Este documento discute estatísticas amostrais e suas distribuições. Ele apresenta exemplos de como variáveis aleatórias seguem distribuições amostrais específicas à medida que o tamanho da amostra aumenta e como essas distribuições se aproximam da normal conforme previsto pelo Teorema do Limite Central. Além disso, fornece instruções sobre uma tarefa que envolve gerar amostras de diferentes tamanhos e analisar suas estatísticas descritivas.

1. Estatísticas e suas distribuições
amostrais
Prof. Manoel Castro
2011

2. Estatísticas e suas Distribuições Amostrais
• Xis variam a cada amostra x
• Assim como as estatísticas 2
,, SSX
Ex: Número de buracos no pavimento por km (X) segue
Poisson com média µ = 2 e σ2 = 2
2 . 4 2 . 2 3 . 2 2 . 0 1 . 2 1 . 4 2 . 0 2 . 2 2 . 6 3 . 4
3 4 1 2 3 3 0 1 3 1
1 2 2 0 0 1 1 4 1 2
2 1 4 4 3 2 2 0 1 2
3 4 2 2 5 1 5 2 4 3
3 0 0 1 1 3 2 1 1 2
0 . 8 3 . 2 2 . 2 2 . 2 3 . 8 1 . 0 3 . 5 2 . 3 2 . 0 0 . 5
X
2
S

3. Distribuição amostral de
P(X)
0.150.200.25
X: buracos/Km ~ Poisson (lambda=2)
X
Média= 1.962 S2= 0.38
Density
0.40.6
Histograma das médias de
200 amostras com n=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
P(X)
0.000.050.10
Médias amostrais
Density 0 1 2 3 4
0.00.20.4

4. Histogramas das 200 médias amostrais
Média= 2.04 S2= 0.311 n= 5
Density
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.00.20.40.60.8
Média= 2.001 S2= 0.077 n= 20
Density
0.00.51.01.5
Média= 1.968 S2= 0.188 n= 10
Density
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00.20.40.60.8
X
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Média= 2.042 S2= 0.073 n= 30
Density
1.5 2.0 2.5
0.00.51.01.5
1.5 2.0 2.5 3.0
Média= 2.005 S2= 0.042 n= 50
Density
1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
0.00.51.01.52.0
Média= 1.991 S2= 0.019 n= 100
Density
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
0.00.51.01.52.02.53.0

5. Distribuição amostral de X
Média= 0.497 S2= 0.051 n= 5
1.01.5
Histograma das médias de
200 amostras com n=5
Distância entre buracos (X)
1.01.52.0
X ~ exponencial (lambda=2)
P(X)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00.51.0
25.0/1
5.0/1
22
==
==
λσ
λµ
X
X
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.00.5
X

6. Média= 0.497 S2= 0.013 n= 20
0.00.51.01.52.02.53.0
Média= 0.51 S2= 0.024 n= 10
0.00.51.01.52.02.5
Média= 0.497 S2= 0.051 n= 5
0.00.51.01.5
Histogramas de 200 médias amostrais X
Média= 0.5 S2= 0.002 n= 100
0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65
02468
Média= 0.499 S2= 0.005 n= 50
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
012345
Média= 0.492 S2= 0.008 n= 30
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
01234
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0

7. Distribuição amostral Média.
X~Normal (µ=50,σ=3)
0 50 100 150 200
0.000.020.040.060.080.100.12
46 48 50 52 54
0.000.050.100.150.200.25
media 50.065687005821 Var 1.84777468156713
47 48 49 50 51 52 53
0.00.10.20.30.4
media 49.9270977587312 Var 0.960192253140776
0 50 100 150 200
x
Médias amostrais
49.0 49.5 50.0 50.5 51.00.00.20.40.60.81.0
media 50.038197055871 Var 0.164860381447687
k=500 n= 50
Médias amostrais
46 48 50 52 54
k=500 n= 5
Médias amostrais
47 48 49 50 51 52 53
k=500 n= 10
Médias amostrais
48 49 50 51 52
0.00.10.20.30.40.5
media 49.9628681061913 Var 0.446994080562361
k=500 n= 20
Médias amostrais
48 49 50 51 52
0.00.10.20.30.40.50.6
media 50.019938885542 Var 0.292712696627913
k=500 n= 30

8. Teorema do Limite Central
• X1, X2, X3...Xn formam uma amostra aleatória de uma
distribuição com média µ e variância σ2. À medida que n
aumenta, se aproxima da distribuição normal com
média µ e variância σ2/n.
X
• Como isso pode nos ajudar a estimar melhor os parâmetros
populacionais? Este teorema é importantíssimo para tal fim.

9. Distribuição da Proporção Amostral (p’).
p’~Binomial (p=0,25)
n= 10
0.050.100.150.200.25
n= 5
0.10.20.3
n= 30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
n= 30
p'
0.000.050.100.15

10. Trabalho (Entrega 3/out)
1. Coletar uma amostra de uma variável aleatória com 50
observações. Faça uma breve análise descritiva desta
amostra.
2. Suponha que a amostra coletada é uma população, da
qual você irá gerar 100 amostras de tamanho n=5
Grupos de no máximo 3 alunos
qual você irá gerar 100 amostras de tamanho n=5
observações. Gere os histogramas das médias e das
variâncias amostrais. Mostre também:
- A média e a variância das médias amostrais
- A média e a variância das variâncias amostrais.
3. Repita o passo 2 para amostras de n=10, 15, 20, 25, e 30.
4. Interprete os resultados.