Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình

M C L C
Trang
PH N 1 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH --------------------------------------- 1
A – Phương trình & B t phương trình cơ b n --------------------------------------------- 1
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 1
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 2
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 12
B – ưa v tích s (bi n i ng th c, liên h p) ----------------------------------------- 23
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 23
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 24
S bi n i ng th c ------------------------------------------------------------- 24
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 31
T ng hai s không âm ------------------------------------------------------------- 33
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 34
Nhân liên h p ---------------------------------------------------------------------- 35
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 47
t n s ph không hoàn toàn -------------------------------------------------- 56
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 57
C – t n s ph ------------------------------------------------------------------------------ 59
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 59
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 60
t m t n ph --------------------------------------------------------------------- 60
t hai n ph ---------------------------------------------------------------------- 70
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 77
D – S d ng b t ng th c và hình h c ----------------------------------------------------- 91
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 91
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 93
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 101
E – Lư ng giác hóa ---------------------------------------------------------------------------- 105
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 105
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 106
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 114
F – S d ng tính ơn i u c a hàm s ------------------------------------------------------ 118
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 118
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 119
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 127
G – Bài toán ch a tham s -------------------------------------------------------------------- 131
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 131
II – Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 133

Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 142
PH N 2 – H PHƯƠNG TRÌNH ----------------------------------------------------------------------- 149
A – H phương trình cơ b n ------------------------------------------------------------------ 149
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 149
II – Các thí d ---------------------------------------------------------------------------- 151
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 166
B – Bi n i 1 phương trình thành tích s và k t h p phương trình còn l i ----------- 176
I – Ki n th c cơ b n -------------------------------------------------------------------- 176
II – Các thí d ---------------------------------------------------------------------------- 176
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 181
C – t n ph ưa v h cơ b n ------------------------------------------------------------- 185
Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 185
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 191
D – Dùng b t ng th c ----------------------------------------------------------------------- 203
Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 203
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 205
E – Lư ng giác hóa và S ph c hóa --------------------------------------------------------- 208
Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 208
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 213
F – S d ng tính ơn i u c a hàm s ------------------------------------------------------ 217
Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 217
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 222
G – Bài toán ch a tham s trong h phương trình ----------------------------------------- 227
Các thí d --------------------------------------------------------------------------- 227
Bài t p tương t ---------------------------------------------------------------- 239
Tài li u tham kh o ----------------------------------------------------------------------------- 248

Phương trình – B t phương trình – H phương trình i s Ths. Lê Văn oàn
Page - 1 -
PH N 1 – PHƯƠNG TRÌNH & B T PHƯƠNG TRÌNH
A – PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH CƠ B N
I – KI N TH C CƠ B N
1/ Phương trình – B t phương trình căn th c cơ b n
2
B 0
A B
A B
 ≥= ⇔ 
 =
.
B 0
A B
A B
 ≥= ⇔ 
 =
.
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
 ≥
 <> ⇔  ≥
 >
.
2
B 0
A B A 0
A B
 >< ⇔ ≥
 <
.
B 0
A B
A B
 ≥> ⇔ 
 >
.
Lưu ý
i v i nh ng phương trình, b t phương trình căn th c không có d ng chu n như trên, ta th c
hi n theo các bư c:
Bư c 1. t i u ki n cho căn th c có nghĩa.
Bư c 2. Chuy n v sao cho hai v u không âm.
Bư c 3. Bình phương c hai v kh căn th c.
2/ Phương trình – B t phương trình ch a d u giá tr tuy t i
B 0
A BA B
A B
 ≥ == ⇔  = −
.
A B
A B
A B
 == ⇔  = −
.
( )( )A B A B A B 0> ⇔ − + > .
B 0
A B A B
A B
 >< ⇔ <
 > −
.
B 0
A
B 0A B
A B
A B
 <
 ≥> ⇔  < − > 
.
Lưu ý
i v i nh ng phương trình, b t phương trình ch a d u giá tr tuy t i không có d ng chu n
như trên, ta thư ng s d ng nh nghĩa ho c phương pháp chia kho ng gi i.
3/ M t s phương trình – B t phương trình cơ b n thư ng g p khác
có nghĩa

Page - 2 -
D ng 1. ( )3 3 3
A B C 1+ =
● Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3 3 3
1 A B C A B 3 AB A B C 2⇔ + = ⇔ + + + =
● Thay 3 3 3
A B C+ = vào ( )2 ta ư c: 3
A B 3 ABC C+ + = .
D ng 2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x+ = + v i
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x
f x .h x g x .k x
 + = +
 =
.
● Bi n i v d ng: ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x− = − .
● Bình phương, gi i phương trình h qu .
Lưu ý
Phương pháp bi n i trong c hai d ng là ưa v phương trình h qu . Do ó, m b o
r ng không xu t hi n nghi m ngo i lai c a phương trình, ta nên thay th k t qu vào phương
trình u bài nh m nh n, lo i nghi m chính xác.
II – CÁC VÍ D MINH H A
Thí d 1. Gi i phương trình: ( )2
x 4x 3 2x 5− + − = − ∗
Trích thi Cao ng sư ph m Nhà Tr – M u Giáo TW1 năm 2004
Bài gi i tham kh o
( )
( )
2
2
2
5
x
5 22x 5 0 x 14
x 2 x2
5x 4x 3 2x 5 5x 24x 28 0 14
x
5
 ≥  − ≥  ≥     =∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    − + − = −  − + =    =
.
V y nghi m c a phương trình là
14
x
5
= .
Thí d 2. Gi i phương trình: ( )2 2
7 x x x 5 3 2x x− + + = − − ∗
thi th i h c năm 2010 – THPT Thu n Thành – B c Ninh
Bài gi i tham kh o
( )
2
2 2
3 x 13 2x x 0
x 2
7 x x x 5 3 2x x x 5
x
− ≤ ≤ − − ≥  ∗ ⇔ ⇔  + − + + = − − + = −  
( ) ( )
3 22
2
3 x 1
2 x 03 x 1
x 2
x 10 2 x 0 x 1
x
x 4x x 16x 16 0
x x 5 x 2
− ≤ ≤   − ≤ <− ≤ ≤    +    = −⇔ − ≥ ⇔ − ≤ < ⇔ ⇔ = −       = ±  + − − =   + = + 
.
V y nghi m c a phương trình là x 1= − .

Page - 3 -
Thí d 3. Gi i phương trình: ( )3x 2 x 7 1− − + = ∗
Trích thi Cao ng sư ph m Ninh Bình kh i M năm 2004
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
3x 2 0 2
x
x 7 0 3
 − ≥ ⇔ ≥
 + ≥
.
( ) 3x 2 x 7 1 3x 2 x 8 x 7 x 7 x 5∗ ⇔ − = + + ⇔ − = + + + ⇔ + = −
2
x 5 0 x 5
x 9
x 9 x 2x 7 x 10x 25
  − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = 
  = ∨ =+ = − + 
.
● K t h p i u ki n, nghi m c a phương trình là x 9= .
Thí d 4. Gi i phương trình: ( )x 8 x x 3+ − = + ∗
Trích thi Cao ng Hóa ch t năm 2004
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 0≥ .
( ) ( )x 8 x 3 x x 8 2x 3 2 x x 3∗ ⇔ + = + + ⇔ + = + + +
( )
( ) ( )
2
x 5
x 15 x 0 x 1
2 x x 3 5 x 25
x4x x 3 5 x 25
x 3
3
 ≤  = − ≥   = ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ 
  = −+ = −    = − 
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1= .
Thí d 5. Gi i b t phương trình: ( ) ( )2
2 x 1 x 1− ≤ + ∗
Trích thi Cao ng Kinh t K Thu t Thái Bình năm 2004
Bài gi i tham kh o
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 x 1 0 x 1 x 1
x 1x 1 x 1
x 1 0 x 1
1 x 3 x 1;3
x 2x 3 02 x 1 x 1
  − ≥ ≤ − ∨ ≥   = −= − ∨ ≥   ∗ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔       − ≤ ≤ ∈         − − ≤− ≤ + 
.
● V y t p nghi m c a phương trình là x 1;3 ∈   
và x 1= − .
Thí d 6. Gi i b t phương trình: ( )2
x 4x x 3− > − ∗
Trích thi Cao ng bán công Hoa Sen kh i D năm 2006 ( i h c Hoa Sen)
Bài gi i tham kh o
( )
( )
2
2
2
x 3 x 0x 3 0 x 0 x 4x 4x 0
9 9x 3x 3 0 x xx 4x x 3
2 2
  ≥ ≤  − ≥  ≤ ∨ ≥ − ≥     ∗ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔   
   <− < > >− > −      
.

Page - 4 -
● V y t p nghi m c a h là (
9
S ;0 ;
2
  = −∞ ∪ +∞    
.
x 4x 5 2x 3− + + ≥ ∗
Trích thi Cao ng K thu t Y t I năm 2006
Bài gi i tham kh o
( )
( )
2
2
2
2
3 2x 0x 4x 5 0
x 4x 5 3 2x
3 2x 0 x 4x 5 3 2x
  − ≥ − + ≥  ∗ ⇔ − + ≥ − ⇔ ∨ 
 − < − + ≥ −  
2
33x xx 3 22x x23 22 3x 3x 8x 4 0 x 22 3
   ∈ ≤  ≤   ⇔ ∨ ⇔ > ∨ ⇔ ≥  
  >  − + ≤ ≤ ≤    
»
.
● V y t p nghi m c a h là
2
S ;
3
  = +∞ 
.
x 4x 3 x 1− + < + ∗
Trích thi Cao ng Kinh t công ngh Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Bài gi i tham kh o
( )
( )
2
2
2
x 4x 3 0 x 1 x 3 1
x 1
x 1 0 x 1 3
x 31x 4x 3 x 1 x
3
   − + ≥ ≤ ∨ ≥ −    < ≤ ∗ ⇔ + > ⇔ > − ⇔ 
   ≥  − + < +  >  
.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là )
1
S ;1 3;
3
 
 = ∪ +∞   
.
Thí d 9. Gi i b t phương trình: ( )x 11 x 4 2x 1+ ≥ − + − ∗
Trích thi Cao ng i u dư ng chính qui ( i h c i u dư ng) năm 2004
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
x 11 0 x 11
x 4 0 x 4 x 4
2x 1 0 x 0,5
  + ≥ ≥ −   − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
  − ≥ ≥   
.
( ) ( )( ) ( )( )x 11 3x 5 2 x 4 2x 1 x 4 2x 1 8 x∗ ⇔ + ≥ − + − − ⇔ − − ≤ −
( )( ) ( )
2 2
x 8 0 x 8
12 x 5
x 7x 60 0x 4 2x 1 8 x
  − ≥  ≤  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
  + − ≤− − ≤ − 
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là: S 4;5 =   
.

Page - 5 -
Thí d 10. Gi i b t phương trình: ( )x 2 x 1 2x 3+ − − ≥ − ∗
Trích thi i h c Th y s n năm 1999
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
3
x
2
≥ .
( ) ( )( )x 2 2x 3 x 1 x 2 3x 4 2 x 1 2x 3∗ ⇔ + ≥ − + − ⇔ + ≥ − + − −
( )
2
2
2
2
3
x 32 x 3
2x 5x 3 3 x 3 x 0 2
x x 6
2x 5x 3 3 x
 ≥   ≤ ≤ ⇔ − + ≤ − ⇔ − ≥ ⇔ 
   + − − + = −
3
3x 3
x 22
23 x 2
 ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
  − ≤ ≤
.
● T p nghi m c a b t phương trình là
3
x ;2
2
 
 ∈
 
 
.
Thí d 11. Gi i b t phương trình: ( )5x 1 4x 1 3 x+ − − ≤ ∗
Trích thi i h c An Ninh Hà N i kh i D năm 1999
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
5x 1 0
1
4x 1 0 x
4
x 0
 + ≥ − ≥ ⇔ ≥
 ≥
.
( ) 2
5x 1 4x 1 3 x 5x 1 9x 4x 1 6 4x x∗ ⇔ + ≤ − + ⇔ + ≤ + − + −
( )2
6 4x x 2 8x⇔ − ≥ − ∗ ∗
● Do ( )
1
x 2 8x 0
4
≥ ⇒ − ≤ ⇒ ∗ ∗ luôn th a.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là
1
x ;
4
  ∈ +∞ 
.
Thí d 12. Gi i b t phương trình: ( )x 2 3 x 5 2x+ − − < − ∗
Trích thi i h c Th y L i Hà N i h chưa phân ban năm 2000
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
x 2 0
3 x 0 2 x 3
5 2x 0
 + ≥ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
 − ≥
.

