9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73

2 THE TUTOR. เฉลยละเอียดรวมขอสอบ Ent Maths (Complex).
1. )15,20()4,3()y,x( =⋅
)4,3(
)4,3(
)4,3(
)15,20(
)y,x(
−
−
⋅=
169
)8045,6060(
+
−+
=






−=
25
35
,
25
120
ตอบ ขอ 5
2. i35)i32()yix( +=−+
i32
i32
i32
i35
)yix(
+
+
⋅
−
+
=+
94
i)156()910(
+
++−
=
13
i21
13
1
yix +=+
จะได
13
1
x = และ
13
21
y =
13
22
13
21
13
1
yx =+=+∴
3. 




 −
=
−
10
1
,
10
17
)y,x(
)2,5(





 −
−
=
10
1
,
10
17
)2,5(
)y,x(
)1,17(
)1,17(
)1,17(
)2,5(
10
−−
−−
⋅
−
−
=






+
+−+
= 22
117
)534,285(
10
)29,87(
290
10
−=
)1,3( −=
4.
( )i3
i2
1
1
)i1(
53
4
+





+
+
=
( )
( )i3
i2
1
1
)i1(
22
+





+
+
=
( )i3i
2
1
1
)ii21( 22
+





−
++
=
i1
2
3
2
1
3
)i2( 2






+
−
+





+
=
i
2
1
2
7
4
−
−
=
i7
i7
i7
8
+
+
⋅
−
−
=
)i7(
149
8
+
+
−
=
)i7(
25
4
+−=
5.
)4i()3i()2i()1i(i
10
++++
=
)4i()i3i261()i1(
10
++++−+−
=
)4i()i55()i1(
10
+++−
=
)4i()i1)(i1(
2
+++−
=
)4i()1ii1(
2
+−+−−
=
)4i(2
2
+−
=
4i
4i
4i
1
+−
+−
⋅
+
−
=
161
)4i(1
+
+−−
=
i
17
1
17
4
+−=

THE TUTOR. เฉลยละเอียดรวมขอสอบ Ent Maths (Complex). 3
6. 1)1z()i1( −=++
i1
i1
i1
1
1z
−
−
⋅
+
−
=+
11
)i1(1
1z
+
−−
=+
i
2
1
2
1
1z −−=+
i
2
1
2
3
z −−=
15
i
2
1
2
3
i
2
1
2
3
i
2
1
2
315)zz(z 











+−−





−−





−−=−
[ ]15
ii
2
1
2
3
−





−−=
)i()1(i
2
1
2
3 1515
−





−−=
)i()1(i
2
1
2
3
−−





−−=
2
1
i
2
3
+−=
∴ สวนจริงของ 15
)zz(z − คือ
2
1
7.
3ix
xi3xi2
−
−+
xi3xi2
xi3xi2
3ix
xi3xi2
++
++
⋅
−
−+
=
( )( )
( )( )xi3xi23ix
xi3xi2 2
++−
−+
=
( )
( )( )xi3xi23ix
3xi2x2
++−
++
=
( )( )
( )( )xi3xi23ix
i3xix
++−
+−
=
( )( )
( )( )xi3xi2i3xi
i3xix
+++
+−
=
เมื่อ x เขาใกล i3− ทําให
( )( )
( )( )xi3xi2i3xi
i3xix
+++
+− ( )
( )xi3xi2i
ix
++
−
=
( )
( )i)i3(3i)i3(2i
ii3
−++−
−−
=
( )39i
i4
+
−
=
3
2
−=
หมายเหตุ ขอนี้โจทยควรกําหนดให x เขาใกล i3−
ไมใช i3x −=
8. ให z ia +=
จาก 2
|z| 5=
2
|ia| + 5=
1a2
+ 5=
2
a 4=
a 2±=
แต 1Qz∈ ดังนั้น 2a =
จะได
5
i2
i2
i2
i2
1
z 1 −
=
−
−
⋅
+
=−
1
z−
เปนสังยุคของ
5
i2 +
9. อินเวอรสการคูณของ 1 คือ
1
1
1=
อินเวอรสการคูณของ i1− คือ
i1
1
− i1
i1
i1
1
+
+
⋅
−
=
2
i1+
=
ขอ 1 และ 3 ผิด
อินเวอรสการคูณของ 1sini1cos + คือ
1sini1cos
1
+
=
1sini1cos
1sini1cos
1sini1cos
1
−
−
⋅
+
=
1sini1cos −=
ขอ 4 ถูก
10. 1261211109
i...iiiiz +++++=
มีคาเปน 0
126125
ii0...0 ++++=
29 ชุด
1iz −=
จะได
1i
1i
1i
2
z2 1
−−
−−
⋅
−
=−
11
)1i(2
+
−−
=
i1−−= ตอบ ขอ 4

