1. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
4 5
Chöông 4:
GII HN
§1. GII HN CA DÃY SÔ
A. KIÊN THC CÂN NH
1. Gii hn 0
1.1. Dnh nghia : Dãy sô ( ) n u dc gi là có gii hn 0 , nêu e 0 nh tùy ý luôn luôn $N0 sao cho
n N0 ta dêu có : n u e . Kí hieu : lim( ) 0 n u = hoac lim 0 n u = hoac 0 n u ®
1.2. Nhan xét :
• lim 0 lim 0 n n u = Û u = .
• Nêu ( ) n u có 0 , * n u = nÎ thì lim lim0 0 n u = = .
• Cho hai dãy sô ( ) n u và ( ) n v . Nêu , * n n u £ v nÎ và lim 0 n v = thì lim 0 n u = .
• Các dãy sô có gii hn 0:
o lim 1 0
n®+¥ n
lim 1 0 , ( )
n k
= ; +
®+¥
k
= Î
n
lim n = 0 , 1
n
; ( )
®+¥
q q .
2. Dãy sô có gii hn hu hn
2.1. Dnh nghia : Dãy sô ( ) n u dc gi là có gii hn h
u hn là sô thc L , nêu lim( ) 0 n u − L = .
Kí hieu : lim( ) n u = L hoac lim n u = L hoac n u ®L
2.2. Các dnh lí cơ b
n vê gii hn c
2. a dãy sô :
• Dnh lí 1: Nêu C là hang sô thì limC = C .
• Dnh lí 2: Gi s lim n u = L . Khi dó :
o lim n u = L và lim 3 3 n u = L .
o Nêu 0 , * n u ³ nÎ thì L ³ 0 và lim n u = L .
• Dnh lí 3: Nêu lim n u = L và lim n v = M ; C là hang sô . Thì :
o lim( ) n n u ± v = L ±M ;
o lim( ) n n u ×v = L ×M ;
o lim( . ) n C u = C × L ;
u L
v M
o lim n
n
= nêu M ¹ 0 .
• Dnh lí 4: Cho ba dãy sô ( ) n u ; ( ) n v và (w ) n . Nêu w n n n v £ u £ vi mi n và
lim lim , ( ) n n v = w = L LÎ thì lim n u = L .
• Dnh lí 5: Nêu mot dãy sô tang và b chan trên thì nó có gii hn .
Nêu mot dãy sô gim và b chan di thì nó có gii hn .
2.3. Tong c
a câp sô nhân lùi vô hn
2 3 1
= + + + + =
−
1 1 1 1 1
u
S u u q u q u q
q
nêu ( q 1) .
3. Dãy sô có gii hn vô c
3. c
3.1. Dnh nghia :
• Dãy sô ( ) n u dc gi là có gii hn +¥ nêu M 0 ln tùy ý luôn luôn $N0 sao cho n N0 ta
dêu có : n u M . Kí hieu : lim( ) n u = +¥ hoac lim n u =+¥hoac n u ®+¥ .
• Dãy sô ( ) n u dc gi là có gii hn −¥ nêu M 0 nh tùy ý luôn luôn $N0 sao cho n N0 ta
dêu có : n u M . Kí hieu : lim( ) n u =−¥ hoac lim n u =−¥hoac n u ®−¥ .
3.2. Các quy tac tính gii hn vô cc :
4. 46
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
• Nêu lim = +¥ n u thì
lim 1 0
n u
= ;
u
v
• Nêu lim n u = L , lim n v = ± ¥thì lim n
n
= 0 ;
lim 0
• Nêu lim n u =+¥ ; lim 0 n v = L ¹ thì ( )
+¥
neáuL
u v
× = −¥
n n neáuL
0
;
lim 0
• Nêu lim n u =−¥ ; lim 0 n v = L ¹ thì ( )
−¥
× =+
neáuL
n n 0
¥
u v
neáuL
;
u
v
• Nêu lim 0 n u = L ¹ , lim 0 n v = thì lim n =
n
. 0
. 0
+¥ neáu L v
−¥ neáu L v
n
n
;
• lim n = +¥ ; lim ( ) nk k + = +¥ Î ; limqn = +¥ (q 1) .
B. CÁC D
NG TOÁN THƯNG GAP :
1. Tìm gii hn c
a dãy sô theo dnh nghia
1.1. Phương pháp : De chng minh dãy sô có gii 0 ta có the thc hien theo 2 cách sau :
• Cách 1 : Áp dng trc tiêp dnh nghia .
• Cách 2 : Áp dng dnh lí : Cho hai dãy sô ( ) n u và ( ) n v . Nêu , * n n u £ v nÎ và lim 0 n v = thì
lim 0 n u = .
• De tìm gii hn ca dãy sô theo dnh nghia ta da vào dnh nghia:
Dãy sô ( ) n u dc gi là có gii hn h
u hn là sô thc L , nêu : lim( ) 0 n u − L = .
1.2. Các ví d minh ha :
Ví d 1. Chng minh các dãy sô ( ) n u có gii hn 0 :
a)
n
( 1)
3 2
n u
−
n
=
+
sin 2
n n
; b) 3
; c)
2 n
u
n
=
+
3 sin 2 4
2 4.5
n n
n
n n n
u
+
=
+
; d) 3 2 3 1 n u = n + − n + .
Ví d 2. Áp dng dnh nghia , tìm các gii hn sau :
a)
− 3
+
3 lim
1
n
n
; b)
n 2
+ 3 n
+ 2
2
+
lim
2
n n
; c)
3.3 − sin3
n
lim
3
n
n
.
2 . Tìm gii hn hu hn c
a dãy sô theo dnh lí và công thc
2.1. Phương pháp :
• Da vào các dnh lí cơ bn vê gii hn h
u hn ca dãy sô và mot sô công thc vê gii hn ca mot sô dãy
sô cơ bn , ta se tìm dc hâu hêt các gii hn ca các dãy sô thông thng .
• Phơng pháp tìm gii hn ca các dãy sô thng gap :
o Dng 1: Nêu dãy sô ( ) n u có
P ( n
)
n
( ) u
= (trong dó P(n),Q(n) là các da thc ca n ) , thì chia t
Q n
và mau cho k n vi k n là luy th!a có sô mu cao nhât ca P(n) và Q(n) sau dó áp dng các dnh lí
vê gii hn h
u hn .
o Dng 2: Nêu dãy sô ( ) n u có n u là bieu thc cha n di dâu can , thì da k n ra ngoài dâu can (vi
k là sô cao nhât ca n trong dâu can) rôi áp dng các dnh lí , Nêu gap dng (vô dnh) k
n n ×u vi
lim 0 n u = , thì phi nhân và chia vi bieu thc liên hp ca bieu thc cha can tiên vê 0 . Cân chú ý
các hang dang thc :
( a − b )( a + b ) = a − b ; ( ± )( + ) = ±
3 3 3 2 3 3 2 a b a ab b a b
o Dng 3: Nêu dãy sô ( ) n u có n u là mot phân thc mà t và mau là các bieu thc ca các luy th!a
có dng n , n , ( ) a b nÎ trong dó a ,b,là các hang sô , thì chia c t và mau cho luy th!a có
cơ sô có tr tuyet dôi ln nhât trong các luy th!a % t và mau , rôi áp dng các dnh lí .
5. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
o Dng 4: Nêu dãy sô ( ) n u trong dó n u là mot tong hoac mot tích ca n sô hng (hoac n th!a sô) ,
4 7
thì phi rút gn n u rôi tìm lim n u theo dnh lí , hoac dùng nguyên lí k'p de suy ra lim n u .
o Dng 5: Nêu dãy sô ( ) n u trong dó n u dc cho b%i mot he thc truy hôi , thì ta tìm công th tong
quát ca n u rôi tìm lim n u theo dnh lí , hoac chng minh dãy sô có gii hn h
u hn sau dó da
vào he thc truy hôi de suy ra lim n u .
2.2. Các ví d minh ha :
Ví d 3. Tìm các gii hn sau :
a)
2
4 2
− + +
n n
n 2
n
lim
2 + +
1
; b) ( ) 2
3 1
+ −
2 2
lim 2 1
2 3 1
n
+ + −
n n n n
.
Ví d 4. Tìm các gii hn sau :
a)
9 2 2 3
lim
+ −
+
n n n
4 n
3
; b)
4 5
3 4 2
+ −
−
n n
4 n 5
n
lim
2 3
.
Ví d 5. Tìm các gii hn sau :
a) ( ) lim 4n2 + 2n − 2n ; b)
lim 3 2 n n 3 n
1
− + −
.
Ví d 6. Tìm các gii hn sau :
a)
2 3 6
4 2
lim 1
n + −
n
n n
1
+ −
; b) ( ) lim n2 + 2n + 3 − 3 n2 + n3 .
Ví d 7. Tìm các gii hn sau :
a)
3 2.5
n n
7 3.5
− ; b)
n
lim
+
2
2
lim1 2 2 ... 2
1 3 3 ... 3
n
n
+ + + +
+ + + +
.
Ví d 8. Tìm các gii hn sau :
a)
lim 1 1 ... 1
1.3 + 3.5 + + (2n − 1)( 2
n + 1)
; b)
lim 1 1 1 1 ... 1 1
− − −
2 2 2
2 3 n
.
Ví d 9. Tìm các gii hn sau :
a)
+ + +
+ + +
lim 1 1 1
2 2 2
4n 1 4n 2 4n n
; b)
1 3 5 7 2 1
( n
)
( n
)
× × × ×
× −
× × ×
×
lim
2 4 6 2
.
Ví d 10. Cho dãy sô (un) dc xác dnh b%i:
=
u
u u n
1
1
1 , ( 1)
n +
n 2 n
1
= + ³
a) Dat n n 1 n v u u + = − . Tính 1 2 n v + v + + v theo n ;
b) Tính n u theo n ;
c) Tìm lim n u .
Ví d 11. Cho dãy sô (un) biêt :
=
6
6 , 1 n n
u
u u n +
( )
1
= + ³ 1
. Tìm lim n u .
3 . Tong c
a mot câp sô nhân lùi vô hn
3.1. Phương pháp :
• Da theo công thc :
2 3 1
= + + + + =
−
1 1 1 1 1
u
S u u q u q u q
q
nêu ( q 1) .
• De bieu dien mot sô thap phân vô hn tuân hoàn thành phân sô , ta bieu dien sô dó thành tong ca mot
câp sô nhân lùi vô hn và suy ra kêt qu .
3.2. Các ví d minh ha :
6. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
Ví d 12. Tính các tong sau :
48
1 1 1
3 3 3n S = + + + + ; b) S =16 −8 + 4 − 2 +
a) 2
Ví d 13. Hãy bieu dien các sô thap phân vô hn tuân hoàn sau di dng phân sô:
a) a = 0,353535 ; b) b = 5, 231231 .
4 . Gii hn vô c
7. c c
a dãy sô
4.1. Phương pháp :
• Da theo các quy tac de tìm gii hn vô cc ca các dãy sô :
lim 0
o Nêu lim n u =+¥ ; lim 0 n v = L ¹ thì ( )
+¥
neáuL
u v
× = −¥
n n neáuL
0
;
lim 0
o Nêu lim n u =−¥ ; lim 0 n v = L ¹ thì ( )
−¥
× =+
neáuL
n n 0
¥
u v
neáuL
;
u
v
o Nêu lim 0 n u = L ¹ , lim 0 n v = thì lim n =
n
. 0
. 0
+¥ neáu L v
−¥ neáu L v
n
n
.
• Chú ý :
o lim n = +¥ ; limnk (k ) + = +¥ Î ; limqn = +¥ (q 1) .
4.2. Các ví d minh ha :
Ví d 14. Tìm các gii hn sau :
a)
2
5 4
+ − −
n n
n n n
lim 3 2
4 + 6 +
9
; b)
3 6 7 3 5 8
lim
− − − +
n n n
12
n
+
.
Ví d 15. Tìm các gii hn sau :
a) lim( 2n + 3 − n +1) ; b)
( 2
+ 1 )( 2 +
3
) 4 2
lim
1
n n
− +
n n
.
Ví d 16. Tìm các gii hn sau :
( 3) 6
lim
n n
− +
− +
a) 1 1
( 3) 5
n+ n+
; b) 3 1
3
lim n 2sin2 n
3
+ +
.
Khi tính các gii hn dng phân thc, ta chú ý mot sô trưng hp sau dây :
• Nêu bac ca t nh hơn bac ca mau thì kêt qu ca gii hn dó bang 0.
• Nêu bac ca t! bang bac ca mau thì kêt qu ca gii hn dó bang t+ sô các he sô ca luy th!a cao nhât
ca t và ca mau.
• Nêu bac ca t ln hơn bac ca mau thì kêt qu ca gii hn dó là +¥ nêu he sô cao nhât ca t và mau
cùng dâu và kêt qu là –¥ nêu he sô cao nhât ca t và mau trái dâu.
C. BÀI TAP ÁP DNG
Bài 1. Tìm các gii hn sau theo dnh nghia :
a)
lim sin n
n
; b)
lim 3sin 4 cos
n −
n
n
2
+
2 1
;
c)
( )
−
+
+
2
1
lim 2
n
n
; d)
lim
( − 1) n sin(3 n +
n
2 ) 3 n
−
1
;
sin 3
e)
−1
4
lim
n
n ; f)
2 3 2
lim 3sin ( 2)
n + +
n
2
2 3
n
−
.
Bài 2. Tìm các gii hn sau :
a)
3 2
2 4 3 3
− + +
n n
n n n
5 7
lim 3
− +
; b)
4
n
2 lim
( n + 1)( 2 + n )( n +
1)
;
8. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Naêm: 2010 - 2011
2 2
2 − 3 4 +
7
n n
n n
1 5
2
2 3 6
4 2
lim 1
n n
n n
1
+
n n
n − n − + n + n −
lim n − 4 n − 4 n
+
1
n
n n
+ −
lim1 2.3 6
n n
− +
1 2 ...
+ + + n ; b)
1 3 ... 2 1
1
1
1
+ + + + ; d)
9. 1 1 1
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) n u
2 4 6 8 2
n
TTLT – 1A – Tan Hai
4 9
c)
( ) ( )
( ) 2 ( 2
)
lim
3 − 4 5 +
1
; d)
2 2
2 1
( n − 1 ) ( 7 n
+
2
)
( )4
lim
+
n
;
e)
+
−
+
+ 5 1
2 3
lim
2
2
3
n
n
n
n
; f)
5 3
3 7 11
− + −
n n
3
lim 5 4
+ −
n n n
Bài 3. Tìm các gii hn sau :
a)
+ +
+ +
; b)
2 1
+ +
n n
lim ;
+ −
4 3
n n n
c)
2
lim
3 3
+
n
; d)
4
2 n 3 n
2
lim 2
+ −
2 n − n
+
3
;
e) ( ) ( )
5
5
2
5
2 1 1
lim
n
; f)
+ +
n n n
2 1
lim
3 4
+
n
.