Page - 6 -
( ) ( )( )x 2 5 2x 3 x x 2 8 3x 2 5 2x 3 x∗ ⇔ + < − + − ⇔ + < − + − −
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
2
2x 3 0
5 2x 3 x 0
5 2x 3 x 2x 3
2x 3 0
5 2x 3 x 2x 3
 − <
 − − ≥⇔ − − > − ⇔  − ≥ − − > −
2
3 33x xx 32 2x x 22
5 322x x 6 0x x 3 x 2
2 2
   < ≥ ≥   ⇔ ∨ ⇔ < ∨ ⇔ <  
    − − <≤ ∨ ≥ − < <     
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là )x 2;2∈ −
.
Thí d 13. Gi i b t phương trình: ( )
2 2
12 x x 12 x x
x 11 2x 9
+ − + −
≥ ∗
− −
i h c Hu kh i D – R – T năm 1999 – H chuyên ban
Bài gi i tham kh o
( )
2
22
12 x x 0
1 1 12 x x 012 x x 0
x 11 2x 9 1 1
0
x 11 2x 9

+ − =
   + − >∗ ⇔ + − − ≥ ⇔   − −  
 − ≥ − −
x 3 x 4
x 3
3 x 4
2 x 4
x 2
 = − ∨ =  = − − < <⇔ ⇔ − ≤ ≤  ≥ −
.
Lưu ý: Thông thư ng thì ta quên i trư ng h p 2
12 x x 0,+ − = và ây là sai l m thư ng g p
c a h c sinh.
Thí d 14. Gi i phương trình: ( ) ( ) ( )2
x x 1 x x 2 2 x− + + = ∗
i h c sư ph m Hà N i kh i D năm 2000 – Cao ng sư ph m Hà N i năm 2005
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
( )
( )
x x 1 0 x 0 x 1
x 0
x x 2 0 x 2 x 0
x 1
x 0 x 0
  − ≥ ≤ ∨ ≥    =  + ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ ⇔    ≥  ≥ ≥  
.
● V i x 0= thì ( ) 0 0∗ ⇔ = ⇒ x 0= là m t nghi m c a ( )∗
● V i x 1≥ thì ( ) ( ) 2
x x 1 x 2 2 x x 1 x 2 2 x∗ ⇔ − + + = ⇔ − + + =
( )( ) ( )( )
1
x 1 x 2 2 x 1 x 2 4x x 1 x 2 x
2
⇔ − + + + − + = ⇔ − + = −

Page - 7 -
( )
2 2
1 1
x x 92 2 x N
1 9 8
x x 2 x x x
4 8
   ≥ ≥   ⇔ ⇔ ⇔ = 
  + − = − + =    
.
● V y phương trình có hai nghi m là
9
x 0 x
8
= ∨ = .
Thí d 15. Gi i b t phương trình: ( )2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18− + + + − ≤ − + ∗
i h c Dư c Hà N i năm 2000
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
2
2
2
x 8x 15 0 x 5 x 3 x 5
x 2x 15 0 x 3 x 5 x 5
3 x 34x 18x 18 0
x 3 x
2
  − + ≥ ≥ ∨ ≤ ≥     + − ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤ − ⇔ ≤ −      = − + ≥   ≥ ∨ ≤ 
.
● V i x 3= thì ( )∗ ư c th a ⇒ x 3= là m t nghi m c a b t phương trình ( )1
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )x 5 x 3 x 5 x 3 x 3 4x 6 2∗ ⇔ − − + + − ≤ − −
● V i x 5 x 3 2 0 hay x 3 0≥ ⇒ − ≥ > − > thì
( ) 2
2 x 5 x 5 4x 6 2x 2 x 25 4x 6⇔ − + + ≤ − ⇔ + − ≤ −
2 2 2 17
x 25 x 3 x 25 x 6x 9 x
3
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ .
( )
17
5 x 3
3
⇒ ≤ ≤
● V i x 5 x 5 3 x 8 0 hay 3 x 0≤ − ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ > − > thì
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 5 x 3 x x 5 3 x 3 x 6 4x⇔ − − + − − − ≤ − −
( )( )5 x x 5 6 4x 2x 2 5 x x 5 6 4x⇔ − + − − ≤ − ⇔ − + − − − ≤ −
2 2 2 17
x 25 3 x x 25 x 6x 9 x
3
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ .
( )x 5 4⇒ ≤ −
● T ( ) ( ) ( )1 , 3 , 4 ⇒ t p nghi m c a b t phương trình là ( { }
17
x ; 5 3 5;
3
 
  ∈ −∞ − ∪ ∪  
 
.
x x 2x 4 3− + − = ∗
Trích thi Cao ng H i quan – H không phân ban năm 1999
Bài gi i tham kh o
● B ng xét d u

Page - 8 -
x −∞ 0 1 2 +∞
2
x x− + 0 − 0 + +
2x 4− − − − 0 +
● Trư ng h p 1. ( (x ;0 1;2 ∈ −∞ ∪  
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
3 5
x L
2x x 2x 4 3 x 3x 1 0
3 5
x L
2
 − =
∗ ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔
 + =

.
● Trư ng h p 2. (x 0; 1∈ − 
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
1 5
x L
2x x 2x 4 3 x x 1 0
1 5
x N
2
 − − =
∗ ⇔ − − − − = ⇔ + − = ⇔
 − + =

.
● Trư ng h p 3. ( )x 2;∈ +∞
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
1 29
x L
2x x 2x 4 3 x x 7 0
1 29
x N
2
 − − =
∗ ⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔
 − + =

.
● V y phương trình có hai nghi m:
1 5 1 29
x x
2 2
− + − +
= ∨ = .
Thí d 17. Gi i phương trình: ( )x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − = ∗
Trích thi Cao ng sư ph m Tp. H Chí Minh kh i A năm 2004
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1≥ .
( ) ( ) ( )
2 2
x 3
x 1 2 x 1 1 x 1 2. x 1 1
2
+
∗ ⇔ − + − + + − − − + =
( ) ( )
2 2
x 3
x 1 1 x 1 1
2
+
⇔ − + + − − =
( )
x 3
x 1 1 x 1 1 1
2
+
⇔ − + + − − =
● V i 1 x 2,≤ ≤ ta có: ( )
x 3
1 x 1 1 1 x 1 x 1
2
+
⇔ − + + − − = ⇔ = .
● V i x 2,> ta có: ( )
x 3
1 x 1 1 x 1 1 4 x 1 x 3
2
+
⇔ − + + − − = ⇔ − = +
2 2
x 3 x 3 x 3
x 5
x 516x 16 x 6x 9 x 10x 25
    ≥ − ≥ − ≥ −   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =  
   =− = + + − +    
.

Page - 9 -
● V y nghi m c a phương trình là: x 1 x 5= ∨ = .
Lưu ý:
V i i u ki n x 1,≥ có th bình phương hai v c a ( ):∗
( )
2
x 6x 9
2x 2 x 2
4
+ +
∗ ⇔ + − = .
Xét hai trư ng h p: x 1;2 ∈   
và ( )x 2;∈ +∞ ta v n có k t qu như trên.
Thí d 18. Gi i phương trình: ( )x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1− + − − − − − = ∗
Trích thi i h c sư ph m Vinh kh i D – G – M năm 2000
Bài gi i tham kh o
● t 2 2
t x 2 0 t x 2 x 1 t 1= − ≥ ⇒ = − ⇔ − = + .
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
t 1 2t t 1 2t 1 t 1 t 1 1∗ ⇔ + + − + − = ⇔ + − − =
t 1 t 1 1 t 1 t 1 1 t 1 t⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ − =
t 1 t 1 1 9
t x 2 x
t 1 t 2 2 4
 − =⇔ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − = −
.
● V y phương trình có nghi m duy nh t
9
x
4
= .
Nh n xét: D ng t ng quát c a bài toán:
( )2 2
x 2a x b a b x 2a x b a b cx m , a 0+ − + − + − − + − = + > .
Ta có th làm theo các bư c sau:
t ( )t x b, t 0= − ≥ thì 2
x t b= + nên phương trình có d ng:
( )2 2 2 2 2
t 2at a t 2at a c t b m+ + + − + = + +
Hay ( ) ( )2 2
t a t a c t b m t a t a c t b m+ + − = + + ⇔ + + − = + + .
Sau ó, s d ng nh nghĩa tr tuy t i:
A A 0
A
A A 0
 ⇔ ≥= 
− ⇔ <
ho c s d ng phương
pháp chia kho ng gi i.
Thí d 19. Gi i phương trình: ( )x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − − − − = ∗
Trích thi H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 2000
Bài gi i tham kh o
● t 2 2
t x 1 0 t x 1 x t 1= − ≥ ⇒ = − ⇒ = + .
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
t 1 2t t 1 2t 2 t 1 t 1 2∗ ⇔ + + − + − = ⇔ + − − =

Page - 10 -
t 1 t 1 2 t 1 t 1 t 1 0 t 1 x 1 1 x 2⇔ + − − = ⇔ − = − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ .
● V y nghi m c a phương trình là )x 2;∈ +∞
.
Thí d 20. Gi i phương trình: ( )x 14x 49 x 14x 49 14+ − + − − = ∗
Bài gi i tham kh o
( ) 14x 14 14x 49 14x 14 14x 49 14∗ ⇔ + − + − − =
( ) ( )
2 2
14x 49 7 14x 49 7 14⇔ − + + − − =
( )14x 49 7 14x 49 7 14 1⇔ − + + − − =
● i u ki n:
7
14x 49 0 x
2
− ≥ ⇔ ≥ .
● t t 14x 49 7 14x 49 t 7= − − ⇒ − = + . Lúc ó:
( )1 t 7 7 t 14 t t t 0⇔ + + + = ⇔ = − ⇔ ≤
714x 49 0 7x
14x 49 7 0 x 72
214x 49 7 14x 49 49
 − ≥  ≥  ⇔ − − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
 − ≤  − ≤ 
.
● V y nghi m c a phương trình là
7
x ;7
2
 
 ∈
 
 
.
3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+ − + − − ≥ ∗
H c Vi n Ngân Hàng năm 1999
Bài gi i gi i tham kh o
( ) ( ) ( )
2 2
3
x 1 1 x 1 1
2
∗ ⇔ − + + − − ≥
( )
3
x 1 1 x 1 1 1
2
⇔ − + + − − ≥
● i u ki n: x 1≥ .
( )
1
1 x 1 1 x 1
2
⇔ − − ≥ − −
( )
1
x 1 1 x 1
2
1
x 1 1 x 1 x 1
2

 − − ≥ − −

⇔ 
− − + ≥ − − ∀ ≥

.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là )x 1;∈ +∞
.

Page - 11 -
Thí d 22. Gi i phương trình: ( )3 3 3
2x 1 2x 2 2x 3 0 1+ + + + + =
Trích thi Cao ng Giao Thông năm 2003
Bài gi i gi i tham kh o
( ) 3 3 3
1 2x 1 2x 2 2x 3⇔ + + + = − +
( ) ( )
3
3 3
2x 1 2x 2 2x 3⇔ + + + = − +
( ) ( ) ( )3 3 3 3
4x 3 3 2x 1. 2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 2⇔ + + + + + + + = − +
Thay 3 3 3
2x 1 2x 2 2x 3+ + + = − + vào ( )2 ta ư c:
( ) 3 3 3
2 2x 1. 2x 2. 2x 3 2x 2⇔ + + + = − −
( )( )( ) ( )
3
2x 1 2x 2 2x 3 2x 2⇔ + + + = − +
( ) ( )( ) ( )
2
2x 2 2x 2 2x 3 2x 2 0
 
⇔ + + + + + = 
  
2
x 12x 2 0
58x 18x 10 0 x
4
 = − + =  ⇔ ⇔ + + = = − 
.
● Thay
5
x 1 x
4
= − ∨ = − vào phương trình ( )1 , ch có nghi m x 1= − th a. V y
phương trình có nghi m duy nh t x 1= − .
Thí d 23. Gi i phương trình: ( )3 3 3
3x 1 2x 1 5x 1− + − = + ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( )
3
3 3
3x 1 2x 1 5x 1∗ ⇔ − + − = +
( )3 3 3 3
5x 3x 1 2x 1 . 3x 1. 2x 1 5x 1⇔ + − + − − − = +
3 33
5x 1. 3x 1. 2x 1 1⇔ + − − =
( )( )( )5x 1 3x 1 2x 1 1⇔ + − − =
3 2
30x 19x 0⇔ − =
x 0
19
x
30
 =
⇔
 =
.
● Thay x 0= vào ( ),∗ ta ư c ( ) 2 1∗ ⇔ − = (vô lí) ⇒ lo i nghi m x 0= .
● Thay
19
x
30
= vào ( ),∗ ta ư c ( ) 3 3
5 5
30 30
∗ ⇔ = (luôn úng) ⇒ nh n
19
x
30
= .

Page - 12 -
19
x
30
= .
Thí d 24. Gi i phương trình: ( )x 3 3x 1 2 x 2x 2+ + + = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
x 3 0
3x 1 0
x 0
x 0
2x 1 0
 + ≥ + ≥ ⇔ ≥
 ≥ + ≥
.
( ) ( )x 3 3x 1 4x 2x 2 1∗ ⇔ + + + = + +
Nh n th y ( )1 có ( ) ( ) ( ) ( )3x 1 2x 2 4x x 3 5x 3,+ + + = + + = + nên
( )1 3x 1 2x 2 4x x 3⇔ + − + = − +
( )( ) ( )3x 1 2x 2 2 3x 1 2x 2 4x x 3 2 4x x 3⇔ + + + − + + = + + − +
( )( ) ( )3x 1 2x 2 4x x 3⇔ + + = +
2 2
6x 8x 2 4x 12x⇔ + + = +
x 1⇔ = .
So v i i u ki n và thay th x 1= vào phương trình ( )∗ thì ( )∗ th a. V y phương trình có
nghi m duy nh t x 1= .
BÀI T P TƯƠNG T
Bài t p 1. Gi i các phương trình sau:
1/ 2
x 3x 4 3x 1+ + − = . S:
3 105
x
16
− +
= .
2/ 2
x 2x 6 2 x+ − = − . S:
5
x
3
= .
3/ 2
x x x 2 3+ + + = . S: x 1= .
4/ 2
x 2 x 3x 1 0+ + + + = . S: x 3= − .
5/ 3
x 2x 5 2x 1− + = − . S: x 2 x 1 3= ∨ = + .
6/ 3
3x x x 1 2+ − + = − . S: x 1= − .
7/ 3 2
x x 6x 28 x 5+ + + = + . S:
1 13
x 1 x
2
− ±
= ∨ = .
8/ 4 3
x 4x 14x 11 1 x− + − = − . S: x 2 x 1= − ∨ = .

Page - 13 -
9/ ( )4 3 2
x 5x 12x 17x 7 6 x 1+ + + + = + . S: x 3 2= − .
10/ 3x 1 x 1 8+ + + = . S: x 8= .
11/ 7x 4 x 1 3+ − + = . S: x 3= .
12/ 5x 1 2x 3 14x 7+ + + = + . S:
1
x x 3
9
= − ∨ = .
13/ 3x 3 5 x 2x 4− − − = − . S: x 2 x 4= ∨ = .
14/ 11x 3 x 1 4 2x 5+ − + = − . S: x 3= .
15/ 5x 1 3x 2 x 1− − − = − . S: x 2= .
16/ 2 3x 1 x 1 2 2x 1+ − − = − . S: x 5= .
Bài t p 2. Gi i các phương trình sau
1/ 2 3 2
x 1 x 5x 2x 4− = − − + . S:
7 29 5 13
x 1 x x
2 2
± ±
= − ∨ = ∨ = .
2/ 3
x 3x 1 2x 1− + = − . S: x 2 x 5= ∨ = .
3/ 2
x 1 x 1− + = . S: x 0 x 1= ∨ = ± .
4/ 2
x 1 x 1 1 1 x+ + − = + − . S: x 0 x 2= ∨ = ± .
5/ ( )3 2x x 5 2 3x x 2− − = + + − . S:
23 3
x x
9 23
= − ∨ = .
Bài t p 3. Gi i các b t phương trình sau:
1/ 2
2x 3 4x 3x 3+ ≤ − − . S: )
3 3
x ; 2;
2 4
 
 ∈ − − ∪ +∞ 
 
.
2/ 2
x x 12 x− − < . S: )x 4;∈ +∞
.
3/ 2
x 4x 3 2x 5− + − > − . S:
14
x 1;
5
  ∈  
.
4/ 2
5x 2x 2 4 x− − ≥ − . S: (
3
x ; 3 ;
2
   ∈ −∞ − ∪ +∞  
.
5/ x 9 2x 4 5+ + + > . S: x 0> .
6/ x 2 3 x 5 2x+ − − < − . S: )x 2;2∈ −
.
7/ 7x 1 3x 8 2x 7+ − − ≤ + . S: )x 9;∈ +∞
.
8/ 5x 1 4x 1 3 x+ − − ≤ . S:
1
x ;
4
  ∈ +∞ 
.
9/ 5x 1 4 x x 6+ − − ≤ + . S:
1
x ;3
5
 
 ∈ −
 
 
.