11.
12
i1
i2






+
=
12
i1
i1
i1
i2






−
−
⋅
+
=
12
11
)1i(2






+
+
=
( )62
)i1( +=
62
)ii21( ++=
6
)i2(=
26
i2 ⋅=
64−= ตอบ ขอ 1
12. ให z bia +=
|bia| + |i43| −=
22
ba + 5=
22
ba + 25= ……….. 1
|1bia| −+ 30=
22
b)1a( +− 30=
22
b)1a( +− 30= …………2
2-12
; 22
a)1a( −− 2530 −=
22
a1a2a −+− 5=
a 2−=
แทนลง 1 ; 2
b4 + 25=
2
b 21=
b 21±=
13.
)i23(z
1z
−+
+
1=
ให biaz +=
)i23(bia
1bia
−++
++
1=
22
b)1a( ++ 22
)2b()3a( −++=
22
b1a2a +++ 4b4b9a6a 22
+−+++=
12b4a4 +− 0=
a 3b −= ……….. 1
จาก zz ⋅ 29=
22
ba + 29= ……….. 2
แทน 1ลง2
22
b)3b( +− 29=
22
b9b6b ++− 29=
20b6b2 2
−− 0=
10b3b2
−− 0=
)2b)(5b( +− 0=
b 2,5 −=
แทนลง 1; ถา 235a5b =−=→=
532a2b −=−−=→−=
i25,i52z −−+=∴ ตอบ ขอ 4
14. ให 1z bia += และ
2z dic +=
จาก 21 zz − )dic()bia( +−+=
i)db()ca( −+−=
แต Rzz 21 ∈− จะได 0db =−
db = ………. 1
จาก 2
2
2
1 z2z − 22
)dic(2)bia( +−+=
)dcdi2c(2babi2a 2222
−+−−+=
i)cd4ab2()d2c2ba( 2222
−++−−=

แต 2
2
2
1 z2z − เปนจํานวนจินตภาพแท
จะได 2222
d2c2ba +−− 0=
จาก 1 222
c2ba −+ 0=
22
ba + 2
c2= …2
จาก 2b2a1z1z +=⋅
จาก 2 2c21z1z =⋅
เนื่องจาก dicdiczz 22 −++=+
c2=
( ) 22
22 )c2(
2
1
zz
2
1
=+∴
2
c2=
15. ขอ ก. ถูก เพราะ เปนคุณสมบัติของคาสัมบูรณ
ขอ ข. ผิด ที่ถูกตอง คือ 2121 zzzz +≤+
ขอ ค. ถูก เพราะ เปนคุณสมบัติของคาสัมบูรณ
16.
2
x i322 −−=
|x| 2
|i322| −−=
2
|x| 124 +=
|x| 2=
2
2
2
1 |z||z| +∴ 822 22
=+= ตอบ ขอ 4
17. 2
z
i21
i43
i2
i2
+
+
+
−
+
=
2
z
)i21)(i2(
)i2)(i43()i21)(i2(
+−
−++++
=
2
z
)i21)(i2(
i)38()46(i)14()22(
+−
−+++++−
=
2
|z|
|i21||i2|
|i1010|
+−
+
=
2
|z|
55
210
=
2
|z| 22=
|z| 22=
18. )i43(z)i125( 3
+−− z130=
|i43||z||i125| 3
+−− |z||130| ⋅=
5|z|13 3
⋅⋅ |z|130=
5|z|13 2
⋅ 130=
2
|z| 2=
|z| 2=
19. |z)i43)(i247(| 6
+− = 1
|z||i43||i247| 6
+− = 1
6
|z|525 ⋅⋅ = 1
6
|z| 3
5
1
=
2
|z|
5
1
=
zz ⋅
5
1
=
ตอบ 0.2
20. na nn zz ⋅=
na 





+−





−−= i3
2
1
1i3
2
1
1 nn
na 2
2
n
3
2
1
1 +





−=
n
n
alim
∞→ 







+





−=
∞→
2
2
nn
3
2
1
1lim
22
3)01( +−=
10= ตอบ ขอ 3
21. 36z5z 24
−+ 0=
)4z)(9z( 22
−+ 0=
2
z 4,9−=
2
|z| 4,9=
|z| 2,3=
∴ ผลบวกของคาสัมบูรณ 102233 =+++=

22. i12z4iz3z 45
−+− 0=
)i3z(4)i3z(z4
−+− 0=
)i3z)(4z( 4
−+ 0=
04z4
=+ หรือ 0i3z =−
4z4
−= หรือ i3z =
|4||z| 4
−= หรือ |i3||z| =
2|z| = หรือ 3|z| =
23. )2z1(2z − 16=
162z4z +− 0=
2z
2
6411 −±
=
2z
2
i631±
=
|2z|
2
i631±
=
2|z|
4
63
4
1
+=
|z| 4=
|z| 2=
24.
2zz 24
++ 0=
2
z
2
811 −±−
=
2
z
2
i71±−
=
|z| 2
2
i71±−
=
2
|z|
4
7
4
1
+=
|z| 2=
|z||z||z||z| 4321 +++∴
2222 +++=
4
1
24 ⋅=
4
1
2
22 ⋅=
4
9
2=
25. ขอ ก. 0)i21(x)i1(x)i21(x)i1(:A 23
=+−+−+++
[ ] [ ])i21()x)(i1()i21(x)i1(x2
+++−+++ 0=
[ ])i21(x)i1()1x( 2
+++− 0=
i1
)i21(
,1x
+
+−
±=
แต Rx ∈ จึงได
{ }1,1A −= ขอ ก ถูก
ขอ ข. 6
z i
8
1
=
|z| 6
i
8
1
=
6
|z|
8
1
=
|z|
2
1
=
|z|
2
1
|z| == ขอ ข ถูก
26.
z
1
cia
1
bia
1
+
+
+
=
z
1
)cia)(bia(
biacia
++
+++
=
z
i)cb(a2
)cia)(bia(
++
++
=
|yix| +
i)cb(a2
)cia)(bia(
++
++
=
22
yx + 22
2222
)cb()a2(
)ca)(ba(
++
++
=
22
yx +∴ 22
2222
)cb(a4
)ca)(ba(
++
++
=

27. i31z −−=
|z| 312
+= 2=
θ
3
4
3
π
=
π
+π=
z
3
4
2
π
=
จะได 6
z
6
3
4
2 




 π
=
π= 8)26
64=
และ 6
z 64z6
==
66
zz +∴ 1286464 =+=
ตอบ 128
28. i322z +−=
|z| 4)32(2 22
=+=
θ
3
2π
=
z
3
2
4
π
=
17
z
3
2
4
π
=
3
34
417 π
=
จาก 3Q
3
1
11
3
34
∈π=
π
17
z∴ อยูในควอคแรนดที่ 3 ตอบ ขอ 3
29. z
2
i3
2
1
+=
z
3
1
π
=
5
z
5
3
1 




 π
=
3
5
1
π
=
5
z
3
5
sini
3
5
cos
π
+
π
=
5
z
2
i3
2
1
−=
5
z1
1
+
∴
2
i3
2
1
1
1
−+
=
2
i3
2
3
1
−
=
i33
i33
i33
2
+
+
⋅
−
=
39
)i33(2
+
+
=
∴ สวนจริงของ
2
1
12
32
z1
1
5
=
⋅
=
+
30. 1z ooo
12)112sini12cos =+=
2z ooo
16)116sini16cos −=−−=
15
2
1
z
z








15
16)1
12)1








−
= o
o
°−−= )15)(4()1( )15
[ ])60(sini)60(cos1 oo
−+−−=
2
i3
2
1
+−= ตอบ ขอ 1
3−
1−
θ
32
2−
x
y
17

31. 3
z2 i31+=
3
z
2
i31+
=
3
z
3
1
π
=
18
z∴ 12)1
3
1
6
=π=




 π
=
27
z∴ 13)1
3
1
9
−=π=




 π
=
จะได
27
18
zi
z
− 1i
1i
1i
1
+−
+−
⋅
+
=
2
1i +−
=
จาก
2
1i +−
bia +=
0
2
1
2
1
ba =




 −
+=+∴ ตอบ ขอ 2
32. 1z
4
16
sini
16
cos 




 π
+
π
=
1z
4
sini
4
cos
π
+
π
=
1z
2
i2
2
2
+=
จาก 2z
1z
2
i2 −+=
2z
2
i2
2
2
2
i2
+
−−=
2z 





−
−
⋅
+
−−=
i1
i1
i1
2
i2
2z 




 −
−−=
2
i22
i2
2z i1i2 +−−=
2z 1= ตอบ ขอ 1
33. จาก 1z
6
18
sini
18
cos 




 π
+
π
=
3
sini
3
cos
π
+
π
=
1z
2
i3
2
1
+=
จาก 2z1z2 2z1+=
2
z
2
z
1
z2 − 1=
( )1z2z 12 − 1=
2z
1z2
1
1 −
=
2z
1
2
i3
2
1
2
1
−








+
=
2z
1)i31(
1
−+
=
2z
i3
1
=
2z
i3
1
−
=
2z
1
i3−=
∴ อินเวอรสการคูณของ 2z คือ i3− ตอบ ขอ 4
34. จาก θ2
cos2 1=
θ2
cos
2
1
=
θcos
2
1
±=
แต 0cos <θ จึงได
2
1
cos
−
=θ
จาก ω θ+θ= cosicos
ω 






 −
+
−
=
2
1
i
2
1
2
1−
2
1−

จากรูป 1
2
1
2
1
|| =+=ω
และ อารกิวเมนทของ ω คือ
4
5
4
π
=
π
+π
จาก |z| ω 2=
|z||| ω 2=
|z| 2=
จาก อารกิวเมนทของ
4
z π
=
ω
(อารกิวเมนทของ z ) – (อารกิวเมนทของ
4
)
π
=ω
(อารกิวเมนทของ z ) -
44
5 π
=
π
อารกิวเมนทของ z
2
3π
=
z∴ i2
2
3
2 −=
π
=
1zz2
++ 1)i2()i2( 2
+−+−=
1i2i4 2
+−=
i23−−=
35. จาก xsinixcosA +=
x)1A = ],0[x; π∈
และ 1
Ab −
=
1
)x)1( −
=
x)1B −=
ขอ ก 22
BA + 0=
22
)x)1()x)1( −+ 0=
)x2)1()x2)1( −+ 0=
x2sinix2cosx2sinix2cos −++ 0=
x2cos2 0=
x2cos 0=
x2
2
3
,
2
ππ
=
x
4
3
,
4
ππ
= ขอ ก ถูก
ขอ ข. 22
BA − 0=
2)x)1(2)x)1( −− 0=
)x2sinix2(cos)x2sinix2(cos −−+ 0=
x2sini2 0=
x2sin 0=
x2 ππ= 2,,0
x π
π
= ,
2
,0
ขอ ข.ผิด
36.สําหรับขอนี้โจทยกําหนดเงื่อนไขขัดแยงกันเองกลาวคือ
321 z,z,z ที่ทําให
3
sini
3
cos
zz
zz
12
13 π
+
π
=
−
−
กับ
i43zz,i22zz,i1zz 133221 +=+=+= เปนคนละคากัน
แตคาดวาผูที่แตงโจทยตองการใหเงื่อนไขแรกแกขอ ก.
และเงื่อนไขตอมาแกขอ ข.
ขอ ก. สังเกตวา
13 zz − คือเวกเตอรที่ชี้จาก 1z ไป 3z
ในทํานองเดียวกัน
12 zz − คือเวกเตอรที่ชี้จาก 1z ไป 2z
เนื่องจาก 321 z,z,z เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมดาน
เทารูปหนึ่ง ดังนั้น 13 zz − = 12 zz −
และ
3
sini
3
cos
zz
zz
12
13 π
+
π
=
−
−
ทําใหเวกเตอร 13 zz − มี
มุมมากกวาเวกเตอร 12 zz − อยู
3
π
วาดรูปไดดังนี้
จากรูปพบวาเวกเตอร 23 zz − มีมุมนอยกวาเวกเตอร
21 zz − อยู
3
π
ดังนั้น 




 π
−+




 π
−=
−
−
3
sini
3
cos
zz
zz
21
23
ขอ ก. ผิด
1z
3z
13 zz −
1z
3z
13 zz −
2z
12 zz −

ขอ ข. 21zz i1+= ……….1
32zz i22 += ……….2
13zz i43+= ….……3
1÷ 2 ;
3
1
z
z
i22
i1
+
+
=
3
1
z
z
2
1
= ….……4
4× 3 ; 2
1z
2
i43+
= ….……5
3÷ 4 ; 2
3z ( )i432 += ….……6
(1× 2)÷ 3 ; 2
2z
( )( )
i43
i22i1
+
++
=
2
2z
i43
i4
+
= ….……7
5+6+7 ;
2
1z + 2
2z + 2
3z ( )i432
i43
i4
2
i43
++
+
+
+
=
( )
i43
i43
i43
i4
i43
2
5
−
−
⋅
+
++=
( )
25
i1216
i43
2
5 +
++=
i76 +≠
ขอ ข. ผิด
37. ให z คือรากที่สองของ i
จากสูตร z







 −
+
+
±=
2
ar
i
2
ar
จะได z







 −
+
+
±=
2
01
i
2
01
z 







+±=
2
i
2
1
38. ให z คือรากที่สามของ -1 จะได
3
z 1−=
1z3
+ 0=
)1zz)(1z( 2
+−+ 0=
z
2
411
,1
−±
−=
z
2
i31
,1
±
−=
ดังนั้น รากที่สามของ 1− คือ
( )0,1− , 







2
3
,
2
1
, 







−
2
3
,
2
1
39. รากที่สองของ –64 คือ 8i, -8i
ดังนั้น รากที่สองของ –64 คือ
รากที่สามของ 8i กับ รากที่สามของ – 8i
จาก รากที่สามของ 8i คือ i2,i3,i3 −+−+
และ รากที่สามของ –8i คือ i2,i3,i3 −−−
∴ รากที่สามของ -64 คือ
i2),i3(),i3( ±−±+± ตอบ ขอ 4
40. จาก 2
z i247 +−=
นั่นคือ z เปนรากที่สองของ i247 +−
จากสูตร z







 −
+
+
±=
2
ar
i
2
ar
z







 +
+
−
±=
2
725
i
2
725
z )i43( +±=
แต |1z| − 52=
แทน i43z += จะได 52|1i43| =−+
5242 22
=+
5252 = จริง
i43z +=∴
จาก
i1
z
+ i1
i1
i1
i43
−
−
⋅
+
−
=
2
i)43()43( −−+−
=
2
i7
2
1
−−=
∴ ผลบวกสวนจริงกับสวนจินตภาพ คือ
4
2
7
2
1
−=−−

