1. บทที่ 2
การแจกแจงปกติ
(20 ชั่วโมง)
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. นําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล
2. หาพื้นที่ใตเสนโคงปกติและนําความรูเกี่ยวกับพื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได
ขอเสนอแนะ
1. ความสําคัญของคะแนนมาตรฐาน
คะแนนมาตรฐานจะบอกใหทราบวาคาสังเกตนันๆ อยูหางจากคาเฉลียเลขคณิตเปนกีเ่ ทา
้   ่
ของสวนเบียงเบนมาตรฐาน และอยูในทิศทางใดเมือเทียบกับคาเฉลีย เนืองจาก Z = X − µ
่  ่ ่ ่
σ
คาสังเกตทีมคามากกวาคาเฉลียจะมีคะแนนมาตรฐานเปนบวกสวนคาสังเกตทีมคานอยกวา
่ี ่ ่ี
คาเฉลียเลขคณิตจะมีคะแนนมาตรฐานเปนลบ คาสังเกตทีมคาเทากับคาเฉลียเลขคณิตพอดีจะมีคะแนนมาตรฐาน
่ ่ี ่
เปนศูนย
สวนใหญแลวเราจะแปลงคาสังเกตหรือหาคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตแตละชุดทีมี ่
การแจกแจงแบบสมมาตรเพือใหมมาตรวัดเดียวกันเนืองจากคะแนนมาตรฐานเปนคะแนนทีไมมหนวย
่ ี ่ ่ ี
จากนั้นจึงทําการเปรียบเทียบคาสังเกตโดยพิจารณาจากคะแนนมาตรฐานของคาสังเกตนั้นๆ เชน
เปรียบเทียบสวนสูงของนักเรียนสองคนที่มีอายุตางกันโดยการแปลงสวนสูงของนักเรียนแตละคน
ใหเปนคะแนนมาตรฐานเมื่อเทียบกับคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนใน
กลุมอายุนั้น ๆ คะแนนมาตรฐานของสวนสูงจะบอกใหทราบวานักเรียนแตละคนมีความสูงอยูใน
ตําแหนงใดในการแจกแจงของกลุมนักเรียนอายุเดียวกันนั้น
การแปลงหรือหาคะแนนมาตรฐานเปนการแปลงแบบเชิงเสน (linear transformation)
การแปลงแบบเชิงเสนนี้ไมทําใหการแจกแจงของคาสังเกตกอนและหลังการแปลงเปลี่ยนแปลงไป
และคาเฉลียเลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐานของขอมูลหลังการแปลงก็หาไดโดยวิธงายๆ อนึงคาทีได
่ ่ ี ่ ่
จากการแปลงแบบเชิ ง เสนของขอมูลที่มีการแจกแจงแบบปกติจะยังคงมีการแจกแจงแบบปกติ
นอกจากนี้คะแนนมาตรฐานของการแจกแจงแบบใดๆ ก็ตามที่คํานวณจากขอมูลประชากรทั้งหมด
(กลาวคือใชสตร Zi = Xi − µ เมื่อ i คือ 1, 2, 3, ..., N) คะแนนมาตรฐานนั้นจะมีคาเฉลี่ยเลขคณิต
ู
σ
( µ ) เปน 0 และสวนเบียงเบนมาตรฐาน ( σ ) เปน 1 ทําใหไดวาคะแนนมาตรฐานจากขอมูลเดิมทีมการ
่  ่ี
แจกแจงแบบปกติมีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ที่มีคาใดๆ จะมีการแจกแจง
แบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต µ = 0 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 1

2. 68
การแจกแจงของคะแนนมาตรฐานของขอมูลไมจาเปนตองมีการแจกแจงแบบปกติ ขึนอยูกบ
ํ ้ ั
ลักษณะของขอมูลชุดนั้นๆ เวนเสียแตวาขอมูลเดิมมีการแจกแจงแบบปกติ
2. ตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีหลายแบบ
กลาวคือ
(1) แสดงเพียงครึ่งดานขวาการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป (z ≥ 0)
และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = 0 ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่
แสดงคือ .0000
(2) แสดงเพียงดานขวาของการแจกแจง โดยแสดงคา z ที่เปนศูนยเปนตนไป และ
คาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = − ∞ ถึง คา z ที่ตองการ ใหสังเกตเมื่อ z = 0.00 คาที่
แสดงคือ .5000