Page - 14 -
Bài t p 4. Gi i các b t phương trình sau
1/ 2
3x 5 x 7x+ < + . S: ( ) ( ) ( )x ; 5 2 5 5; 5 2 5 1;∈ −∞− − ∪ − − + ∪ +∞ .
2/ 2
x 8x 1 2x 6+ − < + . S: ( )x 5 2 5; 1∈ − + .
3/ 2
2x 3x 10 8 x− − ≥ − . S:
1 37 1 37
x ; 1 2;1 2 ;
2 2
   − +     ∈ −∞ ∪ − + ∪ +∞           
.
4/ 2 2
x 5x 4 x 6x 5− + ≤ + + . S:
1
x ;
11
  ∈ − +∞   
.
5/ 2
4x 4x 2x 1 5+ − + ≥ . S: ( )x ; 2 1; ∈ −∞ − ∪ +∞  
.
6/ 2
2x 1 1
2x 3x 4
−
<
− −
. S: ( ) ( )
7 57
x ; 3 1;4 ;
2
 +  ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞   
.
7/
2x 1
x 5
x 1
+
≥ +
−
. S: ( ) ( )x ; 1 7 3 15;1 1; 1 7 ∈ −∞− − ∪ − + ∪ − +  
.
8/
3
x 2
x 3 1
≥ +
+ −
. S: ) (x 5; 4 2;2 3∈ − − ∪ − −  
.
9/
9
x 2
x 5 3
≥ −
− −
. S: ( ( ) ( )x ; 1 2;5 8;5 3 2∈ −∞ − ∪ ∪ + .
Bài t p 5. Gi i phương trình: 2x 2x 1 7− − = .
Cao ng Lương Th c – Th c Ph m năm 2004 ( i h c Lương Th c Th c Ph m)
S: x 5= .
Bài t p 6. Gi i phương trình: 2 2
x x 6 12+ − = .
i h c Văn Hóa năm 1998
S: x 10= ± .
Bài t p 7. Gi i phương trình: ( )2
x 2x 8 3 x 4− − = − .
i h c Dân L p ông ô kh i B năm 2001
S: x 4 x 7= ∨ = .
Bài t p 8. Gi i phương trình: 2
x 6x 6 2x 1− + = − .
i h c Xây D ng năm 2001
S: x 1= .
1 4x x x 1+ − = − .
i h c Dân l p H ng Bàng năm 1999
S: x 3= .

Page - 15 -
3x 9x 1 x 2 0− + + − = .
i h c Dân L p Bình Dương kh i D năm 2001
S:
1
x
2
= − .
Bài t p 11. Gi i phương trình: 1 x 1 6 x+ − = − .
Cao ng sư ph m Nhà Tr – M u Giáo TWI năm 2000
S: x 2= .
Bài t p 12. Gi i phương trình: 5x 1 3x 2 x 1 0− − − − − = .
i h c Kinh t qu c dân kh i A năm 2000
S: x 2= .
Bài t p 13. Gi i phương trình: 16 x 9 x 7− + − = .
i h c à L t kh i A, B năm 1998
S: x 0 x 7= ∨ = .
Bài t p 14. Gi i phương trình: x 8 x x 3+ − = + .
Cao ng kinh t k thu t Ngh An kh i A năm 2006
S: x 1= .
Bài t p 15. Gi i phương trình: 3x 4 2x 1 x 3+ − + = + .
H c Vi n Ngân Hàng kh i A năm 1998
S:
1
x
2
= − .
Bài t p 16. Gi i phương trình: 2x 9 4 x 3x 1+ = − + + .
Cao ng sư ph m M u Giáo – Trung Ương III năm 2006
S:
11
x 0 x
3
= ∨ = .
2x 8x 6 x 1 2x 2+ + + − = + .
i h c Bách Khoa Hà N i kh i A – D năm 2001
S: x 1 x 1= − ∨ = .
Bài t p 18. Gi i b t phương trình: 2
x x 6 x 2+ − ≥ + .
Cao ng kh i T – M năm 2004 ( i h c Hùng Vương)
S: (x ; 3∈ −∞ − 
.
Bài t p 19. Gi i b t phương trình: 2x 3 x 2+ ≥ − .
i h c Dân l p kĩ thu t công ngh kh i A – B năm 1999
S:
3
x ; 3 2 2
2
 
 ∈ − +
 
 
.

Page - 16 -
Bài t p 20. Gi i b t phương trình: 2x 1 8 x− ≤ − .
i h c Dân l p kĩ thu t công ngh kh i D năm 1999
S:
1
x ; 5
2
 
 ∈
 
 
.
8x 6x 1 4x 1 0− + − + ≤ .
D b i h c kh i D năm 2005
S:
1
x ;
4
  ∈ +∞ 
.
Bài t p 22. Gi i b t phương trình: ( )( )x 1 4 x x 2+ − > − .
i h c M – a ch t Hà N i năm 2000
S:
7
x 1;
2
  ∈ −  
.
x x 4x 1+ + > .
H c Vi n Chính Tr Qu c Gia Tp. H Chí Minh năm 2000
S:
1
x ;
6
  ∈ +∞   
.
Bài t p 24. Gi i b t phương trình: ( )( ) ( )x 5 3x 4 4 x 1+ + > − .
i h c Kinh t Qu c Dân năm 2001 – Cao ng sư ph m C n Thơ kh i A năm 2005
S: (
4
x ; 5 ;4
3
   ∈ −∞ − ∪ −   
.
Bài t p 25. Gi i b t phương trình:
x 1 x 2
2 3
x x
− −
− ≥ .
i h c M Hà N i kh i A – B – R – V – D4 năm 1999
S:
1
x ; 0
12
  ∈ −   
.
2 2
6 x x 6 x x
2x 5 x 4
+ − + −
≥
+ +
.
i h c Hu kh i D – R – T năm 1999 – H không chuyên ban
S: x 2; 1 x 3 ∈ − − ∨ =  
.
Bài t p 27. Gi i b t phương trình: ( )2 2
x 3x 2x 3x 2 0− − − ≥ .
i h c D – 2002

Page - 17 -
S:
1
x ; x 2 x 3
2
 
 ∈ −∞ − ∨ = ∨ ≥  
.
Bài t p 28. Gi i b t phương trình: ( )2 2
x x 2 2x 1 0+ − − < .
Cao ng sư ph m Nhà Tr – M u Giáo TWI năm 2000
S:
2 2
x 2; ;1
2 2
       ∈ − − ∪         
.
Bài t p 29. Gi i b t phương trình: 22x 4
x 10x 3x 3 0
2x 5
 +  − − − ≥   − 
.
thi th i h c l n 7 – THPT Chuyên i h c Sư Ph m Hà N i năm 2012
S:
1 5
x 3 x ;
3 2
  = ∨ ∈  
.
2
51 2x x
1
1 x
− −
<
−
.
i h c Tài Chính K Toán Hà N i năm 1997
S: ) ( )x 1 52; 5 1; 1 52∈ − − − ∪ − +
.
2
3x x 4
2
x
− + +
< .
i h c Xây D ng năm 1997 – 1998
S: )
9 4
x 1;0 ;
7 3
 
 ∈ − ∪    
.
2
1 1
2x 12x 3x 5
>
−+ −
.
i h c Sư Ph m Vinh kh i B, E năm 1999
S: ( )
5 3
x ; 1; 2;
2 2
      ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞        
.
Bài t p 33. Gi i b t phương trình: x 1 3 x 4+ > − + .
i h c Bách khoa Hà N i năm 1999
S: ( )x 0;∈ +∞ .
Bài t p 34. Gi i b t phương trình: x 3 2x 8 7 x+ ≥ − + − .
i h c Ngo i Thương kh i D năm 2000
S: x 4; 5 6; 7   ∈ ∪      
.
Bài t p 35. Gi i b t phương trình: x 1 2 x 2 5x 1+ + − ≤ + .

Page - 18 -
Cao ng kh i A – B năm 2009
S: x 2;3 ∈   
.
Bài t p 36. Gi i b t phương trình: 7x 13 3x 9 5x 27− − − ≤ − .
i h c Dân L p Phương ông kh i A, D năm 2001
S:
229 26304
x ;
59
 +  ∈ +∞   
.
Bài t p 37. Gi i b t phương trình: x 5 x 4 x 3+ − + > + .
i h c Ngo i Ng Hà N i năm 1997
S:
12 2 3
x 3;
3
 − + ∈ − 
  
.
Bài t p 38. Gi i b t phương trình: 3x 4 x 3 4x 9+ + − ≤ + .
i h c Dân L p Bình Dương kh i A năm 2001
S: x 3;4 ∈   
.
Bài t p 39. Gi i b t phương trình: x 4 x 1 x 3+ < − + − .
i h c Thăng Long kh i D năm 2001
S: ( )x 8;∈ +∞ .
x 5 3
1
x 4
+ −
<
−
.
i h c H ng c kh i D năm 2001
S: ( ) { }x ; 5 4∈ −∞ − .
Bài t p 41. Gi i b t phương trình: x 1 x 1 4+ + − ≤ .
i h c Dân L p Bình Dương kh i D năm 2001
S:
5
x 1;
4
 
 ∈
 
 
.
Bài t p 42. Gi i b t phương trình: 2x 7 5 x 3x 2+ − − ≥ − .
D b i h c kh i B năm 2005
S:
2 14
x ;1 ;5
3 3
   
   ∈ ∪
   
   
.
Bài t p 43. Gi i b t phương trình: 5x 1 x 1 2x 4− − − > − .
i h c A – 2005
S: )x 2;10∈ 
.

Page - 19 -
Bài t p 44. Gi i b t phương trình: x 1 x 2 x 3− − − ≥ − .
thi th i h c năm 2010 – THPT Long Châu Sa – Phú Th
S:
6 2 3
x 3;
3
 + ∈  
  
.
Bài t p 45. Gi i b t phương trình: ( )
2
2
3 2 x 3x 2
1, x
1 2 x x 1
− + +
> ∈
− − +
» .
thi Th i h c l n 1 năm 2013 kh i A, B – THPT Qu c Oai – Hà N i
S:
13 1
x ;
6
 −  ∈ +∞   
.
2x 6x 1 x 2 0− + − + > .
i h c Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 1994
S: ( )
3 7
x ; 3;
2
 − ∈ −∞ ∪ +∞   
.
x 2x 1 x 2x 1− + = − + .
Cao ng sư ph m Cà Mau kh i B năm 2005
S: x 0 x 1 x 2= ∨ = ∨ = .
Bài t p 48. Gi i phương trình: x 1 x 1− = − .
Cao ng sư ph m Cà Mau kh i T – M năm 2005
S: x 1 x 2= ∨ = .
Bài t p 49. Gi i b t phương trình: x 3 2 x 1+ − − > .
Cao ng Tài chính qu n tr kinh doanh kh i A năm 2006
S: (x 1;2∈ 
.
Bài t p 50. Gi i b t phương trình: x 3 x 1 2x 1+ − − > − .
i h c Dân L p H ng Bàng năm 1999
S:
3
x 1;
2
 
 ∈
 
 
.
Bài t p 51. Gi i b t phương trình: 2 2 2
x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ − + + − ≤ + − .
i h c An Ninh kh i D – G năm 1998
S: x 1= .
x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + ≤ + + .
i h c Bách Khoa Hà N i kh i D năm 2000
S: x 1 x 5= ∨ = − .

Page - 20 -
Bài t p 53. Gi i b t phương trình: 2 2
x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ − .
i h c Ki n Trúc Hà N i năm 2001
S:
1
x ; x 1
2
 
 ∈ −∞ ∨ =  
.
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − + .
i h c Y Dư c năm 2001 – i h c Qu c gia Tp. H Chí Minh năm 1996
S: )x 4; x 1∈ +∞ ∨ =
.
Bài t p 55. Gi i phương trình: x 2 x 1 x 3 4 x 1 1− − + + − − = .
i h c Th y S n năm 1997
S: x 2 x 5= ∨ = .
Bài t p 56. Gi i phương trình: 2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + − + = .
i h c kh i D năm 2005
S: x 3= .
Bài t p 57. Gi i phương trình: x 5 4 x 1 x 2 2 x 1 1+ − + + + − + = .
S: x 0 x 3= ∨ = .
Bài t p 58. Gi i phương trình: x 2 x 1 3 x 8 6 x 1 1 x+ − + + − − = − .
S: x 5= .
Bài t p 59. Gi i phương trình: x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − − − − = .
i h c C nh Sát Nhân Dân II năm 2001
S: )x 2;∈ +∞
.
Bài t p 60. Gi i phương trình: 2x 4 2 2x 5 2x 4 6 2x 5 14− + − + + + − = .
S: x 15= .
Bài t p 61. Gi i phương trình: 2 2 2 25 5
x 1 x x 1 x x 1
4 4
− + − + − − − = + .
i h c Phòng Cháy Ch a Cháy năm 2001
S:
3
x
5
= .
Bài t p 62. Gi i phương trình:
x 5
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
2
+
+ + + + + − + = .
i h c Th y S n năm 2001
S: x 1 x 3= − ∨ = .
Bài t p 63. Gi i: 2x 2 2x 1 2 2x 3 4 2x 1 3 2x 8 6 2x 1 4− − − + − − + + − − = .