41. 3
z2 i1+=
3
z i
2
1
2
1
+=
3
z
4
1
π
=
จะได
3
4
3
1
4
1,
3
2
3
1
4
1,
3
1
4
1z
π
+⋅
ππ
+⋅
π
⋅
π
=
12
17
1,
4
3
1,
12
1z
πππ
=
∴
12
17
1,
4
3
1,
12
1
π
=γ
π
=β
π
=α
444
444
12
17
12
4
3
1
12
1424 




 π
+




 π
−




 π
=γ+β−α
( ) 




 π
+π−




 π
=
3
17
231
3
4








−+−−








+= i
2
3
2
1
2)1(i
2
3
2
1
4
i311i322 −+++=
i34+=
42. เนื่องจาก a ,b เปนรากที่ 6 ของ 1
ดังนั้น 3
a และ 3
b เปนรากที่สองของ 1
นั่นคือ 1a3
= และ 1b3
−= หรือ
1a3
−= และ 1b3
=
ทําให
A
v
และ B
v
ทํามุมกัน o
180
1180cos −=∴ o
43.
32,32x +−=
)32x)(32x( −−+− 0=
)34(x4x2
−+− 0=
1x4x2
+− 0=
44.
:A 18x92x23x −+− 0=
)2x(9)2x(x2
−+− 0=
)9x)(2x( 2
+− 0=
x i3,2 ±=
{ }i3,i3,2A −=∴
:B 81x4
− 0=
)9x)(9x( 22
+− 0=
x i3,i3,3,3 −−=
{ }i3,i3,3,3B −−=∴
{ }3,3,2)AB()BA( −=−∪−
45. 01w2w2w 23
=+++
12211−
1110 −−−
0111
0)1ww)(1w( 2
=+++
2
411
,1w
−±−
−=
2
i31
,1w
±−
−=
B
v
A
v
+

46. จาก 0)i21(f =+
นั่นคือ i21+ เปนรากของ 0)x(f =
k,i21,i21x −+= โดยที่ k เปนรากสุดทาย
0)kx()i21x()i21x( =−+−−−
)kx)(5x2x()x(f 2
−+−= ……….. 1
จาก 10bxaxx)x(f 23
+++=
จากการเทียบสัมประสิทธิ์ จะได
นั่นคือ 10k5 =−
2k −=
แทนลง 1 ; )2x)(5x2x()x(f 2
++−=
)i(f 10
)1(f −=
)21)(521( +−++=
8=
∴ สวนจริงของ 8)i(f 10
= ตอบ 8
47. จาก 0)1(f)i32(f ==+
นั่นคือ ,i32,i32 −+ 1 เปนรากของ 0)x(f =
)x(f )kx()1x()i32x()i32x( −−+−−−=
)x(f )kx)(1x)(7x4x( 2
−−+−=
และ 9)2(f =
)2(f )k2)(12)(784( −−+−=
9 )k2(3 −=
k 1−=
จะได )x(f )1x)(1x)(7x4x( 2
+−+−=
)x(f )1x)(7x4x( 22
−+−=
)x(f ′ )4x2)(1x()x2)(7x4x( 22
−−++−=
)0(f ′ )4)(1()0)(7( −−+=
)0(f ′ 4=
ตอบ 4
48. เนื่องจาก i31+ เปนรากหนึ่งของ )x(P
จะได i31− เปนอีกรากดวย
)x(P )kx()31x()i31x( −+−−−=
จาก 2x − หาร )x(P เหลือเศษ 5
จะได 5)2(P =
)2(P )k2)(i312)(i312( −+−−−=
5 )k2)(31( −+=
k
4
3
4
5
2 =−=
49. i2 + เปนรากหนึ่งของ 0)x(f =
แลว i2 − เปนอีกรากดวย
หมายเหตุ ทั้งนี้โจทยไมรอบคอบ ควรกําหนด
ดวยวา a และ b เปนจํานวนจริง
จะได )x(f )kx)(i2x)(i2x(2 −+−−−=
)x(f )kx)(5x4x(2 2
−+−=
แต )x(f 10bxaxx2 22
+++=
จะไดวา
10)k)(5)(2( =−
1k −=
)1x()5x4x(2)x(f 2
++−=∴
ทําให )1(f 8)11)(541(2 =++−=
และ )1(f − 0)11)(541(2 =+−++=
50. เนื่องจาก i
4
39
4
3
+ เปนคําตอบของสมการ
ทําให i
4
39
4
3
− เปนคําตอบดวย
จะได 0)i
4
39
4
3
x)(i
4
39
4
3
x( =+−−−
03
2
x3
x2
=+−
06x3x2 2
=+−

เทียบกับโจทย 0cx3ax2
=+−
จะได 2a = และ 6c =
∴ เศษเหลือจากการหาร cx3ax2
+− ดวย 2x +
คือ 206)2(3)2(2 2
=+−−−
51.
ขอ 1. ถูก
ให biaz +=
จะได 22
ba)bia)(bia(zz +=−+=⋅
และ 22
2
2222
bababiaz +=




