1. Estudio de caso
Modelización de funciones
Patricia Faúndez Retamal
Pedagogía en Matemática y Computación
I. Introducción:
El siguiente informe es el desglose de un caso realista, con el cual podríamos encontrarnos
en el aula, desempeñando nuestra labor como futuros profesores.
El caso presenta las siguientes características y antecedentes previos, descritos para poder
comprender el contexto en el que se desarrolla. Algo muy importante que siempre debemos
considerar en la labor pedagógica.
Resulta que Carolina es una profesora de matemática que trabaja en un liceo municipal, ella
siempre ha estado convencida que se debe enseñar matemática mediante problemas de la vida
cotidiana y de las ciencias, es por lo que se preocupa de perfeccionarse y encontrar nuevas
estrategias para que los alumnos puedan aprender.
En uno de los perfeccionamientos que asistió le presentaron el tema de la modelización, y
como trabajarlo con los estudiantes, esto a ella le fascinó, era prácticamente lo que andaba
buscando, ya que por fin los alumnos podrían encontrarle el sentido a la matemática.
Carolina se dedicó a buscar más información y a preparar su unidad didáctica para segundo
medio con modelización, y según lo que recopiló los alumnos son los que deben realizar el trabajo,
ella solo los debe guiar para finalmente consolidar los aprendizajes, mediante resúmenes del trabajo
en clases.
Por otro lado en el presente caso interactuán tres alumnos: Julio que es un alumno muy
ordenado, destacado en matemática y muy participativo, Gerardo que es un alumno participativo
pero que la matemática nunca le ha atraído, por lo menos hasta el momento en el que se desarrolla
la clase, pues en esta ocasión trabaja muy entusiasmado en el problema presentado, que incluso
Carolina esta sorprendida, y por último Mariana una alumna no muy metódica, con calificaciones
regulares, pero que cuando estudia le va muy bien.
II. Resumen del caso:
En una clase para introducir las funciones lineales y afines (ya conocidos el concepto de
pendiente y ecuación de la recta), Carolina les plantea a los alumnos que trabajaran con diferentes
problemas de manera grupal, donde el primero trata de la relación de muertes por cada 100 mil
personas respecto a la cantidad de cigarrillos que fuman al día, ella contextualiza bien la situación
para que le crean que se trata de dato reales.
2. Les entrega la siguiente tabla y las dos siguientes preguntas a desarrollar:
Cigarrillos/día Muertes/100000
0 30
5 132
15 256
30 447
45 606
1. Encuentre un modelo que más se aproxime con los datos del problema. Para ello, grafique la
situación y explique el tipo de gráfica que resulta. Discuta el tipo de modelo que encuentre y
explique por qué cree Ud. que se aproxima más a los datos.
2. De acuerdo a u modelo, compare el resultado con la cantidad de muertos en la tabla. ¿Por cuánto
discrepa tu aproximación y la cantidad real? ¿Cuál sería la estimación de fumar 50, 60 cigarrillos
diarios?
Cabe destacar que en las preguntas realizadas se pretende predecir información, no solo
buscar el mejor modelo y comparar los datos reales con los del modelo.
Es entonces en el momento de presentar los resultados que los grupos de Julio, Gerardo y
Mariana discrepan en sus resultados, encontrando todos distintos modelos.
Julio por su parte calcula la ecuación de la recta que pasa por los dos primeros puntos y
establece esta como su modelo escrita como una función afín que depende de x, donde x representa
la cantidad de cigarrillos que fuma una persona por día, Juio y su grupo encontraron:
f(x)=20,4x + 30
Encontrando que si fuman 50 morirán 1050 personas y con 60 morirán 1254.
Gerardo por su parte realizó lo mismo que Julio con su grupo, pero además reemplazaron
otros datos y se dieron cuenta que por ejemplo con x=15 entonces f(x)=336 discrepando por 80
personas con respecto a los de la tabla, además gráfican la función de Julio y visualizan que no
coinciden con los datos dados, por lo que decidieron tomar otros puntos P1= (30,447) y P2=
(5,132), ya que el margen de error al tomar estos es menor con los datos reales al realizar el modelo,
obteniendo:
f(x)=12,6x+30
Así también, realizan una tabla de datos, equiespaciada del 0 al 60 de 5 en 5,encontrando
que sus errores son menores que los del modelo de Julio, sin embargo no se percatan que sus errores
entre ellos difieren de todos modo por arto.
