
Nos dois casos a variável t é expoente de uma
potência de base constante.
T = 10.(1,3)t
T = 70.(0,8)t
base (1,3) ⇒ Crescente.
base (0,8) ⇒ Decrescente.
23. Prof. Jorge
Funções exponenciais
De modo geral, se a é uma constante real (a > 0
e a ≠ 1), chamamos de função exponencial
elementar de base a a função definida por:
y = f(x) = ax
24. Prof. Jorge
Exemplos
y = 5x
→ base 5
y = (0,3)x
→ base 0,3
y = 2–x
ou y =
1
2
x
→ base 1/2
25. Prof. Jorge
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Traçar o gráfico da função exponencial
elementar y = f(x) = 2x
.
Exemplos
42
21
10
½–1
¼–2
y = 2x
x
D = R e Im = R+
*
→ função é crescente
26. Prof. Jorge
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Exemplos
Traçar o gráfico da função exponencial
elementar y = f(x) = (1/2)x
.
¼2
½1
10
2–1
4–2
y = (1/2)x
x
D = R e Im = R+
*
→ função é decrescente
27. Prof. Jorge
Funções exponenciais - Resumo
Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos
algumas conclusões sobre a função
exponencial elementar y = ax
(a > 0 e a ≠ 1):
O domínio é os Reais;
O conjunto imagem é os Reais positivos;
Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.
Ela é decrescente em todo o seu domínio para
0 < a < 1.
29. Prof. Jorge
Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax
(a > 0 e a ≠ 1), é
injetora. Isso significa que potências de mesma
base só são iguais se os expoentes forem iguais.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
am
= an
m = n⇔
y = 2x
31. Prof. Jorge
x
y
0
1
Propriedades operatórias
Os gráficos de todas as função exponenciais têm
apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa
que potências de bases diferentes só são iguais
apenas se o expoente comum é 0.
am
= bm
m = 0⇔
y = 2xy = 4x
y = 2–x
33. Prof. Jorge
am
> an
m > n⇔
Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax
é crescente em todo
o seu domínio, se a > 1.
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Quanto maior o expoente
x maior é a potência ax
.
Mesmo sentido
y = 2x
34. Prof. Jorge
am
> an
m < n⇔
Propriedades operatórias
A função exponencial y = ax
é decrescente em
todo o seu domínio, se 0 < a < 1.
Quanto maior o expoente
x menor é a potência ax
.
Sentidos contrários
x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
y = 2–x
35. Prof. Jorge
Exemplos
32
< 35
⇔ 2 < 5
(0,7)3
< (0,7)–2
⇔ 3 > –2
base > 1, sinal mantido
0 < a < 1, sinal invertido
2x
> 2–3
⇒ x > –3
a > 1, sinal mantido
37. Prof. Jorge
Equacões exponenciais
Chama-se equação exponencial toda equação
cuja incognita aparece no expoente.
A resolução de uma equação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
am
= an
m = n⇔
am
= bm
m = 0⇔
P1
P2
38. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as equações exponenciais.
a) 3x
= 27
3x
= 27 ⇒ 3x
= 33
⇒ x = 3
b) 52x – 1
= 125
52x – 1
= 125 ⇒ 52x – 1
= 53
⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
39. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as equações exponenciais.
c)
22x
.2x+7
23 – x
= 1
22x
.2x+7
23 – x
= 1 ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x)
= 20
⇒ 24x + 4
= 20
⇒ 4x + 4 = 0
⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1
40. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as equações exponenciais.
d)
2
3
x + 1
=
9
4
2
3
x + 1
=
3
2
2
⇒
2
3
x + 1
=
2
3
–2
⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3
41. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as equações exponenciais.
e) 2x + 1
– 2x
+ 3.2x – 2
= 14
2x
.21
– 2x
+ 3.2x
.2–2
= 14
Vamos isolar em toda equação a potência 2x
.
Fazendo 2x
= y.
2y – y + 3. y
4
= 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56
⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8
⇒ 2x
= 8 ⇒ 2x
= 23
⇒ x = 3
42. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as equações exponenciais.
f) 9x
+ 3x + 1
= 4
(32
)x
+ 3x
.3 = 4
Vamos isolar em toda equação a potência 3x
.
