5. SADRŽAJ
PREDGOVOR..................................................................................................................7
VAŽNIJE FIZIKALNE KONSTANTE ................................................................8
MEHANIKA......................................................................................................................9
JEDINICE ZA MJERENJE ....................................................................................................9
GIBANJA DUŽ PRAVCA ...................................................................................................10
OSNOVNI ZAKONI GIBANJA ..........................................................................................14
IMPULS SILE I KOLIČINE GIBANJA ..............................................................................15
SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILE ................................................................................16
RAD, ENERGIJA, SNAGA..................................................................................................19
SLOŽENA GIBANJA...........................................................................................................22
JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI.............................................................................25
INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI....................................................................26
OPĆI ZAKON GRAVITACIJE............................................................................................27
STATIKA KRUTOG TIJELA..............................................................................................28
ROTACIJA KRUTOG TIJELA............................................................................................30
HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA ........................................................................32
PRIMJERI .............................................................................................................................34
HARMONIČKO TITRANJE I VALOVI...........................................................42
MEHANIČKO TITRANJE...................................................................................................42
MEHANIČKI VALOVI........................................................................................................44
PRIMJERI .............................................................................................................................47
TOPLINA.....................................................................................................49
MOLEKULSKI SASTAV TVARI.......................................................................................49
PROMJENA UNUTRAŠNJE ENERGIJE ...........................................................................50
TOPLINSKO RASTEZANJE ČVRSTIH TVARI ...............................................................52
PROMJENE STANJA PLINA..............................................................................................53
MEHANIČKI RAD I UNUTARNJA ENERGIJA...............................................................56
PRIMJERI .............................................................................................................................57
6. ELEKTRICITET..........................................................................................................60
COULOMBOV ZAKON......................................................................................................60
ELEKTRIČNO POLJE I POTENCIJAL..............................................................................60
ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI.............................................................62
OHMOV ZAKON I ZAKON ELEKTRIČNOG OTPORA .................................................64
KIRCHOFFOVA PRAVILA, SPAJANJE OTPORA I IZVORA........................................66
RAD I SNAGA ELEKTRIČNE STRUJE ............................................................................68
ELEKTRIČNA STRUJA U ELEKTROLITIMA, PLINOVIMA I VAKUUMU................69
MAGNETSKO POLJE .........................................................................................................70
ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA .............................................................................74
IZMJENIČNA STRUJA .......................................................................................................75
PRIMJERI .............................................................................................................................78
OPTIKA............................................................................................................................83
GEOMETRIJSKA OPTIKA.................................................................................................83
FIZIKALNA OPTIKA..........................................................................................................89
PRIMJERI .............................................................................................................................91
OSNOVE ATOMSKE I NUKLEARNE FIZIKE............................................93
DUALNA PRIRODA SVJETLOSTI....................................................................................93
BOHROV MODEL ATOMA...............................................................................................94
ZRAČENJE CRNOG TIJELA..............................................................................................95
EKVIVALENTNOST MASE I ENERGIJE.........................................................................95
OSNOVE NUKLEARNE FIZIKE........................................................................................96
RADIOAKTIVNI RASPAD.................................................................................................97
PRIMJERI .............................................................................................................................99
ZADACI..........................................................................................................................103
7. PREDGOVOR
Ovaj će priručnik prije svega korisno poslužiti svakom tko se želi
pripremiti za polaganje razredbenog ispita na bilo kojem od fakulteta na
kojem se polaže fizika. Uporaba ovog priručnika i školskih udžbenika iz
fizike za opću gimnaziju propisanih od fakulteta kao obavezna literatura u
potpunosti je dovoljna da bi se uspješno položio svaki razredbeni ispit iz
fizike.
Priručnik je sastavljen tako da omogućuje brzo i kvalitetno savlada-vanje
gradiva. U prvom je dijelu priručnika sažet i obrađen teoretski dio
gradiva redom po područjima. Na kraju svakog područja dani su pažljivo
odabrani primjereni zadaci. U drugom dijelu priručnika prikazani su zadaci
zajedno s pripadajućim rješenjima koji su se pojavljivali na prethodnim
razredbenim ispitima. Iza svakog zadatka odnosno rješenja slijedi i prikaz
kompletnog postupka s neophodnim pojašnjenjima kako se dolazi do rješe-nja.
Ono što je važno naglasiti je to da svi zadaci i iz prvog i iz drugog dijela
priručnika potječu s razredbenih ispita proteklih godina.
Gradivo je prikazano tako da se njegovom proradom steknu iskustva
koja se inače stječu na samim razredbenim ispitima. Stoga, na primjer,
zadaci u drugom dijelu priručnika nisu svrstani po nastavnim cjelinama
odnosno područjima već su svrstani onako kako su dolazili na proteklim
ispitima.
Dakle, cilj je pružiti mogućnost onima koji to žele da što brže i kva-litetnije
ovladaju gradivom iz fizike za opću gimnaziju te steknu iskustveni
osjećaj kojime smanjuju strah od nepoznatog, tj. od razredbenog ispita.
8. VAŽNIJE FIZIKALNE KONSTANTE
NAZIV KONSTANTE SIMBOL VRIJEDNOST KONSTANTE
Brzina svjetlosti u vakuumu c 2,9979·108 ms-1 ≈ 3·108 ms-1
Permeobilnost vakuuma μ0 4π·10-7 Nm-1
Permitivnost vakuuma ε0 8,854·10-12 C2N-1 m-2
Elementarni električni naboj e 1,602·10-19 C
Planckova konstanta h 6,626·10-34 Js
Gravitacijska konstanta G 6,67·10-11 Nm2kg-2
Avogadrov broj NA 6,02·1023 mol-1
Masa elektrona me 9,11·10-31 kg
Masa protona mp 1,6726·10-27 kg
Masa neutrona mn 1,675·10-27 kg = 1 u
Plinska konstanta R 8,314 JK-1 mol-1
Rydbergova konstanta R 1,097·107 mol-1
Faradayeova konstanta F 9,65·104 Cmol-1
Stefan - Boltzmanova konstanta σ 5,67·10-8 Wm-2 K-4
Akceleracija sile teže g 9,80665 ms-2 ≈ 9,81ms-2
Srednji polumjer Zemlje 6,37·106 m
Polumjer zemlje na ekvatoru 6,378·106 m
Polumjer zemlje na polu 6,357·106 m
Masa Zemlje 5,96·1024 kg
Polumjer Sunca 6,95·108 m
Masa Sunca 1,98·1030 kg
Polumjer Mjeseca 1,74·106 m
Masa Mjeseca 7,33·1022 kg
9. 9
MEHANIKA
JEDINICE ZA MJERENJE
Svakoj fizikalnoj veličini pridružena je jedinica kojom se ta veličina mjeri.
Osnovne jedinice Međunarodnog sistema mjernih jedinica - SI (System International)
pokazuje slijedeća tablica:
Osnovne jedinice SI
FIZIKALNA VELIČINA ZNAK
VELIČINE
SI
JEDINICA
ZNAK
JEDINICE
Vrijeme t sekunda s
Duljina l metar m
Masa m kilogram kg
Jakost električne struje I amper A
Termodinamička temperatura T kelvin K
Jakost izvora svjetlosti J kandela cd
Količina tvari n mol mol
Osim osnovnih jedinica upotrebljavaju se i veće i manje jedinice od osnovnih. Predmeci
pomoću kojih se dobije ime manje odnosno veće jedinice od osnovne pokazuje slijedeća
tablica:
SI predmeci za tvorbu decimalnih jedinica
PREDMETAK ZNAK IZNO
S
PREDMETAK ZNAK IZNOS
Deka da 101 deci d 10-1
Hekto h 102 centi c 10-2
Kilo k 103 mili m 10-3
Mega M 106 mikro μ 10-6
Giga G 109 nano n 10-9
Tera T 1012 piko p 10-12
Peta P 1015 femto f 10-15
Eksa E 1018 ato a 10-18
Zeta Z 1021 zepto z 10-21
Jota Y 1024 jokto y 10-24
10. GIBANJA DUŽ PRAVCA
Srednja brzina v u vremenskom intervalu Δt je kvocijent dijela puta Δs , što ga tijelo
prijeđe za to vrijeme i vremenskog intervala Δt:
10
v
= Δ
Δ
s
t
Da bismo dobili trenutnu brzinu u nekoj točki moramo vremenski interval Δt učiniti što je
moguće manjim (neizmjerno malenim):
= =
v v
s
lim lim
Δ Δ
t → t →
t
Δ
0 0 Δ
Jedinica za brzinu je
m
s
= ms −1 .
Jednoliko gibanje duž pravca
To je takvo gibanje gdje je na svakom beskrajno malom dijelu puta kvocijent Δs/Δt kon-stantan,
tj. to je takvo gibanje gdje je srednja brzina jednaka trenutnoj duž cijelog puta i
konstantna:
v = v = konst.
s
t
s
t
1 2
v konst
1
2
= = = .
Brzina je tada jednaka:
v
s
t
=
a put (s) raste linearno s vremenom (t):
s = v⋅ t
11. 1
1
Jednoliko ubrzano i jednoliko usporeno gibanje duž pravca
Kad gibanje nije jednoliko, brzina je u svakom trenutku drukčija.
Promijenu brzine određujemo srednjom akceleracijom ( a ).
Srednja akceleracija je omjer razlike brzine Δv u nekom vremenskom intervalu Δt i tog
vremenskog intervala:
a
v
t
v v
t t
= =
−
−
Δ
Δ
2 1
2 1
Jedinica za akceleraciju je (m/s2=ms-2).
Jednoliko ubrzano gibanje duž pravca je takvo gibanje pri kojem je kvocijent Δv/Δt
konstantan za svaki Δv i odgovarajući Δt, duž cijelog puta, tj. to je takvo gibanje gdje je
akceleracija konstantna, a brzina jednoliko raste s vremenom:
a = a = konst.
12. Za takvo gibanje vrijedi:
12
a
v
t
=
Tada je brzina (v) jednaka:
v = a ⋅ t
a put (s) raste s kvadratom vremena:
s
a t = ⋅ 2
2
Jednoliko usporeno gibanje duž pravca je takvo gibanje gdje je akceleracija konstantna, ali
negativna, brzina se jednoliko smanjuje, a oblik putanje je pravac. Sve zakonitosti koje
vrijede za jednoliko ubrzano gibanje vrijede i za jednoliko usporeno.
Slobodni pad
Slobodni pad je jednoliko ubrzano gibanje kod kojeg tijelo pada s određene visine
akceleracijom zemljine sile teže (a = g = 9,81 ms-2).
13. 13
To gibanje uzrokuje privlačna gravitacijska sila Zemlje.
Brzina kod slobodnog pada iznosi:
v = 2gs
a put ili visina s koje tijelo pada je jednaka:
s
v
g
=
2
2
, s
g t = ⋅ 2
2
Gibanje uz početnu brzinu
Ako je tijelo imalo početnu brzinu (v0), pa počelo ubrzavati, nakon vremena t njegova
brzina iznosi:
v = v0 + at
odnosno
v2 = v 2 + 2
as
0
Put što će ga tijelo prijeći u vremenu t tada je jednak:
a t = + ⋅
s v t
0
2
2
Ako se tijelo gibalo brzinom (v0) i počelo usporavati akceleracijom (a), brzina će nakon
vremena t iznositi:
v = v0 − a ⋅ t
odnosno
v2 = v 2 − 2
as
0
a put što će ga tijelo prijeći u vremenu t tada je jednak:
a t = ⋅ − ⋅
s v t
0
2
2
Nejednoliko gibanje
Gibanje kod kojeg se brzina nepravilno mijenja zove se nejednoliko gibanje.
Funkcionalne veze a-t, v-t i s-t tog gibanja nisu pravilne linije.
14. OSNOVNI ZAKONI GIBANJA
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta sila jednaka 0, tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu (II Newtnov zakon). Zato kažemo da je tijelo tromo. Mjera tromosti
tijela je masa tijela.
Jedinica za masu u SI je kilogram.
Kada na tijelo dijeluje stalna sila, tijelo se giba jednoliko ubrzano.
Sila koja tijelo ubrzava akceleracijom (a) jednaka je (II Newtnov zakon):
14
F = m⋅ a
Ta sila daje tijelu akceleraciju istog smjera kao i sila, proporcionalnu sili, a obrnuto propor-cionalnu
masi:
a
F
m
=
Jedinica za silu je 1 N (1 njutn):
1N = kgms −2
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva
tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njenu površinu. Akceleracija kojom tijela padaju na
Zemlju naziva se akceleracija slobodnog pada.
Prema II Newtnovom zakonu:
G=m·g
Gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na
istom mjestu na Zemlji jednaka.
Akceleracija g mijenja se s promijenom zemljopisne širine i nadmorskom visinom. Zato se
i sila teža mijenja promijenom zemljopisne širine i nadmorske visine mjesta na kojem se
tijelo nalazi.
Na 45° zemljopisne širine na morskoj površini g=9,80665 ms-2 ≈ 9,81 ms-2, što odgovara
našim krajevima.
Težina tijela (Gt) je sila kojom tijelo zbog zemljina privlaženja djeluje na horizontalnu
podlogu ili na ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je po veličini jednaka sili teži:
Gt = m⋅g
Sila teža i težina su dvije sile različite prirode. One djeluju na različita tijela. Sila teža
djelu-je na tijelo dok težina djeluje na podlogu na kojoj se tijelo nalazi ili rasteže nit na
kojoj tijelo visi.
15. 15
Sila trenja je:
Ftr = k ⋅ FN
gdje je FN iznos normalne komponente sile kojom djeluje na podlogu (pritisak na podlogu)
a k koeficijent trenja.
IMPULS SILE I KOLIČINA GIBANJA
Treći Newtonov aksiom glasi: Ako jedno tijelo djeluje na drugo nekom silom F1,2 r
, tada i
drugo tijelo djeluje na prvo silom F2,1 r
koja je po iznosu jednaka sili F1,2 r
ali suprotnog
smjera:
F1,2 F2,1 r r = −
Količina gibanja tijela mase m i brzine vr je:
r =
P mvr
Smjer vektora Pr
isti je kao i smjer brzine. Jedinica za količinu gibanja je kgms-1.
Ako stalna sila Fr
djeluje u vrmenskom intervalu Δt na neko tijelo, ona uzrokuje promjenu
količine gibanja tog tijela.
Promjena količine gibanja jednaka je impulsu sile koji je tu promjenu izazvao:
r ⋅ Δ = Δ
F t (mv ) r
ili
r − = −
F( t2 t1 ) mv2 mv1 r r
gdje su v1 r i v2 r brzine što ih tijelo mase m ima u trenutku t1 i t2.
Jedinica za impuls sile je (Ns).
Zatvoreni sustav je sustav tijela na koji ne djeluju nikakve vanjske sile (ili je zbroj svih
vanjskih sila jednak 0).
Zakon očuvanja količine gibanja kaže da je ukupna količina gibanja zatvorenog sustava
konstantna bez obzira na to kakvi se procesi događali u sistemu:
pu = p + p + p + ...pn = konst. r r r r r
1 2 3
16. Za sustav od dva tijela možemo reći da je zbroj količine gibanja obaju tijela prije njihovog
međusobnog djelovanja jednak zbroju količine gibanja tih dvaju tijela nakon njihovog
međusobnog djelovanja.