Page - 21 -
S:
5
x 1 x
2
= ∨ = .
x 1 x 1 x 2− + + = .
S: x 0 x 1= ∨ = ± .
Bài t p 65. Gi i phương trình: 3 3 3
x 1 x 3 2− − − = .
S: x 1 x 3= ∨ = .
2x 1 1 x x− + − = .
S:
3
1
x 0 x 1 x
2
= ∨ = ∨ = .
x 1 x 2 2x 3− + − = − .
S:
3
x 1 x x 2
2
= ∨ = ∨ = .
2x 1 x 1 3x 2− + − = − .
Cao ng H i Quan năm 1996
S:
2 1
x x x 1
3 2
= ∨ = ∨ = .
x 1 x 2 x 3 0+ + + + + = .
i h c An Ninh kh i A năm 2001 – H c Vi n K Thu t Quân S năm 1999
S: x 2= .
x 5 x 6 2x 11+ + + = + .
S:
11
x 5 x 6 x
2
= − ∨ = − ∨ = − .
2x 5 3x 7 5x 2 0− + + − + = .
S:
5 5 7
x x x
2 2 3
= − ∨ = ∨ = − .
x 1 3x 1 x 1+ + + = − .
S: x 1= − .
Bài t p 73. Gi i phương trình: 3x 8 3x 5 5x 4 5x 7+ − + = − − − .
i h c Dân L p Văn Lang kh i A, B năm 1997
S: x 6= .
x 2x x 2 x x 2x 2+ + + = + + − .
S: Vô nghi m.
Bài t p 75. Gi i phương trình: ( )2 x 4 2x 3 x 6 x 5− − + = − − + .

Page - 22 -
S: Vô nghi m.
Bài t p 76. Gi i phương trình: 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2+ + − = + + − .
D b i h c kh i B năm 2008
S: x 3= .
Bài t p 77. Gi i phương trình: 2 2 2 2
x 2 x 7 x x 3 x x 8+ + + = + + + + + .
S: x 1= − .
Bài t p 78. Gi i phương trình: x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3+ + + = − + − .
S:
13
x
4
= .
1 1
x x
x x
− = − .
S: x 1= .
Bài t p 80. Gi i phương trình: x x 9 x 1 x 4+ + = + + + .
i h c Ngo i Thương kh i D năm 1997
S: x 0= .
3
2x 1
x 1 x x 1 x 3
x 3
+
+ + = − + + +
+
.
S: x 1 3= ± .
( )2
2 x 16 7 x
x 3
x 3 x 3
− −
+ − >
− −
.
i h c A – 2004
S: ( )x 10 34;∈ − + ∞ .
Bài t p 83. Gi i phương trình: 4 3 10 3x x 2− − = − .
H c sinh gi i Qu c Gia năm 2000
S: x 3= .
1 1 2
x x
xx x
+ + − ≥ .
i h c An Giang kh i A năm 2000
S: 3
5
x ;
4
  ∈ +∞  
.

Page - 23 -
B – GI I PHƯƠNG TRÌNH & B T PHƯƠNG TRÌNH B NG CÁCH ƯA V
TÍCH S HO C T NG HAI S KHÔNG ÂM
1/ S d ng bi n i cơ b n
Dùng các phép bi n i, ng nh t k t h p v i vi c tách, nhóm, ghép thích h p ưa phương
trình v d ng tích ơn gi n hơn và bi t cách gi i.
M t s bi n i thư ng g p
● ( ) ( )( )2
1 2
f x ax bx c a x x x x= + + = − − v i 1 2
x , x là hai nghi m c a ( )f x 0= .
● Chia Hoocner ưa v d ng tích s (" u rơi, nhân t i, c ng chéo").
● Các h ng ng th c thư ng g p.
● ( )( )u v 1 uv u 1 v 1 0+ = + ⇔ − − = .
● ( )( )au bv ab vu u b v a 0+ = + ⇔ − − = .
........
2/ T ng các s không âm
Dùng các bi n i (ch y u là h ng ng th c) ho c tách ghép ưa v d ng:
2 2 2
A 0
B 0
A B C .... 0
C 0
... 0
 = =+ + + = ⇔ 
 = =
.
3/ S d ng nhân liên h p
 D oán nghi m o
x x= b ng máy tính b túi ( )SHIFT SOLVE hay ALPHA CALC− − .
 Tách, ghép phù h p sau khi nhân liên h p xu t hi n nhân t chung ( )o
x x− ho c b i c a
( )o
x x− trong phương trình nh m ưa v phương trình tích s : ( ) ( )o
x x .g x 0− = .
 Các công th c thư ng dùng trong nhân liên h p
Bi u th c Bi u th c liên hi p Tích
A B± A B A B−
3 3
A B+ 3 332 2
A AB B− + A B+
3 3
A B− 3 332 2
A AB B+ + A B−
4/ t n ph không hoàn toàn
t n s ph không hoàn toàn là m t hình th c phân tích thành nhân t . Khi t n ph t thì bi n
x v n t n t i và ta xem x là tham s . Thông thư ng thì ó là phương trình b c hai theo t (tham s
x) và gi i b ng cách l p ∆.

Page - 24 -
II – CÁC VÍ D MINH H A
1/ S d ng bi n i ng th c cơ b n ưa v phương trình tích s
x x 5 5+ + = ∗
Cao ng sư ph m C n Thơ kh i M năm 2005
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 5 0 x 5+ ≥ ⇔ ≥ − .
( ) ( ) ( )2
x x 5 x x 5 0∗ ⇔ − + + + + =
( ) ( )
2
2
x x 5 x x 5 0⇔ − + + + + =
( )( ) ( )x x 5 x x 5 x x 5 0⇔ − + + + + + + =
( )( )x x 5 x 1 x 5 0⇔ + + + − + =
( )
( )
x 5 x 1
x 5 x 1 2
 + = −
⇔ 
 + = +

( ) 2
x 0
x 0 1 21
1 x1 21 1 21x 5 x 2x x
2 2
 ≤ − ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ =  + − + = = ∨ =  
.
( )
( )
2
x 1x 1 0 1 17
2 x1 17 1 17 2x 5 x 1 x x
2 2
 ≥ − + ≥ − +  ⇔ ⇔ ⇔ =  − − − + + = + = ∨ =  
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
1 21 1 17
x x
2 2
− − +
= ∨ = .
Nh n xét: Ta có th gi i bài toán trên b ng phương pháp t n ph y x 5= + ưa v h
phương trình g n i x ng lo i II:
2
2
y x 5
x y 5
 − =
 + =
và l y v tr v . Ta s gi i ra tìm x.
D ng t ng quát c a bài toán là: 2
x x a a , a+ + = ∈ » .
Thí d 26. Gi i phương trình: ( ) ( )2 2
x 3 10 x x x 12+ − = − − ∗
i h c Dư c Hà N i năm 1999
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2
10 x 0 10 x 10− ≥ ⇔ − ≤ ≤ .
( ) ( ) ( )( )2
x 3 10 x x 3 x 4∗ ⇔ + − = + −
( ) ( )2
x 3 10 x x 4 0
 
⇔ + − − − = 
 

Page - 25 -
( )2
x 3
10 x x 4 1
 = −⇔ 
− = −
● Ta có: 10 x 10 x 4 10 4 0 x 4 0− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − < ⇒ − < nên ( )1 vô nghi m.
● V y phương trình có nghi m duy nh t x 3= − .
x 1 x 2 1 x 3x 2+ + + = + + + ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )( )3 3 3x 1 1 x 2 x 1 x 2 0
 
∗ ⇔ + − + + − + + = 
 
( ) ( )3 3 3
x 1 1 x 2 1 x 1 0⇔ + − + + − + =
( )( )3 3
x 1 1 1 x 2 0⇔ + − − + =
3
3
x 1 1 x 0
x 1x 2 1
 + = = ⇔ ⇔  = − + = 
.
Nh n xét: Trong hai thí d trên tôi ã s d ng phân tích thành tích c a tam th c b c hai:
( ) ( )( )2
1 2
f x ax bx c a x x x x= + + = − − v i 1 2
x , x là hai nghi m c a ( )f x 0= .
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1+ − = − + − + − + ∗
D b 2 i h c kh i D năm 2006
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
2
7 x 0
x 1 0 1 x 7
x 8x 7 0
 − ≥ − ≥ ⇔ ≤ ≤
− + − ≥
.
( ) ( )( )x 1 2 x 1 2 7 x 7 x x 1 0∗ ⇔ − − − + − − − − =
( ) ( )x 1 x 1 2 x 7 x 1 2 0⇔ − − − − − − − =
( )( )x 1 2 x 1 x 7 0⇔ − − − − − =
x 1 2
x 1 x 7
 − =
⇔ 
 − = −

x 5
x 4
 =⇔  =
.
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6+ + = + + + − ∗
Bài gi i tham kh o

Page - 26 -
● i u ki n:
2
x 10x 21 0
x 3 0 x 3
x 7 0
 + + ≥ + ≥ ⇔ ≥ −
 + ≥
.
( ) ( )( )x 3 x 7 3 x 3 2 x 7 6 0∗ ⇔ + + − + − + + =
( ) ( )x 3 x 7 3 2 x 7 3 0⇔ + + − − + − =
( )( )x 7 3 x 3 2 0⇔ + − + − =
x 7 3 x 2
x 1x 3 2
 + = = ⇔ ⇔  = + = 
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 x 2= ∨ = .
x 3x 2 x 2 2x x 5
x
+ + + = + + + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
2
x 3x 0
x 2 0
x 0x 0
6
x 5 0
x
 + ≥ + ≥ ⇔ > ≠ + + ≥
.
( ) ( )
2
x 5x 6
x x 3 2 x 2 2x 0
x
+ +
∗ ⇔ + + + − − =
( )( )x 2 x 3x 3
x 2 x 2 2x 0
x x
+ ++
⇔ − + + − =
( ) ( )x 3
x x 2 2 x x 2 0
x
+
⇔ − + − − − =
( ) x 3
x x 2 2 0
x
 +  ⇔ − − − =   
x 2 x
x 3
2
x
 − =
⇔  +
=

x 2
x 1
 =⇔  =
.
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 x 2= ∨ = .
2x 1 x 3x 1 0− + − + = ∗

Page - 27 -
Trích thi i h c kh i D năm 2006
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
1
x
2
≥ .
Cách gi i 1. Bi n i ưa v phương trình tích s
( ) ( )2
2x 1 x x 2x 1 0∗ ⇔ − − + − − =
( ) ( )
2
2
2x 1 x x 2x 1 0⇔ − − + − − =
( ) ( )( )2x 1 x x 2x 1 x 2x 1 0⇔ − − + − − + − =
( )( )x 2x 1 1 x 2x 1 0⇔ − − − + + − =
2x 1 x
2x 1 1 x
 − =
⇔ 
 − = −

( )
22 2
1 x 0x 0
2x 1 x 2x 1 1 x
  − ≥ ≥  ⇔ ∨ 
 − = − = −  
x 1 x 2 2⇔ = ∨ = − .
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 x 2 2= ∨ = − .
Cách gi i 2. Bi n i và nhân lư ng liên h p ưa v phương trình tích s
( ) ( ) ( )2
2x 1 1 x 3x 2 0∗ ⇔ − − + − + =
( )( )
( )( )
2x 1 1 2x 1 1
x 1 x 2 0
2x 1 1
− − − +
⇔ + − − =
− +
( )
( )( )
2 x 1
x 1 x 2 0
2x 1 1
−
⇔ + − − =
− +
( )
2
x 1 x 2 0
2x 1 1
  ⇔ − + − =   − +
.
n ây, gi i ti p t c ư c k t qu x 1 x 2 2= ∨ = − .
Cách gi i 3. Xem ây là d ng A B= .
( ) 2
2x 1 x 3x 1∗ ⇔ − = − + −
( )
2
2
2
x 3x 1 0
2x 1 x 3x 1
− + − ≥⇔ 
 − = − + −

Page - 28 -
4 3 2
3 5 3 5
x
2 2
x 6x 11x 8x 2 0
 − + ≤ ≤⇔ 
 − + − + =
( ) ( )
2
2
3 5 3 5
x
2 2
x 1 x 4x 2 0
 − + ≤ ≤⇔ 
 − − + =
3 5 3 5
x
2 2
x 1 x 2 2
 − + ≤ ≤⇔ ⇔
 = ∨ = ±
x 1 x 2 2= ∨ = − .
Cách gi i 4. t n s ph
t
2
t 1
t 2x 1 0 x
2
+
= − ≥ ⇒ = . Lúc ó: ( ) 4 2
t 4t 4t 1 0∗ ⇔ − + − =
( ) ( )
2
2
x 1t 2x 1 1
t 1 t 2t 1 0
x 2 2t 2x 1 2 1
  == − = ⇔ − + − = ⇔ ⇔ 
= − = − = − 
.
Thí d 32. Gi i phương trình: ( ) ( )2
x 2 x 1 x 1 x x x 0− − − − + − = ∗
H c Vi n K Thu t Quân S năm 2000
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
2
x 1 0 x 1
x 0 x 0 x 1
x 0 x 1x x 0
  − ≥ ≥   ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
   ≤ ∨ ≥ − ≥ 
.
( ) ( ) ( ) ( )
2
x 1 2 x 1 1 x x 1 x 1 x x x 0
 
 ∗ ⇔ − − − + − − − + − =
  
( ) ( )( )
2
x 1 1 x x 1 x 1 1 0⇔ − − − − − − =
( ) ( )
( )
( ) ( )
x 1 1 1
x 1 1 x 1 1 x x 1 0
x 1 x x 1 1 2
 − = 
⇔ − − − − − − = ⇔  
   − = − +
( )1 x 1 1 x 2⇔ − = ⇔ = .
( ) ( ) ( ) ( )2
2 x 1 x x 1 1 2 x x 1 x 2x 2 2 x x 1 0⇔ − = − + + − ⇔ − + + − =
( ) ( )
2
x 1 2 x x 1 1 0 :⇔ − + − + = vô nghi m.
● So v i i u ki n, phương trình có nghi m duy nh t x 2= .
Thí d 33. ( ) ( )23 3 3
x 3x 2 x 1 x 2 1+ + + − + = ∗
Bài gi i tham kh o

Page - 29 -
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3 3
3 3 3 33x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 0∗ ⇔ + − + + + + + − + =
( )( ) ( )( ) ( )
2 2
3 3 3 33x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 0
 
 ⇔ + − + + + + + + + =
  
( )( )
2
3 3 3 3
x 1 x 2 x 1 x 2 0⇔ + − + + + + =
3 3
3 3
x 1 x 2 3
x
2x 1 x 2
 + = +
⇔ ⇔ = −
 + = − +

.
2x 6x 10 5 x 2 x 1 0− + − − + = ( )∗
Trích thi th i h c l n 1 năm 2013 kh i A, B, D – THPT Lê H u Trác 1
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1≥ − .
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 x 2 2 x 1 5 x 2 x 1 0∗ ⇔ − + + − − + =
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 x 2 x 2 x 1 2 x 1 4 x 2 x 1 0
    ⇔ − − − + + + − − + =       
.
.
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m: x 3 x 8= ∨ = .
4x 2x 3 8x 1+ + = + ∗
Trích thi th i h c kh i A, B, D năm 2013 – THPT S m Sơn – Thanh Hóa
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
3
2x 3 0 x
2
+ ≥ ⇔ ≥ − .
( ) ( )
2 2
2
2 9 1 3 1
4x 6x 2x 3 2 2x 3 2x 2x 3
4 4 2 2
      ∗ ⇔ − + = + − + + ⇔ − = + −        
( ) ( ) ( )x 2 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 0   ⇔ − − − + − + − − + =      
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 x 2 x 1 0 1
2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 0
2 x 1 x 2 0 2
 − − + =   ⇔ − − + − − + = ⇔         + − − =

( ) ( ) 2
x 2
x 2 x 3
1 x 1 2 x 2 x 3
4x 17x 15 0 5
x
4
 ≥ ≥  =  ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ = 
 − + =   =
( ) 2
x 2
x 2
x 02 x 1 x 2 x 8
x 8x 0
x 8
 ≥ ≥   =⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =  − =  =

Page - 30 -
3 1 5 21
2x 2x 3 x2x 3 2x 1
2 2 4
3 1 2x 3 1 2x 3 172x 2x 3 x
2 2 4
 − − = + − =+ = −  ⇔ ⇔ ⇔  + = − +− = − +  =  
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là
5 21 3 17
x x
4 4
− +
= ∨ = .
729x 8 1 x 36+ − = ∗
T p chí Toán h c và Tu i tr s 228
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2
1 x 0 1 x 1− ≥ ⇔ − ≤ ≤ .
● t ( )
2
2 2 2 2 2 4 2
y 1 x 0 y 1 x x 1 y x 1 y= − ≥ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − .
( ) ( )
2
2
729 1 y 8y 36 0∗ ⇔ − + − =
( ) ( )
2
2 2 2 24 4
27 1 y 36 1 y 36y 8y 0
9 9
     ⇔ − − − + − − + =     
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 22 2 4
27 1 y 6y 0 27 1 y 6y 27 1 y 6y 0
3 3 3
          ⇔ − − − − = ⇔ − − − + − =           
( ) ( )2 2 4
27 1 y 6y 0 27 1 y 6y 0
3
⇔ − − = ∨ − + − = .
● V i
( )2 2
1 82
y 0 L 1 8291 y 6y 0 1 x
91 82
y
9
 − − = < − +
− − = ⇔ ⇔ − =
 − + =

1
x 2 2 82
9
⇔ = ± − + .
● V i ( )2 4
27 1 y 6y 0
3
− + − = . Gi i ra ta phương trình vô nghi m.
● V y phương trình có hai nghi m:
1
x 2 2 82
9
= ± − + .
Thí d 37. Gi i phương trình: ( )
2
2 x 5x 2
x x 2
2x 2
+ +
+ + = ∗
+
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
2
x x 2 0, x
x 1
2x 2 0
 + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ≠ −
 + ≠
»
.
( ) ( )2 2
x 5x 2 2x 2 x x 2∗ ⇔ + + − + + +

Page - 31 -
( ) ( )2 2
x x 2 2x 2 x x 2 4x 0⇔ + + − + + + + =
( )
2
2 2 2
x x 2 2x x x 2 2 x x 2 4x 0⇔ + + − + + − + + + =
( ) ( )2 2 2
x x 2 x x 2 2x 2 x x 2 2x 0⇔ + + + + − − + + − =
( )( )2 2
x x 2 2x x x 2 2 0⇔ + + − + + − =
2
2
x x 2 2x x 1
x 2x x 2 2
 + + = = ⇔ ⇔  = − + + = 
.
BÀI T P TƯƠNG T
x x 7 7+ + = .
Cao ng Sư Ph m K Thu t Vinh năm 2001
S:
1 29
x 2 x
2
−
= ∨ = .
x x 1 1+ + = .
S:
1 5
x 1 x 0 x
2
−
= − ∨ = ∨ = .
2
x
3x 2 1 x
3x 2
− − = −
−
.
S: x 1= .
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3− + + + = − + + − .
S: x 2= .
Bài t p 89. Gi i phương trình: ( ) ( ) 2
x x 1 x x 2 2 x− + + = .
i h c sư ph m Hà N i kh i D năm 2000 – Cao ng sư ph m Hà N i năm 2005
S:
9
x 0 x
8
= ∨ = .
4x 14x 11 4 6x 10+ + = + .
T p chí Toán h c và Tu i tr s 420 tháng 6 năm 2012
S:
3 13
x
4
− +
= .
x 3 2x x 1 2x x 4x 3+ + + = + + + .
S: x 0 x 1= ∨ = .

Page - 32 -
x 8x 15 x 2x 15 x 9x 18− + + + − = − + .
S: x 3= .
2x 8x 6 x 1 2x 2+ + + − = + .
S: x 1= − .
x x 2 2 x 2 2 x 1− − − − + = + .
S: x 3= .
x x 1 x x 1+ + − + = .
i h c Dân L p H i Phòng kh i A năm 2000
S: x 0 x 1= ∨ = .
Bài t p 96. Gi i phương trình: ( ) 2
x 1 2 x 1 x 1 1 x 3 1 x+ + + = − + − + − .
Tuy n sinh vào l p 10 chuyên Toán i h c Sư Ph m Hà N i I năm 1997 – 1998
S: x 0= .
x 1 x x x x+ + = + + .
HD: ( )3 333 3
x 1 x 1
x 1 x 1 1 x 1 0
x x
 + +  + = + + ⇔ − − =   
.
Bài t p 98. Gi i phương trình: ( )2 2
3x 3x 2 x 6 3x 2x 3+ + = + − − .
x x 2 3x 2 x 1+ + = − + .
2
2 3x 3x 2
x x 2
3x 1
+ +
+ + =
+
.
x 2 2 2x 1
x 2
x 2x 1
+ + +
+ =
+ +
.
x 2x 3 3 x 5 1 3x 2x 13x 15 2x 3+ + + + = + + + + + .
14 x 35 6 x 1 84 x 36x 35+ + + = + + + .
4 x x 1 1 5x 4x 2x x+ + = + + − − .
thi h c sinh gi i vòng 1 t nh Long An – Ngày 6/10/2011
S:
1 3 2 5 1 19 2 21
x x
2 2
− ± + − ± −
= ∨ = .
2x 7 2x 7 x 9x 7+ + = + + .
Bài t p 106. Gi i phương trình: ( )( )2 2
x 3 x 1 x x 4x 3 2x+ − + + + + = .
HD: Nhân hai v cho ( ) ( )( )x 3 x 1 ... x x 3 x x 1 0+ + + ⇒ − + − + = .

Page - 33 -
2/ Bi n i v t ng hai s không âm
4 x 1 x 5x 14+ = − + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1≥ − .
( ) 2
x 5x 14 4 x 1 0∗ ⇔ − + − + =
( ) ( )2
x 1 4 x 1 4 x 6x 9 0⇔ + − + + + − + =
( ) ( )
2 2
2
x 1 2.2 x 1 2 x 3 0
 
 ⇔ + − + + + − =
  
( ) ( )
2 2
x 1 2 x 3 0⇔ + − + − =
x 1 2 0
x 3
x 3 0
 + − =⇔ ⇔ =
 − =
.
● K t h p v i i u ki n, nghi m phương trình là x 3= .
Thí d 39. Gi i phương trình: ( )x 4 x 3 2 3 2x 11+ + + − = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
x 3 0 3
3 x
3 2x 0 2
 + ≥ ⇔ − ≤ ≤
 − ≥
.
( ) 11 x 4 x 3 2 3 2x 0∗ ⇔ − − + − − =
( ) ( )x 3 4 x 3 4 3 2x 2 3 2x 1 0⇔ + − + + + − − − + =
( ) ( )
2 2
x 3 2 3 2x 1 0⇔ + − + − − =
x 3 2 0 x 1
x 1
x 13 2x 1 0
 + − = = ⇔ ⇔ ⇔ = 
  =− − = 
.
● So v i i u ki n, nghi m phương trình là x 1= .
Thí d 40. Gi i phương trình: ( )13 x 1 9 x 1 16x− + + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 1≥ .
( ) 16x 13 x 1 9 x 1 0∗ ⇔ − − − + =
1 9
13 x 1 x 1 3 x 1 3 x 1 0
4 4
      ⇔ − − − + + + − + + =        

Page - 34 -
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 3 3
13 x 1 2. x 1. 3 x 1 2. x 1. 0
2 2 2 2
            ⇔ − − − + + + − + + =              
   
2 2
1 3
13 x 1 3 x 1 0
2 2
      ⇔ − − + + − =        
1 5
x 1 0 x 52 4 x
3 5 4
x 1 0 x
2 4
   − − = =   ⇔ ⇔ ⇔ = 
  + − = =    
.
● So v i i u ki n, phương trình có nghi m duy nh t
5
x
4
= .
Thí d 41. Gi i: ( )( ) ( )2 2 3 2
2 x 1 6 9 x 6 x 1 9 x x 2x 10x 38 0+ + − + + − − − + + = ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: ( )( )2
x 1 9 x 0 1 x 3+ − ≥ ⇔ − ≤ ≤ .
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
3 2 2
x 1 2 x 1 1 9 x 6 9 x 9
x x 9x 9 6 x 1 9 x 9 0
∗ ⇔ + − + + + − − − +
− − + + − + − + =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
22
2 2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 6 x 1 9 x 9 0
 
⇔ + − + − − + + − − + − + = 
  
( ) ( ) ( )( )
222
2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 3 0
 
⇔ + − + − − + + − − = 
  
( )( )2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 3 0 x 0⇔ + − = − − = + − − = ⇔ = .
BÀI T P TƯƠNG T
x x 6 4 1 3x− + = − .
S: x 1= − .
x 2x x 2x 16 2x 6x 20 0− − + + − + = .
S: x 2= .
x 2 x 1 3x 1 2 2x 5x 2 8x 5− + + = + + − − .
HD: ( ) ( )
2 2
PT x 1 3x 1 x 2 2x 1 0 x 1 ⇔ + − + + + − + = ⇒ =  
.
4x 12 x 1 4 x 5x 1 9 5x+ + − = − + − .

Page - 35 -
x y 4 2 2x 1 2y 1
x y
+ − − + = − + − .
S: x y 1= = .
2x x 3 x 2x x 2+ + = + + .
S: x 1= .
x x 3x 5 2 x 2 0− + + − + = .
S: x 1= − .
x 2006x 1006009x x 2x 2007 1004 0+ + + − + + = .
Ngh Olympic 30/04 – THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm – Qu ng Nam
HD: ( ) ( )
22
2 1
PT ... x x 1003 2x 2007 1 0 x 1003
2
⇔ ⇔ + + + − = ⇒ = − .
Bài t p 115. Gi i phương trình:( )( )2 2 24
x x x 3x 2007 2005x 4 4x 30 x x 1 2006− + + − − = + − + .
Ngh Olympic 30/04 – THPT chuyên Tr n i Nghĩa – Tp. H Chí Minh
HD: ( ) ( )
22
2 2 24 1 5
PT x x 1 2005 x 1 x 30 x x 1 0 x
2
− −
⇔ + − + + − + + − = ⇒ = .
4x 14x 11 4 6x 10+ + = + .
S:
3 13
x
4
− +
= .
3/ S d ng nhân liên h p
x 1 1 4x 3x+ + = + ∗
thi th i h c l n 1 kh i D năm 2013 – Trư ng THPT Lê Xoay
Nh n xét:
S d ng máy tính, ta tìm ư c m t nghi m là
1
x
2
= và ta có:
( ) ( )
( )( )2
3x x 1 2x 1
4x 1 2x 1 2x 1
 − + = −
 − = − +
nên ta có l i gi i sau:
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 0≥ .
( ) ( ) ( )2
4x 1 3x x 1 0∗ ⇔ − + − + =
( )( )
( )( )3x x 1 3x x 1
2x 1 2x 1 0
3x x 1
− + + +
⇔ − + + =
+ +

Page - 36 -
( )( )
( )2x 1
2x 1 2x 1 0
3x x 1
−
⇔ − + + =
+ +
( ) ( )1
2x 1 2x 1 0 1
3x x 1
  ⇔ − + + =  + +
● Ta có:
1
x 0 2x 1 0
3x x 1
∀ ≥ ⇒ + + >
+ +
nên ( )
1
1 2x 1 0 x
2
⇔ − = ⇔ = .
1
x
2
= .
Thí d 43. Gi i phương trình: ( )2x 3 x 2x 6− − = − ∗
thi i h c kh i A năm 2007
Nh n th y r ng:
( )
( )
2x 3 x x 3
2x 6 2 x 3
 − − = −
 − = −
nên ta có l i gi i sau:
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
3
x
2
≥ .
( )
( )
( )
x 3
2 x 3 0
2x 3 x
−
∗ ⇔ − − =
− +
( )
1
x 3 2 0
2x 3 x
  ⇔ − − =   − +
( )
x 3
1
2 1
2x 3 x
 =
⇔  =
 − +
( )
3 3 1 1
x 2x 3 x 1 1 2 VN
2 2 2x 3 x 2x 3 x
≥ ⇒ − + ≥ > ⇒ < ⇒ =
− + − +
.
● V y phương trình có nghi m duy nh t x 3= .
x 2 4 x 2x 5x 1− + − = − − ∗
thi th i h c l n 1 kh i A, B năm 2013 – Trư ng THPT Hà Trung – Thanh Hóa
Nh n xét:
S d ng ALPHA CALC− cho bi u th c: ( ) ( )2
f x x 2 4 x 2x 5x 1= − + − − − − v i
các giá tr nguyên trong kho ng t p xác nh x 2;4 ∈   
, ta nh n ư c ( )f x 0= khi x 3,=
nghĩa là x 3= là m t nghi m c a phương trình.
M t cách t nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù h p sao cho khi nhân lư ng liên h p xu t hi n
nhân t ( )x 3− ho c b i c a nó.