Fazendo 3x
= y. ⇒ y2
+ 3y – 4 = 0
⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x
= –4
(impossível)
⇒ 3x
= 1 ⇒ 3x
= 30
⇒ (3x
)2
+ 3x
.3 = 4
⇒ x = 0
43. Prof. Jorge
Inequacões exponenciais
Chama-se inequação exponencial toda
inequação cuja incognita aparece no expoente.
A resolução de uma inequação exponencial se
baseia nas propriedades abaixo.
P3
P4
am
> an
m > n⇔
Mesmo sentido
am
> an
m < n⇔
Sentidos contrários
⇒ para a > 1
⇒ para 0 < a < 1
44. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as inequações exponenciais.
a) 53x – 1
> 25x + 2
53x – 1
> (52
)x + 2
⇒ 53x – 1
> 52x + 4
⇒ 3x – 1 > 2x + 4
base > 1, mantém-se o sentido
⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3
45. Prof. Jorge
Exemplos
Resolver as inequações exponenciais.
b) (0,9)2x – 1
≤ (0,9)x + 2
(0,9)2x – 1
≤ (0,9)x + 3
⇒ 2x – 1 ≥ x + 3
base < 1, inverte-se o sentido
⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4
48. Prof. Jorge
Exemplos
Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00,
pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final
de cada mês sua dívida é acrescida dos juros
relativos o mês. Qual será o montante M da dívida
após t meses?
1º mês: M1 = 1 000.1,05
2º mês: M2 = M1.1,05 = 1 000.(1,05)2
3º mês: M3 = M2.1,05 = 1 000.(1,05)3
4º mês: M4 = M3.1,05 = 1 000.(1,05)4
...............................................................
t meses: M = 1 000.(1,05)t
100% + 5% = 105%
(1 + i) = 1,05
49. Prof. Jorge
Calculando juros compostos
Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator
de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses,
no sistema de juros compostos é calculado pela
fórmula:
M = C.(1 + i)t
Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t
estejam expressos na mesma unidade de tempo.
50. Prof. Jorge
Exemplos
Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a
uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o
rendimento do agiota, após 4 meses?
Dados:
C = 6 000
i = 5 % a.m = 0,05
t = 4 meses
M = C.(1 + i)t = 6 000 . (1 + 0,05)4
M = 6 000 . 1,2155 ⇒ M = 7 293
M = C + j ⇒ 7 293 = 6 000 + j ⇒ j = 1
293,00
51. Prof. Jorge
Exemplos
Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00
em um banco, a juros compostos, com taxa de
2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo,
se ele pagou R$ 438,00 de juros?
Dados:
C = 2 000
i = 2 % a.m = 0,02
M = 2 000 + 438 = 2 438
M = C.(1 + i)t ⇒ 2 438 = 2000 . (1,02)t
⇒ 1,02t
= 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses
1,026
≈ 1,126
1,027
≈ 1,148
1,028
≈ 1,171
1,029
≈ 1,195
1,0210
≈ 1,219
53. Prof. Jorge
Crescimento e decrescimento exponencial
Há muitas situações práticas em que uma variável
cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas,
na unidade de tempo. Nesses casos, usamos
raciocínio semelhante ao dos juros compostos.
V = V0 . (1 + i)t
Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0,
seja função do tempo t.
V = V0 . (1 – i)t
Se V cresce segundo uma
taxa fixa i, temos:
Se V decresce segundo uma
taxa fixa i, temos:
54. Prof. Jorge
Exemplos
O valor atual de um lote é de R$ 30 000,00.
Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize
8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos?
V = V0 .(1 + i)t = 30 000 . (1,08)6
⇒ V = 30 000 . 1,59
⇒ V = 47 700
⇒ O lote valerá R$ 47 700,00
55. Prof. Jorge
Exemplos
O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00,
e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual
fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2
anos, a máquina valerá R$ 2 0 25,00.
V = V0 .(1 – i)t
Para t = 2, V = 2 0 25.
⇒ 2 025 = 2 500 . (1 – i)2
⇒ (1 – i)2
= 0,81
= 2 500 .(1 – i)t
⇒ (1 – i)2
= √0,81
⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a.