Bài 4. Tìm các gii hn sau :
a) lim( 3n −1 − 2n −1) ; b) lim
n 2 n n
2 2
+ − +
;
c)
2 2
2
3 1
n + −
n
; d)
lim 3 2 n n 3 n
1
− + −
;
e) ( ) lim 3 1 3 n + − n ; f) ( ) lim 2 2 3 3 2 3 n + n + − n + n .
Bài 5. Tìm các gii hn sau :
a)
lim 1 3
4 3
n
+
+
; b)
lim
4.3 n 7 n
1 + +
+
2.5 7
n n
;
c)
lim1 2.3 7
5 2.7
n n
+
; d)
3 2.5
n n
7 3.5
n
lim
−
+
;
e)
1
2 n (3 n+
−
5)
; f)
2
2 2 2
1 ...
+ + + +
3 3 3
2
lim
1 1 1
1 ...
5 5 5
n
n
+ + + +
.
Bài 6. Tìm các gii hn sau :
a)
2
lim
n
. 1 + 3 + ... + (2 −
1)
n n
2
lim
2 n + n
+
1
;
c) ( )2 2 2
3
lim
n
n
+
+ + +
2 (2 2)
...
4.6
2.4
lim
n n
;
e) Cho = + +
+
n n n n
+ + + + +
.
Tìm lim n u .
f)
( )
( )
× × × ×
×
× × ×
× +
lim
3 5 7 2 n
1
; g)
3sin 4 cos
+
n
n n .
2 1
lim
+
Bài 7. Cho dãy sô (un) dc xác dnh b%i:
0; 1
u 1 = u
2
=
u = u + u n
³
2 , ( 1) n n n
2 1
+ +
1 1
a) Chng minh rang: + 1 − +
n 2 n u u , n ³ 1.
b) Dat
2
3 n n v = u − . Tính n v theo n . T! dó tìm lim n u .
10. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
Bài 8. Tìm lim n u biêt :
50
a)
( )
= 1
*
= Î 1
3
1
2
n
n
u
u
+
u n +
; b) ( )
=
+
= ³
+
( )
1
1
1
: 2 3
, 1
2
n n
n
n
u
u u
u n
u +
.
Bài 9. Tính các tong sau :
a)
1 1
S = 5 − 5 + 1
− + + ; b)
5 5
2 3 3 3 3
4 4 4
S
= + + +
.
Bài 10. Tìm công boi ca mot câp sô nhân lùi vô hn . Biêt tong ca nó là 64 và 3 u = 6 .
Bài 11.Cho câp sô nhân ( ) n u lùi vô hn có tong là 12 , hieu sô hng dâu và sô hàng th hai là
3
4
và sô hng dâu
tiên là sô dơng . Tìm sô hng dâu tiên và công boi ca câp sô nhân dó .
Bài 12.Bieu dien di dng phân sô , các sô thap phân vô hn tuân hoàn sau :
a) x = 0,467467467 b) y = −3, 123412341234
Bài 13.Tìm các gii hn sau :
a)
4 2
3 2
lim 2 3
n n
n n
+ −
− +
3 2 1
; b) lim(3 3 7 11) n − n + ;
c) lim3 1 + 2n − n3 ; d)
1
2 1
lim
n + − n +
;
e) lim( n2 − n + 3 + n) ; f)
4 n + 1 lim
+
8 n
+ 2 5 6
n n
+
;
g) ( ) limn 3 n3 − 3n2 − 3n ; h)
4 + 1 4 6 + 2
−
lim n n
n n
;
i) ( ) lim n2 − 2cos3n + 2 ; k)
2
2 3
2
lim
+
3 4
n
+ +
n n
.
11. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim 0
x x
lim
x x
lim
x x
lim = +¥
x
lim = +¥
x
lim = −¥
x
lim =
x
lim ()
x ®
x
x
®±¥
lim ( ) ()
x x
x
lim ( ). ( ) .
x x
x
lim
®
®±¥
()
lim ()
x ®
x
x
®±¥
lim ()
x x
x
TTLT – 1A – Tan Hai
5 1
§2. GII HN CA HÀM SÔ
A. KIÊN THC CÂN NH
1. Gii hn c
a hàm sô ti mot diem
1.1. Gii hn hu hn : Cho ( ) 0 x Î a ; b , f ( x) là hàm sô xác dnh trên tap hp: ( ) { } 0 D = a ; b x , nêu vi
mi dãy sô ( ) n x vi ( ) { } 0 ; n x Î a b x sao cho 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x = L , thì lúc dó ta nói
hàm sô f ( x) có gii hn là L khi dân dên x0 và dc kí hieu : ( )
lim
x x
0
f x L
®
= .
• Chú ý :
0
x x
®
= ;
lim
x ®
x
=
0
C C , (C : hang sô).
1.2. Gii hn vô cc : Cho ( ) 0 x Î a ; b , f ( x) là hàm sô xác dnh trên tap hp: ( ) { } 0 D = a ; b x ,
• Nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi ( ) { } 0 ; n x Î a b x sao cho 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x =+¥ thì ta
nói ( )
®
= +¥
0
f x .
• Nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi ( ) { } 0 ; n x Î a b x sao cho 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x =−¥ thì ta
nói ( )
®
=−¥
0
f x .
2. Gii hn c
a hàm sô ti vô c
12. c
2.1. Các dnh nghia :
• Cho f ( x) là hàm sô xác dnh trên (a ; +¥) , nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi ( ; ) n x Î a +¥ và
lim =
x
lim n x = +¥ , ta dêu có : lim ( ) n f x = L thì ta nói ( )
®+¥
f x L .
• Các gii hn : ( )
®+¥
lim = −¥
x
f x ; ( )
®+¥
lim =
x
f x ; ( )
®−¥
f x L ;
( )
®−¥
f x ; ( )
®−¥
f x dc dnh nghia hoàn toàn tơng t .
2.2. Các gii hn dac biet :
• lim k
x
x
®+¥
= +¥ ; lim k
x
neáu k chaün
x
+¥
=
−¥
®−¥ neáu k leû
•
®±¥
C C , (C là hang sô) ;
lim = 0
x ®±¥
k
C
x
.
3. Mot sô dnh lí vê gii hn
3.1. Dnh lí 1 : Nêu
( )
=
0
f x L và
lim ()
x ®
x
x
®±¥
( )
=
0
g x M thì :
•
( )
[ ]
®
®±¥
+ = +
0
f x g x L M ;
lim ( ) ()
x x
x
( )
[ ]
®
®±¥
− = −
0
f x g x L M
•
( )
[ ]
®
®±¥
=
0
f x g x L M ;
lim . ()
x x
x
( )
[ ]
®
®±¥
= ×
0
C f x C L ;
lim . k = ×
k
0 x ®
x
0
C x C x , (C là hang sô , k + Î ).
•
( )
=
0
()
x x
x
f x L
g x M
(nêu M ¹ 0) .