Page - 37 -
Ta không nên ghép c p ( )
( )2 x 3
x 2 4 x
x 2 4 x
−
− + − =
− − −
v i nhau, m c dù nó xu t
hi n nhân t ( )x 3− và c bi t là bi u th c ( )2
2x 5x 1− − không xu t hi n ( )x 3− . Hơn
n a, sau khi nhân liên h p nó xu t hi n h ng t x 2 4 x− − − dư i m u s mà chưa có
th kh ng nh ư c âm hay dương trong t p xác nh c a x, i u ó s gây khó khăn cho ta
khi gi i quy t ( ánh giá) bi u th c ( )g x 0= trong ( ) ( )x 3 .g x 0− = .
Do ó, ta suy nghĩ i tìm hai s , 0α β > trong hai bi u th c ( ) ( )x 2 , 4 x− − α − − β
sau khi nhân lư ng liên h p, c hai u xu t hi n ( )x 3− . Vì v y, hai s , 0α β > ph i
th a mãn ng nh t:
( )( )
( )( )
x 2 x 2 x 3
x 2 x 2
4 x 4 x x 3
4 x 4 x
 − − α − + α − = − + α − + α
 − − β − + β − = − + β − + β
2
2
x 2 x 3
4 x x 3 1
, 0
 − − α = −⇔ − − β = − ⇔ α = β =
α β >
. Nên ta có l i gi i sau:
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2 x 4≤ ≤ .
( ) ( ) ( ) ( )2
x 2 1 4 x 1 2x 5x 3 0∗ ⇔ − − + − − − − − =
( )( )
x 3 3 x
x 3 2x 1 0
x 2 1 4 x 1
− −
⇔ + − − + =
− + − +
( )
1 1
x 3 2x 1 0
x 2 1 4 x 1
  ⇔ − − − − =   − + − +
( )
x 3
1 1
2x 1 1
x 2 1 4 x 1
 =
⇔  − = +
− + − +
● Xét hàm s ( )f x 2x 1= + trên x 2;4 ∈   
th y ( ) ( )f x 2x 1 5 2= + ≥
● Xét hàm s ( )
1 1
g x
x 2 1 4 x 1
= −
− + − +
trên x 2;4 ∈   
.
( )
( ) ( )
1 1
g' x 0, x 2;4
2 x 2 x 2 1 2 4 x 4 x 1
 = − − < ∀ ∈   
− − + − − +
.
( )g x⇒ ngh ch bi n và ( ) ( ) ( )2;4
1
max g x g 2 1 3
2 1
 
  
= = −
+

Page - 38 -
● T ( ) ( )2 , 3 ⇒ 2 hàm s ( ) ( )f x , g x có th không th c t nhau. Do ó ( )1 vô nghi m.
Thí d 45. Gi i phương trình: ( )10x 1 3x 5 9x 4 2x 2+ + − = + + − ∗
d b i h c kh i B năm 2008
Nh n th y: ( ) ( ) ( ) ( )10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 x 3+ − + = − − − = − nên ta có l i gi i sau:
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
5
x
3
≥ .
( ) ( ) ( )10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0∗ ⇔ + − + + − − − =
( ) ( )10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
0
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
+ − + − − −
⇔ + =
+ + + − + −
( )
1 1
x 3 0
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
  ⇔ − + =  + + + − + −
Vì
5 1 1
x 0
3 10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
∀ ≥ ⇒ + >
+ + + − + −
nên ( )1 x 3⇔ = .
Thí d 46. Gi i phương trình: ( ) ( )2 2 2 2
3x 5x 1 x 2 3 x x 1 x 3x 4− + − − = − − − − + ∗
thi h c sinh gi i t nh Lâm ng năm 2008
Nh n th y
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3x 5x 1 3x 3x 3 2 x 2
x 2 x 3x 4 3 x 2
 − + − − − = − −
 − − − + = −
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )2 2 2 2
3x 5x 1 3x 3x 3 x 2 x 3x 4 0∗ ⇔ − + − − − − − − − + =
2 2 2 2
2x 4 3x 6
0
3x 5x 1 3x 3x 3 x 2 x 3x 4
− + −
⇔ − =
− + + − − − + − +
( ) 2 2 2 2
2 3
x 2 0
3x 5x 1 3x 3x 3 x 2 x 3x 4
 −  ⇔ − − =   − + + − − − + − +
( )2 2 2 2
x 2
2 3
0 1
3x 5x 1 3x 3x 3 x 2 x 3x 4
 =
⇔  + =
− + + − − − + − +
● Ta có:
2 2 2 2
2 3
0, x
3x 5x 1 3x 3x 3 x 2 x 3x 4
+ > ∀
− + + − − − + − +
xác nh.

Page - 39 -
● Thay x 2= vào phương trình ( ) ( )∗ ⇒ ∗ th a. V y phương trình có nghi m x 2= .
x 1 x 2x 3 x 1+ − + = + ∗
Bài gi i tham kh o
Cách gi i 1. Nhân lư ng liên h p
● Vì x 1= − không là nghi m phương trình nên
( )
2
2 x 1
x 2x 3
x 1
+
∗ ⇔ − + =
+
2
2 x 2x 1
x 2x 3 2
x 1
− −
⇔ − + − =
+
( )( )
2 2
2 2
x 2x 1 x 2x 1
x 1x 2x 3 2 x 2x 3 2
− − − −
⇔ =
+− + − − + +
( )2
2
1 1
x 2x 1 0
x 1x 2x 3 2
  ⇔ − − − =  +  − + +
2
2
x 2x 1 0
1 1
x 1x 2x 3 2
 − − =
⇔  = +− + +
( )2
x 1 2
x 2x 3 2 x 1 VN
 = ±
⇔ 
 − + + = +
.
● V y nghi m c a phương trình là x 1 2= ± .
Nh n xét:
V n t ra là làm sao tôi nh n ra ư c nhân t chung là ( )2
x 2x 1− − i n s 2− vào
hai v ???
Ý tư ng xu t phát t vi c tìm s α sao cho ( )
2
2 x 1
x 2x 3 , 0
x 1
+
− + − α = − α α >
+
( )22 2
2
x 1 x 1x 2x 3
x 1x 2x 3
+ − α +− + − α
⇔ =
+− + + α
( ) ( )2 2 2
2
x 2x 3 x x 1
x 1x 2x 3
− + − α − α + − α
⇔ =
+− + + α
.
n ây, ta ch vi c xác nh α sao cho
( ) ( )2 2 2 2
2
x 2x 3 x x 1 3 1 2
0
− = −α− + − α = − α + − α ⇔ − α = − α ⇔ α =
α >
.

Page - 40 -
Cách gi i 2. t n ph không hoàn toàn.
● t 2 2 2 2 2
t x 2x 3 t x 2x 3 x t 2x 3= − + ⇒ = − + ⇒ = + − .
( ) ( ) 2
x 1 t t 2x 2∗ ⇔ + = + −
( ) ( ) ( )2
t x 1 t 2x 2 0 1⇔ − + + − =
● Ta xem ( )1 như là phương trình b c hai v i n là t và x là tham s , lúc ó:
( )
2
2 2
x 2x 1 8x 8 x 6x 9 x 3∆ = + + − + = − + = −
x 1 x 3
t x 1
2
x 1 x 3
t 2
2
 + + − = = −

⇒ 
+ − + = =

.
● V i ( )2 2 2
t x 2x 3 x 1 x 2x 3 x 2x 1 VN= − + = − ⇔ − + = − + .
● V i 2 2 2
t x 2x 3 2 x 2x 3 4 x 2x 1 0 x 1 2= − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = ± .
● V y nghi m c a phương trình là x 1 2= ± .
3x 1 x 3 3x 2x 3+ + = + + ∗
Bài gi i tham kh o
Do
1
x
3
= − không là nghi m phương trình, nên v i
1
x ,
3
≠ − ta ư c:
( )
2
2 3x 2x 3
x 3
3x 1
+ +
∗ ⇔ + =
+
2
2 3x 2x 3
x 3 2x 2x
3x 1
+ +
⇔ + − = −
+
2 2 2 2
2
x 3 4x 3x 2x 3 6x 2x
3x 1x 3 2x
+ − + + − −
⇔ =
++ +
( )2
2
2
3 1 x 3x 3
3x 1x 3 2x
− − +
⇔ =
++ +
( ) ( )2 2
2
3 1 x 3 1 x
3x 1x 3 2x
− −
⇔ =
++ +
( )2
2
1 1
2 1 x 0
3x 1x 3 2x
  ⇔ − − =  +  + +
( )2
x 1
1 1
1
3x 1x 3 2x
 = ±
⇔  = ++ +
( ) 2
1 x 3 2x 3x 1⇔ + + = +

Page - 41 -
2
2 2
x 1 x 1
x 3 x 1 x 1
x 1x 3 x 2x 1
  ≥ − ≥ − ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔ = 
  =+ = + + 
.
● V y phương trình có hai nghi m x 1= ± .
Nh n xét:
t ư c s 2x− vào hai v , ta xét d ng t ng quát
( ) ( )
2
2 3x 2x 3
x 3 x x
3x 1
+ +
+ − α + β = − α + β
+
và sau ó s d ng ng nh t tìm hai
th c ,α β sao cho xu t hi n nhân t chung.
3x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − = ∗
thi i h c kh i B năm 2010
Bài gi i tham kh o
Nh n xét:
Nh n th y phương trình có 1 nghi m x 5= ( )SHIFT SOLVE hay ALPHA CALC ,− −
trong kho ng i u ki n:
1
x ;6
3
 
 ∈ −
 
 
. Do ó, ta c n ph i tách ghép nhân liên hi p sao
cho xu t hi n nhân t chung ( )x 5− ho c b i c a nó.
Vì v y, ta c n i tìm hai s , 0α β > th a mãn ng nh t (sau khi nhân lư ng liên h p):
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3x 1 3 x 5
3x 1 3x 15
43x 1 3x 1 6 x x 5
16 x x 5 , 0
6 x 6 x
 + − α −  + − α = −=   α = + + α + + α  ⇔ β − + = − ⇔  
  β =β − − −  α β > =  β + − β + −
.
Nên ta có l i gi i sau:
● i u ki n:
1
x 6
3
− ≤ ≤ .
( ) ( ) ( ) 2
3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0∗ ⇔ + − + − − + − − =
( )
( )( )
3 x 5 x 5
3x 1 x 5 0
3x 1 4 1 6 x
− −
⇔ + + + − =
+ + + −
( ) ( )
3 1
x 5 3x 1 0 1
3x 1 4 1 6 x
  ⇔ − + + + =  + + + −
● Ta có
1 3 1
x ;6 3x 1 0
3 3x 1 4 1 6 x
 
 ∀ ∈ − ⇒ + + + >
  + + + − 
. Do ó ( )1 x 5⇔ = .
2x 11x 21 3 4x 4− + = − ∗
Nh n xét:

Page - 42 -
Nh n th y phương trình có 1 nghi m x 3= ( )SHIFT SOLVE hay ALPHA CALC ,− −
do ó, ta c n ph i tách ghép sau khi nhân liên hi p sao cho xu t hi n nhân t chung
( )x 3− ho c b i c a nó.
Vì v y, ta c n i tìm s α t vào ( )3
3 4x 4− − α sau khi nhân liên hi p b ng h ng
ng th c: ( )( )2 2 3 3
A B A AB B A B− + + = − , nó có d ng ( )12 x 3− . Do ó, nó ph i
th a mãn ng nh t
( ) ( )3 3 3
3 4x 4 12 x 3 12x 12 3 12x 36 3 24 2 − − α = − ⇔ − − α = − ⇔ α = ⇔ α =  
.
Ta có l i gi i sau:
Bài gi i tham kh o
( ) ( ) ( )3 2
3 4x 4 2 2x 11x 15 0∗ ⇔ − − − − + =
( )
( )
( )( )2
33
3 4x 4 8
2x 5 x 3 0
4x 4 2 4x 4 4
− −
⇔ − − − =
− + − +
( )
( )
( )2
33
12
x 3 2x 5 0
4x 4 2 4x 4 4
 
 
 ⇔ − − − = 
 − + − +  
( )
( )2
33
x 3
12
2x 5 0 1
4x 4 2 4x 4 4
 =

⇔  − − =
 − + − +
● V i x 3 2x 5 1,> ⇒ − > t 3 2
t 4x 4 2 t 2t 4 12= − > ⇒ + + >
2
12
1
t 2t 4
⇒ <
+ +
t c là ( )2 vô nghi m.
● V i x 3 2x 5 1,< ⇔ − < t 3 2
t 4x 4 2 0 t 2t 4 12= − < ⇒ < + + >
2
12
1
t 2t 4
⇒ >
+ +
t c là ( )2 vô nghi m.
3 x 2 x x x 4x 4 x x 1− + + = + − − + + − ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2 x 3− ≤ ≤ .
( ) ( ) ( ) ( )( )2
3 x x 1 2 x x x 2 x x 2∗ ⇔ − − − + + − = + − −
( ) ( )
( )( )
2 2
2
3 x x 2x 1 2 x x
x 2 x x 2 0
3 x x 1 2 x x
− − + − + −
⇔ + − + − − =
− + + + +

Page - 43 -
( )( )
2 2
2x x 2 x x 2
x 2 x x 2 0
3 x x 1 2 x x
− + + − + +
⇔ + + + − + + =
− + + + +
( ) ( )2 1 1
x x 2 x 2 0 1
3 x x 1 2 x x
   ⇔ − + + + + + =   − + + + +  
● Do
1 1
x 2;3 x 2 0
3 x x 1 2 x x
 ∀ ∈ − ⇒ + + + >  
− + + + +
( ) 2
1 x x 2 0 x 1 x 2⇒ ⇔ − + + = ⇔ = − ∨ = .
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x 1 x 2= − ∨ = .
Thí d 52. Gi i b t phương trình:
( )
( )
2
2
2x
x 21
3 9 2x
< + ∗
− +
i h c M – a Ch t năm 1999
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
9 2x 0 9
x 0
x 0 2
 + ≥ ⇔ − ≤ ≠
 ≠
.
( )
( )
2
2
x 3 9 2xx
2 x 21 2 x 21
2x3 9 2x
 
+ +     ∗ ⇔ < + ⇔ < +   − − +  
 
( )
2
3 9 2x
x 21 9 6 9 2x 9 2x 2x 42
2
+ +
⇔ < + ⇔ + + + + < +
7
9 2x 4 9 2x 16 x
2
⇔ + < ⇔ + < ⇔ < .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a h là { }
9 7
x ; 0
2 2
  ∈ −  
.
Thí d 53. Gi i b t phương trình:
( )
( )
2
2
x
x 4
1 1 x
> − ∗
+ +
i h c Sư Ph m Vinh năm 2001
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 1 x 0 x 1+ ≥ ⇒ ≥ − .
● N u
x 1
1 x 4
x 4 0
 ≥ − ⇔ − ≤ < ⇒
 − <
( )∗ luôn úng. Do ó: )x 1;4∈ −
là m t t p
nghi m c a b t phương trình ( )∗ .

