Slide del corso di Algoritmi e Calcolo Parallelo per il corso di laurea magistrale in Ingegneria Matematica 2012/2013 - Politecnico di Milano

1. Alberi
Algoritmi e Calcolo Parallelo
Prof. Pier Luca Lanzi

2. Riferimenti
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2
Bertossi Alan A., Montresor Alberto. “Algoritmi e
strutture di dati” (seconda edizione), CittàStudi 2010
Stanley B. Lippman, Barbara E. Moo, Josee Lajoie
“C++ Primer”, 5th Edition Addison-Wesley
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3. Alberi Radicati
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3
Albero (definizione informale): insieme dinamico i cui
elementi hanno relazioni di tipo gerarchico
Albero (definizione ricorsiva)
Insieme vuoto
Una radice T e 0 o più sottoalberi, con la radice di ogni
sottoalbero collegata a T da un arco (orientato)


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4. Alberi Radicati
•
4
Albero radicato
Un insieme vuoto di nodi
Un nodo radice R collegato a 0 o più alberi (sottoalberi)


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5. Alberi Radicati
5
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6. Alberi Radicati Binari
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6

7. Alberi Radicati Binari
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7
Un albero binario è un albero ordinato in cui ogni nodo ha al più due
figli e si fa distinzione tra il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo
Nota: due alberi T e U aventi gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni
nodo e la stessa radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato
come figlio sinistro di un nodo v in T e come figlio destro del
medesimo nodo in U
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8. Alberi?
8
DAG
Foresta
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Radice

9. Alberi Radicati
•
•
•
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9
Profondità di un nodo: la
lunghezza del percorso
dalla radice al nodo
(numero archi attraversati)
Livello: l'insieme dei nodi
alla stessa profondità
Altezza dell'albero:
massima profondità+1
Grado di un nodo:
numero dei figli
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10. Alberi Binari: Pieni e Completi
•
•
10
Alberi binari pieni: Ogni nodo è una foglia oppure è un
nodo interno con esattamente due figli non vuoti
Alberi binari completi: se l’altezza dell’albero è d, allora
tutte le foglie eccetto possibilmente il libello d sono
completamente piene. L’ultimo livello ha tutti i nodi sul lato
sinistro
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11. Rappresentazione degli Alberi Binari
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12. Realizzazione con Vettore dei Figli
12
/
/
/ / /
/ / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
/ / / /
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/ /
/ / / /
/ / //
/ / / /

13. Realizzazione con Puntatori Padre,
Primo-figlio, Fratello
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13

14. Altre Rappresentazioni:
Con puntatore al parente
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14

15. Altre Rappresentazioni: Array
Left
Key
Right
Par
0
1
A
3
-1
1
-1
B
2
0
2
-1
D
-1
1
3
4
C
6
0
4
5
E
-1
3
5
-1
G
-1
4
6
7
F
8
3
7
-1
H
-1
6
8
-1
I
-1
6
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15

16. Realizzazione con Vettore dei Padri
•
16
L'albero è rappresentato da un vettore i cui elementi
contengono l'indice del padre
0 a
T
1 b
a
1 e
b
2 c
2 d
c
3 f
3 g
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e
d
f
g

17. Possible Interfaccia
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18. Algoritmi di Visita degli Alberi
•
•
•
18
Visita (o attraversamento) di un albero:
Algoritmo per “visitare” tutti i nodi di un albero

In profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS
Vengono visitati i rami, uno dopo l’altro
Tre varianti: pre-ordine, post-ordine, in-ordine


In ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS
A livelli, partendo dalla radice

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19. Visita in Profondità: Implementazioni
VisitaPreOrdine(T)
VisitaRadice(T);
VisitaPreOrdine(T->left());
VisitaPreOrdine(T->right());
}
VisitaPostOrdine(T)
VisitaPostOrdine(T->left());
VisitaPostOrdine(T->right());
VisitaRadice(T);
}
VisitaInOrdine(T)
VisitaInOrdine(T->left());
VisitaRadice(T);
VisitaInOrdine(T->right());
}
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19

20. Visita in Ampiezza
VisitaAmpiezza(T)
q = new Queue()
q.insert(T)
while not q.empty() do
p := q.dequeue()
visita p
q.enqueue(p.left())
q.enqueue(p.right())
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20

21. Esercizi
•
•
21
Stampare il risultato della
Visita in pre-ordine
Visita in-ordine
Visita in post-ordine
Visita in ampiezza




Scrivere un algoritmo per
Calcolare l’altezza di un albero binario T
Calcolare il numero di nodi di un albero binario T
Stampare tutti i nodi di profondità h di un albero binario
T



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22. Alberi Binari: Specifica
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23. Alberi Binari: Realizzazione
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24. Esercizi
•
•
•
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Dato un albero radicato T, calcolare la sua altezza
Dato un albero radicato T, calcolare il numero totale di
nodi
Dato un albero radicato T, stampare tutti i nodi a
profondità h
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