3.2. Dnh lí 2 : Gi s
( )
=
0
f x L
•
®
( ®±¥
)
=
0
f x L ;
lim 3 ( ) 3
x ®
x
x
®±¥
( )
=
0
f x L ;
13. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim ()
x x
lim
x x
lim lim lim
x x x x x x
= Û = =
f x L f x f x L
® ® + ® −
lim lim lim
x x x x x x
= +¥Û = = +¥
f x f x f x
® ® + ® −
lim lim lim
x x x x x x
=−¥Û = =−¥ .
f x f x f x
® ® + ® −
lim ()
x x
lim ()
x x
lim ()
x x
TTLT – 1A – Tan Hai
52
• Nêu ( ) ( ) { } ( ) 0 0 0 f x ³ 0 ,xÎ x −e ; x +e x , e 0 và
lim ()
x x
0
f x L
®
= thì L ³ 0 và
0
f x L
®
= .
3.3. Dnh lí 3 : Cho 3 hàm sô f ( x) , g ( x) , h( x) xác dnh trên tap : ( ) { } ( ) 0 0 0 D = x −e ; x +e x , e 0
Nêu g ( x) £ f ( x)£ h( x) , xÎD và
lim ( ) lim ()
x x x x
g x = h x =
L thì :
® ®
0 0
lim ()
x ®
x
=
0
f x L .
• T! dó ta chng minh dc :
sin sin lim 1 lim 1 khi lim 0
x x x x x
( )
( )
( )
x u x
= = =
0 0 0
® ® ®
u x
x u x
.
4. Gii hn mot bên
4.1. Các dnh nghia :
• Gii hn bên ph
i : Gi s f ( x) là hàm sô xác dnh trên khong( ) 0 x ; b , nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi
n 0 x x và 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x = L , thì lúc dó ta nói hàm sô f ( x) có gii hn bên phi
là sô thc L khi dân dên x0 và dc kí hieu : ( )
lim
x x
0
f x L
+ ®
= .
• Gii hn bên trái : Gi s f ( x) là hàm sô xác dnh trên khong( ) 0 a ; x , nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi
n 0 x x và 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x = L , thì lúc dó ta nói hàm sô f ( x) có gii hn bên trái là
sô thc L khi dân dên x0 và dc kí hieu : ( )
lim
x x
0
f x L
− ®
= .
• Gii hn vô cc : Gi s f ( x) là hàm sô xác dnh trên khong ( ) 0 x ; b , nêu vi mi dãy sô ( ) n x vi
n 0 x x và 0 lim n x = x , ta dêu có : lim ( ) n f x = +¥ , thì lúc dó ta nói hàm sô f ( x) có gii hn bên
phi là vô cc khi dân dên x0 và dc kí hieu : ( )
lim
x x
0
f x
+ ®
=+¥.
Các dnh nghia : ( )
0
f x
+ ®
lim
x x
=−¥, ( )
0
f x
− ®
lim
x x
= +¥ , ( )
0
f x
− ®
=−¥dc phát bieu tơng t trên .
4.2. Dnh lí : ( ) ( ) ( )
0 0 0
( ) ( ) ( )
0 0 0
( ) ( ) ( )
0 0 0
5. Các quy tac tìm gii hn vô c
14. c :
• Nêu
®
=+¥
0
f x thì
lim 1 0
x x f x
® ( )
=
0
;
• Nêu
0
f x L
®
= ¹ 0 và
lim ()
x ®
x
=±¥
0
lim ()
neáu L vaø gx
cuøngdaáu
x x
neáu vaø traùi daáu
gx thì: ®
®
®
+¥
× =
−¥
0
0
0
lim ( ) ()
lim ()
x x
x x
f x g x
L gx
;
• Nêu
0
f x L
®
= ¹ 0 và
lim ( ) =
0
x ®
x
0
gx thì:
lim f ( x ) + ¥ neáu
L . g ( x
)
0
x ®
x g ( =x ) neáu
L . g ( x
−
) 0
0 ¥
.
B. CÁC D
NG TOÁN THƯNG GAP :
1 . Tìm gii hn c
a hàm sô
1.1. Phương pháp :
• Da theo các dnh nghia vê gii hn ca hàm sô ( gii hn h
u hn , gii hn vô cc …) .
• Da vào các dnh lí vê gii hn h
u hn ca hàm sô , các quy tac tìm gii hn vô cc …
• Chú ý :
De chng minh mot hàm sô không có gii hn khi x® x0 (hoac x®±¥ ) , ta chn hai dãy sô ( ) , ( ') n n x x
cùng thuoc tap xác dnh ca hàm sô sao cho 0 0 , ' n n x ¹ x x ¹ x và ( ) ( ) 0 lim lim ' n n x = x = x rôi chng
minh lim ( ) lim ( ') n n f x ¹ f x , hoac chng minh mot trong hai gii hn trên không tôn ti .
15. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim 3 4
x 1
lim sin 3
x x 1
lim 3 2 1
x
x
− +
x x
1
lim
x 4
x
−
+
lim 1 3 2
x 1
x x
( ) 1
lim
x
lim 15
x 2
Ví d 10. Tìm các gii hn sau :
lim 3 1
x 2
lim ( ) 0 ; lim ( ) 0
x x x x
x x
f x = g x =
thì
® 0 ®
0
®±¥ ®±¥
TTLT – 1A – Tan Hai
5 3
1.2. Các ví d minh ha :
Ví d 1. Dùng dnh nghia tìm các gii hn sau :
a)
®−
− −
+
2
1
x x
x
; b)
lim −
4
x 1
2
1 2
®
( −
) x
x
;
c)
®−¥
− +
lim 9 2 2
x
lim 2 sin
x 4
x x ; d) ( )
®
−
−
2 2
x
x
x
.
Ví d 2. Chng minh các gii hn sau không tôn ti :
a)
®−1 +
lim cos 2 +1
x
; b) ( )
®−¥
x
Ví d 3. Tìm các gii hn sau :
a) ( − +
) ®−
2
1
x x ; b)
( x x )( x
)
lim
x ®
3
3 1
− +
+
3
2 2
x
.
Ví d 4. Tìm các gii hn sau :
a)
6
lim 3
2
®3 x − x −
x
lim
; b) 3
4
2 x 3 x
2
2
+ +
2 − +
2
®− x x
x
.
Ví d 5. Tìm các gii hn sau :
a)
2
2 2
3 2
lim
x ® x
−
4
; b)
3
3 1
− +
x x
2 3
lim
x 2
−
®−¥ x x
.
Ví d 6. Tìm các gii hn sau :
a) x
3 2
®+¥ x x
; b)
3 1
x
x x ®−¥
lim
x 9 2
2 1
−
+ −
.
Ví d 7. Tìm các gii hn sau :
a)
+ ®
− + −
−
2
1
x x
x
; b)
lim − 4 +
3
x ®
−
3
2
3
x x
x
.
Ví d 8. Cho hàm sô :
2
− +
3 2 khi
1
2
− =
khi
− £
1
2
x
f x x
x
x
. Tìm các gii hn sau :
a) ( ) − ®1
lim
x
lim
x
f x ; c) ( )
f x ; b) ( ) + ®1
®1
f x , (nêu có) .
Ví d 9. Tìm các gii hn sau :
a)
2
x
+ x ®
−
−
; b)
lim 1 + 3 −
2
x ®
− −
3
2
3
x x
x
.
( )+
a)
® −
− +
+
2
2
x x
x
; b)
2 1 3 2
( )( )
®+¥
x x x
− + −
− +
lim
x 4 2
x x
.
2. Các dng vô dnh
2.1. Dng
0
0
: Nêu
( ) ( )
lim ( )
x x
x
® 0
( )
®±¥
( )
f x
g x
dc gi là có dng vô dnh
0
0
. De
tính dc các gii hn dng này ta phi kh dng vô dnh , có mot sô loi thng gap và cách kh dng vô
dnh ca chúng nh sau :
• Nêu bieu thc di dâu gii hn có dng :
( )
( )
P x
Q x
trong dó P( x) , Q( x) là hai da thc ca x .
16. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim ( ) ; lim ()
x x x x
x x
f x = ±¥ g x = ±¥
thì
® 0 ®
0
®±¥ ®±¥
lim ( ) ; lim ()
x x x x
x x
f x = +¥ gx = +¥
thì
® 0 ®
0
®±¥ ®±¥
3 10
2
+ −
x x
lim 2
lim
lim 4 x
1 3
x 4
1
3
+
3 1
+ +
x x
lim
x 2 − 6 −
6
− −
−
TTLT – 1A – Tan Hai
54
De kh dng vô dnh ta biên doi
( )
( )
m
( − ) ×
( )
( ) ( )
P x x x 0 P 1
x
Q x n
x x Q x
0 1
=
− ×
rôi gin c các th!a sô có dng
( ) ( ) 0 ; max , k
x − x k = m n .
• Nêu bieu thc di dâu gii hn có cha dâu can : ta nhân và chia vi bieu thc liên hp ca bieu thc
cha can tiên vê 0, rôi làm tơng t nh dng trên ta se kh dc dng vô dnh .
2.2. Dng
¥
¥
:
Nêu
( ) ( )
lim ( )
x ®
x ( )
0
x
®±¥
( )
f x
gx
dc gi là có dng vô dnh
¥
¥
.
Chia t và mau cho k x vi k x là luy th!a có sô mu ln nhât ca t và mau , (hoac rút k x làm nhân t ) sau
dó áp dng các dnh lí vê gii hn h
u hn hoac các quy tac vê gii hn vô cc .
2.3. Dng 0×¥;¥−¥ : Nêu
lim ( ) 0 ; lim ()
x x x x
x x
f x = gx =±¥
thì
® 0 ®
0
®±¥ ®±¥
( ) ( )
lim ( ). ()
x ®
x
x
®±¥
( )
17. 0
f x gx dc gi là có
dng vô dnh 0×¥.
Nêu
( ) ( )
lim ( ) ()
x ®
x
x
®±¥
( )
−
18. 0
f x gx dc gi là có dng vô dnh
¥−¥. Khi gap hai dng này thì ta tìm các da vê mot trong hai dng dâu .
2.4. Chú ý :
De tìm gii hn ca hàm khi x® x0 (hoac x®±¥ ) , thì trc hêt ta phi xét xem có gap phi dng vô
dnh hay không ? Nêu không gap phi dng vô dnh thì ta có ngay kêt qu . Nêu gap phi dng vô dnh thì
van dng các phơng pháp nêu trên de kh dng vô dnh .
2.5. Các ví d minh ha :
Ví d 11. Tìm các gii hn sau :
a)
3 5 2
2 − −
® x x
x
; b)
3 2
3 9 2
+ − −
x x x
6
lim 3
2 − −
® x x
x
.
Ví d 12. Tìm các gii hn sau :
a)
®
+ + + −
−
2
1
1
n
x
x x x n
x
− + −
n nx xn
; b) 1 ( 1) 2
1
lim
−
® x
x
.
Ví d 13. Tìm các gii hn sau :
a)
2 2
® x
+ −
−
; b)
lim x
+ 2 −
2
x ® 2
x
+ 7 −
3
.
Ví d 14. Tìm các gii hn sau :
a)
x
x
x
1 4 1
lim
3
0
+ −
®
; b)
3 3 2
3 x − 2 − 4 x − x
−
2
3 2
lim 2
1 − +
® x x
x
.
Ví d 15. Tìm các gii hn sau :
a)
3 2
lim
2
1 + −
®− x
x
x
; b)
3 3 2
5 − x − x
+
7
1
lim 2
1 −
® x
x
.
Ví d 16. Tìm các gii hn sau :
a)
3
2 3
®+¥ x x
; b)
20 30
2 3 3 2
( x − ) ( x
+
)
( )
50
lim
x ®−¥
2 x +
1
.
Ví d 17. Tìm các gii hn sau :
a)
2
2
lim (2 x 1) x
3
x ®−¥ x 5
x
; b)
2
lim 4 2 1 2
x 9 3 2
x − x + + −
x
2
®±¥
x − x +
x
19. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim 1 1
x x 3x 2 x 5x 6
−
− + − + 2 2 2
lim ( 2)
x 4
lim sin 1
x
lim 1
x sin
lim sin sin 0
x x
lim cot cot 0 , 0
x x
−
x x
limtan 2 . tan
3 2
+ −
x x
lim 2 3 2
x
TTLT – 1A – Tan Hai
5 5
Ví d 18. Tìm các gii hn sau :
a)
+ ®
; b) lim 2 1 4 2 4 3
x
x x x
®+¥
− − − −
.
Ví d 19. Tìm các gii hn sau :
a)
lim 3 x 2 1 x
3 1
x
®+¥
+ − −
; b) lim (3 3 3 1 2 2 )
x
x x
®−¥
− + + .
Ví d 20. Tìm các gii hn sau :
a)
+ ®
−
−
2 2
x
x
x
; b)
lim
1 8 x 2 + x
−
3 x ®+¥
4 x − 2 x
+
4
.
3. Gii hn hàm lưng giác
3.1. Phương pháp : Dùng các công thc lng giác biên doi gii hn dã cho thành tích và c lc các th!a sô
tiên ti 0 de kh dng vô dnh
0
0
hoac thành dng có the áp dng dc các công thc sau :
•
®
=
0
x
x
hoac
u ( x
)
( )
lim = 1 khi
lim ( )
=
0
x x x x
sin
® ®
0 0
u x
u x
3.2. Chú ý : Ta có the chng minh dc :
•
®
=
0
x
x
;
lim tan x lim x
= =
1
x ® 0 x x ®
0
tan
x
.
•
®
=
0
x x ;
lim cos =
cos 0
x ®
x
0
x x ;
p
x x x k
p
lim tan tan 0 , 0
x ®
x 2
= ¹ +
0
( p )
®
= ¹
0
x x x k .
3.3. Các ví d minh ha :
Ví d 21. Tìm các gii hn sau :
a)
x
x
x
sin 5
li®
0
m; b)
1 cos
lim
0 2
x
x
x
−
®
.
Ví d 22. Tìm các gii hn sau :
a)
0
cos5 cos3
lim
x .si2n
® x x
1 −
cos .cos2 .cos3
; b) lim
0 2
x
x x x
® x
.
Ví d 23. Tìm các gii hn sau :
a)
−
®
x x
x 4
4
p
p
; b)
x
x
4
sin
lim
x 1 2 sin
4
−
−
®
p
p
.
Ví d 24. Tìm các gii hn sau :
a)
tan( 1)
lim1
−
® x
x
; b)
2 x 1 x
1
x
lim
x sin
3 2
0
+ − +
®
.
C. BÀI TAP
Bài 1. Dùng dnh nghia tìm các gii hn sau :
a) ( − +
) ®−
2
1
x x ; b)
lim x − 3 x
−
4
x x
3
®
( −
) 2
3 2
;
c)
®+¥
+ − +
lim 2 1 9 2 2
x
x
lim 1 cos
x 1
x x x ; d) ( )
®
−
−
x
1 2
x
.
