Resolución de Problema de Geometría Analítica. Hiperbola

1. 03
SOLUCIÓN A LOS
PROBLEMAS DE LA
HIPERBÓLA
Determine los vértices y los
focos de la hipérbola 𝟒𝒙 𝟐
−
𝟗𝒚 𝟐
= 𝟑𝟔

2. SOLUCIÓN AL PROBLEMA 03
Datos del problema: La ecuación dada es 𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗𝒚 𝟐 = 𝟑𝟔, debemos hallar las
coordenadas de los vértices y los focos. En este caso el centro es el origen, es decir:
C(h,k)=C(0,0) donde h=0 y k=0.
Observaciones: Debemos en este caso dividir todos los términos de la ecuación entre
36, con el objeto, de que el resultado sea cualquiera de los modelos, siguientes:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 que representa una hipérbola horizontal porque la variable positiva es «x»
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 = 1 que representa una hipérbola vertical porque la variable positiva es «y»
Veamos:
𝟒𝒙 𝟐
− 𝟗𝒚 𝟐
= 𝟑𝟔 →
𝟒𝒙 𝟐−𝟗𝒚 𝟐
𝟑𝟔
=
𝟑𝟔
𝟑𝟔
→
𝒙 𝟐
𝟗
−
𝒚 𝟐
𝟒
= 𝟏, es horizontal.
Entonces se tiene:
𝑎2 = 9 → 𝑎 = ±3 y 𝑏2 = 4 → 𝑏 = ±2; para obtener a «c» utilizamos la relación
pitagórica siguiente: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 → 𝑐2 = 9 − 4 → 𝑐2 = 5 → 𝑐 = ± 5
Las coordenadas de los vértíces y focos son:
𝑉2 ℎ − 𝑎, 𝑘 𝑦 𝑉1 ℎ + 𝑎, 𝑘 → 𝑉2 −3,0 𝑦 𝑉1 3,0
𝐹2 ℎ − 𝑐, 𝑘 𝑦 𝐹1 ℎ + 𝑐, 𝑘 → 𝐹2 − 5, 0 𝑦 𝐹1 5, 0
𝐵2 ℎ, 𝑘 − 𝑏 𝑦 𝐵1 ℎ, 𝑘 + 𝑏 → 𝐵2 0, −4 𝑦 𝐵1 0,4

3. LA GRÁFICA DE LA HIPÉRBOLA