Dakle vrijedi:
16
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 r r r r+ = ′ + ′
gdje su v1 i v2 r r brzine masa m1 i m2 prije među djelovanja (na pr. sudara) a v1′ i v2′ r r
brzine masa m1 i m2 nakon međusobnog djelovanja.
Kod malih brzina se može uzeti da je masa konstantna, dok kod velikih brzina se masa
mijenja s brzinom. Ovisnost mase o brzini je izražena formulom:
m
m
v
c
=
−
0
2
2
1
gdje je m0 masa tijela u mirovanju, m masa tijela pri brzini v (relativistička masa) a c brzina
svjetlosti.
Drugi Newtonov zakon napisan u obliku:
F
m
a
r
r =
vrijedi za mnogo manje brzine od brzine svjetlost tj. za slučaj m ≈ m0.
Relativistički izraz za količinu gibanja čestice mase u mirovanju m0 i brzine v je:
P
m v
v
c
=
0
−
2
2
1
SLAGANJE I RASTAVLJANJE SILA
Djeluje li na materijalnu točku više sila (tzv. komponenata) njihovo djelovanje možemo
zamijeniti jednom silom koju zovemo rezultanta:
r r r r r r
R F F F ...Fn Fi
Σ=
= + + + =
n
i
1
1 2 3
Kada dvije ili više sila djeluju na istom pravcu u istom smjeru one se mogu zamijeniti
rezultantnom silom koja djeluje u istom pravcu i ima isti smjer, a po veličini je jednaka
zbroju veličina svih sila:
R F1 F2 r r r = +
17. Ako dvije sile djeluju na zajedničkom pravcu u suprotnim smjerovima, veličina rezultante
je jednaka razlici veličina komponenata i ima smjer veće sile:
17
R F1 F2 r r r = −
Kada na tijelo istovremeno djeluju u istoj točki dvije sile pod kutem, rezultantu dobijemo
konstrukcijom paralelograma tako da na kraj djelovanja prve sile nanosimo smjer i veličinu
druge:
Ako te dvije sile djeluju pod kutem od 90° rezultanta je i opet dijagonala dobijenog pravo-kutnika
(paralelograma), a njen brojčani iznos dobijemo primjenom Pitagorinog teorema za
pravokutni trokut:
R = F 2
+ 1
F 2 2
18. Djeluje li u istom hvatištu više od dvije sile, vektorski ih zbrajamo tako da najprije nađemo
R1 r
18
dviju sila, zatim rezultantu od R1 r
i treće sile itd:
Silu Fr
možemo rastaviti na dvije komponente F1 r
i F2 r
koje zajedno djeluju kao zadana
sila:
Da bi rastavljanje bilo jednoznačno, potrebno je znati ili pravce nosioce obiju komponenata
ili veličinu i smjer jedne od komponenata.
Slaganje i rastavljanje sila može se rješavati računski i grafički. Za računsku metodu naj-češće
je potrebno znanje trigonometrije.
r
koja djeluje na tijelo rastavlajmo na
Kosina. Razmotrimo li gibanje na kosini, silu težu G
r
dvije komponente, silu G1
r
paralelno s kosinom i silu G2
okomitu na kosinu:
19. 19
sin
sin
G
G
h
l
G G sin
G h
cos
α
α
α
α
=
=
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
l
G G G a
l
1
1
2
Uvjet ravnoteže je da je vektorski zbroj svih sila koje djeluju na materijalnu točku jednak
nuli:
0
n
2 1 = = + + Σ=
F F ...Fn Fi r r r r
1
i
RAD, ENERGIJA, SNAGA
Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru puta, rad je jednak umnošku sile i prijeđenog puta:
W = F⋅S
Ako sila ne djeluje u smjeru puta već pod kutem α prema putu, tada samo komponenta sile
u smjeru puta vrši rad, te je:
W = Fs ⋅ s = F⋅ s ⋅ cosα
20. Ako je 0<α<π/2 rad je pozitivan, za α=π/2 rad sile je nula , a za π/2<α<π rad je negativan.
Jedinica za rad je joule (džul):
20
1 J=1 N·1 m
U F-s grafikonu rad je jednak površini ispod krivulje:
Energija je sposobnost tijela da može vršiti rad i po količini je jednaka količini rada koje
tijelo može izvršiti.
Jedinica za energiju je ista kao i za rad tj. 1 J.
Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju:
E
mv
k =
2
2
Potencijalnu energiju imaju tijela koja mogu vršiti rad zbog naročita položaja. U polju sile
teže tijelo mase m ima potencijalnu energiju:
Ep = mgh
21. gdje je g akceleracija slobodnog pada, h visina iznad zemljine površine. Pri tome se pretpo-stavlja
da je visina h mnogo manja od polumjera zemlje, odnosno da je g=konst. i da je na
površini zemlje potencijalna energija tijela jednaka nuli.
Zakon sačuvanja energije kaže da je ukupan zbroj energija svih vrsta uvijek konstanta, tj.
da se energija ne može izgubiti i u ništa pretvoriti kao i iz ničega stvoriti već ostaje sačuva-na.
To vrijedi za zatvoreni sustav. U zatvorenom (izoliranom) sustavu bez trenja ukupna
21
mehanička energija je sačuvana. Zakon glasi:
E = Ek + Ep = konst.
Ako sustav nije zatvoren, promjena ukupne mehaničke energije jednaka je radu vanjskih
sila koje na sustav djeluju:
E2 − E1 = W
Snaga je jednaka izvršenom radu u jedinici vremena:
P
W
t
=
Snaga se također može izraziti izrazom:
P=F·v
gdje je F projekcija sile u smjeru gibanja tijela, a v brzina tijela.
Jedinica za snagu je wat (vat):
1
1
1
W
J
s
=
Korisnost stroja (η) je omjer između korisnog rada Wk i uloženog rada Wu:
η =
W
W
k
u
odnosno izraženo pomoću snage:
η =
P
P
k
u
η se obično izražava u postocima:
W
W
k
u
η = ⋅
100%
22. SLOŽENA GIBANJA
Gibanje tijela je složeno ako tijelo istovremeno vrši dva ili više gibanja.
Pri složenom gibanju vrijedi princip nezavisnosti gibanja koji kaže:
Kad tijelo istodobno vrši dva (ili više) gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi
u točki do koje bi došlo kad bi najprije izvršilo samo jedno gibanje u određenom vremen-skom
22
razmaku, a zatim neovisno od tog gibanja, drugo gibanje u jednakom vremenskom
razmaku. Složena gibanja mogu biti pravocrtna (hitac prema dolje i vertikalni hitac prema
gore) i krivocrtna (n. pr. horizontalni i kosi hitac). Tijelo koje izvodi gibanje sastavljeno je
od dvaju jednolikih gibanja po pravcu, giba se jednoliko po dijagonali paralelograma:
= +
v v v
R
r r r
1 2
= +
s s s
1 2
R
r r r
Hitac prema dolje je složeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja vertikalno prema
dolje i slobodnog pada. Brzina i put u trenutku t dani su izrazima:
v=v0+g·t
s v t
g
= 0 + t
2
2
Vertikalni hitac je složeno gibanje sastavljeno od jednolikog gibanja prema gore brzinom v0
i slobodnog pada.
Brzina i put u trenutku t dani su izrazima:
v=v0-gt
s v t
g
= 0 − t
2
2
23. Najveća visina koju tijelo ispaljeno vertikalno u vis početnom brzinom v0 može postići
zove se domet (H):
23
H
2
2
v
g
= 0
Na toj najvećoj visini v=0, a vrijeme potrebno da tijelo postigne tu visinu zove se vrijeme
uspinjanja.
t
v
g H = 0
Vrijeme padanja jednako je vremenu uspinjanja; tijelo će se vratiti brzinom koja je po izno-su
jednaka v0 ali suprotnog smjera, tj. brzinom -v0.
Horizontalni hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja u horizontalnom
smjeru i slobodnog pada. Tijelo tada izvodi krivocrtno gibanje:
Put u horizontalnom smjeru:
x = v0 t
Put u vertikalnom smjeru:
y
g
= t
2
2
24. Staza tijela pri horizontalnom hicu je parabola opisana jednadžbom:
24
y
g
v
= x
2 2
0
2
Iznos rezultante brzine u trenutku t jednak je vektorskom zbroju horizontalne komponente
v0 i vertikalne komponente g·t:
2 2 2
v = v + g ⋅ t 0
Kosi hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu koji s
horizontalom zatvara kut elevacije α i slobodnog pada:
Tijelo tada izvodi krivocrtno gibanje opisano jednadžbama:
= ⋅
= ⋅ −2
x v t
y v t
g
t
ox
oy
2
Jednadžba parabole se može pisati i ovako:
y
v
v
= ⋅ x
− ⋅ = ⋅ −
g
v
2 α
x xtg
gx
v
oy
2 2 2
ox ox
2
2
0
cosα
Visinu hica (H) dobijamo:
H
2
v
g
v
2 2
sin α
g
oy = =
0
2 2
25. 25
Vrijeme uspinjanja:
t
v
g
oy v
sinα
= = 0 g H
Domet hica (D):
D
⋅
2 v 0 v
0 0 sin 2α
g
v
g
x y =
=
Vrijeme trajanja hica
t t
2 2
v
g
oy
v
H
g 0
2 0
= = =
sinα
Svi ovi računi vrijede samo uz zanemariv otpor zraka.
JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUŽNICI
To je takvo gibanje gdje je brzina konstantna po iznosu, ali stalno mijenja smjer, a oblik
putanje je kružnica:
Obodna ili linearna brzina jednaka je:
v
= 2 π
R
T
gdje je R polumjer kružnice, a T ophodno vrijeme, tj. vrijeme potrebno da tijelo jedanput
obiđe kružnicu.
26. Promjenu smjera brzine uzrokuje centripetalna sila koja ima smjer prema središtu kružnice:
26
mv
R cp =
F
2
ili
cp = 4 2
F
π
m R
T
2
a ona tijelu daje centripetalnu akceleraciju:
a
2
v
R c =
ili
a
c = 4 2
R
T
2
π
Umjesto vremena ophoda može se upotrebljavati i podatak koji govori koliko okretaja tijelo
učini u jedinici vremena. To je frekvencija (f):
f
= 1
T
Vrijeme ophoda (T) se mjeri u sekundama (s) a frekvencija (f) u hertzima (herc) - oznaka
Hz:
1 Hz 1
1
= = s −
s
Hertz je frekvencija periodične pojeve kojoj period traje 1 s.
INERCIJALNI I AKCELERIRANI SUSTAVI
Osnovni zakoni mehanike vrijede s obzirom na koordinantni sustav koji miruje ili se giba
jednoliko po pravcu. Takvi sustavi u kojima vrijede Newtonovi zakoni zovu se inercijalni
sustavi.
27. Sustavi koji su akcelerirani s obzirom na inercijalni sustav neinercijalni su i u njima se jav-ljaju
inercijalne sile. Tako u sustavu koji se giba akceleracijom a0 r tijelo mase m se ponaša
27
kao da na njega djeluje sila:
Fi ma0
r
r = −
koja nije uzrokovana djelovanjem drugih tijela već je posljedica neinercijalnosti sustava.
Smjer te sile je obrnut od smjera a0 r kojom se giba neinercijalni sustav.
U inercijalnim sustavima težina tijela je jednaka sili teži:
r =
G mgr
Ako se tijelo nalazi u akceleriranom sustavu, težina mu više nije jednaka m·g već:
r ′ = −
G mg ma0 r r
Tako na pr. ako je a0 r u smjeru vektora gr , tj. vertikalno prema dolje, težina se smanjuje:
′ = − G mg ma0
a ako je a0 r vertikalno prema gore težina se povećaje:
′ = + G mg ma0
Ako je a0 r = gr , težina tijela jednaka nuli i tijelo je u beztežinskom stanju.
Poseban akcelerirani sustav je sustav koji se jednoliko vrti. U njemu se opaža inercijalna
sila koju nazivamo centrifugalna sila:
mv
R cf =
F
2
ona ima smjer od središta vrtnje prema van.
OPĆI ZAKON GRAVITACIJE
Newtonov zakon gravitacije kaže:
Gravitacijska sila između dviju materijalnih točaka mase m1 i m2 i udaljenih za R je dana
izrazom:
F F
⋅ ⋅
G m m
R
1 2 21
1 2
, = , = 2
28. gdje je G univerzalna gravitacijska konstanta i ima vrijednost G=6,67·10-11 m3 kg-1 s-2, a R
je udaljenost između materijalnih točaka. Taj zakon se još zove Opći zakon gravitacije.
Na tijelo koje se nalazi u blizini Zemljine površine djeluje vertikalno prema dolje sila teža
G=m· gr koja je rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile zbog vrtnje Zemlje oko svoje
osi. U većini računa može se zanemariti utjecaj centrifugalne sile i uzeti da je sila teža
jednaka gravitacijskoj sili. Tada je g jednak:
28
= ⋅ ≈ −
g G
M
R
Z ms
2
Z
9,81 2
Do različitih vrijednosti veličine g dolazi zbog spljoštenosti Zemlje i vrtnje oko vlastite osi.
Na polovima je g=9,83 ms-2, na ekvatoru g=9,78 ms-2, a na 45° zemljopisne širine g=9,81
ms-2.
Ako se tijelo mase m nalazi na visini h iznad površine planeta polumjera R i mase M,
gravitacijska sila je tada jadnaka:
= ⋅ ⋅
F G
m M
R h
( + )2
a akceleracija slobodnog pada:
g G
M
R h
h = ⋅
( + )2
STATIKA KRUTOG TIJELA
Kruto tijelo je takvo tijelo koje pod djelovanjem sila ne mijenja svoj oblik. Hvatište sile se
može mijenjati duž pravca djelovanja sile, a da se pri tome učinak te sile ne promijeni.
Moment Mr
sile Fr
s obzirom na os rotacije O (os je okomita na ravninu vrtnje i prolazi
kroz točku 0)
definiran je izrazom:
29. 29
M=F·d
gdje je d udaljenost pravca djelovanja sile od osi rotacije, tzv. krak sile. Jedinica za moment
sile je Nm.
Kruto tijelo je u ravnoteži ako je vektorski zbroj svih sila i zbroj momenta sile na to tijelo
jednak nuli:
Σ
Σ
=
0
=
i
i
i
r
F
i
M
0
r
Iz toga proizlazi da je, na primjer, dvostrana poluga:
u ravnoteži kad je F1d1=F2d2, a jednostrana poluga:
je u ravnoteži kad je F3d3=F4d4.
Ako na slobodno kruto tijelo djeluju dvije sile koje su paralelne i u istom smjeru ali imaju
različita hvatišta:
možemo ih zamijeniti njihovom rezultantom koja ima ova svojstva:
30. a) po veličini je jednaka zbroju komponenata i istog smjera;
30
R = F1+F2
b) hvatište rezultante je u onoj točki na spojnici hvatišta komponenata koje dijeli spojnicu u
obrnutom omjeru veličina komponenata:
F
F
d
d
1
2
2
1
=
ili
F1d1 = F2d2
ROTACIJA KRUTOG TIJELA
Kad kruto tijelo rotira oko čvrste osi, sve se njegove čestice gibaju po koncentričnim kruž-nicama.