Bài 2. Chng minh các dãy sô sau không có gii hn:
20. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim cos 3 +1
x
lim 1
x 1
+ + +
lim − 2 +
3
x +
1
x
−
2 15
+ −
x x
3 2
3 2
+ +
x x x
lim x
1
lim 1 + −
1
x
lim x
4 2
x x
9 3
lim 1 + 4 . 1 + 6 −
1
x
2 2 2
lim x 3 2 x 4 x 19 3 x
46
x 1
x
lim
®0 3 x + −
lim + −
®
a x a
x n
x x
3 2
3 x − 2 − 4 x − x
−
2
3 4 x − 24 + x + 2 − 8 2 x
−
3
lim
x 4
−
TTLT – 1A – Tan Hai
56
a) ( )
®+¥
x ; b)
lim sin x
+
2
x ®
1 x
−
1
;
c) ( ) ( )
2
+ − ³
=+
( )
x x x
® 2
( )
khi
2 1 1
lim
f x f x
x 3 x 5 x
1
.
Bài 3. Tìm các gii hn sau :
a)
2 3
0
x x x
® +
x
; b)
lim x
−
1
x 4
®− 1 x + x
−
3
c)
2
1
x x
® x
; d)
3 2
2
lim 3 x − 4 − 3 x
−
2
x ® x
+
1
e)
2
sin
lim 4
p
x x
®
p
; f) ( ) ®
lim +
1 cos3
x
2
0
x x .
Bài 4. Tìm các gii hn sau :
a)
5
lim
2
5 +
®− x
x
; b)
5 6
− +
x x
12 20
lim 2
2
4 − +
®− x x
x
;
c)
6
lim 2
2 − −
®− x x
x
; d)
1
−
2 3
lim 2
4
x
1 + −
® x x
x
;
e)
1
1
m
x n
® x
−
−
1
− − − −
x a na x a n n n
; f) 2
( )
( )
lim
x a −
x a
®
.
Bài 5. Tìm các gii hn sau :
a)
2
0
x
® x
; b)
( )
x x x
x
x
− + − +
®
1 2 1
lim
2
0
;
c)
®
+ −
+ −
2
0 2
; d)
3 58
− +
x x
2
lim
3
2 −
® x
x
;
e)
0
x x
® x
; f)
lim 9 16 7
x
0
x x
+ + + −
® x
;
g)
®
+ + + + − +
−
1 2
x
.
Bài 6. Tìm các gii hn sau :
a)
1 1
x
; b)
lim −
1
x ®
4 + 4 −
2
3
1 3
x
x
;
c)
x
x
3 3
0
; d)
1
1
lim
3
4
−
x
1 −
® x
x
;
e)
x
x
1 1
lim0
+ −
®
; f)
0
1 2 1
lim
+ −
+ −
1 3 1
n
x m
x
® x
.
Bài 7. Tìm các gii hn sau :
a)
x
x
3
0
2 1 8
lim
− − −
®
; b)
3
lim 2 1 8
x
0
x x
+ − −
® x
;
c)
3 2
lim 2
1 − +
® x x
x
; d)
3
2 2
lim 8 x + 11 − x
+
7
x ® 2 x − 5 x
+
2
;
e)
3 3
1 2
® x
.
21. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim 1 + 3 −
2
x 3
lim 2
−
x 2 − 5 +
2
3 x − 6 + x − 4 x
+
4
− x
= − =
− ³
f x khi x taïi x x
x
f x x taïi x
1
(2 x 2 3) , x
1
5
6 5 , 1 3
f x x x
−
= − −
− + £
f x x x
x − x + x
=
+ £
+
− +
− −
−
lim 4 2 1 2
x 9 3 2
x − x + + −
x
lim 2 2 1 ; f) ( x x x x x)
TTLT – 1A – Tan Hai
5 7
Bài 8. Tìm các gii hn sau :
a)
2
3
x x
+ x ®
−
; b)
2
lim x
−
4
x ®
2
+ x −
2
;
c)
2 2
x
x x + ®
; d)
lim 2
−
x
x ®
2 − 2 x 2
− 5 x +
2
;
e)
2
lim
2
2 −
® x
x
; f)
2
lim
x
0 4 2 3
x + ®
x x
.
Bài 9. Tìm gii hn ca các hàm sô sau , ti các diem dã ch+ ra :
a)
9 2 ( ) 3 3 3
1 x khix
3
;
b)
3
1 1 khi x
0
( ) 1 1 0
3 0
2
khix
+ −
+ − = =
£
;
c) ( )
( )
( )
( )
3 , 3
x x
+ £
= −
− ³
1
. Tìm lif ( x
) x®
m; lif ( x
) x®
3
m;
d) ( ) 3
2 2
khi
khi
1 3
1
1 1
x
2 1 1
m x mx x
, ti 0 x =1 ;
e) Cho
2 5 6 ; 2
( )
4 ; 2
f x
mx x
. Tìm m de f ( x) có gii hn ti x = 2 .
Bài 10. Tìm các gii hn sau :
a)
2
2
lim x
1
x ®+¥ 2 x x
1
; b)
lim 2 +
1
x ®−¥
3 2
2
x
3 2
x x
− +
;
c)
2
2
lim (2 x 1) x
3
x ®−¥ x 5
x
; d)
x 2 lim
− 5 x
+
2 x ®−¥ 2 x
+
1
;
e)
2
2
lim x + 2 x +
3
x
x ®+¥
4 x + 1 − x +
2
; f)
lim x x
+
1
x x 2
®+¥ + x
+
1
g)
2
2
®±¥
x − x +
x ; h)
2
lim x + 2 x + 3 + 4 x
+
1
x ®±¥
4 x 2
+ 1 + 2
−
x .
Bài 11. Tìm các gii hn sau :
a) lim ( 2 1 2 2) + − −
®+¥
x x x
x
; b)
lim 3 3 3 3 ;
+ + −
®+¥
x x x x
x
c) ( ) lim 3 3 6 2
x
x x x
®±¥
+ − ; d) ( ) lim 3 3 3 1 2 2
x
x x
®−¥
− + + ;
e) ( x x x )
x
+ − − +
®+¥
lim 2 2 2 2 ;
x
+ − + +
®+¥
g) ( ) lim 2 4 2 3 33 3 7 2 3
x
x x x x x
®+¥
− + − − + .
22. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
Bài 12. Tìm các gii hn sau :
tan 2
lim0
−
x a
x a −
1 cos
− ; f) 0 2
sin +
cos
x x
lim
1 tan 1 sin
lim
x x
+ − +
−
x x
TTLT – 1A – Tan Hai
58
a)
x
x
x ®
3
sin 5 .sin 3 .sin
lim
x x x
; b) 0 45 x
3
x®
;
c)
x a
®
sin sin
lim ; d)
1 cos
x x
x
lim
x sin
3
0
−
®
;
e) lim
0 2
x
ax
® x
1 cos .cos2 . .cos
lim
x
− x x nx
;
® x
g) ( )
2
tan 1 lim1
x
x
x
p
−
®
; h)
x
x
x® 1 −
2
cos
lim1
p
;
i)
x
x 4
4
+
®− p p
; k)
( x
)
x
sin
lim 6
x 1 2sin
6
−
−
®
p
p
;
l)
0 3
x
x
+ − +
®
; m)
2
cos 3 1 sin 3
lim
x x
1 sin x
p x
®
+ −
−
;
n)
2 3 2
0
2 1 4 1
lim
x 1 cos
® x
; o) 3sin 2cos
+
+ +
x x
lim
x 1
®+¥ x x
.
