1. PROBABILIDADPara la mayoría de la gente, “Probabilidad” es un termino
vago utilizado en el lenguaje cotidiano, para indicar la
posibilidad de un evento futuro.
2. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
Conceptos previos:
• Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden
darse en un experimento aleatorio.
• Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra
mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.
Operaciones con sucesos:
• Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de
ellos.
• Intersección: la intersección dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se
dan ambos a la vez.
La probabilidad, en una experiencia aleatoria, es una aplicación que asigna un
número real a cada suceso.
3. Tipos de sucesos:
• Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos
los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).
• Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya
que no tiene elementos (es el conjunto vacío).
• Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su
complementario respecto al espacio muestral (A’ ).
• Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.
• Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden
los dos sucesos darse al mismo tiempo.
• Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún
elemento.
4. CARACTERÍSTICAS DE LA PROBABILIDAD
• La probabilidad de un suceso es mayor o igual
que cero.
• La probabilidad del suceso seguro es uno.
• La probabilidad de la unión de dos sucesos
incompatibles es igual a la suma de sus
probabilidades.
5. Axiomas de la probabilidad
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1
• 0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
• p(E) = 1
3. Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
• p(A B) = p(A) + p(B)
6. PRIMERA:
La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario
vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
SEGUNDA:
Probabilidad del suceso imposible es cero
7. TERCERA:
La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de
sus probabilidades restándole la probabilidad de su
intersección.
CUARTA:
Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es
menor o igual a la de éste.
8. QUINTA:
Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
SEXTA:
Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2,
..., xn} entonces:
9. DOS LEYES DE LA PROBABILIDAD
1. Ley multiplicativa de la probabilidad
La probabilidad de la intersección de dos eventos A y B
P(A n B) = P(A)P(B/A)
= P(B)P(A/B)
Si A y B son independientes, entonces
P(A n B) = P(A)P(B)
10. 2. Ley aditiva de la probabilidad
La probabilidad de la unión de dos eventos A y B es.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A n B)
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces.
P(A n B) = 0 y
P(A U B) = P(A) + P(B)
11. EJEMPLO
En cierta ciudad, 40% de los votantes son republicanos y el
60% son demócratas; 70% de los republicanos y 80% de los
demócratas están a favor de una emisión de bonos. Al
seleccionar al azar un votante de la ciudad ¿Cuál es la
probabilidad de que este a favor de la emisión de bonos?
12. SOLUCIÓN:
Sea “f” el evento a favor de la emisión de bonos “R” el
evento de que sea elegido un republicano, y “D” el evento
de que sea escogido un demócrata.
Entonces:
P(R) = 0.4, P(D) = 0.6, P(f/R) =0.7, P(f/D) = 0.8
13. EJEMPLO
Ahora
P(f) = P[(f n R) U (f n D)] = P(f n R) +P(f n D)
Ya que (f n R) y (f n D), son dos eventos excluyentes f = (F n R) U (f n D)
Entonces
P(f n R) = P(f/R)P(R) = (0.7)(0.4) = 0.28
En forma similar
P(f n D) = P(f/D)P(D) = (0.8)(0.4) = 0.76
Entonces
P(f) = 0.28 + 0.48 = 0.76
14. REGLA DE BAYES
El procedimiento de la composición de los eventos para
resolver los problemas de la probabilidad se facilita algunas
veces al considerar el espacio muestral “S” como una unión
de subconjuntos que son mutuamente excluyentes, es
decir, se supone que
S = B₁ U B₂ U … U Bк, con Bi n Bj = 0 para i ‡ j
15. A = A n S = A n (B₁ U B₂ … Bк)
= (A n B₁) U (A n B₂) U … U (A n Bк)
Entonces
P(A) = P(A n B₁) + P(A n B₂) + … P(A n Bк)
= P(B₁)P(A/B₁) + P(B₂)P(A/B₂) + P(Bк)P(A/ Bк)
к = ∑ P(Bi)P(A/ Bi)
i = 1
Resumen:
16. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos
en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí,
con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es,
sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y
tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una
probabilidad q = 1 - p.
En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de
forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un
determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de
hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución
binomial de parámetros n y p, se escribe:
17. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que
pueden modelizarse por esta distribución:
Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres
obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras
obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
Una partícula se mueve unidimensionalmente con
probabilidad p de moverse de aquí para allá y 1-q de moverse
de allá para acá
20. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS
UNIÓN. Se define como el conjunto de todos los elementos, que
pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, (siendo A y B previamente
definidos).
INTERSECCIÓN. Es el conjunto de elementos que pertenecen
simultáneamente a A y a B, (A y B previamente definidos), y se escribe
A ∩ B.
DIFERENCIA. Son todos los elementos que de A que no pertenecen a B,
esto es, A – B.
COMPLEMENTO. Si B C A, entonces, A – B se denomina el complemento
de B relativo a A y se escribe: B A o BA o B’CA.
. Si A = U, nos referimos a U – B, sencillamente como el complemento de
B: B o B o B’C El complemento de (A ∪ B) se escribe ( A∪B) o (A∪B) o
(A∪B)’C