Ako je to gibanje jednoliko, govorimo o jednolikoj rotaciji.
Linearne brzine v1, v2, v3... čestica m1, m2, m3... na kružnicama r1, r2, r3... nisu jednake već
zavise od veličine polumjera. Međutim, kut Δϕ što ga sve te čestice opišu za neko vrijeme
Δt je jednak za sve čestice. To znači da je i omjer Δϕ/Δt, tj. kutna brzina konstantna
Δϕ
Δt
= ω = konst.
Jedinica za kutnu brzinu je rad/s ili s-1.
31. 31
Veza između obodne (linearne) i kutne brzine:
v = rω
Ako tijelo rotira nejednoliko, uvodi se pojam kutne akceleracije α:
α = Δω
Δt
Za jednoliko promjenljivu rotaciju vrijede analogni izrazi izrazima za jednoliko
promjenljivo gibanje po pravcu:
a = rα
gdje je:
α = Δω =
Δt
konst.
a za opisani kut ϕ vrijedi:
ϕ α
ω α
=
2
= ⋅
t 2
t
Ako na tijelo djeluje stalan moment M, koji se još naziva zakretni moment, tijelo će rotirati
jednoliko ubrzano.
Osnovni zakon rotacije pišemo:
M=α·I
ili
α = M
I
tj. kutna akceleracija rotacije je proporcionalna s momentom sile koja tijelo zakreće, a obr-nuto
je proporcionalna s momentom tromosti I tijela s obzirom na os rotacije. Moment tro-mosti
I je definiran izrazom:
I = m1 r1 2
+ m r + m r + +mn rn
2 2 2
2 ... 2
3 3
Jedinica za moment tromosti je kgm2.
32. Momenti tromosti nekih tijela:
32
I=mr2
I = mr 1
2
2
moment tromosti materijalne točke m u udaljenosti r od osi rotacije
moment tromosti kružne ploče polumjera r s obzirom na os koja
prolazi okomito na ploču kroz njeno središte
I = mr 2
5
2
I = ml 1
12
2
moment tromosti kugle polumjera r s obzirom na os koja prolazi
kroz središte
moment tromosti štapa duljine l s obzirom na os koja prolazi kroz
njegovu sredinu i okomita je na njegovu dužinu
Kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω je:
E
I
ω2
k = 2
Rad pri konstantnom zakretnom momentu je:
W = M·ϕ
Snaga pri rotaciji krutog tijela je:
P = M·ω
HIDROMEHANIKA I AEROMEHANIKA
Tlak je kvocijent sile i površine na koju je ta sila okomito i jednoliko raspoređena:
p
F
S
=
SI - jedinica za tlak je pascal (1 Pa=1 Nm-2).Tlak se još može izraziti jedinicom bar:
1 bar=105 Pa
Hidraulički tlak je vanjski tlak i on se prema Pascalovu zakonu širi na sve strane jedna-ko.
To se primjenjuje kod hidrauličke preše i dizalice:ako na manji klip površine S1 djeluje-mo
silom F1, na drugom kraju preše, na većem klipu površine S2 djelovat će sila pritiska F2:
33. 33
S
S 2 1
F F
2
1
=
ili
F1:F2 = S1:S2
Hidrostatički tlak nastaje zbog težine fluida (tekućine ili plina).
On djeluje na sve strane jednako, a ovisi o visini stupca h tekućine iznad mjesta na kojem
mjerimo tlak i o gustoći tekućine ρ:
p = ρgh
Djeluje li izvana na fluid tlak p0 (npr. atmosferski), ukupni tlak na dubini h je:
p = p0+ρgh
Atmosferski tlak nastaje zbog težine zemljinog zračnog plašta. Ona opada s visinom.
Normirani atmosferski tlak je 101325 Pa.
Na tjielo uronjeno u tekućinu djeluje uzgon, a on je prema Arhimedovom zakonu jedak
težini tijelom istisnute tekućine:
U = Vuronjenog dijela tijela·ρtek·g
Idealni fluidi su nestlačivi i bez trenja. Za takve fluide vrijede slijedeće zakonitosti:
I = S·v
Jakost struje I (protok) fluida je volumen fluida koji prođe kroz neki presjek površine S u
jedinici vremena. Strujanje fluida je stacionarno ako kroz bilo koji poprečni presjek cijevi
za jednak vremenski interval prođe jednaki volumen fluida. U stacionarnom strujanju je
tlak konstanta i vrijedi jednadžba kontinuiteta:
I = S1v1 = S2v2 = konst
to jest,
S1 : S2 = v2 : v1
Za stacionarno strujanje u horizontalnoj cijevi vrijedi Bernoullijeva jednadžba:
p
ρ ρ
v
+ = p
+
v
1
2
1
2
2 2
2 2
34. Ona kaže da je zbroj statičkog tlaka p i dinamičnog tlaka ρv2/2 konstantan. Taj zbroj
zovemo hidrodinamičkim tlakom. Taj zakon se može pisati i ovako:
34
− = −
(p p )V
m v m v
1 2
2 2
2
1
2 2
tj. rad što ga izvrši razlika tlakova pri gibanju tekućine utroši se na promjenu kinetičke
energije.
Ako cijev nije horiziontalna Bernoullijeva jednadžba glasi:
p
v
+ + gh = p
+ +
v
2
1
1 1 2
gh
2 2
2 2 2
ρ
ρ
ρ
ρ
gdje su h1 i h2 visine promatranih presjeka u odnosu na neki referentni nivo.
Ako idealni fluid istječe iz posude kroz otvor koji se nalazi za visinu h ispod najvišeg nivoa
tekućine, brzina istjecanja je:
v = 2gh
RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRUČJA MEHANIKA
1. Duljina vala helijeve plave spektarne linije iznosi 4,471·10-4 mm. Izrazi taj podatak u
centimetrima i metrima.
λ=4,471·10-4 mm
λ=? cm
λ=? m
λ=4,471·10-4 mm
λ=4,471·10-4·10-1 cm
λ=4,471·10-5 cm
λ=4,471·10-4 mm
λ=4,471·10-4·10-3 m
λ=4,471·10-7 m
2. Koliko je sekundi opterećen most dugačak 80 m ako preko njega prolazi vlak dugačak 80
m brzinom 80 kmh-1?
d1=80 m
d2=80 m
s
d 1 +
d
2
80 m + 80
m
v=80 kmh-1=22,22 ms-1
t
= = = = 7 ,
2
s
v
v
22 ,
22
ms
−
1
t=?
Most je opterećen od trenutka kad lokomotiva stupi na most pa do trenutka kada ga zadnji
vagon ne napusti pa je s=d1+d2.
35. 3. Automobil je prešao 4/10 puta brzinom 72 km/h, a ostali dio puta brzinom 54 km/h.
Odredi srednju brzinu automobila.
s1=4/10 s
v1=72 kmh-1
s2=6/10 s
v2=54 km/h-1
v =?
35
t
s
v
s
kmh
s
kmh
t
s
v
s
kmh
s
kmh
v
s
t
s
t t
s
s
kmh
s
kmh
kmh
u
1
1
1
1 1
2
2
2
1 1
1 2
1 1
1
4
10 72 180
6
10 54
2
180
180
2
180
60
= =
⋅
=
= =
⋅
=
= =
+
=
+
=
− −
− −
− −
−
4. Vlak mase 4000 t vozi brzinom 36 km/h. Prije stanice započinje jednoliko kočiti. Sila
kočenja je 2·105 N. Koliki put prijeđe vlak za vrijeme prve minute kočenja?
m=4000 t
v0=36 kmh-1=10 ms-1
F=2·105 N
t=1 minuta=60 s
s=?
F m a
a
F
m
N
kg
ms
s v t
a t
ms s
ms s
m
= ⋅
= = ⋅
⋅
=
−
= ⋅ = −
⋅
⋅ − ⋅ − =
−
2 10
4000 10
0 05
2
10 60
0 05 60
2
510
5
3
2
0
2
1
2 2
,
, ( )
5. Tramvaj vozi brzinom 18 km/h. Na kojoj udaljenosti ispred semafora mora vozač početi
kočiti ako mu je pri toj brzini za zaustavljanje potrebno 5 s? Pretpostavite da je kočenje
jednoliko.
v0=18 km/h=5 ms-1
v v
ms − ms
−
v1=0
a
ms
Δt=t
s
5s
s=?
s v t
at
ms s
−
ms s
m
=
−
= − = −
= − = −
⋅ − ⋅ =
−
1 0
1 1
2
0
2
1
2 2
0 5
5
1
2
5 5
1 25
2
12 5
Δ
,
6. Automobil se kreće brzinom 36 km/h. Koliki je put kočenja ako je koeficijent trenja 0,3?
v=36 kmh-1=10ms-1
μ=0,3
s=?
Ftr=Fko
μ·m·g=m·a
a=μ·g=0,3·9,821 ms-2=2,943 ms-2
s
2 12
2 2
v
a
ms
= = m
ms
⋅
=
−
−
10
2 2943
16 98
( )
,
,
36. 7. Ako se neko tijelo kroz 4 sekunde ubrzava akceleracijom od 1 ms-2, a zatim usporava
deceleracijom istog iznosa kroz daljnjih 4 sekunde, srednja brzina kroz 8 sekundi iznosi?
t1=4s
a1=1 ms-2
a2=-1 ms-2
t2=4 s
v =?
36
v1=a1·t=1 ms-2·4 s=4 ms-1
a
v v
t
− − −
v a t v ms s ms ms
v
1 4 4 0
− −
v v ms ms
ms
2
2 1
2
2 2 2 1
2 1 1
1 2
1 1
1
2
4 0
2
2
=
−
= ⋅ + =− ⋅ + =
+
=
= + =
−
8. Koliki je najmanji polumjer zakrivljenosti što ga mora imati zavoj da bi se po horizontal-noj
cesti mogao gibati automobil brzinom 36 km/h? Koeficijent trenja između kotača i
ceste je 0,25.
v=36 km/h=10 ms-1
μ=0,25
R=?
F F
mv
R
mg
R
v
g
ms
ms
m
c = tr
= ⋅
=
⋅
=
⋅
=
−
−
2
2 12
2
10
0 25 981
40 77
μ
μ
( )
, ,
,
9. Na tijelo mase 5 kg djeluju istodobno dvije sile: sila od 3 N usmjerena prema istoku i sila
od 4 N usmjerena prema sjeveru. Akceleracija tijela je:
m=5 kg
F1=3 N
F2=4 N
a=?
= 2
+ = + = =
= ⋅
= = = −
R F F N N N N
R m a
a
R
m
N
kg
9 16 25 5
ms
1
2 2
2 2 2
2
5
5
1
10. Tijelo se iz mirovanja počinje gibati jednoliko ubrzano. Kolika je akceleracija ako u
petoj sekundi od početka gibanja prevali put od 4,5 m?
s5-s4=4,5 m
a=?
− =
⋅ − ⋅ =
s s m
a s a s
m
,
a s s m
a
m
s
ms
5 4
2 2 2 2
2 2
2
2
4 5
5
2
4
2
4 5
25
2
16
2
4 5
4 5 2
9
1
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
=
= ⋅ = −
,
,
,
37. 11. Lift mase 10 t spušta se jednoliko ubrzano u rudnik. Ako je napetost užeta 90 KN,
ubrzanje lifta je:
m=10 t
FN=90 KN
a=?
, 2
37
FN=G-m·a
FN=m·g-m·a
mg F
a
= N ms
m
kg ms N
kg
−
= ⋅ ⋅ − ⋅
⋅
=
−
10 10 9 81 90 10 −
10 10
0 81
3 2 3
3
,
12. Predmet mase 0,5 kg jednoliko klizi uslijed trenja niz kosinu s kutom nagiba 30°. Koli-kom
silom treba djelovati na tijelo u smjeru gibanja, da bi se jednoliko uspinjalo istom
brzinom?
m=0,5 kg
α=30°
F=?
sin
F
G
1
2
o 2 2 45
sin sin , , ,
α
α
=
= ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ =
F G mg 30 0 5kg 9 81ms N
Da bi se uz trenje tijelo jednoliko uspinjalo ukupna sila je
jednaka 2F:
Fu=2·F=2·2,45N=4,9N
13. Čamac je upravljen prelazio preko rijeke pod kutom od 90° u odnosu na smjer njenog
toka. Brzina čamca prema vodi je 5 ms-1, a brzina toka rijeke je 2 m/s. Najkraća udaljenost
među obalama jest 200 m. Od jedne do druge obale čamac plovi:
α=90°
vč=5 ms-1
vr=2 ms-1
v = v 2 + v 2 = m 2 s 2 + m 2 2 1
d=200 m
r s =
ms
t=?
v v s d
s
: :
v d
v
4 25 29
29 200
ms m
ms
m
t
s
v
5
m
ms
s
=
= ⋅ = ⋅ =
= = =
− − −
−
−
−
1
1
1
40 29
40 29
29
40
~
~
~
14. Njihalo ima nit dugu 1m, a masu 1 kg. Kroz ravnotežni polažaj masa njihala prolazi
brzinom 1 m/s. Napetost niti u tom trenutku je:
38. l=1 m=R
m=1 kg
v=1 ms-1
FN=?
38
F G F mg
mv
R
2 −
kg ms
kg m s
m
N ef
F N
N
= + = + = ⋅ −
2
+ ⋅
=
2 2
1 981
1 1
1
10 81
,
,
15. Kamen mase 0,5 kg ispušten s visine od 10 m. Prilikom udara u zemlju kamen je imao
brzinu 12 m/s. Koliki rad je utrošen na savladavanje trenja u zraku? Uzmite g=10 ms-2.
m=0,5 kg
h=10 m
v=12 ms-1
W=?
W E
J
= p − = −
−
E mgh
mv
= ⋅ − ⋅ − ⋅ =
W kg ms m
kg ms
k
2
2
1 2
2
0 5 10 10
0 5 12
, ( )
, 14 0
2
,
16. Tijelo mase 1 kg palo je s neke visine za vrijeme od 5 s. Njegova kinetička energija pri
udaru o tlo iznosila je:
m=1 kg
t=5 s
Ek=?
v=g·t=9,81 ms-2·5 s=49,05 ms-1
E
2 −1 2
2
mv 1 kg ⋅ 4905
ms
k = = =
J 2
1202 95
( , )
,
17. Kamen je bačen vertikalno uvis na visinu 5 m. Do koje bi visine došao kamen da je bio
izbačen dvostrukom početnom brzinom? Otpor zraka zanemarujemo.
s1=5 m
v
2
v2=2v0
s
g
s2=?
s
s
2 2
v
g
v
g
2 2
2
2
= = = /
v
v
v
v
=
/
2
0
2
0
2
2
= = ⋅ =
2
1
0
2
0
s s m m
2 1
4
4 45 20
18. Dizalo se penje ubrzanjem 2 ms-2. Na podu kabine dizala nalazi se teret mase 10 kg.
Kolikom silom pritišće teret na pod kabine?
a=2 ms-2
m=10 kg
Fp=? Fp=G+ma=mg+ma=m(g+a)=10kg (9,81ms-2+2ms-2) =118,1 N
19. Žlijeb je savijen u obliku kruga polumjera 1 m i leži u vertikalnoj ravnini. Kojom
minimalnom brzinom treba gurnuti sitno tijelo iz položaja ravnoteže da bi napravilo puni
krug? (Trenje tijela o žlijeb zanemarite, za ubrzanje sile teže uzmite 9,81 ms-2)
39. 39
R=1 m
h=2R=2 m
v=?