3. 69
(3) แสดงการแจกแจงทั้งหมด โดยแสดงคา z ที่เปนลบดวย เชน –3.40 เปนตนไป
และคาที่แสดงคือพื้นที่ใตเสนโคงที่เริ่มจาก z = − ∞ ถึง คา z ที่ตองการ
3. การแจกแจงของขอมูลมีหลายชนิด การแจกแจงของอายุการใชงาน มักมีการแจกแจงแบบอืนทีไมใช
่ ่
แบบปกติ เชน การแจกแจงแบบชีกาลัง การแจกแจงแบบสม่าเสมอ
้ํ ํ
การแจกแจงแบบปกติ (normal) การแจกแจงแบบสม่ําเสมอ (uniform)
การแจกแจงแบบชี้กําลัง (exponential)

4. 70
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1 คะแนนมาตรฐาน
ใหนักเรียนเก็บขอมูลคะแนนสอบวิชาใดวิชาหนึ่งของทุกคนในหองแปลงคะแนนดิบ
เหลานั้นใหเปนคะแนนมาตรฐานโดยสูตร Zi = Xi − µ (หรือใหนักเรียนแตละคนหาคะแนน
σ
มาตรฐานของคะแนนสอบทีตนเองได โดยผูสอนคํานวณคาเฉลียเลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐาน
่  ่ ่
ไวให) จากนั้นใหรวมกันตอบคําถามตอไปนี้

1. มีนกเรียนกีคนทีไดคะแนนมาตรฐานเปนบวก คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทังหมด
ั ่ ่ ้
และคะแนนมาตรฐานที่เปนบวกนี้หมายความวาอยางไร
2. มีนกเรียนกีคนทีไดคะแนนมาตรฐานเปนลบ คิดเปนรอยละเทาใดของนักเรียนทังหมด
ั ่ ่ ้
และคะแนนมาตรฐานที่เปนลบนี้หมายความวาอยางไร
3. ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานระหวาง –1 ถึง 1 มีกี่คน คิดเปนรอยละเทาใดของทั้งหมด
และผูที่ไดคะแนนในชวงนี้หมายความวาอยางไร
4. ตีความหมายคะแนนมาตรฐานของนักเรียนแตละคน
5. หาคาเฉลียเลขคณิต ( µ ) และหาสวนเบียงเบนมาตรฐาน ( σ ) ของคะแนนมาตรฐาน
่ ่
ของนักเรียนทังหอง (ใหใชสตรทีคานวณจากขอมูลระดับประชากร) สังเกตคาเฉลียเลขคณิตและสวน
้ ู ่ํ ่
เบียงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานวามีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
่
เปนหนึ่งหรือไม
แนวคิดในการทํากิจกรรมนี้ หากนักเรียนในหองมีจานวนมากพอและการแจกแจงของคะแนน
ํ
สอบคอนขางสมมาตรหรือใกลเคียงกับการแจกแจงแบบปกติ ผูที่ไดคะแนนมาตรฐานเปนบวกและ
ลบจะมีพอๆ กัน หรือรอยละ 50 ของนักเรียนทั้งหมด (ถามีการแจกแจงเปนแบบปกติจริง) ผูที่มี
คะแนนมาตรฐานอยูระหวาง –1 ถึง 1 ควรมีประมาณ รอยละ 68 อยางไรก็ตามไมวาการแจกแจง
ของคะแนนสอบจะเปนอยางไร คาเฉลียเลขคณิตของคะแนนมาตรฐานจะตองเปนศูนยและสวนเบียง
่ ่
เบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานตองเปนหนึงเสมอ่
หมายเหตุ คาสของ Zi ขางตน อาจเรียกไดหลายชื่อ เชน คะแนน z (z score) หรือคา z (z value)
หรือคะแนนมาตรฐาน (standard score) หรือ คามาตรฐาน ซึ่งเปนชื่อกลาง ๆ ใชไดทั่วไป
ไมวาคาของ xi จะเปนคะแนนหรือไมเปนคะแนน เชนอาจเปนน้ําหนักตัว หรือ ราคา
สินคา ฯลฯ
กิจกรรมที่ 2 รูปกราฟของการแจกแจงแบบปกติ
หากนักเรียนสามารถเขาถึงอินเทอรเน็ตได ใหคนและศึกษารูปการแจกแจงแบบปกติที่มี
คาเฉลี่ยเลขคณิตตางๆ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตางๆ เปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ
มาตรฐานที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนศูนยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปนหนึ่ง
เว็บไซตทแนะนํา ซึงมีภาพเคลือนไหวแสดงรูปรางของการแจกแจงแบบปกติตางๆ รวมทัง
ี่ ่ ่  ้
ความสัมพันธกับฟงกชันของการแจกแจงแบบปกติเมื่อกําหนดคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบน

5. 71
มาตรฐานไดแก http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html แลวคลิกที่ Flash Demo by
Juha Puranen ภายใตหัวขอ Other Sites หรือไปที่ http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.html โดย
ตรง ไปที่หัวขอ Distributions จากนั้นเลือก Normal distribution
กิจกรรมที่ 3 (เพิ่มเติมในกรณีท่มีเวลาพิเศษ)
ี
ใหนกเรียนลองหาพืนทีใตเสนโคงปกติมาตรฐาน กรณีทมตารางแจกแจงความนาจะเปนสะสม
ั ้ ่ ี่ ี
แบบตางๆ ตามที่เสนอไวในขอเสนอแนะ
การประเมินผล
เนืองจากในการเรียนการสอนเรือง การแจกแจงแบบปกติ ใหความสําคัญกับการนําความรู
่ ่
เรืองคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล และการหาพืนทีใตเสนโคงปกติและนําความรูเ กียวกับ
่ ้ ่ ่
พื้นที่ใตเสนโคงปกติไปใชได ดังนั้นในการประเมินผลผูสอนอาจประเมินจากแบบฝกหัด ขอสอบที่
เนนการนําความรูเรื่องคามาตรฐานไปใชในการเปรียบเทียบขอมูล ความหมายของคามาตรฐานที่
คํานวณได ความสัมพันธระหวางคะแนนดิบและคะแนนมาตรฐาน และการหาพื้นที่ใตเสนโคงปกติ
นอกจากนั้นอาจประเมินผลโดยพิจารณาจากกิจกรรมกลุมที่ใหคํานวณคะแนนมาตรฐาน
ความหมายของคาทีได และการหาพืนทีใตเสนโคงปกติมาตรฐานกรณีทมตารางแจกแจงความนาจะเปน
่ ้ ่ ี่ ี
สะสมแบบตางๆ หากมีเวลาในการสอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับตารางเหลานี้
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. สมมุติวา คะแนนทดสอบ IQ สําหรับผูที่มีอายุระหวาง 20 ถึง 34 ป มีการแจกแจงที่
ประมาณไดวาเปนแบบปกติที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต ( µ ) 110 และ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( σ ) 25
1.1 จะมีรอยละเทาใดของผูที่อยูในชวงอายุน้ที่มีคะแนน IQ มากกวา 160
ี
1.2 รอยละ 95 ของผูที่มีอายุในชวงนี้ ซึ่งเปนรอยละที่อยูชวงกลางของการแจกแจงมี
คะแนน IQ อยูระหวางคาใด
2. ถาเด็กหญิงคนหนึ่งสอบ SAT วิชาคณิตศาสตรได 680 คะแนน สมมุติวาคะแนนสอบ
SAT นี้มีก ารแจกแจงแบบปกติที่มีคา เฉลี่ยเลขคณิต 500 คะแนน และสวนเบี่ย งเบนมาตรฐาน
100 คะแนน และถาเด็ก ชายคนหนึ่ง ทําคะแนนสอบ ACT วิชาคณิตศาสตรได 27 คะแนน สมมุติ
วาคะแนนสอบ ACT นีมการแจกแจงแบบปกติทมคาเฉลียเลขคณิต 18 คะแนน และสวนเบี่ยงเบน
้ ี ี่ ี  ่
มาตรฐาน 6 คะแนน ถาการทดสอบทังสองแบบวัดความสามารถ เชิงคณิตศาสตรแบบเดียวกัน เด็ก
้
ชายหรือเด็กหญิง มีคะแนนสอบดีกวากัน
3. จงใชตารางแจกแจงปกติมาตรฐาน เขียนรูปและแรเงาพืนทีใตโคงเพื่อตอบคําถามตอไปนี้
้ ่
3.1 พื้นที่ใตโคงที่มคา z < 2.85
ี
3.2 พื้นที่ใตโคงที่มคา z > 2.85
ี

6. 72
3.3 พื้นที่ใตโคงที่มีคา z > –1.66
3.4 พื้นที่ใตโคงที่มีคา –1.66 < z < 2.85
4. สมมุตวาความกวางของศีรษะของผูขับขี่มอเตอรไซตรับจางมีการแจกแจงแบบปกติที่
ิ
มีคาเฉลี่ยเลขคณิต 22.8 นิ้วและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.1 นิ้ว ในการทําหมวกกันน็อคตองทํา
คราวละมากๆ ใหทกคนใสไดยกเวนผูทมความกวางของศีรษะเล็กเกินไป หรือใหญเกินไป กลุมละ 5%
ุ  ี่ ี 
ซึ่งจะตองสั่งเปนพิเศษ อยากทราบวาผูที่มีขนาดศีรษะเทาใดที่จะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ
5. เครื่องกดน้ําอัดลมเครื่องหนึ่งไดถูกตั้งไวใหจายน้ําอัดลมโดยเฉลี่ย 7.00 ออนซ ตอถวย
สมมุติวาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําอัดลมที่จายคือ 0.10 ออนซ และปริมาณน้ําอัดลมที่จายมีการ 
แจกแจงแบบปกติจงหา
5.1 เปอรเซ็นตทเี่ ครืองกดน้าอัดลมนีจะจายน้าอัดลมระหวาง 7.10 ถึง 7.25 ออนซ
่ ํ ้ ํ
5.2 เปอรเซ็นตที่เครื่องกดน้ําอัดลมนี้จะจายน้ําอัดลมอยางนอย 7.25 ออนซ
5.3 เปอรเซ็นตทเี่ ครืองกดน้าอัดลมนีจะจายน้าอัดลมระหวาง 6.80 ถึง 7.25 ออนซ
่ ํ ้ ํ
6. ถาฉลากขางกระปองของแฮมที่นําเขามาจากตางประเทศระบุวามีน้ําหนัก 9.00 ปอนด
แตในการตรวจสอบพบวาน้ําหนักที่ซึ่งไดมีการแจกแจงแบบปกติที่มีคาเฉลี่ย เลขคณิต 9.20 ปอนด
และสวนเบียงเบนมาตรฐาน 0.25 ปอนด จงหาวา
่
6.1 จะมีแฮมบรรจุกระปองทีมนาหนักนอยกวาน้าหนักทีระบุไวบนฉลากในสัดสวนเทาใด
่ ี ้ํ ํ ่
6.2 ถาบริษัทที่นําเขาตองการลดสัดสวนของแฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักนอยกวาที่
ระบุไวบนฉลากโดยมีทางเลือกสองทางไดแก
วิธที่ 1 เพิมน้าหนักโดยเฉลียใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบียงเบนมาตรฐานมีคาคงเดิม
ี ่ ํ ่  ่ 
วิธีที่ 2 ลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหน้ําหนักเฉลี่ยมีคาคงเดิม
ทานจะแนะนําใหใชทางเลือกใด
7. ถายอดขายประจําปของนวนิยายเรื่องหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติแตไมทราบคาเฉลี่ย
เลขคณิตและสวนเบียงเบนมาตรฐาน อยางไรก็ตามจากขอมูลทีเ่ ก็บมาทราบวารอยละ 40 ของทังหมดมี
่ ้
ยอดขายเกิน 470,000 บาท และรอยละ 10 ของทังหมดมียอดขายเกิน 500,000 บาท แลวคาเฉลียเลขคณิต
้ ่
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมีคาเทาใด
8. ถาคะแนนสอบเชาวปญญาของผูทมอายุ 20 ถึง 34 ป และผูทมอายุ 60 ถึง 64 ป มีการแจก
  ี่ ี  ี่ ี
แจงปกติโดยประมาณ โดยกลุมทีมอายุ 20 ถึง 34 ป มีคาเฉลียเลขคณิต 110 คะแนน สวนเบียงเบนมาตร
 ่ ี  ่ ่
ฐาน 25 คะแนน และกลุมทีมอายุ 60 ถึง 64 ป มีคาเฉลียเลขคณิต 90 คะแนน สวนเบียงเบนมาตรฐาน 25
 ่ ี  ่ ่
คะแนน
นางสาวชวนชืนมีอายุ 30 ป สอบไดคะแนน 135 คะแนน ในขณะทีนางชวนชมซึงเปนแม
่ ่ ่
มีอายุ 62 ป สอบได 120 คะแนน ใครสอบไดคะแนนดีกวากันเมือเปรียบเทียบกับผูสอบในกลุมอายุ
่ 
นั้นๆ (รอยละของผูที่ไดคะแนนต่ํากวาชวนชื่นและชวนชมในกลุมอายุนั้นๆ เปนเทาใด)