 +=+=
ดังนั้น 2
zzz =⋅
ขอ 2. ถูก เพราะเปนผลจากการบวกจํานวน
เชิงซอน
ขอ 3. ถูก จาก 22
babiaz +=+=
และ 22
babiaz +=−=
ดังนั้น zz =
ขอ 4. ผิด เชน i1z += และให °=θ 315
จะได 1)zRe( = และ 1)zIm( = ซึ่งทําให
)zRe(
)zIm(
tan =θ แต ( )θ+θ= sinicoszz
( )°+°= 315sini315cos2








−−=
2
1
i
2
1
2
i1−−=
i1+≠
ขอ 5. ผิด เชน i43z += จะได 5z =
ซึ่งทําให ขอความ zz ≥ เปนเท็จ
ตอบ ขอ 4, ขอ 5
52.
จาก 1x4
=
i,i,1,1x −−=
ผลคูณของรากทั้งสี่ คือ ( )( )( )( )ii11 −− 1−=
จาก 18x6x2
+− 0=
x
2
)18(4366 −±
=
x i33 ±=
ถา z เปนรากของสมการ จะได 2
zzz =⋅
22
33 +=
18=
ขอ 3. ผิด
จาก A : 10
z 1=
จะได 10
z 1=
z 1= ………….1
จาก B :
z
1
z
z
z
1
⋅=
2
z
z
=
จาก 1 ; z=
เนื่องจาก เงื่อนไขของ A เปนสมการพหุนามกําลังสิบที่
สัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนจริง
ดังนั้น ถา bia + เปนคําตอบของสมการแลว bia − เปน
คําตอบของสมการดวย
จึงได BA =
53. ขอ 1. ถูก
จาก )i21)(bia( −+
i2
1
+
=
bia +
)i21)(i2(
1
−+
=
i34
i34
i34
1
+
+
⋅
−
=
25
i34 +
=
ดังนั้น
25
4
a = และ
25
3
b =

จาก z 2
z=
ให biaz += จะได
bia − 22
babi2a −+=
ดังนั้น a 22
ba −= ………….1
และ ab2b =−
bab2 + 0=
)1a2(b + 0=
จะได 0b = หรือ
2
1
a −=
แทน 0b = ลง 1 ;
a 22
0a +=
a 1,0=
แทน
2
1
a −= ลง 1 ;
2
1
− 2
b
4
1
−=
2
b
4
3
=
b
2
3
±=
ดังนั้น 







−−








−=
2
3
,
2
1
,
2
3
,
2
1
,)0,1(,)0,0(z
54.
ขอ 1. ถูก เพราะ สัมประสิทธิ์ของสมการทุกตัวเปน
จํานวนจริง ดังนั้นรากทั้งสองตองเปนสังยุคซึ่งกันและกัน
จาก 2
z i=
2
z i=
2
z 1=
z 1=
ดังนั้น 21 zz =
ทําให 0zz 21 =−
ขอนี้เปนหลักสูตรเกา จําเปนตองรูจักกรุปกอน
กรุป คือ เซตของจํานวนกับโอเปอเรชันที่มีคุณสมบัติ
ครบ 4 ขอ ไดแก
1. คุณสมบัติปด
2. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุม
3. คุณสมบัติการมีเอกลักษณ
4. คุณสมบัติการมีอินเวอรส
เชน เซตของจํานวนเต็มกับการบวกเปนกรุป
แต เซตของจํานวนเต็มบวกกับการลบไมเปนกรุป
(Qไมมีคุณสมบัติปด)
ขั้น 1 ตรวจสอบคุณสมบัติปด
ให 1z1 = และ 1z2 =
จะไดวา 1zzzz 2121 ==
ดังนั้นมีคุณสมบัติปด
ขั้น 2 ตรวจสอบคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุม
เนื่องจาก จํานวนเชิงซอนกับการคูณมีคุณสมบัติการ
เปลี่ยนกลุมอยูแลว
ดังนั้นมีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุม
ขั้น 3 ตรวจสอบการมีเอกลักษณ
เนื่องจากเอกลักษณการคูณคือ 1 และ 11 =
ทําใหเซตนี้มี 1 เปนสมาชิก
ดังนั้นมีคุณสมบัติการมีเอกลักษณ
ขั้น 4 ตรวจสอบการมีอินเวอรส
เนื่องจากอินเวอรสการคูณของ z คือ
z
1
z
z
z
1
⋅=
z=
ซึ่ง 1z =
ดังนั้นมีคุณสมบัติการมีอินเวอรส
ทําใหเซตดังกลาวกับการคูณเปนกรุป

55. หาเอกลักษณของ z ภายใตโอเปอเรชัน *
ใหเอกลักษณของ z คือ dicz1 +=
จะได 1z*z z= z*z1=
)dic(*)bia( ++ bia += )bia(*)dic( ++=
bdiac − bia +=
จะได aac = และ bbd =−
1c = และ 1d −=
ดังนั้นเอกลักษณ คือ i1−
ใหอินเวอรสของ i22 − คือ yix +
จะได ( ) ( ) ( ) ( )i22*yixi1yix*i22 −+=−=+−
i1i)y)(2(x2 −=−−
จะได 1x2 = และ 1y2 −=
2
1
x = และ
2
1
y −=
ดังนั้น i
2
1
2
1
−=ω
ทําให 22
z+ω ( )42
4
1
2
1
++