Zakon sačuvanja energije: ukupna energija na najnižem
položaju jednaka je zbroju energija u najvišem položaju,
Ek=Ek1+Ep1
mv mv
mgh
2
2
1
= +
2 2
v1 - dobijemo iz uvjeta da centrifugalna sila mora biti
jednaka težini
2
1
=
= ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ , − = , −
1
2
2 1
2 2
2
5 51 981 70
mv
R
mg
v Rg
mv m R g
m g R
v Rg m ms ms
20. Granata se, leteći brzinom od 15 ms-1, rasprsne na dva dijela masa m1=5 kg i m2=15 kg.
Brzina većeg fragmenta je 26 ms-1 i istog je smjera kao što je bio izvorni smjer granate.
Brzina manjeg fragmenta je?
v=15 ms-1
m1v1+m2v2=m·v
m1=5 kg
m1v1=m·v-m2v2
m2=15 kg
mv m v
kg ms 1 kg ms
1
v2=26 ms-1
v
2 2
1
m
kg
m=m1+m2=20 kg
1
v1=?
v ms
1
1
20 15 15 26
5
18
=
−
= ⋅ − ⋅
= −
− −
−
Brzina drugog fragmenta ima suprotan smjer od
početnog smjera granate.
21. Kolika je akceleracija sile teže na visini h=RZ iznad Zemljine površine? (RZ je polumjer
Zemlje)
h=RZ
gh=? F
G m M
R h
G m M
R R
G m M
2 2 2 2
4 4
R
G M
R
m
g
G M
R
g ms
ms
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
h
Z
=
⋅ ⋅
+
=
⋅ ⋅
+
=
⋅ ⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅ = = =
−
( ) ( )
,
,
2
2
2
1
4 4
9 81
4
2 4525
22. Mjehurić zraka nalazi se 2 m ispod površine vode. Ako je atmosferski tlak 105 Pa, pod
kolikim je tlakom mjehurić?
Pa=105 Pa
h=2 m p=Pa+ρgh=105Pa+103kgm-3·9,81ms-2·2m=105Pa+19620 Pa
p=? p=119620 Pa=1,2·105 Pa
40. 23. Tijelo mase 0,5 kg i gustoće 4·103 kgm-3 visi na koncu tako da je uronjeno u tekućinu
gustoće 1,5·103 kgm-3. Napetost niti iznosi?
m=0,5 kg
ρ=4·103 kgm-3
ρt.=1,5·103 kgm-3
FN=?
40
F G F mg V g mg
m
g
N u tij t
⎛
⎝
F mg g
, , 2
F kg ms
kgm
kgm
ms
F N
tij
t
N
t
tij
N
N
= − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
= − ⋅
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= − ⋅
⋅
⋅
⎛
⎝ ⎜⎜
⎞
⎠ ⎟⎟
=
−
−
−
−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
0 5 9 81
1 5 10
4 10
9 81
3 07
2
3 3
3 3
,
,
,
24. Kotač koji se vrti s 480 okretaja u minuti počinje se zaustavljati jednoliko usporeno.
Koliki je ukupni broj okretaja kotača ako se zaustavi u vremenu od 0,5 minuta?
ν=480 min-1
ρ = = α
t 2 ω
t = ν
⋅ t = 480 min −
1 ⋅ 0 , 5
min
= Δt=0,5 min
N
=
120
2 π
4 π
4 π
⋅
2
2
N=?
25. Širim djelom vodoravno položene cijevi struji voda brzinom 4 m/s. Razlika tlakova ši-reg
i suženog dijela cijevi iznosi 8·103 Pa, te brzina proljevanja u užem dijelu cijevi iznosi:
v1=4 ms-1
p1-p2=8·103 Pa
v2=?
Iz Bernoullijeve jednadžbe proizlazi:
p
ρ ρ
v
+ = p
+
v
1
ρ ρ
v
2
1
2 2
= p − p
+
v
2
2 2
2 2
1 2
2
1
2 2
2 2
= − + = ⋅⋅ +
v p p v
kgm
Pa m s
2
2 1 2 1
= =
v m s ms
3 3
3 2 2
2
10
2 2 1
8 10 16
32 5 65
−
−
− −
ρ
( )
,
26. Sa stupa visokog 20 m izbačen je horizontalno kamen početnom brzinom 10 m/s. u
kojoj će udaljenosti od stupa pasti na zemlju
h=20 m
v0=10 ms-1
x=?
h
g
t t
h
g
x v t v
h
g
ms
m
ms
m
= ⇒ =
= ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ =
−
2
2
2
10
2 20
9 81
20 2
2
0 0
1
, 2
,
41. 27. Kolikom brzinom izlazi mlaz vode iz otvora cijevi ako se taj mlaz penje vertikalno do
visine 4,1 m. Zanemarite gubitak zbog trenja?
41
h=4,1 m
v=?
Sva kinetička energija mlaza se pretvorila u potencijalnu.
mv
mgh
2
= = ⋅ , − ⋅ , = , −
2 1
2
=
v gh ms m ms
2 2 9 81 4 1 8 968
42. 42
HARMONIČKO TITRANJE I VALOVI
MEHANIČKO TITRANJE
Titranje je gibanje materijalne točke pri kojem se ona giba naizmjenično u oba suprotna
smjera oko položaja ravnoteže, uvijek po istoj putanji. Ako je to titranje periodično, tijelo
nakon nekog vremena (T) u potpunosti ponavlja gibanje. Vrijeme (T) koje je potrebno da
tijelo učini jedan puni titraj zove se period titranja.
Broj titranja u jedinici vremena (frekvencija) je recipročna vrijednost perioda titranja:
f
= 1
T
Jedinica za frekvenciju je herc (1 Hz=1 s-1).
Kružna frekvencija je broj titraja u 2π sekunde:
ω = 2π⋅ 2
π
f
= T
Titranje materijalne točke obješene na opruzi
Sila koja djeluje na materijalnu točku m i pod djelovanjem koje ona harmonički titra je
jednaka:
= − ⋅ = − ⋅ x 4 2
F k x
m
T
2
π
43. gdje je x - elongacija, a k tzv. konstanta opruge odnosno konstanta opiranja izražava se u
Nm-1. Sila je proporcionalna elongaciji, ali je suprotnog smijera.
Izraz za period titranja je:
43
T
m
k
= 2π
Titranje sjene materijalne točke koja se giba jednoliko po kružnici
Kad se materijalna točka giba jednoliko po kružnici, njena sjena titra harmonički. Pri tome
je kutna brzina točke jednaka kružnoj frekvenciji titranja, a ophodno vrijeme točke jednako
je periodu titranja projekcije te točke.
Jednadžba harmoničkog titranja je:
π ϕ ω ϕ
= ⋅ t + A t
x A
sin = sin( ⋅ + )
T
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
0 0
gdje je:
x - elongacija
A - amplituda (maksimalna elongacija)
ωt+ϕ0 - faza titranja u trenutku t
ϕ0 - faza titranja u trenutku t=0
Brzina točke koja harmonički titra je:
v
k
m
= (A2 − x2 ) = 2πf A2 − x2
Akceleracija točke koja harmonički titra je:
a
π π2 2
= − ⋅ x = − f x 4
T
4
2
2
44. Period harmoničkog titranja je jednak:
44
T
m
k
mx
F
= 2π = 2π
Matematičko njihalo
Matematičko njihalo se sastoji od točkaste mase obješene na nerastezljivu nit zanemarive
mase. Za male amplitude to njihalo titra periodički s periodom:
T
l
g
= 2π
gdje je l duljina njihala, a g akceleracija slobodnog pada.
MEHANIČKI VALOVI
Val je širenje titraja iz izvora vala kroz neko sredstvo. Kad se energija titranja prenosi
okomito na smjer širenja valova govorimo o transverzalnim valovima, a kad se energija
titranja prenosi u pravcu širenja vala govorimo o longitudinalnim valovima.
Valna duljina (λ) je udaljenost između dviju najbližih točaka vala koje titraju u istoj fazi, tj.
to je udaljenost za koju se val proširio dok čestica u izvoru napravi jedan puni titraj:
λ = v⋅T =
v
f
Jednadžba vala govori o elongaciji točke koja je udaljena za x od izvora vala, ako se val
giba brzinom v i pozitivnom smjeru osi x:
y x t A
t
T
x
( , ) = sin ⎛ ⋅ − ⋅
⎞
⎟
⎠ ⎜⎝ 2π 2π
λ
gdje je A amplituda vala, a
2π
λ
⋅ x
zaostatak u fazi neke točke na udaljenosti x od izvora
vala.
Razlika u fazi (Δϕ) dviju čestica koje titraju na udaljenostima x1 i x2 od izvora vala dana je
izrazom:
Δϕ =
−
x x
2π 1 2
λ
45. 45
Lom vala
Pri prijelazu iz jednog sredstva u kojem se val širi brzinom v1, u drugo sredstvo u kojem se
val štri brzinom v2, frekvencija vala ostaje ista, a valna duljina se promijeni u skladu s
izrazom v=λ·f. Pri tome vrijedi zakon loma:
sin
sin
u
l
v
v
= 1 = = n
2
1
2
λ
λ
gdje je u kut upada, l kut loma, a n indeks loma.
Interferencija valova
Kada se dva vala jednake frekvencije i valne duljine sastanu u nekoj točki prostora dolazi
do njihove interferencije.
Rezultantna amplituda je maksimalna kad su valovi u fazi tj. kad je:
Δϕ =
−
2π 2 1 = 2
λ
π
x x
n
ili
x2-x1=nλ n=0,1,2,3,...
Rezultantna amplituda je minimalna kada je:
Δϕ=(2n+1)·π
odnosno
λ
− = ( + )⋅ = 0,1,2,3, ...
x2 x1 2n 1 n
2
Zvučni valovi
Zvučni valovi su longitudinalni valovi frekvencije od 16 Hz do 20 000 Hz.
Brzina zvuka u zraku mijenja se s temperaturom i možemo je približno odrediti izrazom:
v v
t
t = 0 1+
273
gdje je v0 brzina zvuka kod 0 °C (331ms-1) a t temperatura zraka.
46. Brzina zvuka u čvrstim tijelima je:
46
v
E =
ρ
gdje je E Youngov modul elastičnosti, a ρ gustoća sredstva.
Dopplerov efekt
Ako se neki izvor valova i opažač međusobno približavaju čini se da se frekvencija izvora
povećava odnosno smanjuje kad se izvor i opažač međusobno udaljuju. To je Dopplerov
efekt.
Kod valova zvuka mijenja se i visina tona koji opažač čuje. Visina tona ovisi o broju valnih
duljina koje u 1 sekundi dopru do našeg uha.
Ako je ν prava frekvencija izvora, ν' frekvencija koju prima uho, vz brzina zvuka, a v brzi-na
tijela koje se giba moguća su dva slučaja:
a) opažač se giba prema mirnom izvoru zvuka i tada je frekvencija:
⎛
′= ±
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
ν ν1
v
vz
gdje pozitivni predznak označava približavanje, a negativni udaljavanje od izvora
b) izvor zvuka se giba u odnosu prema mirnom opažaču i tada je frekvencija:
ν′ = ν⋅ 1
1m
v
vz
I ovdje pozitivni i negativni predznak označuju približavanje odnosno udaljavanje od
opažača.
47. RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRUČJA HARMONIČKO TITRANJE I
47
VALOVI
1. Period titranja matematičkog njihala je 3,6 s. Odredite vrijeme potrebno da se njihalo od
ravnotežnog položaja udalji za pola amplitude.
T=3,6 s
x=A/2
t=?
x A t
A
sin
sin
A
t
T
2
t
T
t
T
T
sin
t
T s
s
=
= ⋅
⋅ =
⋅ =
,
= = =
,
ω
π
π
π
2
2 1
2
2
6
12
3 6
12
0 3
2. Na oprugu konstante elastičnosti 10 Nm-1, koja slobodno visi objesimo uteg mase 0,1 kg.
Kolika će biti maksimalna brzina utega?
k=10 Nm-1
m=0,1 kg
vmax=?
= − ⋅
= = ⋅ = −
G kx
x
G
k
m g
k
A maksima a elongacija
v
= ⋅ = ⇒
π A
ako je T
π
T
π
π
m
k
v
2
= ⋅ = = ⋅ = ⋅
A
m
k
A
m
k
m g
k
m
k
kg ms
Nm
kg
Nm
=
v ms
−
−
−
−
ln
, ,
,
,
2
2
2
01 9 81
10
01
10
0 981
2
1
1
1
3. Duljina sekundnog njihala (tj. onog s poluperiodom 1s) iznosi na ekvatoru (g=9,72 ms-2):
T/2=1 s
g=9,72 ms-2
l=?
T
l
g
l
T g s ms
m
=
= ⋅ = ⋅
⋅
=
−
2
4
2 972
4 314
0 985
2
2
2 2
2
π
π
( ) ,
,
,
48. 4. Valna duljina zvuka što ga u zraku emitira glazbena vilica iznosi 75 cm. Ako je brzina
širenja zvuka u zraku 330 ms-1, a u vodi 1450 ms-1, valna duljina tog zvučnog vala u vodi
iznosi?
λ1=75 cm=0,75 m
v1=330 ms-1
v2=1450 ms-1
λ2=?
48
f f
λ λ
v v
v
v
m
−
−
ms
ms
m
1 2
1
1
2
2
2 2
1
1
1
1
0 75
1450
330
3 295
=
=
= ⋅ = ⋅ =
λ
λ
, ,
5. Koliki je period titranja matematičkog njihala na Marsu (M=65·1022 kg, R=3420 km)
koji na Zemlji njiše s periodom od dvije sekunde? (Konstanta gravitacije G=6,67·10-11
m3kg-1 s-2)
T=2 s
M=65·1022 kg
R=3420·103 m
T=?
T
= = ⋅
l
g
g
G M
R
T
l R
G M
l
T g s ms
m
T R
l
G M
T m
m
m kg s kg
T s
⇒
= ⋅
⋅
= = ⋅
⋅
=
=
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
−
− − −
2
2
4
4 981
4 314
0 994
2
2 314 3420 10
0 994
6 67 10 65 10
3 25
2
2 2
2
2 2
2
3
11 3 1 2 22
π
π
π
π
,
,
,
,
,
,
,
6. Automobil se kreće brzinom 30 ms-1 prema tvornočkoj sireni koja emitira zvižduk
frekvencije 500 Hz. Koju prividnu frekvenciju ima zvižduk što ga čuje vozač ako je brzina
zvuka 340 ms-1?
v=30 ms-1
ν=500 Hz
vz=340 ms-1
ν'=?
⎛
′= +
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎛
= ⋅ +
⎝ ⎜⎜
⎞
⎠ ⎟⎟
=
−
− ν ν1 500 1
30
340
544 11
1
1
v
v
Hz
ms
ms
Hz
z
,
49. 49
TOPLINA
MOLEKULSKI SUSTAV TVARI
Sva tijela u prirodi se sastoje od atoma i molekula. Atomi su najsitnije čestice neke tvari
koje se kemijskim reakcijama ne mogu pojednostavniti. Molekule su skupine kemijski
vezanih atoma, a imaju ista kemijska svojstva kao i sama tvar koju čine. Veličina atoma ili
molekule je reda veličine 10-9 m, a masa reda veličine 10-27 kg. Osim kg za izražavanje
mase atoma i molekula često upotrebljavamo unificirane atomsku jedinicu mase (u):
1 u=1,66·10-27 kg
a to je 1
12C .
