phamvietson

1. Kiểm tra bài cũ:
1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M và nhận véctơ u làm vtcp?
2. Chứng tỏ rằng véctơ n vuông góc với véctơ u ?
3. Véctơ k.n có vuông góc với véctơ u không?
Cho điểm M(2;3) và hai véctơ u (-1;2) ; n (2;1).
2
( )
3 2
x t
t
y t
= −
∈
= +
¡
( ). 1 .2 2.1 0u n u n= − + = ⇔ ⊥
r r r r
ĐS :
ĐS :
( ) ( ). . . .0 0ku n k u n k ku n= = = ⇔ ⊥
r r r r r r
ĐS :

2. 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

3. 3. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
a. Định nghĩa:Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của
đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương
của đường thẳng ∆.
* Từ định nghĩa trên ta suy ra:
+ Một đường thẳng có vô số vtpt.
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một
điểm và một vtpt của nó.
+Nếu ∆ có vtpt n (a;b) thì nó luôn có một vtcp là u (b;-a) hoặc
u (-b;a).
+Nếu n là một vtpt của đường thẳng ∆ thì k.n (k≠0) cũng là
vtpt của đường thẳng ∆.
∆n1
n2

4. b.Ví dụ 2:
1. Cho đường thẳng có vtpt n (-2;3). Các véctơ nào sau đây là
vtcp của đường thẳng đó?
A. u (2;3) B. u (-2;3) u (3;2) D. u (3;-2)
D. u (0;-5)u (-3;0) C. u (0;-2)A. u (0;3)
3. Cho đường thẳng có vtpt n (3;0). Các véctơ nào sau đây
không là vtcp của đường thẳng đó?
C.
B.
2. Cho đường thẳng có vtcp u (1;-5). Các véctơ nào sau đây là
vtpt của đường thẳng đó?
A. n (1;5) B. n (-1;5) n (5;1)C. n (-5;1) D.

5. c. Bài toán:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M0 (x0;y0) và một
vtpt n (a;b). Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0
và nhận n làm vtpt. ∆M0
x
y
O
n
Với mỗi điểm M (x;y) ∈mp (Oxy).
Giải
⇔ ax + by – ax0 – by0 = 0
Đặt c = – ax0 – by0; pttt: ax + by + c = 0
Pt có dạng như trên với a, b không đồng thời bằng 0 được gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng.
M
Ta có: M ∈ ∆ ⇔ M0M ⊥ n ⇔ M0M.. n = 0
Trong đó: M0M = (x-x0;y-y0);
⇒ M0M.n = 0 ⇔ a(x-x0) + b(y-y0) = 0
n = (a;b)

6. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a. Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không
đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của
đường thẳng.
Nhận xét: i) Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0
thì ∆ có vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).
∆6. Tìm tọa độ vtcp của đường thẳng có pt: 3x + 4y – 5 = 0
b. Ví dụ 3: Lập pttq của đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A (2;3),
B (1;5).
ii) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
điểm M0(x0;y0) và có vtpt n(a;b) là : a(x-x0)+b(y-y0)=0
⇒ PTTQ của đường thẳng ∆ : 2(x-2)+1(y-3)=0
⇔ 2x+y-7=0
Giải :
Đường thẳng ∆ có vtcp AB=(-1;2) ⇒vtpt n=(2;1)

7. c/Các trường hợp đặc biệt:
Cho đường thẳng ∆ có pttq : ax + by + c = 0 (1)
* Nếu a = 0 phương trình (1) trở thành : by + c = 0 hay
Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Oy tại điểm
b
c
y −=
)
b
c
;0( −
O x
y
b
c
− c
y
b
= −

8. O x
y
a
c
−
c
x
a
= −
* Nếu b = 0 phương trình (1) trở thành : ax + c = 0 hay
Khi đó đường thẳng ∆ vuông góc với trục Ox tại điểm
a
c
x −=
)0;a
c
( −
c
x
a
= −

9. * Nếu c = 0 phương trình (1) trở thành : ax + by = 0. Khi đó
đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O.
O x
y
0ax by+ =

10. * Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về
dạng: (2) với1
b
y
a
x
00
=+ .
b
c
b;
a
c
a 00 −=−=
Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo
đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0;0)
và N(0;b0).
O x
y
a0
M
b0
N
0 0
1
x y
a b
+ =