+=
75.6=
ตอบ 6.75
56. ตรวจสอบคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุม
จาก c*)b*a( c*
i
ab






=
ii
abc
⋅
=
abc−=
และ )c*b(*a 





=
i
bc
*a
ii
abc
⋅
=
abc−=
ดังนั้นมีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุม ขอ 2. ผิด
ตรวจสอบคุณสมบัติการมีเอกลักษณ
ให I เปนเอกลักษณของ * จะได
I*aaa*I ==
i
aI
a
i
Ia
==
iI =
ดังนั้นเอกลักษณของ * คือ i ขอ 3. ผิด
ตรวจสอบคุณสมบัติการมีอินเวอรส
ให In เปนอินเวอรสของ * ของ a จะได
In*aia*In ==
i
)In(a
i
i
)a(In
==
a
1
In −=
ดังนั้นอินเวอรสของ * ของ a คือ
a
1
− ขอ 4. ผิด
57.เนื่องจาก 1|z||z||z| 321 === และ
0zzz 321 =++
นั่นคือ 321 z,z,z เปนรากที่สามของจํานวนเชิงซอนใดๆ
ที่มีขนาดเปน 1
ให θ∠=1z1 จะได
3
2
1z2
π
+θ= และ
3
4
1z3
π
+θ=
ขอ ก 21 zz ⋅
3
2
11
π
−θ−⋅θ=
3
2
1
π−
=
21 zz ⋅ 




 π−
+




 π−
=
3
2
sini
3
2
cos
i
2
3
2
1
−−=
)zzRe( 21 ⋅
2
1
−= ขอ ก ผิด
ขอ ข
2
21 zz − 




 π
−+=
3
2
coszz2zz 21
2
2
2
1





 −
−+=
2
1
211
3=
3|zz| 21 =−∴ ขอ ข ถูก
3
2π
θ
1z2z

58. เนื่องจาก i31+− เปนรากที่ 5 ของ z
จะได 5
)i31( +− z=
z
5
3
2
2 




 π
=
z
3
10
25 π
=
z
3
10
32
π
=
∴ รากที่สองของ z คือ π+
ππ
3
5
32,
3
5
32 2
1
2
1








+
−








−=
2
i3
2
1
24,
2
i3
2
1
24
)i31(22,)i31(22 +−−=
59. 3
z)i1( − 2=
3
z
i1
i1
i1
2
+
+
⋅
−
=
3
z
2
i2
2
2
+=
3
z
4
1
π
=
3
4
12
1,
3
2
12
1,
12
1z
π
+
ππ
+
ππ
=∴
12
17
1,
4
3
1,
12
1z
πππ
=
จะได
12
17
1z,
4
3
1z,
12
1z 321
π
=
π
=
π
=
231 zzz +⋅
2
4
3
1
12
17
1
12
1 




 π
+
π
⋅
π
=
2
3
1
2
3
1
π
+
π
=
ii −−=
i2−= ตอบ ขอ 1
60. เนื่องจาก i1+ และ i2 + เปนรากของ )x(f
จะได i1− และ i2 − เปนรากของ )x(f ดวย
ดังนั้น )x(f )i2x)(i2x)(i1x)(i1x( +−−−+−−−=
)x(f )5x4x)(2x2x( 22
+−+−= ……. 1
จากโจทย )x(f baxx15x6x 234
+++−=
จะได )1(f ba1561 +++−=
ba +∴ 10)1(f −=
จาก 1 ba + 10)541)(221( −+−+−=
ba +∴ 8−= ตอบ ขอ 2
61. จาก
θsin|zz|i2 21 2121 zdzzzc +=
θsin)b)(a(i2 )sini(cosdab)sini(coscab θ−θ+θ+θ=
θsiniab2 i)sinabdsinabc()cosabdcosabc( θ−θ+θ+θ=
จะได θ+θ cosabdcosabc 0=
dc + 0= ……1
และ θsinab2 θ−θ= sinabdsinabc
dc − 2= ……2
1+2 ; c2 2=
c 1=
แทนลง 1; d 1−=
d2c5 +∴ 325 =−= ตอบ ขอ 2
62.
64z
32z4z
2
2
−
−+
1=
|)8z)(8z(|
|)4z)(8z(|
−+
−+
1=
|8z|
|4z|
−
−
1=
|4bia| −+ |8bia| −+=
22
b)4a( +− 22
b)8a( +−=
16a8a2
+− 64a16a2
+−=
a 6=