3. Finalmente Mariana realiza una última intervención explicando que al realizarle una
traslación a la misma función encontrada por Gerardo se obtenía aún mejores aproximaciones, ella
con su grupo realizaron al tanteo una traslación y dijeron que si el intercepto era 50, entonces era
mucho mejor:
f(x)=12,6x+50
y de echo en este caso las diferencias entre los errores no son tan grandes.
También se le ocurre a Mariana realizar una unión por tramos de los puntos y luego realiza
la gráfica correspondiente.
III. Objetivos del caso:
Comprender el concepto de modelización como una representación por lo general
aproximada y no exacta de una situación de la vida cotidiana.
Comprender la utilidad de los modelos como instrumentos para predecir información.
Analizar el cómo piensan y el cómo construyen conocimiento los alumnos.
Discutir los errores que se pueden generar en el aula, en la resolución de problemas y en
situaciones similares.
IV. Conflictos del caso:
Búsqueda de una representación exacta de un conjunto de datos, frente a la representación
aproximada de una situación real, y a su vez la aceptación de está última como algo correcto al
encontrarnos con datos reales que pueden ser representados mediante un modelo matemático.
V. Aspectos matemáticos:
Los alumnos involucrados en este caso muestran un dominio avanzado respecto a los
conocimientos previos: pendiente y ecuación de la recta, y en cuanto a su manipulación, es decir
existe un trabajo previo que ha provocado aprendizajes, de modo que no existen dificultades en este
sentido.
Los alumno comprenden el concepto de aproximación y así también la búsqueda del error
asociado a está, como así también su interpretación. Sin embrago falta la comprensión en cuanto a
lo que es mejor respecto a las diferencias existentes entre los errores y al objetivo de poder predecir
información gracias a lo que se esta modelando.
Así como también en cuanto al intercepto de una función en el caso de la modelización falto
realizar un trabajo y una explicación más algebraica en el caso de Mariana, pues si bien el tanteo es
un buen recurso pudo haberlo complementado, para así entregar un sustento más potente.
4. Aspectos matemáticos didácticos:
Como menciona Aravena (2001) y Gómez (2002), uno de los problemas más complejos que
enfrenta la educación secundaria chilena en el ámbito de la enseñanza de la matemática tiene
relación con la forma de articular los temas con las otras áreas del conocimiento e incluso con la
propia matemática. Esto es, la mayoría de los temas están desconectados del mundo real y de las
ciencias, lo que tiene como consecuencia que los estudiantes no conciben la utilidad que tienen las
matemáticas en su formación. Esto claramente es inadecuado para la formación de los estudiantes
en un mundo cada vez más matematizado.
Es por lo que el trabajo de Carolina se puede considerar como muy valioso y a su vez muy
prometedor como ella lo menciona en el caso, y así se deja demostrado con el trabajo realizado por
los alumnos y las discusiones que se van generando en el transcurso de la clase.
Además Carolina logra que los alumnos sean los que trabajen como así se lo había propuesto
siendo ella solo una guía, que también expongan sus trabajos realizados en grupo, de modo de
generar discusión y compartir ideas entre los demás grupos formados, para finalizar con un resumen
integración, posterior a un resumen dirigido, algo también muy brillante y que de seguro tendrá
buenos resultados, producto del trabajo ya realizado durante la clase.
VI. Propuesta: Anexo
VII. Conclusión:
Las investigaciones en Didáctica de la Matemática dan cuenta que uno de los temas que ha
concitado la atención es el diseño de actividades basado en la modelización de situaciones reales y
de las ciencias, “transformándose en una vía prometedora tanto para enfrentar las dificultades y
deficiencias como para elevar la calidad de los aprendizajes matemáticos” (Aravena 2002: 66).
Esto da muchas luces de que el trabajo con estudiantes mediante la modelización puede traer
muy buenos frutos, algo que como futuros docentes no podemos dejar de lado, este caso de la
profesora Carolina motiva a utilizar esta herramienta de modo de fortalecer y así también hacer
florecer conocimientos en los alumnos, que muchas veces están escondidos, pero con una buena
motivación los alumnos pueden construir cosas y así aprender de manera más sólida la matemática.
