1. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA
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3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
) POSITIVO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN. B
SENTIDO DE GIRO HORARIO
O )
A
OA : LADO INICIAL
) NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
1
GRADO : o MINUTO :
1 ' SEGUNDO :
1
"
EQUIVALENCIAS
1  60 1  60 1  3600
o ' ' " o "
1vuelta= 360
o

5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B ' C ''  A  B '  C ''
o o
Los Para convertirB y C deben ser menores por 3600
números de grados a segundos se multiplica de 60
RELACIONES degrados a minutos se multiplica por 60 60
Para convertir de
Para convertir DE CONVERSIÓN
minutos a segundos se multiplica por
x 3600
x 60 x 60
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 60 : 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
: 3600
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

6. EJEMPLO :   20 36 ' 45 ''
o
EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES
  20  36  45
o ' ''
36 o
45 o
3o 1o
  20 
o
  20o  
60 3600 5 80
Al número 36 se le divide entre 60 y
1649o 3600
Al número 45 se le divide entre
CONCLUSIÓN: 
80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

7. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato : 60S  2S  155 62S  155
155 5(31) 5
S  S
62 2(31) 2
5º 4º 60 '
El ángulo mide :   2º 30 '
2 2

8. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

9. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
GRADO : 1
g MINUTO : 1
m
SEGUNDO : 1
s
EQUIVALENCIAS
1  100 1  100 1  10000
g m m s g s
1vuelta= 400 g

10. En el sistema centesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
A B C  A B
g m s g m
C s
Los números B ygrados a segundosmenores de 10000
Para convertir de C deben ser se multiplica por 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN por 100 100
Para convertir de de minutos a segundos se multiplica por
Para convertir grados a minutos se multiplica
x 10 000
Para convertir dex 100 a grados se divide entre 10000
segundos
x 100
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 100 : 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
: 10 000
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

11. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE : g SABES QUE :g
9º  10
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200 g = C
SABEMOS QUE 180º  10
9º
9(1º )  10(1 ) 9(1º
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES  (10(1g ) 100C
g
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE) n) =
' 9º CENTESIMALES 10(10000S ) 000C
 109(3600'' )  ( q ) = 10
g
NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m )
9(60 ) 
RELACIÓN ENTRE LOS50
81''  250s
27  SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
' m
CENTESIMAL
9 O  10g 27'  50m 81"  250s
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
S C m n p q
  
9 10 27 50 81 250

12. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
R
MEDIDA ES EL
RADIÁN. R
UN RADIÁN ES LA
.
.
)1rad
MEDIDA DEL R
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA 1vuelta  2rad
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
1rad  57 17 45
o ' ''
AL RADIO.

13. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
180  200  rad
0 g
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
A)  54 0
54O  rad   3 rad
SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA
 o 
VUELTA MIDE : 360º  400g  2rad
 180  10
B)  125g
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
 rad  5
125  
g
g 
rad
 200  8

14. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL
2 2(180 o )
A) rad ...........  120 o
3 3
9 
g
o
B)70g ................. 70  g   63 o
 10 
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL
3 3(200 )g
A) rad ........... 150 g
4 4
o o  10g 
B)27 ................ 27  o   30 g
 9 

15. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES rad
A RADIANES 180o
DE GRADOS SEXAGESIMALES 10g
A CENTESIMALES
9 o
DE GRADOS CENTESIMALES rad
A RADIANES
200 g
DE GRADOS CENTESIMALES 9 o
A SEXAGESIMALES
10 g
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES rad  180 o
rad  200
DE RADIANES A GRADOS g
CENTESIMALES

16. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

17. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S C R
 
180 200 
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S  2C   37

SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN

18. S C R S  180k
   K R  k
180 200  C  200k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k)
3(180k)  2(200k)   37 ,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k  37
1
k
4
 1 
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R    
4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S  9k
S C 20R
  C  10k
9 10  k
R 
20

19. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 90o  100g rad
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180  200  rad
O g
SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S
CENTESIMAL C 100 - C 200 - C

RADIAL R R R
2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
  
rad  60o
rad  45o rad  30o
3 4 6

20. EJERCICIOS

1. CALCULAR :
45º  rad
E 12
50g  33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
 180º 9º
 15º ; 50 ( g )  45º
g
rad 
12 12 10
Reemplazamos en E
45º 15º 60º
E   5
45º 33º 12º

21. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
 =K S = 9K y C = 10K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2
El número de radianes es :
k 2 
R R 
20 20 10

22. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad  180
B ) El complemento de 30 es 70
g g
C ) 24º 2º

36 g
3 g
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman rad
E)   180º
F) 1º  1 g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es
igual al 90% de su número de grados centesimales

23. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA