1) O documento descreve métodos para determinar a latitude e declinação a partir de observações astronômicas. 2) Inclui definições de latitude, longitude, hemisférios, tipos de meridianos e como calcular latitude e declinação usando passagens meridianas. 3) Também mostra como determinar o centro e raio de uma circunferência a partir de três pontos e aplicar isso para calcular os elementos astronômicos.

1. Determinação da Latitude e da Declinação R. Boczko IAG-USP 08 08 09

2. Latitude    e Longitude     PN PS Equador Greenwich

3. Latitude Austral Z N S W Equador PS E 

4. Latitude Boreal Z PN  Nadir N S L W

5. Latitude astronômica e/ou geográfica Horizonte Zênite  A =  G x   h PN  = - h PS PS PS Equador PN PN PS Equador  G  A Horizonte  A

6. Trajetórias diurnas das estrelas

7. Trajetórias diurnas paralelas Eixo de rotação Equador PNC PSC PN PS N L

8. Coordenadas Horárias e Equatoriais Z PN H    p M N S E W

9. Tipos de Meridianos Z N S E W Ñ Nadir Horizonte NZS Meridiano zenital Meridiano nadiral NÑS PS N S E W Ñ Nadir Horizonte PN Z PN-Z-PS Meridiano Superior Meridiano Inferior PN-Ñ-PS

10. Tipos de Meridianos Horizonte Zênite Ñ Nadir N S Meridiano Zenital NZS Meridiano Nadiral N Ñ S Z Ñ Horizonte PV PI Meridiano Superior PZP Meridiano Inferior P Ñ P Z N S E W Nadir Horizonte

11. Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico)

12. Latitude e declinação no HN N Leste Oeste PN CS CI h s h p h i p h p = (h s + h i ) / 2   h p p = (h s - h i ) / 2  = 90 0 - p Se a culminação superior se der ao sul do zênite: h s = 180 0 - h CS N S Z h s h CS PN Equador PN p 

13. Latitude e declinação no HS S Oeste Leste PS CS CI h s h p h i r h p = (h s + h i ) / 2  = - h p r = (h s - h i ) / 2  = - (90 0 - r) Equador PN r  PS Se a culminação superior se der ao norte do zênite: h s = 180 0 - h CS S N Z h s h CS PS

14. Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens meridianas P CS CI No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia.

15. Obtenção do polo visível através de culminações

16. Polo visível N S Z Horizonte Culminação superior Culminação inferior N S Z Horizonte Culminação superior Culminação inferior PS Equador PN Equador Norte Leste Oeste Pólo Norte Pólo Sul Sul Oeste Leste

17. Obtenção do polo norte com Culminações S N Z Horizonte CS CI Equador M PN  

18. Obtenção do polo sul com Culminações N S Z Horizonte CS CI Equador M PS  

19. Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico)

20. Culminações ou passagens meridianas

21. Culminação ou passagem meridiana PN Horizonte Equador W L Z S PS M Na passagem meridiana inferior: H  180 o . Na passagem meridiana superior: H  0.

22. Passagens meridianas no HN PN Horizonte Equador W L Na passagem meridiana inferior: H  180 o . PS Observador no Hemisfério Norte N S Na passagem meridiana superior: H  0. M Z

23. Passagens meridianas no HS PS Horizonte Equador W L Na passagem meridiana inferior: H  180 o . PN S Observador no Hemisfério Sul Z N Na passagem meridiana superior: H  0. M

24. Convenção de sinais na passagem meridiana N S Z Horizonte Z: positivo ao norte do zênite Z: negativo ao sul do zênite Z < 0 Z > 0 Z N S E W Nadir Horizonte

25. Culminações no HN S N Z Horizonte Z i -Z s PN Equador     Culminação superior -z s =  –  z s =  -  Culminação inferior  + z i +  = 180 o z i = 180 o -  - 

26. Latitude e declinação no HN z s =  -  z i = 180 o -  -  Somando membro a membro z i + z s = 180 o - 2   = +90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = 180 o - 2   = +90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro

27. Culminações no HS N S Z Horizonte -Z i +Z s PS Equador -  -  -  -  Culminação superior z s = (-  ) – (-  ) z s =  -  Culminação inferior (-  ) + (-z i ) + (-  ) = 180 o z i = -180 o -  - 

28. Latitude e declinação no HS z s =  -  z i = -180 o -  -  Somando membro a membro z i + z s = -180 o - 2   = -90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = -180 o - 2   = -90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro

29. Representação de observadores na Terra Observador no Hemisfério Norte Observador no Hemisfério Sul

30. Latitude e declinação  = + 90 o – (z i + z s ) / 2  = + 90 o – (z i - z s ) / 2 Hemisfério Norte Fórmulas gerais  =  90 o – (z i + z s ) / 2  =  90 o – (z i - z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS Hemisfério Sul  = - 90 o – (z i + z s ) / 2  = - 90 o – (z i - z s ) / 2

31. Latitude e declinação Enunciado: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20 o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70 o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X. z s = +20 o z i = -70 o   Pólo Sul Sul Oeste Leste Sentido horário Hemisfério Sul  =  90 o – (z i + z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS  = - 90 o – (z i + z s ) / 2  = - 90 o – ([-70] + [+20]) / 2  = - 90 o – (- 50) / 2  = - 90 o + 25  Ast =  Geo = - 65 o  =  90 o – (z i - z s ) / 2 + : astro no HN - : astro no HS  = - 90 o – (z i - z s ) / 2  = - 90 o – ([-70] - [+20]) / 2  = - 90 o – (- 90) / 2  = - 90 o + 45  = - 45 o

32. Determinação do centro e do raio de uma circunferência

33. Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência A B C M Mediatriz N Mediatriz O R = OA = OB = OC

34. Equação de uma circunferência de centro ( x c ,y c ) e raio R x y O C y C x C R (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2

35. Circunferência dada por 3 pontos y 1 y 2 y C y 3 x 1 x 2 x C x 3 r C O x y

36. Como obter o x c e y c do centro da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Igualar: (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 k  (x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 ) / 2 y c = [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 q  (x 3 2 - x 2 2 + y 3 2 - y 2 2 ) / 2 y c = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) Igualar: [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D  (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) x c = [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) x c = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D

37. Obter o centro e o raio da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Sejam: k = (x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 ) / 2 q = (x 3 2 - x 2 2 + y 3 2 - y 2 2 ) / 2 x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D = (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D R 2 = (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2

38. Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações

39. Meridiano, Latitude e Declinação no HS Oeste Leste PS h 3 h p h 1 r h 2 a 1 a 2 a p a 3 S Mira

40. Meridiano, Declinação e Latitude y 1 y 2 y p y 3 P x 1 x 2 x p x 3 Do céu para o papel G  C a i  x i G  C h i  y i r’ Do papel para o céu C  G x p  a p C  G y p  h p  = - h p C  G r’  r  = - (90 - r) C (cm) G (graus) Escala Equador PN r  PS

41. Posição do Ponto Cardeal Norte Oeste Leste PS h 3 h p h 1 r h 2 a 1 a 2 a p a 3 S Mira N Hemisfério sul a N a N =a p +180 0

42. Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas P A estrela não pode estar muito afastada do polo O local não pode estar muito afastado do equador

43. Latitude a partir do nascer ou ocaso do Sol

44. Ângulo entre o equador e o horizonte N S Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90 o -  Z PS W Equador E Nascer    90-  90-  90-  90-  90-  Ocaso

45. Nascer do Sol Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Sul L Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Norte L Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul

46. Ocaso do Sol Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Sul W Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Norte W Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul Oeste Leste Sul Norte

47. Tempo sideral

48. Tempo sideral PN  TS = H  Horizonte Equador W Tempo sideral é o ângulo horário do ponto  PS Z S TS M

49. Determinação da Ascensão Reta

50. Ascensão reta com passagem meridiana PN    TS = H  TS =  + H Na passagem meridiana superior: H = 0. Logo:  = TS PMS Horizonte Equador W H S M Z PS

51. Fim