O documento introduz os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo a representação de pontos no plano cartesiano, cálculo da distância entre pontos, e propriedades do módulo de um número real. Exemplos ilustram como representar pontos, calcular distâncias, e aplicar propriedades do módulo.

1. Governo do Estado do Rio Grande do Norte
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12ª Diretoria Regional de Educação e Cultura – 12ª
Direc/Mossoró
Escola Estadual Coronel Solon. Ensino Fundamental e
Médio.
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Telefone:(84) 3327 3561
Matemática
3ª Série do Ensino Médio
Professor: Patrício Júnior de Souza
Maio, 2016

2. Geometria Analítica: Introdução
A Geometria Analítica relaciona a álgebra para descrever figuras
planas e suas propriedades (utiliza equações para descrever um
lugar geométrico, Exemplo: Equação da reta ax+by=c). O principal
recurso dessa geometria é o plano cartesiano, determinado por
dois eixos ortogonais entre si, um eixo horizontal (eixo das
abscissas – eixo x) e um eixo vertical (eixo das ordenadas, eixo y).
●
Representação de um Ponto no Plano Cartesiano
O plano cartesiano é muito utilizado em nosso dia
a dia, quando observamos um mapa-múndi ou um
aparelho GPS, vemos que as coordenadas
geográficas nada mais são do que a
representação das coordenadas cartesianas (eixo
x: longitude e eixo y: latitude).

3. Representação de um Ponto no
Plano Cartesiano
Determine os pontos seguintes no plano
cartesiano: A(-1,3), B(7,0), C(-4,0) e D(2,4).

4. Exercícios
1) Represente no plano cartesiano os
seguintes pontos: A(-3,0); B(5,0); C(0,4); D(-2,-
3); E(-3,4) e F(½,-1).
2) Considerando os pontos indicados no
exercício anterior:
a) Desenhe o triângulo ABC;
b) Desenhe o triângulo BCD;
c) Desenhe o quadrilátero ADEF.

5. Plano Cartesiano
O sistema de coordenadas geográficas é baseado no
sistema de coordenadas cartesianas. A Linha do Equador
equivale ao eixo x e O Paralelo de Greenwich é o eixo y, as
abscissas positivas estão a Oeste, enquanto que as
negativas estão a Leste de Greenwich. Já em relação a
latitude, as latitudes positivas indicam o Hemisfério Norte, e
as latitudes negativas indicam o Hemisfério Sul.
Utilizando um aparelho
GPS ou aplicativo de
GPS no celular ou
computador, pesquise
as coordenadas
geográficas do lugar
onde você está ou de
um lugar conhecido e
escreva sua localização
em coordenadas
cartesianas.

6. Módulo de um número real ou valor
absoluto
● Definição: Chamamos a distância de um ponto da reta à
origem (do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
O módulo de um número real será sempre positivo ou nulo.
Definimos módulo de um número real a, assim:
Exemplo: O valor absoluto de -4 é igual a 4, pois a
distância de -4 a 0 é igual a 4. Note que, o módulo de 4
também é igual a 4, a distância de 4 a 0 é 4.
De modo geral, números opostos (simétricos) possuem
mesmo módulo. Isto é, seja a um número real, temos:

7. Propriedades de módulo
● Sejam a e b reais, então:
● Ex.: |3-5|=|5-3|=2;
● Ex.:|(-2)*5|=|-2|*|5|=2*5=10;
● Ex.: (-2)*5=-10, já
|-2|*|5|=10, é sabido que
-10 < 10;
● Ex.: |¾|=|3|/|4|= ¾;
● Ex.:|2+3|≤|2|+|3|=5.
● Ex.:|-2+3|≤|-2|+|3|→|1|=1 ≤ 2+3=5.
● Ex.: |2|-|3|=-1 ≤ |2-3|=1.
● Ex.: (-3)² = 9 e |-3|² = 3² = 9.

8. Distância entre dois pontos
DefiniçãoDefinição: Sejam dois pontos distintos A(xA,yA) e
B(xB,yB) no plano cartesiano. A distância entre A e B é
a medida do segmento de reta que tem A e B como
extremos (que vai de A até B, ou, o contrário, ou seja,
de B até A). Denotamos a distância entre A e B por dAB.
A intersecção das projeçõesA intersecção das projeções
horizontais (abscissas – eixohorizontais (abscissas – eixo
x) e verticais (ordenadas –x) e verticais (ordenadas –
eixo y) dos pontos A e Beixo y) dos pontos A e B
formam um triânguloformam um triângulo
retângulo em C, em que aretângulo em C, em que a
distância entre os pontos A edistância entre os pontos A e
B é igual à medida daB é igual à medida da
hipotenusa.hipotenusa.

9. Distância entre dois pontos
Medidas dos catetos:
● |xA-xB| = xA-xB, se xA>xB; ou,
|xA-xB| = xB-xA, se xB>xA.
● |yA-yB| = yA-yB, se yA>yB; ou,
|yA-yB| = yB-yA, se yB>yA.
A distância entre dois
pontos no plano cartesiano
(real) sempre será um valor
positivo, por isso utilizamos
o módulo. Lembremos a
definição de módulo de um
número ou valor absoluto:

10. Distância entre dois pontos
● 1º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos
x.
Neste caso, as ordenadas dos pontos A e B são
iguais, ou seja, yA
= yB
. A distância entre os
pontos A e B, ou o comprimento do segmento
AB, é dada pelo módulo da diferença entre as
abscissas de A e B, de modo que:
● Observação: A distância
entre A e B é a mesma entre
B e A, logo, dAB = dBA. Ou
seja,

11. ● Exemplo: Sejam A(5,2) e B(-5,2), calcule a
distância entre A e B.
Distância entre dois pontos
● 1º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos
x.

12. Distância entre dois pontos
● 2º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos
y.
Neste caso, as abscissas dos pontos A e B são
iguais, ou seja, yA = yB. A distância entre os
pontos A e B, ou o comprimento do segmento
AB, é dada pelo módulo da diferença das
ordenadas de A e B, de modo que:

13. ● Exemplo: Sejam A(2,-1) e B(2,3), calcule a
distância entre A e B.
Distância entre dois pontos
● 2º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos
y.

14. Distância entre dois pontos
● 3º caso: O segmento AB é oblíquo aos eixos
Este é o caso geral, pois a fórmula que encontraremos também
resolve os dois casos anteriores. Vejam que as retas que
passam pelo ponto xB paralela ao eixo dos y e pelo ponto yA
paralela ao eixo dos x, definem um triângulo retângulo com
hipotenusa AB. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, obtemos:
Se reescrevermos ∆x=|xA-xB|
e ∆y=|yA-yB|, temos:

15. ● Exemplo: Sejam A(-2,1) e B(2,4), calcule a
distância entre A e B.
Distância entre dois pontos
● 3º caso: O segmento AB é oblíquo aos eixos

16. Referências Bibliográficas
● <http://www.matika.com.br/modulo/> acesso
em 21/05/2016.
● <
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013
/06/distancia-entre-dois-pontos-no-plano.html
> acesso em 21/05/2016.