23. Ñaïi soá lôùp 11
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
lim ( ) ()
lim ( ) ()
= x a
=
x b
lim ()
x x
lim ()
x x
x
3 ( ) 1 1 , 1
f x x x x
TTLT – 1A – Tan Hai
5 9
§3. HÀM SÔ LIÊN TC
A. KIÊN THC CÂN NH
1. Các khái niem vê hàm sô liên tc
1.1. Hàm sô liên tc ti mot diem : Hàm sô y = f ( x) liên tc ti x0 khi và ch+ khi
lim ( ) ( 0 )
x x
0
f x f x
®
= .
1.2. Hàm sô liên tc trên mot kho
ng : Hàm sô y = f ( x) liên tc trên khong (a ; b) khi nó liên tc ti
mi diem thuoc khong dó.
1.3. Hàm sô liên tc trên mot don [a ; b]: Hàm sô y = f ( x) liên tc trên [a ; b] khi nó liên tc trên
khong (a ; b) và +
−
®
®
f x f a
f x f b
.
2. Các tính chât c
a hàm sô liên tc
2.1. Dnh lí 1 :
• Hàm sô da thc liên tc trên .
• Hàm sô phân thc, các hàm sô lng giác liên tc trên t!ng khong xác dnh ca chúng.
2.2. Dnh lí 2 : Gi s y = f ( x) , y = g ( x) liên tc ti diem x0 . Khi dó:
• Các hàm sô y = f ( x) + g ( x) , y = f ( x) − g ( x) , y = f ( x) × g ( x) liên tc ti x0 .
• Hàm sô =
( )
()
f x
y
gx
liên tc ti x0 nêu ( ) 0 g x ¹ 0.
2.3. Dnh lí 3 : Nêu y = f ( x) liên tc trên [a ; b] . Dat
min ()
a b
m f x ,
25. =
;
CÎ(m ; M ) luôn tôn ti ít nhât mot sô cÎ(a ; b) sao cho f (c) = C .
• He qu
1: Nêu y = f ( x) liên tc trên [a ; b] và f (a) × f (b) 0 thì tôn ti ít nhât mot sô cÎ(a ; b)
sao cho f (c) = 0 .
Nói cách khác: Nêu y = f ( x) liên tc trên [a ; b] và f (a) × f (b) 0 thì phơng trình f ( x) = 0 có
ít nhât mot nghiem cÎ(a ; b) .
• He qu
2: Nêu y = f ( x) liên tc trên [a ; b] và f ( x) ¹ 0,xÎ(a ; b) thì f ( x) không doi dâu
trên(a ; b) .
B. CÁC D
NG TOÁN THƯNG GAP :
1 . Xét tính liên tc c
a hàm sô ti mot diem
1.1. Phương pháp : De xét tính liên tc ca hàm sô y = f ( x) ti diem x0 ta thc hien các bc:
• Tính ( ) f x0 .
• Tính
0
f x
®
(trong nhiêu trng hp de tính
lim ()
x x
0
f x
®
ta cân tính
lim ()
x x
0
f x
+ ®
và
lim ()
x x
0
f x
− ®
) .
• So sánh
0
f x
®
vi ( ) f x0 và rút ra kêt luan .
1.2. Các ví d minh ha :
Ví d 1. Xét tính liên tc ca các hàm sô ti các diem dã ch+ ra :
a)
− khi = ¹
+ taïi
=
− 1 khi
x
=
1
; b)
5 5
−
= − − =
− + £
( ) 2 1 3 , 5
2
khi
taïi
( 5) 3 khi
5
x
x
f x x x
x x
.
Ví d 2. Tìm m de hàm sô liên tc ti diem dã ch+ ra :
3 2
− + −
¹ = − =
+ =
2 2 1 ( ) 1 1
khi taï i
khi
x x x
f x x x x
3 x m x
1
.
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
26. toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Ñaïi soá lôùp 11
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
2. Xét tính liên tc c
a hàm sô trên khong , don
2.1. Phương pháp :
x
2 ( ) 2 2
f x x
f x x
3 x − 4 x
+
5
TTLT – 1A – Tan Hai
60
• De xét tính liên tc ca hàm sô y = f ( x) trên mot khong don ta dùng các dnh nghia vê hàm sô liên tc
trên khong , don và các dnh lí 1 , 2 de suy ra kêt luan .
• Cân biêt thêm f ( x) liên tc trên [a ; b) khi nó liên tc trên khong (a ; b) và
lim ( ) = ( )
x ®
a
+ f x f a .
f ( x) liên tc trên (a ; b]khi nó liên tc trên khong (a ; b) và
lim ( ) = ( )
x ®
b
− f x f b .
2.2. Các ví d minh ha :
Ví d 3. Xét tính liên tc ca hàm sô sau trên tap xác dnh ca nó :
2
−
khi
x
¹
= −
khi
=
2 2 x
2
.
Ví d 4. Tìm m de hàm sô sau liên tc trên tap xác dnh ca nó :
2 khi
x + x x
= khi
=
+
khi
1
( ) 2 1
1 1
mx x
.
Ví d 5. Tìm các diem gián don ca các hàm sô sau :
a) ( )
2
2
4 3
f x
x x
=
− +
; b)
( ) 1 cos 0
khi
khi
− £
x x
=
+
1 0
f x
x x
.
3. Chng minh phư ng trình có nghiem
3.1. Phương pháp :
• Biên doi phơng trình thành dng : f ( x) = 0
• Tìm ra hai sô a,b sao cho f (a)× f (b) 0 .
• Chng minh f ( x) liên tc trên [a ; b] t! dó suy ra f (x) = 0 có nghiem .
Chú ý :
o Nêu f (a)× f (b) £ 0 thì phơng trình có nghiem thuoc [a ; b] .
f a f b thì phơng trình f (x) = 0 có
( )× lim 0
o Nêu f ( x) liên tc trên [a ; +¥) và ( )
®+¥
x
nghiem thuoc (a ; +¥) .
lim × ( ) 0
x
o Nêu f ( x) liên tc trên [−¥ ; b) và ( )
®−¥
f x f b thì phơng trình f (x) = 0 có
nghiem thuoc (−¥ ; b) .
o De chng minh f (x) = 0 có ít nhât n nghiem trên [a ; b] , ta chia don [a ; b] thành n don
nh ri nhau , rôi chng minh trên moi khong dó phơng trình có ít nhât mot nghiem .
3.2. Các ví d minh ha :
Ví d 6. Chng minh rang các phơng trình sau luôn có nghiem::
a) x5 − 3x + 3 = 0 ; b) + − + + =
x4 x3 3x2 x 1 0 .
Ví d 7. Chng minh rang các phơng trình sau luôn có nghiem::
a)( 1 −m2 )(x +1) 3 + x2 − x − 3 = 0 ; b) m(2 cos x − 2) = 2sin 5x +1.
Ví d 8. Chng minh rang phơng trình: x5 − 5x3 + 4x −1 = 0 (1) có dúng 5 nghiem trên (−2 ; 2) .
Ví d 9. Tìm m de phơng trình : ( ) ( ) x3 − 3x2 + 2m− 2 x +m−3 = 0 1 có 3 nghiem phân biet 1 2 3 x , x , x sao
cho 1 2 3 x −1 x x .