Page - 44 -
● Khi x 4 :≥
( ) ( )
( )( )
( )
2 2
x 4 x 4
x 1 1 x x 1 1 x
x 4 x 4
1 1 x1 1 x 1 1 x
  ≥ ≥        − + − +   ∗ ⇔ ⇔ 
    > − > −      − − + + − +         
( )
2
x 4 x 4
1 2 1 x 1 x x 41 1 x x 4
 ≥  ≥  ⇔ ⇔ 
  − + + + > −− + > − 
)
x 4 x 4 x 4
x 4;8
1 x 9 x 81 x 3
   ≥  ≥ ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈     + < <+ <   
.
● V y t p nghi m c a b t phương trình là
)
)
)
x 1;4
x 1;8
x 4;8
 ∈ −  ⇔ ∈ − ∈ 
.
Thí d 54. Gi i b t phương trình: ( )2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − + ∗
i h c Y Dư c năm 2001 – i h c Qu c gia Tp. H Chí Minh năm 1996
Bài gi i tham kh o
Nh n xét:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 2 x 5x 4 2x 2 2 x 1
x 4x 3 x 5x 4 x 1
 − + − − + = − = −
 − + − − + = −
● i u ki n: x 1 x 4≤ ∨ ≥ .
( ) ( ) ( )2 2 2 2
x 3x 2 x 5x 4 x 4x 3 x 5x 4 0∗ ⇔ − + − − + + − + − − + ≥
( )
2 2 2 2
2 x 1 x 1
0
x 3x 2 x 5x 4 x 4x 3 x 5x 4
− −
⇔ + ≥
− + + − + − + + − +
( ) ( )2 2 2 2
2 1
x 1 0 1
x 3x 2 x 5x 4 x 4x 3 x 5x 4
  ⇔ − + ≥   − + + − + − + + − +
● Do
x 1
x 4
 ≤
 ≥
thì:
2 2 2 2
2 1
0
x 3x 2 x 5x 4 x 4x 3 x 5x 4
+ >
− + + − + − + + − +
nên ( )1 x 1 0 x 1⇔ − ≥ ⇔ ≥ .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m b t phương trình là: x 4 x 1≥ ∨ = .
4
2x 1 2x 17
x
+ + ≥ + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: x 0> .

Page - 45 -
( )
4
2x 17 2x 1
x
∗ ⇔ ≥ + − +
( )( )2x 17 2x 1 2x 17 2x 14
x 2x 17 2x 1
+ − + + + +
⇔ ≥
+ + +
4 16
x 2x 17 2x 1
⇔ ≥
+ + +
2x 17 2x 1 4 x⇔ + + + ≥
( )
2
2x 17 2x 1 16x⇔ + + + ≥
( )( )2x 17 2x 1 6x 9⇔ + + ≥ − (d ng A B≥ ).
3
.... x ;4
2
 
 ⇔ ∈   
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là (x 0;4∈ 
.
Thí d 56. Gi i b t phương trình: ( )3 2
2x 3x 6x 16 4 x 2 3+ + + − − > ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n: 2 x 4− ≤ ≤ .
( ) ( ) ( )3 2
2x 3x 6x 16 3 3 3 4 x 0∗ ⇔ + + + − + − − >
3 2
3 2
2x 3x 6x 11 x 1
0
3 4 x2x 3x 6x 16 3 3
+ + − −
⇔ + >
+ −+ + + +
( )( )2
3 2
x 1 2x 5x 11 x 1
0
3 4 x2x 3x 6x 16 3 3
− + + −
⇔ + >
+ −+ + + +
( )
2
3 2
5 63
2 x
4 8 1
x 1 0
3 4 x2x 3x 6x 16 3 3
    + +    
⇔ − + > 
 + −+ + + + 
 
 
x 1 0 x 1⇔ − > ⇔ > .
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là (x 1;4∈ 
.
Thí d 57. Gi i b t phương trình: ( ) ( )( ) ( )
2
2
9 x 1 3x 7 1 3x 4+ ≤ + − + ∗
Bài gi i tham kh o
● i u ki n:
4
x
3
≥ − .

Page - 46 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
222
9 x 1 1 3x 4 3x 7 1 3x 4 1 3x 4
 
∗ ⇔ + + + ≤ + − + + + 
 
( ) ( ) ( )( )
22 2
9 x 1 1 3x 4 9 3x 7 x 1⇔ + + + ≤ + +
( ) ( ) ( )
22
x 1 1 3x 4 3x 7 0 1
 
 ⇔ + + + − − ≤
  
● Khi ( )x 1 1 := − ⇒ luôn úng.
● Khi ( )
3x 4 1
x 1
4 4
1 x x 14
3 3x
3 x 1
 + ≤ ≠ −   ⇒ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ < − 
 ≥ −   ≠ −
.
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m b t phương trình là
4
x ; 1
3
  ∈ − −  
.
2 8
2 1 2x x 1
x x
− + − ≥
Bài gi i tham kh o
( )
2
x 2 2x 8
1 2 x
x x
− −
⇔ + ≥
( )( )
( )
2 x 2 x 2x 2
2 x 2
x x
− +−
⇔ + ≥
● i u ki n:
( )( )
x 2
0 2 x 0x
2 x 2 x 2 x 2
0
x
 − ≥ − ≤ < ⇔ − + ≥ ≥
.
● V i: 2 x 0 :− ≤ < thì ( )2 luôn úng.
● V i: x 2 :≥
( ) ( )x 2
2 . 2 2x 4 x
x
−
⇔ + + ≥
( )( )2 2x 4 2 2x 4x 2
. x
x 2 2x 4
+ + − +−
⇔ ≥
− +
( )4xx 2
. x
x 2 2x 4
−−
⇔ ≥
− +
x 2 4
. 1
x 2x 4 2
−
⇔ ≥
+ −

Page - 47 -
( ) ( )4 x 2 x 2x 4 2 , do : 2x 4 2 0, x 2⇔ − ≥ + − + − > ∀ ≥
2
4 x 2 2x 4x 2 x⇔ − ≥ + −
2
4 x 2 2 x 2x 4x⇔ − + ≥ +
( ) 2
16x 32 4x 16 x x 2 2x 4x⇔ − + + − ≥ +
2 2
x 2x 4 x 2x 4 0⇔ − − − + ≤
( )
2
2 2
x 2x 4 x 2x 4 0⇔ − − − + ≤
( )
2
2
x 2x 2 0⇔ − − ≤
2
x 2x 2 0⇔ − − =
2
x 2x 4 0⇔ − − =
x 1 5⇔ = ±
● Do x 2 x 1 5≥ ⇒ = + .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là ) { }x 2;0 1 5∈ − ∪ + .
Thí d 59. Gi i b t phương trình: ( ) ( ) ( )2 2
x 1 x 2x 5 4x x 1 2 x 1− − + − + ≥ + ∗
Bài gi i tham kh o
( ) ( )( ) ( )2 2 2
x 1 2 x 2x 5 2x 2 x 1 x 2x 5 0∗ ⇔ + + − + + + − − + ≤
( )( ) ( )( )2
2 2
2x x 1 3x 1
x 1 2 x 2x 5 0
2 x 1 x 2x 5
+ −
⇔ + + − + + ≤
+ + − +
( ) ( ) ( )2
2 2
2x 3x 1
x 1 2 x 2x 5 0
2 x 1 x 2x 5
 − ⇔ + + − + + ≤ 
 + + − + 
( )
( )( )2 2 2 2 2
2 2
4 x 1 2 x 2x 5 2 x 1 x 2x 5 7x 4x 5
x 1 0
2 x 1 x 2x 5
  + + − + + + − + + − +   ⇔ + ≤   + + − +  
.
Do
2
2 4 31
7x 4x 5 7 x 0
7 7
  − + = − + >   
nên phương trình x 1 0 x 1⇔ + ≤ ⇔ ≤ − .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là (x ; 1∈ −∞ − 
.

Page - 48 -
BÀI T P TƯƠNG T
3x
3x 1 1
3x 10
= + −
+
.
S: x 0 x 5= ∨ = .
i h c T ng H p năm 1992
Bài t p 118. Gi i phương trình: x 3 x x+ − = .
thi th i h c l n 1 năm 2013 – THPT Dương ình Ngh – Thanh Hóa
S: x 1= .
x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + = .
S: x 1 x 2= ∨ = . Yêu c u: Gi i theo hai cách: nhân lư ng liên h p và t n ph .
2x 3x 5 2x 3x 5 3x+ + + − + = .
S: x 4= .
2x x 9 2x x 1 x 4+ + + − + = + .
S: x 4 x 0= − ∨ = .
Bài t p 122. Gi i phương trình: x 2x 1 1 x 2+ + = + + .
S: x 1= .
x 15 3x 2 x 8+ = − + + .
i h c Ngo i Thương năm 1997 – s 3
S: x 1= . Hãy nêu ra d ng t ng quát, phương pháp chung nhân lư ng liên h p cho
d ng này và áp d ng cho hai bài k ti p.
x 12 5 3x x 5+ + = + + .
S: x 2= .
x 24 x 15 3x 2+ − + = − .
S: x 1= .
4 x 2 22 3x x 8+ + − = + .
S: x 1 x 2= − ∨ = .
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ − − = .
H c Vi n Công Ngh Bưu Chính Vi n Thông năm 2001
S: x 2= .
Bài t p 128. Gi i phương trình: ( )( )1 x 1 1 x 2x 5 x+ + + + − = .
S: x 2= .

Page - 49 -
Bài t p 129. Gi i phương trình: ( )3 2 x 2 2x x 6+ − = + + .
H c Vi n K Thu t Quân S năm 2001
S:
11 3 5
x 3 x
2
−
= ∨ = .
Bài t p 130. Gi i phương trình: ( )9 4x 1 3x 2 x 3+ − − = + .
thi h c sinh gi i Hà N i năm 2010
S: x 6= .
x 3 5 x 2x 7x 2 0− + − − + + = .
S: x 4= .
x 9x 20 2 3x 10+ + = + .
S: x 3= − .
Bài t p 133. Gi i phương trình: ( ) 2 2
x 3 2x 1 x x 3+ + = + + .
S: x 0 x 5 13= ∨ = − + .
4 1 5
x x 2x
x x x
+ − = + − .
S: x 2= .
x 3 x x x 2+ − = − − .
HD: ( )2 1 1
PT x 3x 1 1 0
x 1 x x 2 3 x
  ⇔ − + + + =   − + − + −
.
x 24 12 x 6+ + − = .
S: x 24 x 88= − ∨ = − .
x 2 x 1 2x 2x 1+ + + = + + .
S:
1
x 1 x
2
= ∨ = − .
2
2
1 x 2x x
x 1 x
− +
=
+
.
S:
1
x
2
= .
x 4 x 1 2x 3+ = − + − .
S: x 2= .
2 3x 2 3 6 5x 8 0− + − − − = .
S: x 2= − .

Page - 50 -
3 x x 8 2 x 15+ + − = + .
S: x 1= ± .
x 3x 4 x 1 x 4x 2− − = − − − .
S: x 2 x 5= ∨ = .
2x 16x 18 x 1 2x 4+ + + − = + .
HD:
( )2
2
2
2 x 1 32 3 57
PT x 1 0 x 1 x
72x 16x 18 2x 4
− − − +
⇔ + − = ⇒ = ± ∨ =
+ + + +
.
5x 1 1 2x 3x x 9− + = + + − .
S: x 1= .
Bài t p 145. Gi i phương trình: ( )( )3
x 1 2 x 1 3 x 6 x 6− − + + = + .
S: x 2= .
3x 3 5 2x x 3x 10x 26 0+ − − − + + − = .
S: x 2= .
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − − − − + .
thi th i h c l n 2 năm 2013 – THPT chuyên i h c Sư Ph m Hà N i
S: x 2= .
2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2− + − − = + + + − + .
S: x 2= − .
3 x x 2 7 x 2 9 x 1 11+ − + + = − + .
S: x 2= .
3 2 3
x 1 x x 2− + = − .
S: x 3= .
x 2. x x 4 x 7 3x 28 0+ − − − − + = .
HD: ( )
3
3 32
x x 4
PT x 8 4 0 x 8
x 7 1x 2 x 4
 −  ⇔ − − − = ⇒ =   − ++ + 
.
1 3 x
1 0
4x 2 x
+
− =
+ +
.
HSG – THPT Thái Phiên – Tp. à N ng
S:
1 7 3 5
x x
4 8
−
= ∨ = .
x 8 x 4 2x 3 3x+ + + = + + .

Page - 51 -
S: x 1= .
Bài t p 154. Gi i phương trình: ( )( )2 2 2 2 2
x x 1 4x x 1 5x 1 2x 1 3x+ + + + + + − + = .
S: x 0 x 1= ∨ = .
x 9x 24 6x 59x 149 5 x− + − − + = − .
S:
19
x 5 x
3
= ∨ = .
x 3x 3 3x 5 1 3x+ − + = − .
S: x 2 x 1= − ∨ = .
162x 2 27x 9x 1 1+ − − + = .
S:
1
x
3
= .
2x 1 x 3x 1 0− + − + = .
S: x 1 x 2 2= ∨ = − .
12x 46x 15 x 5x 1 2x 2+ − − − + = + .
S: x 2 x 2 1= ∨ = ± − .
( )
( )2
5 x 3
x 1 2 4 x , x
2x 18
−
+ − − = ∈
+
» .
thi th i h c l n 1 năm 2013 – THPT chuyên Nguy n Trãi – H i Dương
S:
3
x 1 x x 3
2
= − ∨ = ∨ = .
2
6x 4
2x 4 2 2 x
x 4
−
+ − − =
+
.
S:
2
x x 2
3
= ∨ = ± .
x x 1 x 2 x 2x 2+ − = + − + .
HD: ( ) ( ) ( )2 2
PT x 2x 7 3 x 2 x 2 x 2x 2 0 x 1 2 2
 
⇔ − + + + − + − + = ⇒ = ± 
 
.
Bài t p 163. Gi i phương trình: ( ) ( )( )
5
2 2
3x 6x 5 2 x 2 x 2x x 10− − = − + − − − .
S:
5 109
x
6
−
= .
x 3x 1 8 3x− + = − .