7. 73
9. พืนทีใตโคงปกติมาตรฐานตังแตควอรไทลทหนึงไปทางดานซายมือมีพนทีเ่ ทาใด ควอรไทลทหนึง
้ ่ ้ ี่ ่ ื้ ี่ ่
และควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีคาเทาใด
เฉลยแบบทดสอบประจําบท
1. 1.1 ประมาณ 2.28 %
1.2 ระหวาง 60 ถึง 160
2. เด็กหญิงมีคะแนนมาตรฐาน 1.8 สวนเด็กชายมีคะแนนมาตรฐาน 1.5 ดังนั้นเด็กหญิงสอบได
คะแนนดีกวาเด็กชาย
3. 3.1 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9978
3.2 พื้นที่ใตโคงคือ 0.0022
3.3 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9515
3.4 พื้นที่ใตโคงคือ 0.9493
4. ผูที่มีขนาดศีรษะนอกชวง 22.8 ± 1.81 นิ้ว หรือผูที่มีศีรษะเล็กกวา 21 นิ้ว หรือใหญกวา 24.6 นิ้ว
โดยประมาณจะตองสั่งหมวกกันน็อคเปนพิเศษ
5. 5.1 15.25% (จากคา z เทากับ 1 ถึง 2.5)
5.2 0.62%
5.3 97.10% (จากคา z เทากับ -2 ถึง 2.5)
6. 6.1 รอยละ 21.19
6.2 การเพิ่มน้ําหนักเฉลี่ย ทําใหไดคา z เทากับ –1.00 และใหคาสัดสวนคือ 0.1587
การลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานทําใหไดคา z เทากับ –1.33 และใหคาสัดสวนคือ 0.0918
ดังนั้นการลดสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานลงจะเปนทางเลือกที่ดีกวาเพราะทําใหมีสดสวนของ
ั
แฮมบรรจุกระปองที่มีน้ําหนักต่ํากวามาตรฐานนอยกวา
470, 000 − µ 500, 000 − µ
7. จาก = 0.25 และ = 1.28 ทําใหไดคาเฉลี่ยเทากับ 462,719 บาท
σ σ
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 29,126 บาทโดยประมาณ
8. คะแนนมาตรฐานของชวนชื่นคือ 1 ขณะที่คะแนนมาตรฐานของชวนชมคือ 1.2 ดังนั้นแมของ
ชวนชืนมีคะแนนสัมพัทธทสงกวา (แตชวนชืนมีคะแนนดิบสูงกวา) หรือพิจารณาจากเปอรเช็นไทล
่ ่ี ู ่
ของชวนชื่นคือ 84 ขณะที่เปอรเซ็นไทลของชวนชมคือ 88.5 โดยประมาณ
9. พืนทีนบตังแตควอรไทลทหนึงไปทางซายมือของการแจกแจงแบบใดๆ ตองเปน 0.2500 ควอรไทล
้ ่ ั ้ ี่ ่
ที่หนึ่งและควอรไทลที่สามของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานคือ –0.675 และ 0.675 โดย
ประมาณ

8. 74
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
75 − 70
1. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 15 =
= 1
3
80 − 80
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.4 = 20
= 0
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของวิชัยในชั้น ม.3 สูงกวาคามาตรฐานของ
คะแนนในชั้น ม.4 แสดงวาวิชัยเรียนคณิตศาสตรในชั้น ม.3 ไดดีกวา
12 − µ
2. ถาให µ คือคาเฉลี่ยเลขคณิตจะไดวา 1 = 1.1
µ = 12 – 1.1
µ = 10.9
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเปน 10.9 วินาที
80 − 85 1
3. คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาไทย = 15 = −
3
60 − 75 3
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ = 20 = −
4
70 − 65
คามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร = 5 = 1
ดังนั้น จิตราเรียนวิชาวิทยาศาสตรไดดีที่สุด
x − 25
4. คามาตรฐานของอายุคนงาน 2 = 2
x = 4 + 25
x = 29
ดังนั้น คนงานที่มีอายุต้งแต 29 ปขึ้นไป จึงจะมีโอกาสไดรับเลือกเขาเปนคนงานของโรงงานนี้
ั
70 − 70
5. คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนาย ก = 5 = 0
75 − 70 1
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนาย ก = 10 = 2
75 − 80 1
คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนาย ก = 15 = −
3

9. 75
0+ 1 −1
2 3
ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยของวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนาย ก = 3
= 1
18
75 − 70
คามาตรฐานของวิชาที่ 1 ของนางสาว ข = 5 = 1
50 − 70
คามาตรฐานของวิชาที่ 2 ของนางสาว ข = 10 = –2
95 − 80
คามาตรฐานของวิชาที่ 3 ของนางสาว ข = 15 1=
1− 2 +1
ดังนั้น คามาตรฐานเฉลี่ยอขงวิชาที่ 1, 2 และ 3 ของนางสาว ข = 3
= 0
แตเกณฑของหนวยงานผูสอบคัดเลือกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา
ไมต่ํากวา 0
ดังนั้น นาย ก และนางสาว ข จะสอบคัดเลือกไดทั้งสองคน
650 − µ
6. ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตคือ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ σ จะไดวา 3 =
σ
µ + 3σ = 650 (1)
540 − µ
และ 1.9 =
σ
µ + 1.9σ= 540 (2)
จาก (1) และ (2) จะได 1.1σ = 110
σ = 100
และ µ = 650 – 300
µ = 350
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคือ 350 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของคะแนนสอบคือ 100 คะแนน
90 − 289
7. (1) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐอลาสกา = 54
= –3.69
ดังนั้น โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงนอยกวารัฐอื่น ๆ