12 mase atoma ugljika 6
Relativna atomska masa (Ar) je broj koji pokazuje koliko je puta masa nekog atoma veća
od atomske jedinice mase. Jednako tako relativna molekulska masa (Mr) pokazuje koliko je
puta masa neke molekule veća od unificirane atomske jedinice mase.
Količina tvari se izražava jedinicom koju se naziva mol. Jedan mol je količina tvari sustava
koji sadrži toliko osnovnih čestica koliko ima atoma 0,012 kg ugljika izotopa 12C 6
.
Molarna masa (M) je masa jednog mola neke tvari:
M
m
n
=
gdje je M molarna masa, m masa tvari, a n broj molova.
Broj jedinki u jednom molu zove se Avogadrov broj:
NA = 6,023⋅1023mol −1
Jedan mol bilo koje tvari sadrži isti broj jedinki (molekula, atoma, iona).
Volumen 1 mola bilo kojeg plina pri normiranim uvijetima (273 K, 101 325 Pa) jednak je
2,24·10-2 m3.
Jednaki volumeni različitih plinova izmjereni pri jednakom tlaku i temperaturi sadrže isti
broj molekula (Avogadrov zakon).
Kada na čvrsto tijelo djeluje sila mijenja se položaj njegovih molekula, a time i oblik tijela.
Za najjednostavniju deformaciju tog tijela - istezanje vrijedi Hookeov zakon:
ε = ⋅ 1
E
P
gdje je E Youngov modul elestičnosti, ε=Δl/l relativno produljenje, a p=F/S sila na jedinici
presjeka ili napetost.
50. Sile među molekulama uzrokuju napetost površine i kapilarnost. Koeficijent napetosti
površine σ je dan izrazom:
50
σ = Δ
W
S
Δ
gdje je ΔW izvršen rad pri povećanju površine ΔS.
Koeficijent površinske napetosti σ je jednak i omjeru sile i duljine na koju ta sila okomito
djeluje:
σ = F
2l
PROMJENA UNUTRAŠNJE ENERGIJE
Unutrašnja energija tijela je zbroj kinetičke energije gibanja svih molekula tijela i potenci-jalne
energije njihova međudjelovanja.
Temperaturtra (T) je mjera za srednju kinetičku energiju toplinskog gibanja molekula i što
je kinetička energija veća, to je temperatura veća. Jedinica za temperaturu je kelvin (K).
Veza između apsolutne temperature T izražene Kelvinima i temperature t izražene u Celzi-jusovim
stupnjevima je:
T
K
t
C
= 273,15+
o
Unutarnju energiju tijela ili sustava tijela možemo promijeniti na dva načina, međusobnim
dodirom dvaju tijela različitih temperatura i mehaničkim radom:
ΔU=Q+W
gdje je ΔU promjena unutrašnje energije, Q toplina, a W mehanički rad.
Rad W može biti pozitivan ili negativan, ovisno o tome vršimo li rad nad tijelom ili tijelo
vrši rad.
Ako se unutrašnja energija tijela mijenja samo zato što su u dodiru dva tijela različitih
temperatura (W=0) onda je W=Q.
Toplina Q je dio unutrašnje energije tijela koja prolazi s jednog tijela na drugo zbog razlike
temperatura tih tijela. Toplina i unutrašnja energija se mjere džulima (J).
Pri zagrijavanju i hlađenju primljena odnosno predana količina topline je:
Q=mcΔT
gdje je c specifični toplinski kapacitet, m masa tijela a ΔT=T2-T1 promjena temperature.
51. Specifični toplinski kapacitet je količina topline potrebna da se masi od 1 kg neke tvari
promijeni temperatura za 1 K i izražava se u Jkg-1 K-1:
51
c
Q
m T
=
Δ
Zagrijavanjem pri stalnom volumenu sva se dovedena količina topline utroši ua povećanje
unutrašnje energije te je:
Q=ΔU=mcv·ΔT v=konst.
pa je
c
U
m T v = Δ
Δ
specifični toplinski kapacitet pri stalnom volumenu. Zagrijavanjem tijela pri stalnom tlaku
tijelo se grije i obavlja rad, te je Q>ΔU. Specifični toplinski kapacitet cp je tada:
c
Q
m T
p = p = konst
Δ
.
Za tekućine i čvrsta tijela oba specifična toplinska kapaciteta (cp i cv) su jednaka, a znatno
se razlikuju za plinove.
Toplinski kapacitet (C) tijela je jednak količini topline potrebnoj da se temperatura tijela
poveća za 1 K:
C=m·c
Ako su dva tijela različitih temperatura u međusobnom dodiru, onda je prema zakonu o
očuvanju unutrašnje energije količina topline koju je toplije tijelo izgubilo hlađenjem
jednako količini topline koju hladnije tijelo zagrijavanjem primi:
Q1=Q2
m1c1((t1-t)=m2c2(t-t2)
gdje je t konačna temperatura koju tijela postižu u toplinskoj ravnoteži, t1 temperatura
toplijeg tijela, a t2 temperatura hladnijeg tijela prije dodira.
Toplina taljenja je toplina potrebna da se tijelo na temperaturi tališta rastali (očvrsne):
Q=m·λ
gdje je m masa tijela, a λ je scpecifična toplina taljenja.
52. Toplina isparavanja je količina topline koja se troši (ili oslobađa) pri isparavanju odnosno
kondenzaciji:
52
Q=m·r
gdje je m masa tijela, a r specifična toplina isparavanja.
Toplina izgaranja je količina topline koja se oslobađa pri potpunom izgaranju goriva mase
m i specifične topline izgaranja q:
Q=m·q
Korisnost grijača (toplinskog stroja) je dana omjerom iskorištene topline Qk i ukupno
ulpžene topline Qu:
Q
Q
k
u
η = ⋅
100%
TOPLINSKO RASTEZANJE ČVRSTIH TVARI I TEKUĆINA
Čvrste tvari se zagrijavanjem rastežu, a hlađenjem stežu. Koeficijent linearnog rastezanja β
je definiran:
β =
−
⋅
l l
l t
t 0
0
gdje je l0 duljina tijela (štapa, cijevi) pri 0 °C, lt duljina tijela na t °C.
Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1.
Duljina tijela nakon zagrijavanja lt je:
lt=l0(1+βt)
Kad su kod čvrstog tijela sve dimenzije podjednako izražene govorimo o kubnom rasteza-nju.
Neka tijelo kod 0 °C ima volumen V. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 °C do t °C)
njegov će se volumen povećati za:
ΔV=αt·V0
α - je koeficijent volumnog (kubnog) rastezanja:
−
⋅
α = ≈
β
V V
V t
t 0
0
3
53. 53
Kod temperature t tijelo će prema tome imati volumen:
Vt=V0(1+αt)
Ovaj izraz vrijedi i za tekućine i za šuplja čvrsta tijela.
Gustoća tijela na temperaturi t iznosi:
ρ
ρ
=
0
t α t
+ ⋅
1
PROMJENA STANJA PLINA
Model idealnog plina predpostavlja da su molekule plina materijalne točke koje nemaju
volumena i među kojima nema međumolekularnih sila. Fizičko stanje takvog idealnog
plina je opisano trima veličinama: volumenom (V), tlakom (p) i temperaturom (T). Mijenja
li se jedna od tih triju veličina, promijenit će se bar jedna od preostale dvije.
Tlak plina uzrokuju sudari molekula plina na stijenkama posude, pa taj tlak ovisi o broju
molekula u jedinici volumena i o njihovoj kinetičkoj energiji:
P
= 2
N
= 3 V
2
k m v N
m E
V
2
3
2
gdje je N broj molekula u volumenu V, mm masa molekule plina i v 2 srednja vrijednost
kvadrata brzine molekula.
Apsolutna temperatura T povezana je s gibanjem molekula plina relacijom:
T
N
nR
E
N
R
A
k E
k
2
3
2
3
=
gdje je R plinska konstanta, n broj molova plina, a NA Avogadrov broj.
Izotermna promjena stanja plina je takova promjena kod koje temperatura ostaje stalna, a
promjenu tlaka i volumena opisuje Boyle - Mariotteov zakon:
t=konst. p1V1=p2V2=konst.
Kod konstantne temperature uz porast tlaka, volumen plina pada i obrnuto.
54. Izobarna promjena stanja plina je takva promjena kod koje je tlak plina konstantan, a volu-men
54
raste s porastom temperature prema Gay - Lussacovom (Gaj - Lisak) zakonu:
p=konst.
Vt=V0(1+αt)
Uvedemo li termodinamičku temperaturu T=(t+273,15)K dobivamo taj zakon izražen u
obliku:
V
T
V
T
= 0
0
što zanči da uz konstantan tlak omjer V/T ostaje isti pa vrijedi:
V
T
V
T
1
1
2
2
=
α je toplinski koeficijent širenja plina i iznosi:
α = 1 = 1 −
0 27315
1
T
K
,
Izohorna promjena stanja plina je takova promjena stanja plina kod koje se volumen plina
ne mijenja, a tlak raste s porastom temperature prema Charlesovom (Šare) zakonu.
V=konst.
Pt=P0(1+αt)
α je toplinski koeficijent tlaka plina i iznosi:
α = 1 −
27315
1
,
K
U apsolutnoj ljestvici temperature taj zakon ima oblik:
P
T
P
T
odnosno
P
T
P
T
= 0 =
0
1
1
2
2
55. 55
Jednadžba stanja plina
Povezanost sva tri parametra koji opisuju stanje plina (volumen, tlak i temperatura) može-mo
izraziti zakonom u kojem su sadržana sva tri plinska zakona. To je jednadžba stanja
plina:
p V
T
p V
T
1 1
1
2 2
2
=
ili kraće:
⋅ = .
p V
T
konst
Promatra li se količina plina od 1 mol, čiji je volumen Vm dobija se:
⋅ m m
p V
T
p V
T
= 0 0
0
p0 = 101 325 Pa
Vom = 2,24·10-2 m3
T0 = 273,15 k
p V
T
0 0m R JK mol
0
= = 8,314 −1 −1
Jednadžba tada poprima oblik:
p·Vm=RT
Ako promatramo količinu od n molova plina jednadžba glasi:
p·V=nRT
Promatramo li smjesu od nekoliko plinova, ukupni će tlak biti jednak zbroju parcijalnih
tlakova pomiješanih plinova.
Tlak smjese je:
p=p1+p2+p3+...
gdje su p1, p2, p3 tlakovi pojedinih plinova.
Parcijalni tlak plina je tlak što bi ga imala jedna od pomiješanih količina plina kad bi sama
ispunila čitav prostor u kojem se nalazi smjesa.
56. MEHANIČKI RAD I UNUTRAŠNJA ENERGIJA
Unutrašnja energija sustava se može promijeniti dovođenjem (odvođenjem) topline kao i
obavljanjem rada. Prema prvom zakonu termodinamike je:
56
ΔU=Q+W
gdje je ΔU promjena unutrašnje energije, Q dovedena (odvedena) količina topline, a W
obavljeni rad.
Plin pri širenju obavlja rad. Taj rad ovisi o vrsti procesa kojim se plin rasteže. Pri izobar-nom
širenju (p=konst.) pri tlaku p od volumena V1 do volumena V2 rad je jednak:
W=p(V2-V1)
Pri izohornom procesu (V=konst.) plin se ne širi, te je i rad nula.
Pri adijabatskom procesu (Q=0, nema izmjene topline s okolinom) pa se rad obavlja na
račun smanjenja unutrašnje energije.
W=-ΔU
Pri izotermnom procesu (T=konst.) nema promijene unutrašnje energije (ΔU=0) te se sva
dovedena toplina pretvara u rad W=Q.
U p-V dijagramu rad je jednak površini ispod krivulje. Korisnost idealnog toplinskog stroja
(Carnotova) je:
W −
Q
η = =
−
=
Q Q
Q
T T
2 1
2 2
T
2 1
2
gdje je Q2 dovedena toplina, Q1 toplina predana hladnijem spremniku, T2 temperatura topli-jeg,
a T1 temperatura hladnijeg spremnika.
Kod toplinskih strojeva dio unutrašnje energije plinova ili para (radnog tijela) se pretvara u
rad. To je moguće samo ako postoji razlika temperatura spremnika između kojih kruži
radno tijelo.
Za vrijeme jednog kružnog procesa radno tijelo primi od toplijeg spremnika toplinu Q2 i
preda hladnijem spremniku toplinu Q1. Promjena topline Q2-Q1 je rad što ga je radno tijelo
izvršilo.
Korisnost η nekog toplinskog stroja govori o tome koliki je dio topline dobivene od topli-jeg
spremnika prešao u mehanički rad.
57. 57
RJEŠENI PRIMJERI IZ PODRUČJA TOPLINA
1. Plinska boca napunjena je plinom temperature 15°C pod tlakom upola manjim od tlaka
pri kojem dolazi do rasprsnuća boce. Pri kojoj temperaturi plina u boci dolazi do rasprsnu-ća?
p1=p2/2
t1=15°C=288 K
T2=?
p
T
p
T
T
p
p
T T K K t C
2
2
1
1
2
2
1
1 2 1 2 288 576 303
=
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⇒ = o
2. Nekom smo plinu predali toplinu od 5·107 J pri stalnom tlaku, a plin je pri tom izvršio
rad od 3·107 J. Što se dogodilo s unutrašnjom energijom plina?
Q=5·107 J
p=konst.
W=3·107 J ΔU = Q −W = 5⋅107 J − 3⋅107 J = 2⋅107 J
ΔU=? Unutrašnja energija plina se povećala za 2·107 J.
3. 1 kg ugljena topline izgaranja 3,3·107 J/kg proizvede dovoljno pare da parni stroj radi 2
sata prosječnom snagom od 700 W. Koliki je koeficijent iskorištenja?
Q=3,3·107 Jkg-1=Wu
t=2 h=7200 s
p=700W
η=?
η = = ⋅ = ⋅
⋅
= = −
W
W
P t
W
W s
Jkg
k
u u
700 7200
3 3 10
01527 15 27%
, 7 1
, ,
4. Da bismo ohladili 2·10-3 m3 vode temperature 80°C na 60°C dodajemo joj hladnu vodu
temperature 10°C. Koju količinu hladne vode trebamo doliti? (gustoća vode je 103 kgm-3)
m1=2·10-3·103 kg=2 kg
t1=80°C
m 1 c(t 1 -t)=m 2 c(t-t 2
)
t=60°C
m
1 (
t 1
-t)
= = 2 kg ⋅ 20
K
t2=10°C
m
2
=
0 ,
8
kg
m2=?
t −
t
2
50
K
5. Koliku energiju treba utrošiti da bi se 0,5 kg olova ugrijalo od temperature 15°C na
temperaturu tališta olova 327°C? (specifični toplinski kapacite olova c=126 Jkg-1 K-1)
m=0,5 kg
t1=15°C
t2=327°C
Q=? Q=m·cΔT=0,5 kg·126 Jkg-1 K-1·(327-15)K=19 656J
58. 6. U automobilskoj gumi nalazi se zrak pod tlakom 6·105 Pa kod 293 K. Dok se auto giba,
temperatura u gumi poraste na 308 K. Za koliko se poveća tlak plina u gumi, ako je volu-men
58
zraka konstantan?
p=6·105 Pa
T1=293 K
T2=308 K
Δp=?