จาก zz⋅ 61=
22
ba + 61=
2
b36 + 61=
2
b 25=
b 5±=
แต 0b > จึงเลือก b 5=
1156ba =+=+∴
63. รากที่สามของ i8− คือ i2,i3,i3 −−−
จาก 3
)32z( − i8−=
ดังนั้น 32z − i2,i3,i3 −−−=
z i232,i33,i3 +−−=
ซึ่ง 2|i3| =− และ 4|i232| =+
21 zz +∴ i232i3 ++−=
i33 +=
64. ขอ ก จาก 1zzz 321 =
จะได
21
3
zz
1
z =
และ 321 zzz ++
321 z
1
z
1
z
1
++=
21
21
zz
1
zz ++ 21
21
zz
z
1
z
1
⋅++=
1zzzz 2121 +−− 1
z
1
z
1
zz
1
2121
+−−=
)1z()1z(z 221 −−− 







−−







−= 1
z
1
1
z
1
z
1
221
)1z)(1z( 12 −− 







−







−= 1
z
1
1
z
1
12
)z1)(z1( 21 −− 







−







−=
21 z
1
1
z
1
1
ขอ ก ถูก
ขอ ข
จากขอ ก







 −







 −
=−−
2
2
1
1
21
z
1z
z
1z
)z1)(z1(
แต 1z1 ≠ และ 1z2 ≠ จะได
1
21zz
)1)(1( −−
=
21zz 1=
3z
1
1=
3z 1=
|iz||iz| 33 −+∴ |i1||i1| −+=
22=
2= ขอ ข ผิด
65. จาก
2
i3
z
+
= °+°= 30sini30cos
จะได °+°= 90sini90cosz3
i=
ดังนั้น 1z6
−=
∴
2
2
36
2i1
i
2
i3
2zz
iz
++−
−
+
=
++
−
2
)i1(2
i3
+
−
=
)11(4
13
+
+
=
5.0=
ตอบ 0.5

66. จาก cbxaxx)x(f 23
+++=
จะได bax2x3)x(f 2
++=′
และ i1+ เปนรากหนึ่งของ )x(f ′ ทําให i1− เปนอีก
รากหนึ่งดวย
จะได )i1x)(i1x(3)x(f +−−−=′
)2x2x(3)x(f 2
+−=′
ดังนั้น 3a −= และ 6b =
ทําให cx6x3x)x(f 23
++−=
จาก 3x − หาร )x(f เหลือเศษ 10 จะได 10)3(f =
c18272710 ++−=
8c −=
ดังนั้น 8x6x3x)x(f 23
−+−=
∴ 48631)1(f −=−+−=
67. A: 0iz14
=−
iz14
=
=14
z
2
1
π
=z
14
k2
21
1π+
π
, 13,...,2,1,0k1 =
B: 0iz22
=−
iz22
=
=22
z
2
1
π
=z
22
k2
21
2π+
π
, 21,...,2,1,0k2 =
ดังนั้น สมาชิกของ BA ∩ เกิดขึ้นเมื่อ
14
k2
2
1π+
π
22
k2
2
2 π+
π
= , 13,...,2,1,0k1 =
และ 21,...,2,1,0k2 =






π+
π
1k2
2
22 





π+
π
= 2k2
2
14
π+π 1k444 π= 2k28
1k111+ 2k7=
คาของ 1k และ 2k ที่เปนจริงตามสมการมี 2 ชุด
คือ
ถา 5k1 = แลว 8k2 = กับ
ถา 12k1 = แลว 19k2 =
∴ จํานวนสมาชิกของ BA ∩ คือ 2
68. นํา 1z และ 2z วาดเวกเตอรเชิงซอน
ซึ่งมุมของ 1z เปน °145 และมุมของ 2z เปน °115 ทํา
ให
มุมระหวาง 1z กับ 2z คือ °30
21 zz −
1z °30 2z
จาก กฎของโคไซน จะได
2
21 zz − °−+= 30coszz2zz 21
2
2
2
1
( ) ( )( ) 







−+=
2
3
34234
22
7=
ตอบ 7

69. ขอ ก. ผิด เพราะ คําตอบของสมการพหุนามที่มี
สัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนจริง ถา bia + เปนคําตอบแลว
bia − ตองเปนคําตอบดวย
จากเซตคําตอบ คือ { }i2,i21,2,2 ++− ทําใหทราบวา
ไมใชเซตคําตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปน
จํานวนจริง ขอ ก. ผิด
หมายเหตุ อาจแกสมการพหุนามกําลังสี่จริง ๆ ก็ไดแตมัน
แกแลวเหนื่อย
ขอ ข. เนื่องจาก 1
2
i31
2
i31
=
−
=
+
2
i31
2
i31 6
66
==
−
=
+
ซึ่ง
66
2
i31
2
i31







 −
+







 +
66
2
i31
2
i31 −
+
+
≤
2≤ ขอ ข. ถูก
หมายเหตุ อาจหาคาสัมบูรณของผลบวกกําลังหกก็ได แต
มันหาแลวเหนื่อย

9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (18)

Ähnlich wie 9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73

Ähnlich wie 9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73 (20)

Mehr von peter dontoom

Mehr von peter dontoom (20)

9545068 a 1e20-4080-859c-80740568bb73