10. 76
240 − 289
(2) คามาตรฐานของผูปวยโรคหัวใจในรัฐคาลิฟอรเนีย = 54
= –0.91
166 − 200
คามาตรฐานของผูปวยโรคมะเร็งในรัฐคาลิฟอรเนีย = 31
= –1.10
ดังนั้น ในรัฐคาลิฟอรเนียโรคหัวใจมีความรุนแรงมากกวาโรคมะเร็ง เมื่อเทียบกับที่พบ
ในรัฐอื่น ๆในระดับประเทศ
x i −µ
8. เนื่องจาก zi =
σ
x − 20
(1) 2 = 5
x = 10 + 20
x = 30
x − 25
(2) –1 = 3
x = –3 + 25
x = 22
x − 100
(3) –1.5 = 10
x = –15 + 100
x = 85
x − ( −10 )
(4) 2.5 =
0.2
0.5 = x + 10
x = 0.5 – 10
x = –9.5

11. 77
เฉลยแบบฝกหัด 2.2
1. (1) ให x เปนคาของขอมูล โดยกําหนดให µ = 400 และ σ = 100
x −µ
จาก z =
σ
538 − 400
จะได z = 100
= 1.38
0 1.38 Z
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.38 เทากับ 0.4162
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเมื่อ z > 1.38 เทากับ 0.5 – 0.4162 = 0.0838
นั่นคือ มีขอมูล 8.38% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 538
179 − 400
(2) จะได z = 100
= –2.21
Z
-2.21 0
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –2.21 ถึง z = 0 เทากับ 0.4864
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > –2.21 เทากับ 0.5 + 0.4865 = 0.9864
นั่นคือ มีขอมูล 98.64% ของขอมูลทั้งหมด มีคามากกวา 179

12. 78
356 − 400
(3) จะได z = 100
= –0.44
Z
-0.44 0
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.44 ถึง z = 0 เทากับ 0.1700
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.44 เทากับ 0.5 – 0.1700 = 0.3300
นั่นคือ มีขอมูล 33% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 356
621 − 400
(4) จะได z = 100
= 2.21
Z
0 2.21
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.21 เทากับ 0.4864
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปก เมื่อ z < 2.21 เทากับ 0.5 + 0.4864 = 0.9864
นั่นคือ มีขอมูล 98.65% ของขอมูลทั้งหมด มีคานอยกวา 621

13. 79
318 − 400
(5) จะได z1 = 100 = –0.82
671 − 400
z2 = 100 = 2.71
Z
-0.82 0 2.71
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.71 เทากับ 0.4966
จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.82 ถึง z = 0 เทากับ 0.2939
ื
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –0.82 < z < 2.71 เทากับ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905
นั่นคือ มีขอมูล 79.05% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 318 และ 671
484 − 400
(6) จะได z1 = 100 = 0.84
565 − 400
z2 = 100 = 1.65
Z
0 0.84 1.65
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.84 เทากับ 0.2995
จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.65 เทากับ 0.4505
ื
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ 0.84 < z < 1.65 เทากับ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510
นั่นคือ มีขอมูล 15.09% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 484 และ 565

14. 80
249 − 400
(7) จะได z1 = 100 = –1.51
297 − 400
z2 = 100 = –1.03
Z
-1.51 -1.03 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.51 ถึง z = 0 เทากับ 0.4345
จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1.03 ถึง z = 0 เทากับ 0.3485
ื
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.51 < z < –1.03 เทากับ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860
นั่นคือ มีขอมูล 8.6% ของขอมูลทั้งหมด มีคาระหวาง 249 และ 297
2. (1) ให x เปนน้ําหนักของกาแฟ (กรัม) โดยกําหนด µ = 115.5 และ σ = 0.3
x −µ
จาก z =
σ
115 − 115.5
จะได z1 = 0.3 ≈ –1.667
115.5 − 115.5
z2 = 0.3 = 0
Z
-1.667 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.66 เทากับ 0.4515
และ z = 0 ถึง z = 1.67 เทากับ 0.4525
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ
0.001 × 0.007
0.4515 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.4522
⎜ ⎟
⎝ ⎠

15. 81
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.667 < z < 0 เทากับ 0.4522
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 45.22% ของขวดกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนัก
ระหวาง 115 กรัม และ 115.5 กรัม
114.9 − 115.5
(2) จะได z1 = 0.3 = –2
115.5 − 115.5
z2 = 0.3 = 0
Z
-2 0
จะไดพ้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2 < z < 0 เทากับ 0.4772
ื
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 47.72% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
114.9 กรัม และ 115.5 กรัม
115.2 − 115.5
(3) จะได z1 = 0.3 = –1
115.9 − 115.5
z2 = 0.3 ≈ 1.333
Z
-1 0 1.333
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.33 เทากับ 0.4082
และ z = 0 ถึง z = 1.34 เทากับ 0.4099
จะได พื้นที่เสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.333 เทากับ
0.0017 × 0.003
0.4082 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.4087
⎜ ⎟
⎝ ⎠