11. ∆7/ Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đường thẳng có phương
trình sau đây:
D1: x – 2y = 0; D2: x = 2; D3: y+1=0; D4: ;1
4
y
8
x
=+
1
2O x
y
H.1
(D1)
2O x
y
H.2
(D2)
-1
O x
y
H.3
(D3)
4
8O
x
y
H.4
(D4)

12. Bài tập trắc nghiệm:
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: -2x + 3y -1 = 0
1. Véctơ nào sau đây là vtcp của d:
A. (3;2) B. (2;3) C. (-3;2) D. (2;-3)
2. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d:
A. (3;0) B. (1;1) C. (-3;0) D. (0;-3)
3. Véctơ nào sau đây không phải là vtcp của d:
A. B. (3;2) C. (2;3) D. (-3;-2)
2
1;
3
 
 ÷
 
4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng d:
A. 2x – y – 1 = 0 07y
2
3
x =+−B.
C. 2x + 3y + 4 = 0 D. 2x + y = 5

13. TÓM TẮT:
1. Véctơ n được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆
nếu n ≠ 0 và n vuông góc với véctơ chỉ phương của đường
thẳng ∆.
2. Phương trình ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng
0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
3. Đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có
vtpt n = (a;b) và có vtcp là u = (b;-a) hoặc u = (-b;a).
4. Phương trình đt đi qua điểm M(x0;y0) và có VTPT n(a;b) là:
a(x-x0)+b(y-y0)=0

14. Các dạng pt đường thẳng :
( )
( ) ( )
0
0
0 0
0 0
0 0
1) : 0
2) :
3) :
4) :
5) 0
PTTQ ax by c
x x at
PTTS
y y bt
x x y y
PTCT
a b
PTHSG y y k x x
a x x b y y
+ + =
= +

= +
− −
=
− = −
− + − =

15. Cho đường thẳng ∆ : -2x+5y+1=0
1/ Lập ptts của đường thẳng ∆ .
3/ Lập ptđt đi qua điểm M (1;-3) và song song với ∆
2/ Lập ptđt đi qua điểm A (-2;5) và vuông góc với ∆
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Các bài tập 2, 3, 4 sgk trang 80

16. y
x
1
V
O
y
x
1
V
O
5- VÞtrÝt­¬ng®èi cñahai ®­êngth¼ng:
y
x
1
V
O
2
V 2
V
2
V
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + = NNªu c¸c vÞ trÝ t­¬ngªu c¸c vÞ trÝ t­¬ng
®èi cña hai ®­êng®èi cña hai ®­êng
th¼ng trªn?th¼ng trªn?
Ta gi¶i hÖ PT:Ta gi¶i hÖ PT:
1 1 1
2 2 2
0
(*)
0
a x b y c
a x b y c
+ + =

+ + =
1. (*) cã 1 nghiÖm 2. (*) v« nghiÖm 3. (*) v« sè
.
M
x0
y0
?..?!
Cho hai ®­êng th¼ng:

17. ?..?!
Cã c¸ch nµo xÐt vÞCã c¸ch nµo xÐt vÞ
trÝ t­¬ng ®èi cñatrÝ t­¬ng ®èi cña
hai ®­êng th¼nghai ®­êng th¼ng
mµ kh«ng cÇn gi¶imµ kh«ng cÇn gi¶i
hÖ pt kh«ng?hÖ pt kh«ng?
y
x
1
V
O
y
x
1
V
O
5- VÞtrÝt­¬ng®èi cñahai ®­êngth¼ng:
y
x
1
V
O
2
V 2
V
2
V
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
Ta lËp tØ sè c¸c hÖTa lËp tØ sè c¸c hÖ
sè t­¬ng øng trong tr­sè t­¬ng øng trong tr­
êng hîpêng hîp2 2 2
, , 0a b c ≠
1. 2. 3.
.
M
x0
y0
Cho hai ®­êng th¼ng:
1 1
2 2
a b
a b
≠ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= ≠ 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =

18. Ví dụ 4 :
1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 , ∆2 trong các
trường hợp sau :
1 2
1 2
1 2
) : 2 3 5 0 : 3 3 0
) : 3 2 0 : 2 6 3 0
) :0,7 12 5 0 :1,4 24 10 0
µ
µ
µ
a x y v x y
b x y v x y
c x y v x y
∆ − + = ∆ + − =
∆ − + = ∆ − + + =
∆ + − = ∆ + − =
Ta thấy :
2 3
1 3
−
≠ nên ∆1 cắt ∆2
Ta thấy :
1 3 2
2 6 3
−
= ≠
−
nên ∆1 // ∆2
Ta thấy :
0,7 12 5
1,4 24 10
−
= =
−
nên ∆1 trùng ∆2

19. Ví dụ 4 :
2. Đường thẳng nào sau đây song song với đt 4x-10y+1=0?
1) :2 5 5 0a x y∆ − + = 2) : 4 10 1 0b x y∆ − + − =
3) : 5 1 0c x y∆ − + = 4) :10 4 5 0d x y∆ + + =
3. Xét vị trí tương đối của đt ∆ : x-2y+1=0 với mỗi đt sau :
d1: -3x+6y-3=0
d2: y=-2x
d3: 2x+5=4y
ĐS : ∆ trùng d1, cắt d2, song song với d3

20. 6. Góc giữa hai đường thẳng
Góc nào là góc giữa hai đường thẳng AC và BD?
Cho hcn ABCD cã t©m I vµ c¸c c¹nh AB=1,
AD= 3. TÝnh sè ®o c¸c gãc∠AID vµ∠DIC
1
3
I
A B
CD

21. 6. Góc giữa hai đường thẳng
a. Đn : Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số
đo nhỏ nhất của các góc đó đgl số đo của góc giữa hai đường
thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b. Kí hiệu : (a;b)
Khi a//b hay a≡b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0.
NX :
i) Góc giữa hai đt luôn không tù
ii) Góc giữa hai đt bằng hoặc bù với
góc giữa hai VTPT của hai đt.
a
b
n2
n1

22. b. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a a bb
cos
a b a b
ϕ
+
=
+ +
Cho hai ®­êng th¼ng:
∆1
∆2
n2
n1
Gọi φ=(∆1, ∆2), ta thấy :
( ) 1 2
1 2
1 2
.
cos cos ,
.
n n
n n
n n
ϕ = =
ur uur
ur uur
ur uur
Suy ra
1 2 1 2 1 2
0a a bb∆ ⊥ ∆ ⇔ + =Lưu ý : hay k1.k2=-1 với k1,k2 lll
hệ số góc của hai đt

23. Ví dụ 5 :
Tìm góc giữa hai đường thẳng sau :
1 2
4
: : 2 3 1 0
4 3
µ
x t
v x y
y t
= −
∆ ∆ + − =
= − +
?..?!Ta có : n1=(3;1); n2=(2;3)
Giải :
( )1 2 2 2 2 2
3.2 1.3 9
cos ,
10 33 1 2 3
+
∆ ∆ = =
+ +
Khi đó :
Suy ra : (∆1, ∆2)≈580
4’37”

24. Chúng ta đã hoàn thành xongChúng ta đã hoàn thành xong
6 mục của bài6 mục của bài

25. M MM(x ;y )
y
x
: 0∆ + + =ax by c
∆
=
uuuuur
'M M
+ Xác định điểm M’
+ Tính đoạn M’M
Cách giải :
M'
Nêu cách tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ
M xuống ∆?
=' ( '; ')M x yGiả sử
− + −2 2
( ') ( ')M Mx x y y
Có công thức nào mà
không cần tìm tọa độ
của M’ không?
Cách làm này không phức tạp
nhưng … dài. Liệu có công thức
nào tính độ dài đoạn vuông góc
đó đơn giản hơn không?

26. =
r
vtpt ( ; )n a b
' . (1)M M k n=
uuuuuur r
: 0ax by c∆ + + =
∆
M M M(x ;y )
M'(x ';y')
n
r
2 2
' . . (2)M M k n k a b= = +
r
y
x


'
'
− =
⇒ 
− =
M
M
x x ka
y y kb
. ( ; )=
r
k n ka kb
' ( '; ')= − −
uuuuuur
M MM M x x y y
'
'
= −
⇒ 
= −
M
M
x x ka
y y kb
Chỉ cần biết
k là tính
được M’M !
Dựa vào đâu để tính k?
' ( ) ( ) 0M M
M a x ka b y kb c∈∆ ⇒ − + − + =
+ +
=
+2 2
M M
ax by c
k
a b
Suy ra:
A… Thay k
vào (2) là ta có
được M’M
2 2
'
+ +
=
+
M M
ax by c
M M
a b
Khoảng cách
từ M đến ∆
+ +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
Công thức tính
khoảng cách từ M đến ∆