Δ
Δ
5
= − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅
= − ⋅ = ⋅ = ⋅
p p p
p
T
T p
Pa K
K
Pa
2 1
1
1
2 1
5
6 10 308
293
6 10
5 5 4
p Pa Pa Pa
(6,307 6) 10 0,307 10 3,07 10
7. U zatvorenoj posudi volumena 10 l nalazi se 0,5 mola vodika. Koliki će biti izvršeni rad
ako ga zagrijemo od 0°C do 100°C?
V=10 l=10·10-3 m3
n==0,5 mol
t1=0°C
t2=100°C
W=? W=pΔV=0 jer nema promijene volumena.
8. Posudu koja sadrži 5 litara zraka pri normalnom tlaku sjedinimo s potpuno praznom
(vakuum) posudom 4,5 litara. Koliki je konačni tlak zraka, ako je proces izoterman
(T=konst.)?
p1=101 325 Pa
p 1 V 1 =
p 2 V
2
V1=5 l=5·10-3 m3
V2=(5+4,5) l=9,5·10-3 m3
p 1 V
= 1
= 101325 Pa ⋅ 5 ⋅
10
3 m
3
p
2
53329
Pa
p2=?
V
2
9 5 10
3 m
3
⋅
=
−
, −
9. Električnim ronilom snage 1 Kw zagrijavamo tri minute vodu mase 2 kg. Za koliko će se
pri tom povisiti temperatura vode ako nema toplinskih gubitaka? Specifični toplinski kapa-citet
vode iznosi 4190 Jkg-1 K-1.
P=1 kW=103 W
t=3 min=180 s
m=2 kg
ΔT=?
W Q
P t mc T
T
p t
mc
W s
kg Jkg K
K
=
⋅ =
= ⋅ = ⋅
⋅
= − −
Δ
Δ 10 180
2 4190
21 47
3
1 1
,
10. U aluminijskoj ploči napravljen je kružni otvor polumjera 2,5 cm na temperaturi 20°C.
Koliko će iznositi polumjer otvora na temperaturi 200°C? Koeficijent linearnog rastezanja
aluminija je 24·10-6 K-1.
lt=2,5 cm
l t
= l 0
( 1
+
α t
)
t=20°C=293 K
l
t2=200°C=473 K
l
0
=
t
l2=?
1
+
α
t
59. 2 4190 1 1 80 0 1 2 26 106 1
59
l l t
l
t
t
l
cm
K K
⋅ + ⋅ ⋅ = − −
K cm
t
2 0 2 2
2 6 1
6
1
1
1
2 5
1 24 10 293
1 24 10 473 2 51
= + =+
+
=
+ ⋅ ⋅
−
( ) ( )
,
( ) ,
α
α
α
11. Nakon koliko će vremena iz kalorimetra ispariti 100 g vode ako je u kalorimetar uro-njen
grijač snage 1000 W? Početna masa vode u kalorimetru bila je 2000 g, a njena tempe-ratura
iznosila 20°C. (Specifični toplinski kapacitet vode je 4190 Jkg-1K-1, a specifična
toplina isparavanja vode je 2,26·106 Jkg-1.)
m=100 g=0,1 kg
P=1000 W
m1=2000 g=2 kg
t1=20°C
c=4190 Jkg-1 K-1
r=2,26·106 Jkg-1
t2=100°C
t=?
Grijač mora prvo zagrijati svu vodu do vrenja, a tek
onda će nastupiti isapravanje.
= + r
⋅ = +
=
W Q Q
P t m 1
c t mr
m c T +
mr
t
P
t
− − −
1
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
kg Jkg K K kg Jkg
W
= + =
1000
670400 226000
t s s
1000
896 4
Δ
Δ
, ,
,
60. 60
ELEKTRICITET
COULOMBOV ZAKON
Električni naboj je jedna od osnovnih osobina elementarnih čestica od kojih su izgrađeni
atomi.
Najmanja količina električnog naboja, elementarni naboj iznosi:
e=1,6·10-19 C
Jedinica za naboj je coulomb (C).
Naboj protona je +e, a naboj elektrona -e.
Naboj bilo kojeg tijela može biti samo višekratnik elementarnog naboja:
Q=n·e
Između dvaju točkastih naboja djeluje električna sila koja je upravno razmjerna umnošku
naboja Q1 i Q2, a obrnuto razmjerna s kvadratom njihove međusobne udaljenosti r (Cou-lombov
zakon):
F k
1 2 ⋅
Q Q
r
Q Q
r
= ⋅
⋅
= ⋅
2
1 2
2
1
4πε
Q1 i Q2 su naboji, r njihova međusobna udaljenost, a ε permitivnost (dielektričnost sred-stva)
u kojem se naboji nalaze. U vakuumu ε=ε0=8,85·10-12 N-1 m-2 C2, a u sredstvu ε=εr·ε0
gdje je εr relativna permitivnost sredstva. U vakuumu konstanta k iznosi:
k = = ⋅ C− Nm 1
4
8 99 10
0
9 2 2
πε
,
a tolika je praktično i u zraku.
Ako su naboji istoimeni, sila među njima je odbojna, a ako su raznoimeni, sila je privlačna.
ELEKTIRČNO POLJE I POTENCIJAL
Električno polje je dio prostora u kojem se osjeća djelovanje električne sile na naboj.
Ako na naboj Q u određenoj točki prostora djeluje električna sila
rF
, tada je jakost elektri-čnog
polja
rE
u toj točki jednaka:
F
Q
E
r
r =
61. Jakost polja brojčano je jednaka sili koja djeluje na jedinični pozitivan naboj, a smjer
vektora Er
61
je isti kao i smjer sile Fr
.
Jedinica za jakost el. polja je N/C, odnosno ekvivalentna jedinica V/m.
Jakost električnog polja točkastog naboja Q na udaljenosti r od naboja je:
E
Q
= ⋅ 1
4 0
πε ε 2
r r
Izraz vrijedi i za jakost polja nabijene kugle jer je jakost polja kugle upravo tolika kao da je
sav naboj koncentriran u središtu kugle. Udaljenost r je tada razmak od središta kugle do
točke u kojoj promatramo jakost polja.
Potencijal neke točke električnog polja je jednak radu potrebnom za pomicanje jediničnog
pozitivnog naboja iz te točke u referentnu točku nultog potencijala:
ϕ = W
Q
Jedinica za potencijal je volt:
1V=
1
1
J
C
Veličina potencijalne energije određene točke polja dana je izrazom:
Ep = W = Q⋅ϕ
Potencijal točkastog naboja Q ili nabijene kugle u točki na udaljenosti r od naboja ili sredi-šta
kugle je:
ϕ
= 1
⋅ 4 πε 0 ε
r
Q
r
Potencijal točaka na površini nabijene kugle polumjera R je jednak:
ϕ
= 1
⋅ 4 πε 0 ε
r
Q
R
Razlika potencijala (ϕ1-ϕ2)se naziva napon:
U
W
Q
= ϕ1 − ϕ2 =
62. Napon između dvije točke je jednak radu što ga treba izvršiti pri prenošenju naboja Q iz
jedne točke u drugu. Jedinica za napon je ista kao i za potencijale 1 Volt (1V). Iz izraza
W=Q·U izvodi se još jedna jedinica za energiju, 1 eV (elekron volt).
1eV je energija koju dobije elektron (ili neka druga čestica s nabojem e) kad prijeđe razliku
potencijala od 1V.
62
1eV=1,6·10-19 C·1 V=1,6·10-19 J
1KeV=1000eV=1,6·10-16 J
1MeV=106eV=1,6·10-13 J
U homogenom električnom polju jakosti E, kod naboja Q prelazi udaljenost d obavlja se
rad jednak:
W=F·d=Q·E·d=Q·u
odakle je:
E
U
d
=
pa tako i jedinica za jakost električnog polja (
1
1
V
m
).
ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI
Električni kapacitet vodiča je jednak omjeru naboja Q koji se nalazi na vodiču i potencijala
ϕ:
C
Q =
ϕ
Jedinica za kapacitet je farad (F):
1
1
1
F
C
V
=
Kondenzator se sastoji od dvaju vodiča između kojih je izolator (dielektrik). Kapacitet
kondenzatora je omjer naboja na kondenzatoru i napona između ploča kondenzatora:
C
Q Q
U
=
−
=
ϕ1 ϕ2
63. Kapacitet pločastog kondenzatora upravo je razmjeran površini S jedne ploče, a obrnuto
razmjeran udaljenosti d između ploča:
63
C
Q
U
S
ε 0 ⋅ ε ⋅
= = r
d
Jakost električnog polja unutar pločastog kondenzatora nabijenog nabojem Q je:
E
σ
ε ε
1
Q
ε ε 0 0
= ⋅ =⋅
r S r
gdje je σ=Q/S plošna gustoća naboja na pločama kondenzatora.
Unutar kondenzatora polje je homogeno te je:
E
U
d
=
gdje je U napon između ploča, a d razmak ploča.
Kapacitet kugle polumjera R iznosi:
C=4πε0εrR
Kondenzatore možemo spajati paralelno i serijski.
Ukupni kapacitet paralelno spojenih kondenzatora je:
C=C1+C2+C3+...Cn
Ukupni kapacitet serijski spojenih kondenzatora je:
Σ=
1 1 1 1 1 n
= + + + 1
...
+ =C C1 C2 C3 Cn i 1Ci
64. Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru je jednaka:
64
W = ⋅Q⋅U = ⋅C⋅U 1
2
1
2
2
OHMOV ZAKON I ZAKON ELEKTRIČNOG OTPORA
Električna struja je svako usmjereno gibanje električnog naboja. Jakost struje I je definirana
kao ona količina naboja ΔQ koja u vremenu Δt prođe presjekom vodiča:
I
= Δ
Δ
Q
t
Ako je struja konstantna, onda vrijedi:
I
Q
t
=
Jedinica za jakost el. struje je amper (A).
Gustoća struje je jakost struje po jedinici presjeka vodiča:
j
I
S
=
a jedinica za mjerenje gustoće struje je Am-2.
Pod djelovanjem električne sile F eEr r = − slobodni elektroni u metalima dobivaju prirast
brzine u smjeru el. sile:
v = μ ⋅E
gdje je μ pokretljivost elektrona koja se mjeri u m2 s-1 V-1.
65. 65
Za metalni vodič duljine l i površine presjeka S Ohmov zakon glasi:
I
= Δ Q
= n ⋅ e ⋅ S ⋅ v ⋅ Δ
t
= n ⋅ e ⋅ S ⋅ v = n ⋅ e
⋅ μ
⋅ S
⋅ U = G ⋅
U Δ
t
Δ
t
l
n je broj elektrona u jedinici volumena, e elementarni naboj, μ pokretljivost slobodnih
elektrona, U napon na krajevima vodiča, G vodljivost.
Električna vodljivost G se mjeri u siemensima (1
1
1
S
A
V
= ).
Recipročna vrijednost električne vodljivosti je električni otpor (R):
R
⋅ 1 1
G n e
l
S
= =
⋅ ⋅
μ
Ω = V
Jedinica za mjerenje otpora je je ohm(1
1
1
A
)
Ohmov zakon napisan pomoću otpora za dio strujnog kruga je:
I
U
R
=
gdje je I jakost struje što teće vodičem, U napon na krajevima vodiča a R otpor vodiča.
Zakon električnog otpora
Električni otpor R vodiča duljine l i presjeka S jednak je:
R
⋅ = ⋅ 1
μ
n e
l
S
l
S
=
⋅ ⋅
ρ
gdje je:
ρ
μ
=
1
n e
⋅ ⋅
električna otpornost materijala koja se mjeri u Ωm.
Električni otpor vodiča raste s el. otpornošću materijala i duljinom vodiča, a pada s površi-nom
presjeka vodiča.
Električni otpor vodiča mijenja se i s temperaturom prema zakonu:
Rt = R0 (1+ αt)
gdje je R0 otpor kod 0°C, Rt otpor kod temperature t, i α temperaturni koeficijent otpora.
66. Ohmov zakon za zatvoreni strujni krug. Zbog procesa koji se odigravaju unutar el. izvora
javlja se elektromotorna sila izvora (ε) koja je jednaka naponu neopterečenog izvora i mjeri
se u voltima, a u isto vrijeme u samom izvoru postoji i unutrašnji otpor Ru.
Ako se izvor elektromotorne sile ε i unutrašnjeg otpora Ru priključi u strujni krug smanji se
napon U zbog pada napona na unutrašnjem otporu:
66
= ε − ⋅
U IRu
Ohmov zakon za takav zatvoreni strujni krug je:
I
ε
Ru R
=
+
gdje je Ru unutrašnji otpor izvora, a R vanjski otpor.
KIRCHHOFFOVA PRAVILA, SPAJANJE OTPORA I IZVORA
1. Prvo Kirchhoffovo pravilo
Algebarski zbroj jakosti struja u nekom čvorištu (točki grananja) jednak je nuli:
ΣI = I1 + I 2 + I 3 +...= 0
Struje koje dolaze u točku grananja smatraju se pozitivnim u struje koje iz točke grananja
izlaze negativnim.
2. Drugo Kirchhoffovo pravilo
Algebarski zbroj svih elektromotornih sila u zatvorenom strujnom krugu jednak je zbroju
svih padova napona na otporima u tom strujnom krugu:
Σ ε = Σ R⋅ I
67. Serijski spoj otpora. Ukupni otpor serijski spojenih otpora jednak je zbroju pojedinih
otpora:
67
R=R1+R2+R3+...
Pri serijskom spajanju otpora kroz sve otpore teče ista jakost struje, pa je ukupni napon
jednak sumi padova napona na pojedinim vodičima:
U=U1+U2+U3=IR1+IR2+IR3
Paralelni spoj otpora. Pad napona na krajevima svih vodiča spojenih u paralelu je jednak:
U=I1R1=I2R2=I3R3
Ukupni otpor paralelno spojenih vodiča je:
1 = 1 + 1 +
1
R R1 R2 R3
Jakost struje I koja je došla u točku grananja jednaka je sumi jakosti struja koje su iz točke
grananja izašle:
I=I1+I2+I3
68. Serijsko spajanje izvora. Pri serijskom spajanju izvora ukupna elektromotorna sila ε jdnaka
je zbroju elektromotornih sila εi pojedinih izvora. Jednako je i unutrašnji otpor jednak
zbroju pojedinih unutrašnjih otpora pa Ohmov zakon u tom slučaju glasi:
68
I
i
i
n
ε
1
=
R R
n
i
n
i
=
Σ
+ Σ
=
1
Paralelni spoj izvora. Kod paralelnog spajanja više izvora jednake elektromotorne sile,
ukupna elektromotorna sila jednaka je elektromotornoj sili pojedinog izvora, a ukupni se
unutrašnji otpor smanjuje jer su paralelno spojeni.