16. 82
และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –1 ถึง z = 0 เทากับ 0.3413
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1 < z < 1.333 เทากับ 0.4087 + 0.3413 = 0.75
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 75% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
115.2 กรัม และ 115.9 กรัม
114.7 − 115.5
(4) จะได z1 = 0.3 ≈ –2.667
115 − 115.5
z2 = 0.3 ≈ –1.667
Z
-2.667 -1.667 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.66 เทากับ 0.4961
และ z = 0 ถึง z = 2.67 เทากับ 0.4962
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 2.667 เทากับ 0.4961+0.00007=0.49617
และพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –2.667 < z < –1.667 เทากับ 0.49617–0.4522 = 0.0440
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.4% ของกาแฟทั้งหมด ที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักระหวาง
114.7 กรัม และ 115 กรัม
115.5 − 115.5
(5) จะได z = 0.3 = 0
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z > 0 เทากับ 0.5
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 50% ของกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา
115.5 กรัม
Z
0

17. 83
115 − 115.5
(6) จะได z = 0.3 ≈ –1.667
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.667 เทากับ 0.4522
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1.667 เทากับ 0.5 – 0.4522 = 0.0478
นั่นคือ มีขวดกาแฟ 4.78% ขวดกาแฟทั้งหมดที่กาแฟในแตละขวดมีน้ําหนักมากกวา
115 กรัม
Z
-1.667 0
3. (1) ให x เปนคะแนนสอบของนายไผท โดยกําหนด µ = 64 และ σ =8
x − µ
จาก z =
σ
62 − 64
จะได z = 8 = –0.25
Z
-0.25 0
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = –0.25 ถึง z = 0 เทากับ 0.0987
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –0.25 เทากับ 0.5 – 0.0987 = 0.4013
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนไผท คือ 40.13 ในกลุมนักเรียนชาย

18. 84
(2) ให x เปนคะแนนสอบของอาภัสรา โดยกําหนด µ = 60 และ σ = 10
73 − 60
จาก z = 10 = 1.3
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.3 เทากับ 0.4032
Z
0 1.3
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.3 เทากับ 0.5 + 0.4032 = 0.9032
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 90.32 ในกลุมนักเรียนหญิง
คะแนนของอาภัสราในกลุมนักเรียนชาย โดยกําหนด
73 − 64
จะได z = 8 = 1.125
Z
0 1.125
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.12 เทากับ 0.3686
และ z = 0 ถึง z = 1.13 เทากับ 0.3708
0.0022 × 0.005
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงระหวาง z = 0 ถึง z = 1.125 เทากับ 0.3686 + ⎛ 0.01 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 0.3697
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < 1.125 เทากับ 0.5 + 0.3697 = 0.8697
นั่นคือ ตําแหนงเปอรเซ็นไทลของคะแนนอาภัสรา คือ 86.97 ในกลุมนักเรียนชาย

19. 85
4. (1) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P25 เทากับ 0.25
0.25
Z
P25 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2518 คา z เทากับ 0.68
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.2486 คา z เทากับ 0.67
0.01 × 0.0014
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.25 คา z เทากับ 0.67 + ⎛ 0.0032 ⎞ ≈ 0.6744
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x − µ
จาก z =
σ
x − 72
–0.6744 = 12
x = 72 – 8.0928
x = 63.91
นั่นคือ คะแนน ที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 25 คือ 63.91
(2) ให x เปนคะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90
จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง P90 เทากับ 0.90 – 0.5 = 0.4
Z
0 P90
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4015 คา z เทากับ 1.29
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3997 คา z เทากับ 1.28
0.01 ×0.0003
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4 คา z เทากับ 1.28 + ⎛ 0.0018 ⎞
⎜ ⎟ ≈ 1.2817
⎝ ⎠

20. 86
x − 72
จาก 1.2817 = 12
x = 72 + 15.3804
x = 87.38
นั่นคือ คะแนนที่เปนเปอรเซ็นไทลที่ 90 คือ 87.38
5. ให x เปนความหนาของแผนพลาสติก
x −µ
จาก z =
σ
0.0595 − 0.0625
จะได z1 = 0.0025 = –1.2
0.0659 − 0.0625
z2 = 0.0025 = 1.36
Z
-1.2 0 1.36
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.36 เทากับ 0.4131
และจะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.2 เทากับ 0.3849
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ –1.2 < z < 1.36 เทากับ 0.4131 + 0.3849 = 0.7980
นั่นคือ มีแผนพลาสติก 79.8% ของพลาสติกทั้งหมดที่ผลิตไดมีความหนาอยูระหวาง 0.595
เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร
6. เพราะวา 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตไดมีความคลาดเคลื่อนระหวาง x กับ 0.136
วินาที
x −µ
จาก z =
σ
0.136 − 0.00
z = 0.4 = 0.34