27. 7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ − −
+2 2
1.1 2.( 2) 7
1 2
= =
10
2 5
5
∆ =( ; )d M
+ +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
VD6. Cho đường thẳng ∆ có phương trình x + 2y - 7 = 0
và điểm M(1; -2). Tính d(M;∆) ?
Áp dụng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).
Khoảng cách từ M đến ∆:
: 0ax by c∆ + + =
∆
M M M(x ;y )y
x0

28. Áp dụng
+ +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
VD7:Tính khoảng cách từ M(1;-2) đến
= − +
∆ 
=
1 2
:
x t
y t
Có áp dụng được
công thức tính khoảng cách
ngay không?
∆ qua điểm (-1; 0) và có 1 vtpt ( 1; -2).
Pt ∆: (x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0
2 2
(1 1) 2.( 2) 6 6
( ; )
5 51 ( 2)
+ − −
∆ = = =
+ −
d M
Tương tự: với N(-1; 1) và P(3; 2) thì:
− + −
+ −2 2
( 1 1) 2.1
1 ( 2)
∆ =( ; )d N
+ −
=
+ −2 2
(3 1) 2.2
0
1 ( 2)
−
= =
2 2
5 5
?
∆ =( ; )d P ?

29. M
N
N’
N
M
∆
∆
M’
M’
? N’
M, N cùng phía
hay khác phía đối với ∆?
'M M kn=
uuuuuur r
' 'N N k n=
uuuuur r
? Có nhận xét gì về vị trí của M, N đối với ∆ khi:
+ k và k’ cùng dấu?
+ k và k’ khác dấu?
M, N cùng phía đối với ∆
2 2
' N Nax by c
k
a b
+ +
=
+
2 2
M Max by c
k
a b
+ +
=
+
M, N khác phía đối với ∆
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

30. + +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).
•Khoảng cách từ M đến ∆:
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
7.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

31. + +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
Cho M(1;-2), N(-1; 1) và P(3; 2) và
1 2
:
= − +
∆ 
=
x t
y t
+ − −
∆ = = =
+ −2 2
(1 1) 2.( 2) 6 6
( ; )
5 51 ( 2)
d M
+ −
∆ = =
+ −2 2
(3 1) 2.2
( ; ) 0
1 ( 2)
d P
•M, N cùng phía đối với ∆
⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆
⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
− + − −
∆ = = =
+ −2 2
( 1 1) 2.1 2 2
( ; )
5 51 ( 2)
d N
Đường thẳng
∆ cắt cạnh
nào của tam
giác MNP ?
y
x
-2 -1
2
1
-2
3
P
N
M
O
1
(x+1) - 2y = 0 hay x - 2y +1 = 0

32. ∆1: a1x+b1y+c1=0
∆2: a2x+b2y+c2=0
Viết công thức tính
khoảng cách từ M
đến ∆1, ∆2?
M(x; y)
1 1 1
1 2 2
1 1
( ; )
+ +
∆ =
+
a x b y c
d M
a b
2 2 2
2 2 2
2 2
( ; )
+ +
∆ =
+
a x b y c
d M
a b
2 1( , ) ( , )d M d M∆ = ∆
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
=
+ +
⇔
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
± =
+ +
⇔
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo
bởi hai đường thẳng cắt nhau
Hãy so sánh khoảng cách từ
điểm M đến 2 đt ∆1, ∆2 khi M
nằm trên đường phân giác
của góc tạo bởi 2 đt trên?

33. + +
∆ =
+2 2
( ; ) M M
ax by c
d M
a b
•Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng:
Cho đt ∆: ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).
•Khoảng cách từ M đến ∆:
•M, N cùng phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0
•M, N khác phía đối với ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0
•Pt 2 đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt cắt nhau:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0
+ + + +
± =
+ +
a x b y c a x b y c
a b a b
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

34. Hướng dẫn học ở nhà.
1. Nắm chắc các nội dung của bài.
2. Hoàn thành các hoạt động và ví dụ của SGK
3. Bài tập về nhà:
Bài tập: 1 đến 9 - SGK trang 80-81

35. CHÚC CÁC EM HỌC TỐT