Page - 52 -
S:
1 5
x
2
±
= .
Bài t p 165. Gi i: ( )
3 2
2 3 22x 7x 19
x 1 2x 5x 15 2x 7x 12x 17 7x
2
− +
− − − + = − − + + .
S:
5 177
x
4
+
= .
26 28 5
26 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2
31 26 806
+ + − = + − − .
S: x 3= .
x 3 x x 2 x 3x 4+ + + = + + .
x 1 x 8 x x 4+ + = + + .
2x 1 x 3 3x x 2+ + = + + .
3x 1 x x 2 3x 3x 2+ + + = + + .
2
2 x 1
2x 3x 1
2x 3
−
− + =
−
.
5x 1 9 x 2x 3x 1− + − = + − .
Bài t p 173. Gi i phương trình: ( ) ( )( )
22
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ = + − + .
Bài t p 174. Gi i phương trình: ( )( )
2
2
2x x 9 2 9 2x= + − + .
Bài t p 175. Gi i phương trình: ( )( )2x 1 x 1 1 x 1= − + + − .
2
x 3
x 1 x 3 x 1 x 5
x 6
+
− + − + + + = +
−
.
Bài t p 177. Gi i: 2 2 4 2 3 23
2x 5 2x 5 4x 29x 25 3x 12x 9x 30x− + − + − + = + − − .
2 x 7x 10 x x 12x 20− + = + − + .
1 2 1 7
2x 4xx 1
+ + =
−
.
2 2
2
x x 1 x 1
2
x 4 2 x 1
+ +
+ = +
+ +
.
x 3 1
2x 1 1 x 3 x 3
−
=
− − + − −
.
2x x 6 x x 3 2 x
x
  + + + + + = +   
.

Page - 53 -
GI I B T PHƯƠNG TRÌNH B NG NHÂN LƯ NG LIÊN H P
( )
2
2
6x
2x x 1 1
2x 1 1
> + − +
+ +
.
thi th i h c kh i A 2013 – THPT chuyên Phan B i Châu – Ngh An
S: ( )x 10 4 5;∈ + +∞ .
Bài t p 184. Gi i b t phương trình: ( ) ( )( )
22
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − + .
thi th i h c kh i A năm 2013 – THPT chuyên Tho i Ng c H u – An Giang
S: { }
3
x ;3 1
2
  ∈ − − 
.
2
1 1 4x
3
x
− −
< .
i h c Ngo i Ng Hà N i năm 1998
S: { }
1 1
x ; 0
2 2
 
 ∈ −
 
 
.
Bài t p 186. Gi i b t phương trình: 1 x 1 x x+ − − ≥ .
i h c Ngo i Thương cơ s II Tp. H Chí Minh kh i A – B năm 2001
S: x 0;1 ∈   
.
Bài t p 187. Gi i b t phương trình: ( )( )2
x 3 x 1 1 x 2x 3 4+ − − + + − ≥ .
thi th i h c l n 1 năm 2013 – THPT ông Sơn I
S: x 2≥ .
3x
3x 1 1
3x 10
< + −
+
.
H c Vi n Hàng Không năm 1997 – 1998
S: ( )x 0;5∈ .
2
12x 8
2x 4 2 2 x
9x 16
−
+ − − >
+
.
S:
2 4 2
x 2; ;2
3 3
     ∈ − ∪       
.
( )
2
2
9x
2x 1
1 3x 1
> +
+ −
.

Page - 54 -
i h c Ki n Trúc Hà N i năm 1998
S: { }
1
x ; 0
3
  ∈ − +∞ 
.
( ) ( )
2 2
2 2
x x 3x 18
x 1x 1 x 1
+ +
<
++ − +
.
S: ( ) { }x 1;3 0∈ − .
Bài t p 192. Gi i b t phương trình: ( ) ( )( )
22
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − + .
49/III2 – B tuy n sinh i h c Cao ng
S: { }
3
x ;3 1
2
  ∈ − − 
.
x 4
2x 1 x 3
x 12
+
+ ≥ − +
+
.
HD: Liên h p ... 2x 1 x 3 x 12⇔ + + + ≤ + .
Bài t p 194. Gi i b t phương trình: ( )
2
2
2
x x 1 2
2 x 4 , x
x 4 x 1
+ +
+ − ≤ ∈
+ +
» .
thi th i h c 2013 l n 2 kh i A, B – THPT Nguy n Quang Di u – ng Tháp
S: x 3; 3 ∈ −  
.
2
2
3 2 x 3x 2
1
1 2 x x 1
− + +
>
− − +
.
S: (
13 1
x ; 2 ;
6
 −  ∈ −∞ − ∪ +∞   
.
( )2
2 3
x x 1 x
1
x x 1 x x
+ −
≥
+ − −
.
S:
5 1
x
2
−
= .
2x 11x 15 x 2x 3 x 6+ + + + − ≥ + .
HD: Liên h p
2
2
2
2 2
9 9 32x 11x 15 x x 2x 3 x2 4 20
79 3
x2x 11x 15 x x 2x 3
22 2
   + − − +  + − − ≥   
⇔ + ≥ ⇒ 
 ≤ −+ + + + + − + 

.
Bài t p 198. Gi i b t phương trình: 2 2 2 2
3x 7x 3 x 3x 4 x 2 3x 5x 1− + + − + > − + − − .

Page - 55 -
i h c C nh Sát Nhân Dân năm 2001
S: ( 5 37
x ; 2 ;2
6
 +   ∈ −∞ − ∪     
.
x 3 x 2x 1+ − ≥ − .
HD: Liên h p ( )3
3 2x 1 x 3 x x 0;1 ⇔ ≥ − + + ⇒ ∈    .
x 35 5x 4 x 24+ < − + + .
S: x 1> .
( )
( )
2
2
3x 2
x 2
4x 1 x 1
+
< +
+ + −
.
( )
2
2
25x
x
6x 3 x 3
≥
+ + +
.
( )
( )
2
2
16x
4 3x 2
4x 1 1
≥ −
+ −
.
( )
2
2
9x
4x 5
5x 1 2x 1
≤ +
− − −
.
( )
( )
2
2
x 2
x 8
3x 1 2x 1
+
≤ +
+ − −
.
Bài t p 206. Gi i b t phương trình: ( )( )x 4 x 5 x 1 x 4 3+ + + − − − > .
Bài t p 207. Gi i b t phương trình: ( )( )x 1 x 2 x 6 x 3 3+ − − + + − < .
3x 5x 7 3x 5x 2 1+ + − + + ≥ .
Bài t p 209. Gi i b t phương trình: ( )x 8 x 3 x 3+ + − ≥ .
Bài t p 210. Gi i b t phương trình: ( )x 1 x 3 8 x 2x 11− − − − ≥ − .
Bài t p 211. Gi i b t phương trình: ( )x 2 3x 5 2x 3 x 8− − − + ≤ − .
Bài t p 212. Gi i b t phương trình: ( )2x 3 x 1 x 2 1− − − − ≤ .
Bài t p 213. Gi i b t phương trình: ( )2x 8 x 3 7 x 2x 4− + + − > − .

Page - 56 -
Bài t p 214. Gi i b t phương trình: ( ) ( )x 3 2x 8 7 x 3 x 5+ − − − > − .
Bài t p 215. Gi i b t phương trình: ( )5x 1 3x 2 2x 3 1 x− − + − > + .
Bài t p 216. Gi i b t phương trình: ( )2x 4 5x 1 x 1 4x− − + − < .
Bài t p 217. Gi i b t phương trình: ( )3x 5 x 2 2x 3 5 x− + + − < − .
Bài t p 218. Gi i b t phương trình: ( )1 2x x 4 1 x 2x 3− + + − < + .
Bài t p 219. Gi i b t phương trình: ( )( )3x 6 3x 3 3x 1 3x 2 3+ + − + − − ≤ .
Bài t p 220. Gi i b t phương trình: ( )( )x 12 x 6 x 2 x 4 6+ + − + − − ≥ .
4/ t n ph không hoàn toàn
Thí d 60. Gi i phương trình sau: ( ) ( )2 2
x 3x 1 x 3 x 1+ + = + + ∗
i h c Qu c Gia Hà N i kh i A – H c Vi n Ngân Hàng kh i A năm 2001
Bài gi i tham kh o
● t 2 2 2
t x 1 1 t x 1= + ≥ ⇒ = + . Lúc ó:
( ) ( )2
t 3x x 3 t∗ ⇔ + = + ( ) ( )2
t x 3 t 3x 0 1⇔ − + + =
● Lúc ó, ta xem ( )1 là phương trình b c hai theo bi n t và x là tham s .
( ) ( )
2 2
2
x 3 12x x 6x 9 x 3∆ = + − = − + = −
x 3 x 3
t x
2
x 3 x 3
t 3
2
 + + − = =

⇒ 
+ − + = =

.
● V i 2
2 2
x 0
t x x 1 x :
x 1 x
 ≥= ⇒ + = ⇔ 
 + =
vô nghi m.
● V i 2 2
t 3 x 1 3 x 1 9 x 2 2= ⇒ + = ⇔ + = ⇔ = ± .
● V y phương trình có hai nghi m x 2 2= ± .
Thí d 61. Gi i phương trình sau: ( ) ( )3 3
4x 1 x 1 2x 2x 1− + = + + ∗
Bài gi i tham kh o
● t 3 2 3 3 2
t x 1 t x 1 2x 2t 2= + ⇒ = + ⇒ = − .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
4x 1 t 2t 2x 1 2t 4x 1 t 2x 1 0 1∗ ⇔ − = + − ⇔ − − + − =
● Lúc ó, ta xem ( )1 là phương trình b c hai theo bi n t và x là tham s .

Page - 57 -
( ) ( ) ( )
2 2
4x 1 4x 3
t 2x 1
44x 1 8 2x 1 4x 3
4x 1 4x 3 1
t
4 2
 − + − = = −

∆ = − − − = − ⇒ 
− − + = =

.
● V i 3
3 2
1
x
t 2x 1 x 1 2x 1 x 22
x 4x 4x 0
 ≥= − ⇒ + = − ⇔ ⇔ =
 − + =
.
● V i 3 3 3
1 1 3 3
t x 1 x x
2 2 4 4
= ⇒ + = ⇔ = − ⇔ = − .
● V y phương trình có hai nghi m 3
3
x 2 x
4
= ∨ = − .
BÀI T P TƯƠNG T
x 1 x 2x 3 x 1+ − + = + .
S: x 1 2= ± .
Bài t p 222. Gi i phương trình: ( )2 2 2
x 3 x 2 x 1 2 x 2+ − + = + + .
S: x 14= ± .
2 1 x x 2x 1 x 2x 1− + − = − − .
S: x 1 6= − ± .
Bài t p 224. Gi i phương trình: ( ) 2 2 3
3x 1 2x 1 5x x 3
2
+ − = + − .
S: x 1 x 5= ± ∨ = .
Bài t p 225. Gi i phương trình: ( ) ( )2 2
3 2x 1 1 x 1 3x 8 2x 1+ − = + + + .
S: x 0= .
2x 5x 2 4 2 x 21x 20− + = − − .
S:
9 193 17 3 73
x x
4 4
± ±
= ∨ = .
2 2x 4 4 2 x 9x 16+ + − = + .
thi th i h c t 3 năm 2013 – THPT Quỳnh Lưu 1 – Ngh An
S:
4 2
x
3
= .
3x 2 2x 3 2x 3x 6+ − = + − .

Page - 58 -
S: x 2= .
4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x+ − = + − + − .
S:
3
x x 0
5
= − ∨ = .
Bài t p 230. Gi i phương trình: ( )2 2 4 2
2 2 1 x 1 x 1 x 3x 1+ − − − − = + .
S: x 0= .
x 2 x 1 x x 1 x 2 0+ − + + − + = .
S: x 0 x 1= ∨ = − .
x 1 x 2x 3 x 1+ − + = + .
S: x 1 2= ± .
x 4x x 3 x x 1 1 0− + − − − − = .
S:
1 41
x 1 x
2
±
= − ∨ = .
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0− + − − − + = .
S:
59 3
x
10
−
= .

Page - 59 -
C – GI I PHƯƠNG TRÌNH & B T PHƯƠNG TRÌNH B NG T N S PH
1/ t m t n ph
Tìm m i liên h gi a các bi n t n ph thích h p. M t s d ng cơ b n thư ng g p:
( ) ( ) ( )PP
2
t f x , t 0
a.f x b f x c 0
at bt c 0
 = ≥+ + = →
 + + =
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )PP
f x g x f x .g x h x t f x g x+ + = → = + .
2/ t hai n ph
Thông thư ng, ta tìm m i liên h gi a bi n t n ph ưa v phương trình ng c p ( ng
b c) ho c h phương trình i x ng lo i 2, ng c p,… Ta thư ng g p m t s d ng cơ b n sau:
( ) ( ) PPn m. a f x . b f x cα − + β + = → t
( )
( )
n
m
u a f x
v b f x
 = −
 = +
.
( ) ( ) ( ) ( )
n nn2 2
PP
2 2
a. A b. AB c. B 0
a.A x b.B x c A x .B x
.A .B mA nB

+ + =

 + = →


α + β = +

t 2 2
u,v PT : u uv v 0⇒ + α + β = .
n nPPn
x a b bx a y bx a+ = − → = − ưa v h i x ng lo i II:
n
n
x by a 0
y bx a 0
 − + =
 − + =
.
2
PP
ax b cx dx e
1a 0, c 0, a
c
 + = + + →
 ≠ ≠ ≠
t ax b 2cy d+ = + ưa v h i x ng lo i II.
Lưu ý:
 Sau khi t n ph , ta c n i tìm i u ki n cho n ph , t c là i tìm mi n xác nh cho bài
toán m i. Tùy vào m c ích c a n ph mà ta ph i i tìm i u ki n cho h p lý (d , không gây
sai sót), chung qui, ta có hai cách tìm i u ki n: tìm i u ki n úng và tìm i u ki n th a.
 C n lưu ý m t s khai tri n và bi n i sau:
● ( )( )3 2
x 1 x 1 x x 1± = ± + hay t ng quát hơn: ( )( )3 3 2
x a x a x ax b± = ± + .
● ( ) ( ) ( )( )
2
4 2 4 2 2 2 2 2 2
x x 1 x 2x 1 x x 1 x x x 1 x x 1+ + = + + − = + − = + + − + .
● ( )( )4 2 2
x 1 x 2.x 1 x 2.x 1+ = − + − + .
● ( )( )4 2 2
4x 1 2x 2x 1 2x 2x 1+ = − + + + .
● ( )( )u v 1 uv u 1 v 1 0+ = + ⇔ − − = .
● ( )( )au bv ab vu u b v a 0+ = + ⇔ − − = .

Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình

Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (17)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (16)

Ähnlich wie Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình

Ähnlich wie Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình (20)

Mehr von phamchidac

Mehr von phamchidac (11)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

Chuyên đề 3 phương trình, hệ phương trình