Ohmov zakon ima slijedeći oblik:
I
R
ε
R
n
u
=
+
RAD I SNAGA ELEKTRIČNE STRUJE
Rad što ga izvrši struja jakosti I za vrijeme t, ako je na krajevima vodiča napon U jednak je:
W=U·I·t
Snaga struje je:
P=U·I
Jedinica za rad je joule (J), a jedinica za snagu watt (W).
Za izražavanje rada upotrebljava se još i 1 kWh:
1kWh=103W·3600 s=3,6·106 J
Primjenom Ohmovog zakona (U=I·R) formule za rad i snagu se mogu pisati:
2
= ⋅ = ⋅
W I R t
U
R
t
P I R
U
R
= =
2
2
2
69. 69
Prema Jouleovom zakonu toplinski učinak električne struje se može pisati:
Q U I t I R t
2
U
R
= ⋅ ⋅ = 2 ⋅ ⋅ = ⋅ t
ELEKTRIČNA STRUJA U ELEKTROLITIMA, PLINOVIMA I VAKUUMU
Propuštanjem istosmjerne struje kroz otopine elektrolita dolazi do pojave elektrolize. Masa
tvari što se izluči elektrolizom na elektrodi jednaka je ukupnoj masi svih iona prispjelih na
elektrodu:
m=N·mi
Ako se masa iona izrazi omjerom molarne mase M i Avogadrove konstante NA dobija se:
m
M
N
m
N M
N
i
A
A
=
= ⋅
Ukupni naboj koji prođe elektrolizom za vrijeme elektrolize jednak je naboju svih iona koji
stignu na elektrodu:
Q=N·Z·e
gdje je z valencija iona.
Ako se u izraz za masu uvrsti:
N
Q
Z e
=
⋅
·e
dobija se:
m
= ⋅
M Q
NA ⋅ e ⋅
Z
Umnožak NA·e·Z je Faradayeva konstanta, ona je za sve tvari jednaka i iznosi 9,649·104
Cmol-1.
Plinovi su u normalnim uvjetima izolatori, a jedino u ioniziranom stanju provode struju.
Energija ionizacije je energija potrebna da se od neutralne molekule otrgne elektron i stvori
par ion - elektron. Energija ionizacije se najčešće izražava elektronvoltima.
Vođenje struje u vakuum primjenjuje se u elektronskim vakuumskim cijevima diodi, triodi i
katodnoj cijevi. U diodi se elektroni gibaju od katode prema anodi pod utjecajem elektri-
70. čnog polja proizvedenog anodnim naponom i dioda služi kao ispravljač. Katodna cijev je
vakuumska elektronska cijev u kojoj uski snop elektrona putujući iz katode prolazi kroz
otvor u anodi, otklanja se kroz elektronske pločice i udara u ekran. Trioda je vakuumska
elektronska cijev koja osim katode i anode ima i treću elektrodu, upravljačku rešetku.
Trioda služi kao pojačalo.
MAGNETSKO POLJE
Svaki naboj u gibanju stvara u prostoru magnetsko polje. Jakost magnetskog polja H u
točki A udaljenoj za r od naboja Q koji se giba brzinom v iznosi (Biot - Savart - Laplaceov
zakon):
70
H
Q v
sinα
4π r
2
= ⋅ ⋅
⋅
gdje je α kut između smjera brzine vr i spojnice rr naboja i promatrane točke:
Slično je jakost magnetskog polja elemenata vodiča Δl kroz koji teče struja jakosti I
jednaka:
Δ Δ
H
= I l
sinα
4 r
2π
Jedinica za jakost magnetskog polja je Am-1.
Veza između magnetske indukcije (gustoće magnetskog toka) i jakosti magnetskog polja je
B=μ0·μr·H
gdje je μ0=4π·10-7 TmA-1 permeabilnost vakuma, μr relativna permeabilnost tvari, tj. omjer
magnetske indukcije u tvari i vakuumu za istu jakost polja:
μr
B
B
=
0
71. Za zrak i većinu tvari μ=μ0 jer je μr≈1, a za feromagnetske materijale μr je veliki i ovisan o
magnetskom polju. Jedinica za magnetsku indukciju je tesla (1T).
Magnetsko polje ravnog vodiča. Jakost magnetskog polja u udaljenosti r od ravnog vodiča
kojim teče struja jakosti I:
71
dana je izrazom:
H
I
r
=
2π⋅
Magnetske silnice ravnog vodiča kroz kojeg teče struja su koncentrične kružnice koje leže
u ravnini okomitoj na vodič, a središte im je u osi vodiča. Smijer silnica (vektora Hr
odnosno Br
) određujemo pravilom desne ruke. Ako palac pokazuje smjer struje, savijeni
prsti pokazuju smjer silnica magnetskog polja.
Magnetsko polje zavojnice. Jakost magnetskog polja unutar zavojnice duljine l koja ima N
zavoja kada kroz nju teče jakost struje I dana je izrazom:
H
= ⋅
N I
l
72. Smjer magnetskog polja zavojnice određujemo prema pravilu desne ruke koje kaže: uhvati-mo
72
li zavojnicu desnom rukom tako da savijeni prsti pokazuju smijer struje, palac pokazuje
sjeverni pol.
Jakost magnetskog polja u središtu kružne petlje je:
H
I
r
=
2
gdje je r polumjer petlje.
Smjer magnetskog polja kružne petlje određujemo pravilom desne ruke. Obuhvatimo li
petlju prstima desne ruke da nam oni pokazuju smjer struje, palac će pokazivati smjer
magnetskog polja ( Hr
odnosno Br
).
Magnetska indukcija i magnetski tok. Magnetski tok kroz ravnu površinu S:
dan je izrazom:
φ=B·S·cosα
gdje je α kut između vektora Br
i normale nr na površinu.
73. 73
Ako silnice magnetskog polja prolaze okomito kroz površinu tok se može prikazati kao:
φ=B·S
Jedinica za magnetski tok je weber (1 Wb=Tm2).
Gibanje električki nabijene čestice u magnetskom polju - Lorentzova sila. Kada se naboj Q
giba brzinom v u magnetskom polju magnetske indukcije B na njega djeluje Lorentzova
sila koja je jadnaka:
F=Q·v·B·sinα
gdje je α kut između smjera gibanja ( vr ) i smjera vektora ( Br
).
U slučaju pozitivnog naboja smjer sile određujemo pravilom desnog dlana koje kaže: Ako
ispruženi prsti pokazuju smjer magnetskog polja ( Br
), a palac smjer brzine čestice ( vr ),
pra-vac sile je okomit na dlan, a smjer te sile je od dlana:
Ako je naboj negativan sila je suprotnog smjera.
Djelovanje magnetskog polja na vodič kojim teče električna struja - Amperova sila.
Veličina sile F kojom homogeno magnetsko polje magnetske indukcije B djeluje na vodič
duljine l kojim teče jakost struje I:
74. jednaka je:
74
F=B·I·l·sinα
gdje je α kut između smjera kojim teče struja i smjera vektora Br
.
Smjer sile (otklona vodiča) određujemo pravilom desnog dlana. Postavimo li desni dlan
tako da prsti pokazuju smjer magnetskog polja B, a palac smjer struje I, sila F će imati
takav smjer da vodič nastoji udaljiti od dlana.
ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
Elektromagnetska indukcija je pojava da se promjenom magnetskog toka u vodiču inducira
napon:
t i = −
U N
Δφ
Δ
Faradayev zakon elektromagnetske indukcije kaže da je inducirani napon proporcionalan
brzini promijene magnetskog toka.
Δφ je promijena magnetskog toka, Δφ=φ2-φ1 u svakome od zavoja, a N broj zavoja.
Predznak (-) kaže da je inducirani napon takav da od tog napona stvorena inducirana struja
svojim magnetskim učinkom nastoji poništiti uzrok koji ju je proizveo (Lenzovo pravilo).
Kada se ravni vodič duljine l giba brzinom v u homogenom magnetskom polju magnetske
indukcije B i pod kutem α u odnosu na polje, u vodiču se inducira napon koji je jednak:
Ui = -Blvsinα
Magnetski tok koji je proizvela struja I koja protječe kroz neki zavoj jednak je:
φ=L·I
gdje je L koeficijent samoindukcije (induktivitet) koji ovisi o obliku i veličini zavoja te
magnetskoj permeabilnosti okolnog sredstva.
Jedinica za induktivitet je henri (H)
H=WbA-1=VsA-1
Promjenom jakosti struje kroz zavoj, mijenja se i magnetski tok kroz površinu ograničenu
tim zavojem te se u njemu inducira elektromotorna sila (napon) samoindukcije:
U
= − = −
I
L L
t
t Δφ
Δ
Δ
Δ
75. Kada su dvije zavojnoce induktivno povezane, promjena jakosti struje u primarnoj zavojni-ci
inducirat će napon u sekundarnoj:
75
I
t 2 12
= − 1 ,
U L
Δ
Δ
Induktivitet zavojnice koja ima površinu presjeka S, duljinu l i jezgru permeabilnosti
μ=μ0·μr s N zavoja iznosi:
L
μ ⋅μ0 ⋅ ⋅
S N
l
= r
2
Induktivitet dviju jednoslojnih zavoja s N1 i N2 namotaja, jednake duljine l, namotanih
jedna na drugu na jezgri permeabilnosti μ=μ0·μr i presjeka S je:
, = μ ⋅μ ⋅
L S
N N
1 2
l 1 2 0 r
IZMJENIČNA STRUJA
Ako se tanka zavojnica jednoliko vrti kutnom brzinom ω=2πf u homogenom magnetskom
polju inducira se izmjenični napon:
U=U0sinωt
gdje je U0 maksimalna vrijednost napona,a ω=2πf kružna frekvencija (pulzacija). Frekven-cija
gradske mreže je f=50 Hz.
Jednako tako i jakost struje mijenja se po zakonu sinusa te je:
I=I0sinωt
Efektivna vrijednost jakosti izmjenične struje je ona jakost koju treba imati istosmjerna
struja stalne jakosti da u jednakom vremenu proizvede u nekom vodiču jednaku toplinu kao
i promatrana izmjenična struja. Povezanost između efektivne I i maksimalne vrijednosti I0
jakosti izmjenične struje daje relacija:
I
I
= 0
2
te je isto tako i efektivna vrijednost izmjeničnog napona:
U
U
= 0
2
76. Ukupan otpor u krugu izmjenične struje - impendancija Z.
76
Z = R2 + (RL − RC )2
Z je impedancija ili ukupni otpor, R je radni otpor, RL=L·ω je induktivni otpor, R
1
ω
C C =
⋅
je kapacitivni otpor. RL i RC su takozvani prazni otpori.
Ohmov zakon za krug izmjenične struje glasi:
I
U
Z
=
Razlika faze ϕ između izmjeničnog napona i izmjenične struje:
dana je izrazom:
tg
−
R R
ϕ = L C
R
Srednja vrijednost snage izmjenične struje je dana izrazom:
P=I·U·cosϕ
77. Elektromagnetski titraji i valovi. Električni titrajni krug se sastoji od zavojnice induktiviteta
L i kondenzatora kapaciteta C:
77
Vlastita frekvencija takvog titrajnog kruga je dana Thomsonovom formulom:
f
= 1
2π
LC
Elektromagnetski valovi nastaju širenjem titraja električnog i magnetskog polja iz titrajnog
kruga u prostor. Vektori električnog i magnetskog polja u valu su uvijek međusobno
okomiti, a okomiti su i na smjer širenja vala. Valna duljina, frekvencija i brzina su poveza-ne
identičnim izrazom kao i kod mehaničkih valova:
v=λ·f
Brzina širenja elektromagnetskih valova u vakumu dana je relacijom:
C = 1
ε 0μ0
gdje je ε0=8,85·10-12 Fm-1, a μ0=4π·10-7 Hm-1.
Brzina širenja elektromagnetskih valova u bilo kojem drugom sredstvu ovisi o njegovim
elektromagnetskim svojstvima i određena je izrazom:
v
c
r r
= = 1
εμ ε μ
Transformator. Uređaj koji transformira izmjeničnu struju jednog napona i jakosti u izmje-ničnu
struju drugog napona i jakosti a radi na principu elektromagnetske indukcije. Za
idealni transformator bez gubitaka vrijedi:
U
U
I
I
N
N
1
2
2
1
1
2
= =
gdje su U1, I1 i N1 napon, jekost i broj namotaja primarne zavojnice, a U2, I2 i N2 napon,
jakost i broj namotaja sekundarne zavojnice.
78. 78
RIJEŠENI PRIMJERI IZ PODRUČJA ELEKTRICITET
1. Jezgra helija ima naboj +2e, a jezgra neona +10e (e=1,6·10-19 C). Elektrostatska sila
između njih, na razmaku od 5·10-6 m iznosi (dielektrična konstanta vakuma ε=8,85·10-12
Fm-1):
Q1=+2e=2·1,6·10-19 C
k ⋅ Q 1 ⋅
Q
2
Q2=+10e=10·1,6·10-19 C
F
10-6 R
2
R=5·m
9 2 2 19 19
F=?
F
− − −
= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Nm C C C
9 10 2 1 6 10 10 1 6 10
, ,
6 2
m
=
⋅
−
5 10
( )
− −
17 16
= ⋅ = ⋅
F N N
18 432 10 1 8432 10
, ,
2. Koliki je unutrašnji otpor baterije od 4,5 V ako joj pri jakosti struje 500 mA napon padne
na 4,1 V?
ε=4,5 V
U
41
V
I=500 mA=0,5 A
R
I
0 5
A
U=4,1 V
Ru=?
I
= = =
+
R R
=
R
= − = − = − =
I
R
V
A
v
u v
u v
8 2
4 5
0 5
8 2 9 8 2 0 8
,
,
,
,
,
, , ,
Ω
Ω Ω Ω Ω
ε
ε
3. Brzina kojom stižu elektroni na anodu diode iznosi 8000 km/s. Koliki je električni napon
između anode i katode? (naboj elektrona je 1,6·10-19 C,a masa alektrona 9,1·10-31 kg)
v=8000 kms-1=8·106ms-1
U=?
mv
Q U
U
mv
Q
kg ms
, ( )
C
V
2
2 31 6 1 2
19
2
2
91 10 8 10
2 16 10
182
= ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
− −
−
,
4. Na raspolaganju su tri kondenzatora s kapacitetima 4μF, 6μF i 8μF. Ako ih spojima
serijski, koliki će biti kapacitet ove kombinacije?
C1=4μF
C2=6μF
C3=8μF
Cu=?
1 1 1 1
C C1 C2 C3
1 1
μ μ μ μ
μ
4
1
6
1
8
6 4 3
24
C F F F F
C
24
13
1 846
F
F
u
u
u
= + +
= + + = + +
= =
, μ
79. 5. U nekoj žici otpora 20 Ω razvijena je toplina od 900 J u vremenu od 5 s. Naboj elektrona
je 1,6·10-19 C. Broj elektrona koji su u to vrijeme prošli kroz presjek žice je:
79
R=20 Ω
W=900 J
t=5 s
n=?