Ví d 10. Chng minh phơng trình x4 − x − 3 = 0 luôn có ít nhât mot nghiem x0 th a mãn diêu kien : 7
0 x 48
27. Ñaïi soá lôùp 11
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
f x 2x4 7x3 5x2 28x 1; 2 b) ( ) = − + −
x 3 x2 4 x2 9 ; b) 1 4 ( 1)(4 ) 5 x + + − x + x + − x ³ .
2
x 2 x
3 ( ) 1 1 , 1
f x x x
x
3 2 1
( ) 1 , 1
1 1
4
3 x 1 x
1 x
1
2 3
2 x
6
( ) 3 1 , 1
f x x x
2
1 1
2
x
3 2
x x 2 x
2 ( ) 1 1 , 1
f x x x x
TTLT – 1A – Tan Hai
2 7 5 2 ( ) 3 2 , 2
6 1
4. Xét dâu mot bieu thc
4.1. Phương pháp :
Ta áp dng he qu : Nêu y = f ( x) liên tc trên[a ; b] và f ( x) ¹ 0, xÎ(a ; b) thì f ( x) không doi
dâu trên(a ; b) de xét dâu bieu thc f ( x) trên miên D theo các bc sau :
• Tìm các diem gián don ca f ( x) trên D .
• Tìm tât c các sô , ( 1, ) i x ÎD i = n sao cho ( ) 0 i f x = .
• Chia miên D thành nh
ng khong nh b%i các diem gián don ca f ( x) và các diem , ( 1, ) i x ÎD i = n
v!a tìm % bc 2 .
• Trên moi khong nh dó lây mot sô m tùy ý , tính f (m) , dâu ca f ( x) trên khong dó chính là dâu ca
f (m) . T! dó suy ra dc dâu ca f ( x) trên miên D .
4.2. Các ví d minh ha :
Ví d 11. Xét dâu các bieu thc sau :
a) ( ) = − − + −
g x x2 3 9 x2 .
Ví d 12. Gii các bât phơng trình sau:
a) ( − ) − ³ −
Chú ý : Da vào phơng pháp này ta có the chuyen viec gii mot bât phơng trình f ( x) 0 (thng là phi
lap luan phc tp) vê gii viec gii mot phơng trình f ( x) = 0 (có cách gii dơn gin hơn) , sau dó xét dâu
f ( x) và t! dó suy ra tap nghiem ca bât phơng trình .
C. BÀI TAP
Bài 13. Xét tính liên tc ca các hàm sô sau , ti các diem dã dc ch+ ra:
a)
+ − khi ¹
= 2
taïi
=
− 2 khi
x
=
1
; b)
2 3
− x + x − x
¹
= =
f x x x
2
khi t aï i
khi
x x
− +
=
2 x
2
c)
+ −
khi
¹
− = =
=
taïi
khi
x
x
f x x x
x
; d)
5 5
−
= − − =
− + £
( ) 2 1 3 , 5
2
khi
taïi
( 5) 3 khi
5
x
x
f x x x
x x
;
e)
+ − −
khi
− +
= = =
+
khi taïi
khi
x
; f)
1 cos 0
−
khi
2
() , 0
= =
1 0
2
+ ³
taïi
khi
x
x
f x x x
x x
.
Bài 14. Tìm m, n de hàm sô liên tc ti diem dc ch+ ra:
a)
− + − khi = ¹ t aï i
− =
3 x + m khi
x
=
1
; b)
khi
khi
khi
=
− −
2
= ¹ ¹
−
=
0
( ) 6 0, 3
( 3)
3
m x
x x
f x x x
x x
n x
28. Ñaïi soá lôùp 11
Chöông 4: Giôùi haïn Naêm: 2010 - 2011
2 khi
x n x
( ) 2 3 1 , 1
f x mx x x
2 khi
2 3 1 ( )3cos 1 1
f x x x x
3
2
27 3
9
x
x
x
( ) 5 3
f x x
2 1 3
2
2 2 ( ) 2
1
−
x
( ) 2 − −
f x ; b)
3
x 3x + 3 = 0 ; b) x5 x 1 0 + − = ; c) + − + − =
x + ax + bx + cx − − = ; g) cos4 cos3 2 .cos 2 .sin3 a x + b x − c x = a x .
TTLT – 1A – Tan Hai
62
taïi x = 0 vaø x = 3 .
c)
+ 1
= − khi taïi
=
m + 2 khi
x
=
1
; d)
3 2
+ + − = ¹ =
2 9 2 9 3 ( ) 2 6 , 3
khi taï i
khi
x x
f x x x
x
−
+ =
3 x m x
3
.
Bài 15. Xét tính liên tc ca các hàm sô sau :
a)
=
+ − ³ − x − khi
x
−
; b)
3
3
+ +
2 khi
1
x x
¹ −
( ) 1
f x x
+ =
x
4 khi
x
1
3
= −
;
c)
+
khi
khi
khi
−
=
=
x − x
; d)
4
2
−
8 1 , 2
2
khi
khi
khi
x x
x ¹ − x
¹ x − x
−
=
=
( ) 8 2
f x x
14 1
x
= − .
Bài 16. Tìm các giá tr ca m de các hàm sô sau liên tc trên tap xác dnh ca chúng:
a)
− − khi
= ¹ −
khi
=
2
x x
f x x x
m x
; b)
3 2
− + −
¹ = −
+ =
2 2 1 ( ) 1
khi
khi
x x x
f x x x
3 x m x
1
;
Bài 17. Tìm các diem gián don ca các hàm sô sau:
a)
3 4
=
x x
x x
f x ; c)
1
.cos
2
( ) 2
+ +
=
x x
2
−
¹
= −
=
2 2 ( ) 2
khi
khi
x
x
f x x
2 2 x
2
.
Bài 18. Chng minh rang các phơng trình sau luôn có nghiem:
a) −
x4 x3 2010x2 x 1 0 ; d) + + − =
x3 6x 1 2 0 .
Bài 19. Chng minh rang các phơng trình sau có 3 nghiem phân biet:
a) x3 − 3x +1 = 0 ; b) x3 + 6x2 + 9x +1 = 0 ; c) 2x + 63 1− x = 3 ; d) 3 x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 .
Bài 20. Chng minh rang các phơng trình sau luôn có nghiem vi mi giá tr ca tham sô m :
a) m(x −1) 3(x − 2)+ 2x −3 = 0 ; b) x4 + mx2 − 2mx − 2 = 0
a.cos2x bsin cos 0 1
c) + x + x = ; d) m
+ =
sin
x x
1
cos
.
Bài 21. Chng minh các phơng trình sau luôn có nghiem:
a) x3 + ax2 + bx + c = 0 ; b) ax2 + bx + c = 0 nêu 2a + 3b + 6c = 0 ;
c) ax2 + bx + c = 0 nêu 2a + 6b +19c = 0 thì luôn có nghiem dơng ;
d) x3 + ax2 + bx + c = 0 nêu 4a + 8b + 21c + 2 = 0 ;
e) a(x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = 0 ;
f) 4 3 2 2 2
0
b
3 3
Bài 22. Chng minh phơng trình x5 − 2x − 2 = 0 luôn có ít nhât mot nghiem x0 th a mãn diêu kien :
9
0 16 x 2 .
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
toanthptbmt.blogspot.com phongmathbmt_tel: 0906500680
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Địa Chỉ : 126 Y MOAN ENUOL- BUÔN MA THUỘT