21. 87
50.04%
Z
X 0 0.136
จากตารางพื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.34 เทากับ 0.1331
จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก z = 0 ถึง x เทากับ 0.5004 – 0.1331 = 0.3673
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3686 คา z เทากับ 1.12
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3665 คา z เทากับ 1.11
0.01 × 0.0008
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3673 คา z เทากับ 1.11 + ⎛ 0.0021 ⎞ ≈ 1.1138
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x − 0.00
จะได –1.1138 = 0.4
x = –0.446
นั่นคือ x เทากับ –0.446 วินาที
7.
Z
X = 11.88 µ = 12.00
จากรูป จะไดพื้นที่ใตเสนโคงปกติจาก x = 11.88 ถึง µ = 12.00 เทากับ 0.5–0.1151 = 0.3849
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.3849 คา z เทากับ 1.20
x −µ
จาก z =
σ
11.88 − 12.00
–1.20 =
σ
− 0.12
σ = − 1.2
= 0.1
ดังนั้น ความแปรปรวนของน้ําหนักสุทธิของกระปองบรรจุถ่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้เทากับ 0.01
ั

22. 88
8. (1) กําหนด σ = 3, x = 6 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.09
0.41
0.09
Z
X=6 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4099 คา z เทากับ 1.34
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.4115 คา z เทากับ 1.35
× 0.0001 ⎞
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.09 คา z เทากับ 1.34 + ⎛ 0.01
⎜ ⎟ = 1.3406
⎝ 0.0016 ⎠
6−µ
จะได –1.3406 =
3
µ = 6 + 4.0218
µ = 10.0218
ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตประมาณ 10.0218 เปนคา a ที่ตองการ
(2) กําหนด µ = 10, x = 12 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.60
จากรูป พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง µ ถึง x = 12 เทากับ 0.6 – 0.5 = 0.1
µ X = 12
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1026 คา z เทากับ 0.26
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.0987 คา z เทากับ 0.25
0.01 × 0.0013
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1 คา z เทากับ 0.25 + ⎛ 0.0039 ⎞
⎜ ⎟ ≈ 0.2533
⎝ ⎠
12 − 10
จะได 0.2533 =
σ
2
σ =
0.2533
σ 7.90
≈
ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.90 เปนคา b ที่ตองการ

23. 89
(3) กําหนด µ = 10, σ = 2 และพื้นที่ใตเสนโคงปกติเทากับ 0.18
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1808 คา z เทากับ 0.47
พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.1772 คา z เทากับ 0.46
X µ
0.01 × 0.0028
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติเปน 0.18 คา z เทากับ 0.46 + ⎛ 0.0036 ⎞ = 0.4678
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x − 10
จะได –0.4678 = 2
x = 10 – 0.9356
x = 9.0644
ดังนั้น คะแนนที่สนใจศึกษาประมาณ 9.06 เปนคา c ที่ตองการ
(4) กําหนด µ = 3, σ = 1 และ x = 2
2−3
จะได z = 1 = –1
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติ เมื่อ z < –1 เทากับ 0.5 – 0.3413 = 0.1587
z = –1 µ
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนนที่ต่ํากวา 2 เทากับ 0.1587 เปนคา d ที่ตองการ

24. 90
9. (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยกําหนด µ = 505 และ σ = 111
x −µ
จาก z =
σ
400 − 505
จะได z1 = 111 = –0.946
600 − 505
z2 = 111 = 0.856
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.94 เทากับ 0.3264
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.95 เทากับ 0.3289
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.946 เทากับ
0.0025 × 0.006
0.3264 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.3279
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Z
-0.946 0 0.856
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.85 เทากับ 0.3023
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.86 เทากับ 0.3051
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.856 เทากับ
0.0028 × 0.006
0.3023 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.30398
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่อยูระหวาง 400 และ 600 เทากับ
0.3279 + 0.30398 = 0.63188
700 − 505
(2) จะได z = 111 ≈ 1.757
Z
0 1.757

25. 91
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.75 เทากับ 0.4599
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.76 เทากับ 0.4608
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 1.757 เทากับ
0.0009 × 0.007
0.4599 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.46053
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่มากกวา 700 เทากับ
0.5 – 0.46053 = 0.03947
450 − 505
(3) จะได z = 111 ≈ –0.495
Z
-0.495 0
จากตาราง พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.49 เทากับ 0.1879
พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.50 เทากับ 0.1915
จะได พื้นที่ใตเสนโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง z = 0.495 เทากับ
0.0036 × 0.005
0.1879 + ⎛ 0.01 ⎞ = 0.1897
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ดังนั้น พื้นที่ใตเสนโคงปกติของคะแนน SAT ที่นอยกวา 450 เทากับ
0.5 – 0.1897 = 0.3103