= ⋅
=
W I R t
I
W
R t
n Q
t
W
R t
n
t
Q
W
R t
5 s
19
= ⋅ −
C
J
s
e
e
⋅
⋅
=
⋅
= ⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
2
19
1 6 10
900
20 5
9 375 10
,
,
Ω
6. Dva naboja Q1=4·10-8 C i Q2=2,5·10-8 C nalaze se u zraku na udaljenosti 1 m. Koliki rad
treba izvršiti da bi ih približili na udaljenost 0,2 m? (ε0=8,85·10-12 C2N-1 m-2)
Q1=4·10-8 C
Q Q
10-8 W = Δ E
=
1 2
Q Q
Q Q
Q2=2,5·C
p 4 R
4 R
4
R R
R1=1 m
R2=0,2 m
C C
W=?
W
C N m m m
W J
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
−
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
= ⋅
− −
− − −
−
0 2
1 2
0 1
1 2
0 2 1
8 8
12 2 1 2
5
1 1
4 10 25 10
4 314 885 10
1
0 2
1
1
3 59 10
πε πε πε
,
, , ,
,
7. Napon između horizontalnih ploča kondenzatora je 10 V, a razmak ploča je 0,1 m. Mi-kroskopski
vidljiva kapljica ulja mase 10-13 kg lebdi u električnom polju. Naboj kapljice je:
U=10 V
d=0,1 m
m=10-13 kg
Q=?
Q E m g
Q
m g
E
E
U
d
Q
m g d
U
10 − kg 9 81 ms −
0 1 m
−
V
C
⋅ = ⋅
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
10
9 81 10
13 2
, , 15
,
8. Električna peć je priključena na gradsku mrežu napona 220 V. Peć ima 3 m dugu grijaću
nit i za 20 min povisi u prostorijama temperaturu za 20°C. Koliko mora biti dugačka ta nit
ako isto povišenje temperature u prostoriji želimo postići za 15 min?
U=220 V
l1=3 m
t1=20 min=1200 s
ΔT=20 K
t2=15 min=900 s
l2= ?
80. 80
⋅ ⋅ ⋅
W =U I t =
U
U U
2
2 2
⋅
=
⋅
1
1
=
=
=
t
R
t
R
t
R
R
R
t
t
R
R
R R
2
2
1
2
1
2
1
2
20
15
3
4
min
min
2 1
=
R R
l
S
l
S
2 1
ρ ρ
2 1
l l
2 1
l 2
m
l m
2
3
4
3
4
3
4
3
3
4
2 25
/ ⋅
/
= ⋅/ ⋅
/
=
= ⋅
=
,
9. U homogenom magnetskom polju indukcije 1,5 T jednoliko se giba vodič duljine 10 cm.
Njime teče struja 2 A, brzina mu je 1ms-1, a vodič je okomit na polje. Snaga potrebna ua
ovo gibanje jest?
α=90°°
B=1,5 T
l=10 cm=0,1 m
I=2 A
v=1 ms-1
P=? P=F·v=B·I·l·sinα·v= B·I·l·v=1,5 T·2 A·0,1 m·1 ms-1=0,3 W
10. Proton se giba po kružnoj stazi polumjera 3,34 cm, u magetskom polju indukcije 0,1 T.
Kolika je brzina protona?
R=3,34 cm
B=0,1 T
v=?
mv
R
Q v B
v
Q B R
m
C T m
1 6 10 0 1 3 34 10 5 1
, , , −
kg
ms
2
19 2
27
1 67 10
3 2 10
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
− −
−
,
,
11. Zavojnica koeficijenata samoindukcije 0,1 H i omskog otpora 51 Ω priključena je na
izvor izmjeničnog napona efektivne vrijednosti 120 V i frekvencije 50 Hz. Kolika efektiv-na
struja teče zavojnicom?
L=0,1 H
R=51 Ω
Uef=120 V
ν=50 Hz
Ief=?
81. 81
I
U
Z
U
R R
U
R L
U
R L
I
120
V
H Hz
2
V
I
V
A
ef
ef ef
L
ef ef
ef
ef
= =
+
=
+ ⋅
=
+ ⋅
=
+ ⋅⋅ ⋅
=
+
= =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
51 0 1 2 314 50
120
2601 985 96
120
59 89
2 00
( ) ( )
( ) ( , , ) ,
,
,
ω πν
Ω Ω Ω
Ω
12. Na zavojnicu induktiviteta 0,25 H priključen je izmjenični napon frekvencije 60 s-1.
Koliki bi trebao biti kapacitet serijski priključenog kondenzatora da razlika u fazi između
struje i napona bude nula?
L=0,25 H
ν=60 Hz
ϕ=0
C=?
ϕ
tg
−
R R
L C
R
=
=
⋅ =
R R
L
L C
C
C
ω
= ⇒
⋅
=
2 2 2 2 2 2 2
⋅
ω πν π ν
⋅
L L L H Hz
ω
( ) , ,
μ
=
5
C F F
= =
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ − =
0
1
1 1
2
1
4
1
4 314 0 25 60
28 10 28
,
13. Zavojnicom samoindukcije 6 mH teče struja od 500 mA. Pri isključivanju struja padne
na nulu u 10-4 sekundi. Pretpostavljamo da je promjena struje linearna s vremenom.
Inducirana elektromotorna sila na krajevima zavojnica jest?
L=6 mH=6·10-3 H
I1=500 mA=500·10-3 A
I2=0
Δt=10-4 s
ε=?
−
−
3
ε = − ⋅ L
= − ⋅ − ⋅ = −
I
t
H
A
s
V
Δ
Δ
6 10
500 10
10
3 30
4
14 Razmak između ploča pločastog kondenzatora iznosi 0,5 mm. Ako se on stavi u ulje
njegov se kapacitet promijeni. Međutim, kad se ploče udalje tako da je razmak između
ploča 1,2 mm, kondenzator ima i u ulju prijašnji kapacitet. Kolika je relativna dielektrična
konstanta ulja?
C 1 C
2
d1=0,5 mm
ε S
ε ε
S
d2=1,2 mm
0
εr=?
d
1
d
d
d
r
mm
mm
ε ,
r
0
2
2
1
1 2
0 5
2 4
=
⋅
=
⋅ ⋅
= = =
,
,
82. 15. Titrajni krug čini kondenzator kapaciteta 50 pF i zavojnica induktiviteta 0,2 mH. Odre-dite
82
valnu duljinu na koju je ugođen?
C=50 pF=50·10-12 F
L=0,2 mH=0,2·10-3 H
λ=?
ν
π
λ
2
c
ν
L C
π
λ
=
⋅
1
= = c ⋅ 2
LC
⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =
3 108 1 2 314 0 2 10 3 50 10 12 188 4
ms , , H F , m
16. Transformator za električno zvonce smanjuje izmjenični napon s 220 V na 4 v. Sekun-darna
zavojnica ima 12 zavoja. Koliko zavoja ima primarna zavojnica?
U1=220 V
U2= 4 V
N2=12
N1=?
U
N
U
N
N
U
U
N
V
V
1
1
2
2
1
1
2
2
220
4
12 660
=
= ⋅ = ⋅ =
83. 83
OPTIKA
GEOMETRIJSKA OPTIKA
Ravno zrcalo je glatka i ravna reflektirajuća površina.
Zakon refleksije svjetlosti glasi: Upadna i reflektirana zraka svjetlosti su u istoj ravnini kao
i normala na reflektirajuću površinu a kut upada α jednak je kutu refleksije β:
Slika je u ravnom zrcalu jednake veličine kao i predmet, virtualna i simetrična predmetu s
obzirom na ravninu zrcala:
Sferno zrcalo
Sferno zrcalo je dio kugline plohe pa je reflektirajuća površina zakrivljena - udubljena ili
izbočena. Jednadžba sfernog zrcala je:
1 +
1 1
x x f
′
=
84. gdje je x udaljenost predmeta od zrcala, x' udaljenost slike od zrcala, R polumjer
zakrivljenosti zrcala, a f=R/2 žarišna ili fokalna daljina zrcala:
Linearno povećanje je omjer veličine slike (y') i veličine predmeta (y):
84
m
= ′ = − ′
y
y
x
x
Za konkavno sferno zrcalo R i f su pozitivne veličine, a za izbočeno (konveksno)
negativne. Povećanje je pozitivno kad je slika uspravna, a negativno kad je obrnuta.
Zakon loma
Kada zraka svjetlosti prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo ona mijenja smjer, tj. na
granici tih dvaju sredstava se lomi:
85. Kod tog prijelaza frekvencija ostaje nepromijenjena a valna duljina i brzina se mijenjaju.
Apsolutni indeks loma nekog sredstva n je omjer brzine svjetlosti (c) u vakuumu i brzine
svjetlosti v u tom sredstvu:
85
n
c
v
=
Relativni indeks loma sredstva 2 prema sredstvu 1 je:
n
n
v
21
n
v 2
1
1
2
, = =
gdje je v1 brzina svjetlosti u sredstvu 1, a v2 brzina svjetlosti u sredstvu 2. Ravnina koja
odvaja dva sredstva se zove ravni dioptar.
Pri prijelazu zrake svjetlosti iz sredstva indeksa loma n1 u sredstvo indeksa loma n2, upadna
i lomljena zraka kao i normala na granici tog sredstva u upadnoj točki su u istoj ravnini.
Snelliusov zakon loma povezuje kut upada α i kut loma β:
n
= α =
n
n 21
2
1
,
sin
sin
β
Totalna refleksija. Ako svjetlost prelazi iz optički gušćeg u optički rijeđe sredstvo kut loma
β>α, dakle svjetlost se lomi od okomice. Kut loma može biti najviše 90°, i za taj kut kaže-mo
da je kut upada tzv. granični. (αg) Ako je kut upada veći od αg svjetlost ne prelazi u
drugo sredstvo već se reflektira. Ta pojava se zove totalna refleksija.
sinαg
n
n
= 2
1
Ako svjetlost prelazi iz sredstva indeksa loma n u vakuum vrijedi:
sinαg = 1
n
Planparalelna ploča je homogeno optičko sredstvo, omeđeno dvjema ravnim paralelnim
plohama. Prolazom kroz planparalelnu ploču zraka svjetlosti ne mijenja smjer već je samo
pomaknuta paralelno samoj sebi:
86. Prizma je optičko sredstvo omeđeno s dvije ravnine koje zatvaraju kut A:
Kut devijacije δ pri prolazu kroz optičku prizmu dan je relacijom:
86
δ=α1+α2-A
gdje su α1 kut upada, α2 kut pod kojim zraka izlazi iz prizme, a A kut prizme. Prolazom
kroz prizmu bijela svjetlost se rastavlja na dugine boje (spektar) jer brzina svjetlosti u
nekom prozirnom sredstvu ovisi o valnoj duljini a time i indeks loma, te se svjetlost različi-tih
boja (različitih λ) i različito lomi.
Leće
Leće su prozirna tijela, omeđena s dvije sferne plohe od kojih jedna može biti i ravna.
Tankim lećama nazivamo leće kod kojih je razmak između dioptrijskih ploha u sredini leće
malen u odnosu na promjer leće. Optička os leće je pravac koji prolazi kroz središta
zakrivljenosti sfernih ploha leće. Razlikujemo dvije vrste leća:
87. a) leće sabiraće - konvergentne leće - sabiru paralelan snop zraka svjetlosti u jednu točku
koja se zove fokus ili žarište:
87
b) leće rastresače - divergentne leće - raspršuju paralelan snop zraka svjetlosti:
Fokalna ili žarišna duljina (f) je udaljenost žarišta od tjemena leće, i ta je daljina za konver-gentne
leće pozitivna, a za divergentne negativna. Fokalna daljina je dana jednadžbom:
1
= − 1
⋅ +
1 1
n
f R 1 R
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
( )
gdje je n relativni indeks loma materijala leće prema sredstvu u kojem se nalazi, a R1 i R2
su polumjeri zakrivljenosti sfernih ploha leće.
Predznak polumjera je pozitivan kod konveksne leće, a negativan kod konkavne.
Jednadžba tanke leće je:
1 +
1 1
x x f
′
=
gdje je x udaljenost predmeta od tjemena leće, a x' udaljenost slike od tjemena leće i f
žarišna daljina leće:
88. Povećanje leće je omjer veličine slike y' i veličine predmeta y:
88
m
= ′ = − ′
y
y
x
x
Ako je povećanje pozitivno, slika je uspravna, a ako je povećanje negativno slika je obrnu-ta.
Kada je m>1 slika je veća od predmeta, a kada je m<1 slika je manja od predmeta.
Jakost leće je recipročna vrijednost žarišne daljine:
j
= 1
f
Jakost leće se mjeri u dioptrijama (1 dpt=1 m-1). Konvergentne leće imaju pozitivnu jakost
(+dioptrije), a divergentne leće imaju negativnu jakost (-dioptrije).
89. 89
FIZIKALNA OPTIKA
Svjetlost je transferzalni elektromagnetski val čija je brzina u vakuumu:
c=2,997925·108 ms-1≈3·108 ms-1
Valnu prirodu svjetlosti potvrđuju pojave interferencije, ogiba i polarizacije.
Interferencija
Interferencija nastaje zbrajanjem dvaju ili više valova svjetlosti jednake frekvencije i
konstantne razlike u fazi (tzv. koherentnih valova). Rezultat tog zbrajanja je pojačanje
intenziteta u u nekim točkama prostora, odnosno smanjenje u drugim.
Pojačanje će nastati ako razlika optičkih puteva dviju zraka δ=k·λ (k=0, 1, 2...), dok će
destruktivna interferencija (minimum rasvjete) nastati na mjestima gdje je:
δ = (2 +1)⋅ λ
k (k=0, 1, 2, ...)
2
Na slici su prikazana dva koherentna izvora. U točki M1 dolazi do interferencije svjetlosti
koja ide iz izvora koji su međusubno razmaknuti za udaljenost d, a točka M1 se nalazi na
zastoru udaljenom a od izvora. Optička razika puteva zrake koja ide iz izvora jedan i zrake
iz drugog izvora jednaka je geometrijskoj razlici pomnoženoj s indeksom loma sredstva
kroz koje je zraka prolazila:
δ=nr1-nr2
Rezultantni intenzitet pri interferenciji ovisi o fazi, odnosno o razlici optičkih putova
valova koji interferiraju. Razmak između dviju svjetlih ili tamnih interferiranih pruga na
zastoru paralelnom s dva koherentna izvora jest:
s
= ⋅λ
a
d
90. gdje je d međusobna udaljenost izvora, a razmak zastora od izvora (a>>d), a λ valna duljina
svjetlosti.
Ogib ili difrakcija na optičkoj rešetki
Optička rešetka se sastoji od ekvidistantnih tijesno poredanih pukotina. Udaljenost između
dvije pukotine zove se konstanta rešetke d:
Maksimum rasvjete opazit ćemo u smjerovima koji s normalom na rešetku zatvaraju kut α
određen uvjetom:
90
d·sinαk=k·λ (k=0, 1, 2, 3...)
gdje je d konstanta rešetke, αk ogibni kut, λ - valna duljina, a k red spektra.
Polarizacija svjetlosti
Refleksijom i lomom svjetlost se polarizira. Zraka svjetlosti je totalno linearno polarizirana
ako reflektirana i lomljena zraka čine pravi kut, a kut upada je tada αB. Dakle ako zraka
svjetlosti upada na prozirno sredstvo indeksa loma n pod kutem αB (Brewsterovim kutom),
reflektirana zraka je potpuno polarizirana te vrijedi:
tgαB=n
Upadni kut αB se zove kut polarizacije.
