1. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
1
Chuyeân ñeà 3 :
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ - VOÂ T
I. Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån
1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån
+ = a x + b y = c
(1)
a x b y c
a. Daïng : 1 1 1
2 2 2
Caùch giaûi ñaõ bieát: Pheùp theá, pheùp coäng ...
b. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän
Böôùc 1: Tính caùc ñònh thöùc :
•
a b
1 1 a b a b
a b
D = = − (goïi laø ñònh thöùc cuûa heä)
1 2 2 1
2 2
•
c b
1 1 c b c b
c b
1 2 2 1
2 2
Dx
= = − (goïi laø ñònh thöùc cuûa x)
•
a c
1 1 a c a c
a c
1 2 2 1
2 2
Dy
= = − (goïi laø ñònh thöùc cuûa y)
Böôùc 2: Bieän luaän
• Neáu D 0 thì heä coù nghieäm duy nhaát
=
=
D
x
D
D
y
D
x
y
• Neáu D = 0 vaø 0
x D hoaëc 0
y D thì heä voâ nghieäm
• Neáu D = Dx = Dy = 0 thì heä coù voâ soá nghieäm hoaëc voâ nghieäm
YÙ nghóa hình hoïc: Giaû söû (d1) va ø(d2) laø hai ñöôøng thaúng laàn löôïc coù phöông trình :
(d1) : a1x + b1y = c1 vaø (d2): a2x + b2y = c2
Khi ñoù:
1. Heä (I) coù nghieäm duy nhaát (d1) vaø (d2) caét nhau
2. Heä (I) voâ nghieäm (d1) vaø (d2) song song vôùi nhau
3. Heä (I) coù voâ soá nghieäm (d1) vaø (d2) truøng nhau
AÙp duïng:
Ví duï1: Giaûi heä phöông trình:
− = −
5 x x + 2 y
9
y
=
4 3 2
Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình :
+ = +
mx y m
+ =
2
1
x my

2. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
2
Ví duï 3: Cho heä phöông trình :
+ =
2 3
mx y
+ =
1
x my
Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) thoûa x 1 vaø y 0
(− 2 m 0)
Ví duï 4: Vôùi giaù trò nguyeân naøo cuûa tham soá m heä phöông trình
+ = + mx + 4y = m 2
coù nghieäm duy nhaát
x my m
(x;y) vôùi x, y laø caùc soá nguyeân.
(m = −1m = −3)
Ví duï 5: Cho heä phöông trình :
+ = + 2
+ =
−
x m y m 1
m 2
x y 3 m
Xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä coù nghieäm duy nhaát (x;y) sao cho S = x + y ñaït
giaù trò lôùn nhaát.
Ví duï 6: ( Döï bò 2007):
II. Heä phöông trình baäc hai hai aån:
1. Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån:
Caùch giaûi: Phöông phaùp thöôøng duøng laø söû duïng phöông phaùp theá
+ Ruùt x ( hoaëc y) töø phöông trình baäc nhaát theá vaøo phöông trình coøn laïi.
Ví duï : Giaûi caùc heä:
a)
+ =
2 5
x y
+ − =
x2 y 2 xy
2 2 5
b)
− =
+ − =
x 2y 1
x 2 14y 2
1 4xy
Chuù yù: Khi ruùt aån x ( hoaëc y) phaûi ñaûm baûo ñöôïc bieåu thöùc ruùt ñöôïc laø ñôn giaûn nhaát.
2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I vôùi hai aån x vaø y:
a.Ñònh nghóa:
Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì heä phöông trình khoâng thay ñoåi.
b.Caùch giaûi:
Böôùc 1: Ñaët x+y=S vaø xy=P vôùi 2 S 4P ta ñöa heä veà heä môùi chöùa hai aån S,P.
Böôùc 2: Giaûi heä môùi tìm S,P . Choïn S,P thoaû maõn 2 S 4P .
Böôùc 3: Vôùi moãi caëp S,P tìm ñöôïc thì x,y laø nghieäm cuûa phöông trình :
2 X − SX + P = 0 ( ñònh lyù Vieùt ñaûo ).
Chuù yù: Do tính ñoái xöùng, cho neân neáu (x0;y0) laø nghieäm cuûa heä thì (y0; x0) cuõng laø nghieäm cuûa heä do ñoù
heä coù nghieäm duy nhaát thì 0 0 x = y .
Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau :
1)
+ + =
2 2 xy + 4
x + y
=
2
x xy y
+ + = − x + y xy
− − = 3) 2) 2 2
7
3 3 16
x y x y
+ + =
xy x y
+ =
11
30
x2 y xy2
4)
+ =
2 2 13
x y xy
x y
+ + + =
3( ) 2 9 0

3. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
3
5)
+ =
x 2 y xy
2
x + y
=
30
35
3 3
6)
+ =
x y y x
+ =
6
20
x2 y xy 2
7)
+ =
x y
+ − =
4
4
x y xy
8)
+ =
4 4 34
x + y
=
2
x y
1) (0;2); (2;0) 2) (2;−3),(−3;2),(1+ 10;1− 10),(1− 10;1+ 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4) (3; 2),( 2;3),( 2 10 ; 2 10 ),( 2 10 ; 2 10 ) 2 2 2 2 − − − + − − − − − + 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1)
7) (4;4) 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2)
Ví duï2 : Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:
+ =
x y
1
+ = −
1 3
x x y y m
Ví duï 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì heä phöông trình sau coù nghieäm:
− + + =
+ =
x 2 y 3 5
x y m
3. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II vôùi hai aån x vaø y:
a.Ñònh nghóa:
Ñoù laø heä chöùa hai aån x,y maø khi ta thay ñoåi vai troø x,y cho nhau thì phöông trình naày trôû thaønh phöông trình
kia cuûa heä.
b. Caùch giaûi thöôøng duøng:
• Tröø veá vôùi veá hai phöông trình vaø bieán ñoåi veà daïng phöông trình tích soá.
• Keát hôïp moät phöông trình tích soá vôùi moät phöông trình cuûa heä ñeå suy ra nghieäm cuûa heä .
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:
1)
+ = − 2 2 3 2
x y y
2
+ = − 2) 2 2 2
y x 3 x
2
+ =
2
2 3
x xy x
2 2
+ =
3
y xy y
3)
= − + 2 3 2
= −
+
3 2
3 2
y x x x
2 3 2
x y y y
4)
1
2
2
3
1
3
x y
x
y x
y
+ =
+ =
5)
= +
= +
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
6)
− + + = 3 2
− + +
=
x 2x 2x 1 2y
y 3 2y 2
2y 1 2x
III. Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai:
a. Daïng :
+ + = 2 2
+ +
=
a x b xy c y d
1 1 1 1
a x 2 b xy c y 2
d
2 2 2 2
b. Caùch giaûi :
Ñaët aån phuï x
t
y
= hoaëc y
t
x
= . Giaû söû ta choïn caùch ñaët x
t
y
= .
Khi ñoù ta coù theå tieán haønh hai caùch giaûi nhö sau:
Caùch 1:
Böôùc 1: Kieåm tra xem (x, 0) coù phaûi laø nghieäm cuûa heä hay khoâng ?
Böôùc 2: Vôùi y 0 ta ñaët x = ty. Thay vaøo heä ta ñöôïc heä môùi chöùa 2 aån t,y .Töø 2 phöông trình ta

4. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
4
khöû y ñeå ñöôïc 1 phöông trình chöùa t .
Böôùc 3: Giaûi phöông trình tìm t roài suy ra x, y.
Caùch 2 : Khöû heä soá töï do ( khoâng chöùa x hoaëc y).
Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau:
1)
+ + = 3 2 2 2
x xy y
11
+ + = 2) 2 2
x 2 xy 5 y
25
− − =
2 2
x xy y
6 x xy 2 y
56
− − =
2 2
5 49
3)
+ = 3 2
+
=
2 3 5
x x y
3 2
6 7
y xy
IV. Caùc heä phöông trình khaùc:
Ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp sau:
a. Ñaët aån phuï:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình :
1)
− + = −
xy x y
+ − + + =
6
3
x2 y 2 x y xy
2)
+ − − =
( 1) ( 1) 36
x 2 2 x x − y x y
y y
− =
12
3)
− + − = 2 2
x y x y
5
− − + = 4)
3 2 2 3
x x y xy y
6
+ + + = 2
+ + −
=
x 1 y(y x) 4y
(x 2
1)(y x 2) y
b. Söû duïng pheùp coäng vaø pheùp theá:
Ví duï: Giaûi heä phöông trình :
+ − =
+ + − − =
x 2 y 2
10x 0
x 2 y 2
4x 2y 20 0
c. Bieán ñoåi veà tích soá:
Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau:
1)
+ = +
2 2 3( )
x 2 x y 2
y
x + y = x +
y
2)
+ = +
3 3
x y x y
x x y y
+ = + +
2
7 7
2 2
3)
− = −
1 1
= +
y x3
2 1
y
y
x
x
.
4)
5 + 5
=
x y 1
9 9 4 4
+ = +
x y x y
; 5)
x 3 + y 3
= 1
+ = +
5 5 2 2
x y x y
d) Phöông phaùp ñaùnh giaù
Ví d: Gii caùc he phng trình sau:
1)
1 1
x y 4
x y
1 1
2 2
x y 4
2 2
x y
+ + + =
+ + + =
2)
3 + 3
=
x y 1
2 2
+ =
x y 1
; 3)
4 + 4
=
x y 1
6 6
+ =
x y 1
;
e. S dng do hàm
Kieán thöùc:

5. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
* Tính chaát 1: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình
f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). (do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì x0
ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C)
* Tính chaát 2 : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø haøm moät haøm giaûm trong khoaûng (a;b) thì
phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 (a;b) sao
cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x)).
5
Ví d: Gii caùc he phng trình sau:
1)
3 + = 2
− +
x 1 2(x x y)
y 3 1 2(y 2
y x)
+ = − +
; 2)
3 2
x 3x 5x 1 4y
3 2
y 3y 5y 1 4z
3 2
z 3z 5z 1 4x
− + + =
− + + =
− + + =
;
3)
3 2
= + + −
x y y y 2
3 2
= + + −
y z z z 2
3 2
= + + −
z x x x 2
4)
3 2
+ = + +
2x 1 y y y
3 2
+ = + +
2y 1 z z z
3 2
+ = + +
2z 1 x x x
.
CAÙC ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC
Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau :
1,
+ + = − − 2 + 2 = −
1( 99) 6
x xy y MTCN x y y x 2,
+ = − − + =
x 2 y 2
NT
x x y y
5 ( 98)
4 2 2 4
13
3,
2 + 2
= 3 + =
− 3
30( 93)
35
x y y x BK
x y 4,
+ = − + = +
x 3 y 3
1 (AN 97)
x 5 y 5 x 2 y
2
5,
+ + = − + + =
x 2 y 2
xy 7 ( SP
1 2000)
6,
x 4 y 4 x 2 y 2
21
+ + = − 2 + 2 + + =
x y xy QG x y x y
11 ( 2000) 3( ) 28
7,
x + y
= 7 + y x 1
xy HH
− x xy + y xy
=
( 99)
78
8,
+ + =
( )(1 1 ) 5
x y xy NT
x y x y
−
+ + =
( 99) ( 2 2
)(1 1 ) 49
2 2
9,
+ + + =
1 1 4
1 1 ( 99) 4
x y x y AN
x y x y
− 2 + 2
+ + = 2 2
10,
+ + = − 2 + + =
( 2)(2 ) 9( 2001) 4 6
x x x y AN x x y
11,
x + x + y + + x + y + x + y + + y = − x + x + y + − x + y + x + y + − = AN
y
1 1 18( 99)
1 1 2
2 2
2 2

6. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
6
12,
+ + = − 2 + + − =
x (3 x 2 y )( x 1) 12( x 2 y 4 x 8 0
BCVT 97) 13,
+ = − + =
6 ( 1 2000)
y xy 2 x 2
SP
x y x
1 5
2 2 2
14,
+ = − 2 + 2 3 + 3 =
x y HVQHQT x y x y 15,
4 ( 2001) ( )( ) 280
− = − − − = −
2 3 2( 2000)
2 3 2
x 2 x y 2
QG
y 2 y x
2
16,
= − − = −
x 2
3 x y ( MTCN
98)
17,
y 2
3
y x + =
2 1 3
x y x QG
y x y
−
+ =
1 3 ( 99) 2
18,
= + − = +
x 3
3 x 8 y ( QG
98)
19,
y 3
3 y 8
x + =
2 3
x y x TL
y x y
2
− +
=
3 ( 2001) 2
2
20,
+ + − = − + + − =
5 2 7( 1 2000)
5 2 7
x y NN
y x
21,
+ =
+ − =
y y x KhèiB x x y
3 2
2
2
2
2
2 ( 2003) 3
22,
− = − − − =
3 2 16 ( )
x 2
xy HH TPHCM
23,
x 2 3 xy 2 x 2
8
+ = − + = −
1 19 ( 2001)
x 3 y 3 x 3
TM
y xy 2 6
x
2
24,
− + = − − + =
2 3 9 ( )
x 2 xy y 2
HVNH TPHCM
25,
x xy y 2 2 13 15 2
0
− = − + =
2 ( ) 3 ( § 97)
( ) 10
y x 2 y 2
x M C
x x 2 y 2
y
Ñeà döï bò naêm 2007.
4 − 3 + 2 2
=
x x y x y 1
3 2
− + = −
x y x xy 1
;
2
3 2
2
3 2
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9
+ = +
− + + = +
− +
;
Bμi tËp THAM KHAÛO
1. gii các he phng trình:
a)
9 x 2 + 2 = 2 x + 4 = y
36
; b)
y
5
x 2 − 4 xy + y
2
= 1
; c)
y 2
− 3 xy
= 4
+ + = − − =
2 2 1
3
x xy y
x y xy
d)
x 2 + y
2 = 58
+ = ; e)
x y
10
x 2 + y
2 = 28
= ; g)
xy
4
x 2 + xy + y
2 = + + = 4
;' h)
x xy y
2
+ =
+ =
13
6
5
x y
y x
x y
l)
x 2 + y
2 = 164
− = ; m)
x y
2
+ + =
+ + + =
x 2 + x + y + y
2 = 8
; n) x + xy + y
= 5
2 2
11
(DHQG-2000)
x y xy
x y x y
3( ) 28

7. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
7
I)
x 2 − xy + 2 = + = − y
13
; K)
x y
2
x 2 − xy + y 2 − + + = 2( x + y
) = − 31
; u)
x xy y
11
+ − + = + − = −
2 2 2
x y x y
xy x y
1
v)
xy
= − 90
= ; w)
x y
9
x 2 + x − y + y
2 = − + + 4
− = ; p)
x ( x y 1) y ( y
1) 2
x 2 + xy + y 2 − + = xy − x + y
= − x y
6
;
3
1 + 1 + = 7
xy
Q)
x y
2
2( x + y ) =
3
xy
2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a)
2 x 2 − 3 x = y
2
− 2
− = − ( DHQGKB
− 2000)
; b)
2 y 2 3 y x
2
2
3 4
( 1997)
3 4
y
x y
x
DHQGKA
x
y x
y
− =
−
− =
c)
x 2 − 2 y 2
= 2
x + y
− ; d)
y 2 2 x 2
= 2
y +
x
2 x 2
+ xy = 3
x
+ = ;
2 y 2
xy 3
y
g) 2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
= −
= −
; h)
2
2
2
2
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
= −+
= − +
; l)
2 + + 2
=
+ + =
2 3 15
x xy y
x 2 xy y
2
2 8
m)
x 2 + 2 xy + 3 y
2
= 9
2 x 2 + 2 xy + ( DHSPTPHCMKA , B
− 2000)
; n)
y
2
= 2
2 x 2 − 4 xy + y
2
= − 1
.
3 x 2 + 2 xy + 2 y
2
= 7
3. gii các he phng trình sau:
a)
x 2 + 2 xy + y
2
= 17
; b)
3 x 2 + 2 xy + 2 y
2
= 11
3 x 2
− 2 xy
= 160
x 2 − 3 xy − ; c)
2 y
2
= 8
2 − − 2
=
− − =
6 x xy 2 y
56
5 x 2 xy y
2
49
d:
+ − = − − = −
2 2 5
x xy y
y 2 x
5 2
x y xy
2
; e)
x 2 + 2 xy − 3 y
2 = 0
x x + y y
= − ; g)
2
x 2
= 13 x + 4
y
= ;
y 2
13 y + 4
x
h)
1 + − 1
=
2 2
x y
1 + − 1
=
2 2
y x
+ = 4
+ + =
− ; i). ( 2 2 )( 3 3 )
( 2000)
280
x y
HVQHQT
x y x y
k)
+ + + + + = − + − + −
+ + + =
x 1 x 3 x 5 y 1 y 3 y 5
x y x 2 y 2
80

8. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
8
1)
x + y
=
+ =
xy
y x ;
x 10 y 10 8x 4 y
4
− + + = 3 2
− − +
+ = −
x 1 y 6 y 1
2) ;
3 2
y 1 x 6 x 1
x y
sin x
3) 6 ( 4
)
e
sin y
10 x 1 3 y 2
5
x; y
4
− =
+ = +
Bài 4. Gii he bât phng trình :
− + = + − +
+ +
2 3 ( 2 )( 3 )
6x . x 6x 5 x 2x 6 x 4
2 2
2
x 1
x x
Bài 5. Gii he phng trình : ( )( )
2 = + 2
+ − + + +
− =
y x 8 x 2
y 8 4x y 16 16x 5x 0
( )
2 2
Bài 6. Gii he phng trình:
+ = − +
2 2
x 21 y 1 y
y 21 x 1 x
+ = − +
2 2
Bài 7. Gii he phng trình:
+ + 1
=
− +
= 3x 1 2
x y
1
7y 1 2
x y
− = + −
+ + + +
he 2 2 4 4 6 2
( )
Bài 8. Gii 2x y x y y x 1 x
1 x y x 2y x 0
( ) 2 ( 3 2
)
BOÅ XUNG HEÄ PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN THÖÙC
Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau
a)
x 2 y 2
y 2 x 2
+ − =
+ − =
; b)
x 4
y 1 1
4
y x 1 1
+ + =
+ + =
; c)
x y 1 1
x y 2 2y 2
+ − =
− + = −
.
d)
x y 7
1
y x xy
x xy y y.x 78
+ = +
+ =
; e)
2
x 3 y 3
2 2
y 5 x x 5
+ + =
+ + = +
.
BAØI TAÄP HEÄ COÙ THAM SOÁ
Baøi 1: Tìm ñeå caùc heä phöông trình sau coù nghieäm
a)
x 1 3 y m
y 1 3 x m
+ + − = + + − =
; b)
1 1
x y 5
x y
1 1
3 3
x y 15m 10
3 3
x y
+ + + =
+ + + = −
.

9. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
9
c)
2 − + 2
=
x 4xy y m
2
− =
y 3xy 4
; d)
2 + + 2
=
3x 2xy y 11
2 2
+ + = +
x 2xy 3y 17 m
; e)
− + + =
x y x y m
2 2 2 2 2
+ + − =
x y x y m
.
g)
x 1 y 2 m
y 1 x 2 m
+ + − =
+ + − =
; h)
x 1 y 1 3
x y 1 y. x 1 y 1 x 1 m
+ + + =
+ + + + + + + =
Baøi 2: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát
+ =
2 2 x y 1
a) ;
x y m
− =
b)
+ = +
2 xy(x y) m m
x xy y 2m 1
+ + = +
; c)
+ 2
= − xy x m(y 1)
xy y 2
m(x 1)
+ = −
.
d)
2 = 3 − 2
+
y x 4x mx
2 3 2
= − +
x y 4y my
; e)
+ 2
= + (x 1) y m
(y 1) 2
x m
+ = +
; g)
− − =
2x y m 0
x + xy =
1
.
h)
x y xy 1
+ = + 2 2
x y 1 m( x y 1) 1
+ − − + − =
Baøi 3: Chöùng minh raèng vôùi moïi m 0 heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát.
2 − 2
− =
3x y 2y m 0
2 2
− − =
3y x 2x m 0
.

10. To¸n thpt.net HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè - v« tØ
10