for students

1. MATEMATIKA- IMATEMATIKA- I
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
VektorVektor

2. 1. Pengertian Skalar dan Vektor
Skalar adalah besaran (kwantitas) yang
hanya mempunyai besar saja, misalnya
panjang dan suhu.
Vektor adalah besaran yang mempunyai
besar dan arah, misalnya; gaya,
percepatan, kecepatan.

3. Secara geometri sebuah vektor diwakili oleh
sebuah ruas garis berarah dimana panjang
ruas garis tersebut menunjukkan besar,
sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor
itu.
B
A
Titik A disebut titik pangkal vektor
Titik B disebut titik ujung vektor
Notasi vektor: a dllaaAB ,,,,

4. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
a.Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua buah vektor dapat
dilakukan dengan dua cara, yaitu:
1)Cara grafis
• Menggunakan aturan segitiga
b
a b
a
a + b

5. • aturan jajar genjang
a a + b
b
Caranya: pangkal vektor b digeser ke
pangkal vektor a.

6. b. Cara analitis
Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen
maka penjumlahan dapat dilakukan dengan
menjumlahkan komponennya.
Contoh:






+
+
=+






=





=
21
21
2
2
1
1
yy
xx
bamaka
y
x
b
y
x
a

7. b. Pengurangan Vektor
Mengurangkan vektor b dari a
didefenisikan sebagai menjumlahkan vektor
lawan b pada vektor a , ditulis
a - b = a + (-b)
a a
b - b
a +(-b)

8. 3. Panjang Vektor
Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang
dengan koordinat (x,y) dan OR mewakili vektor
r, maka besar atau panjang vektor r dapat
ditentukan dengan rumus
Sedangkan untuk vektor dalam ruang dapat
ditentukan dengan rumus
22
yxr +=
222
zyxr ++=

9. Contoh:
Hitunglah panjang dari vektor-vektor berikut:
a.a =
b. b =
Jawab:
a.
b.






5
3
3425953 22
=+=+=a










5
4
2
4525164542 222
=++=++=b

10. 4. Vektor Satuan
Jika, vektor a = , maka vektor satuan
dari a ditentukan dengan rumus:
Sedangkan jika, vektor a =
maka vektor satuan dari
vektor a ditentukan dengan rumus:






y
x










z
y
x






+
==
y
x
yxa
a
e
22
1










++
==
z
y
x
zyxa
a
e
222
1

11. Contoh:
Hitunglah vektor satuan dari vektor-vektor
berikut:
a) a = b) b =
Jawab:
a)Maka vektor satuan dari a adalah






5
3
3425953 22
=+=+=a










5
4
2






==
5
3
34
1
a
a
e

12. b) Maka vektor satuan dari b adalah
4525164542 222
=++=++=b










==
5
4
2
45
1
a
a
e

13. 5. Perkalian Vektor
a.Perkalian vektor dengan skalar
• Vektor diberikan dalam bentuk gambar
• a 2a - a
• Vektor diberikan dalam bentuk komponen
Jika a = 3 a = 3 =





4
2






4
2






12
6

14. b. Perkalian skalar dari dua buah vektor
(pekalian titik)
Perkalian skalar dari dua buah vektor a dan
b didefenisikan dengan rumus:
a . b = | a | | b | cos θ
Dimana θ adalah sudut antara kedua vektor
a dan b (0 ≤ θ ≤ 180o
)
Jika vektor a dan b dalam bentuk
komponen
Maka a . b = x1.x2 + y1y2 + z1z2










=










=
2
2
2
1
1
1
z
y
x
b
z
y
x
a

15.  Tanda pada perkalian skalar
o Jika a . b > 0 maka 0 < θ < 90o
o Jika a . b < 0 maka 90o
< θ < 180o
o Jika a . b = 0 maka θ = 90o
a tegak
lurus dengan b
Contoh:
1.Diketahui a = 2i – n j + 5 k
b = 3i + 4 j – 2k
Tentukanlah nilai n agar vektor a tegak
lurus dengan vektor b

16. Jawab:
Vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka
a . b = 0
(2i – n j + 5k)(3i + 4j -2k) = 0
6 – 4n – 10 = 0
-4n = 4
n = -1

17. 2. Diketahui | a | = 5 , | b | = 4, sudut yang
dibentuk kedua vektor 60o
Tentukanlah a . b
Jawab :
a . b = | a | | b | cos ϴ
= 5. 4 cos 60o
= 20 . ½
= 10

18. 3. Diketahui
Tentukanlah a . b
Jawab:
a. b
1515)2(2
5
1
2
.
3
2
1
=+−+=










−










=










−=










=
5
1
2
3
2
1
bdana

19. 6. Perkalian Vektor Antara Dua Vektor
(Perkalian Silang)
Jika vektor A dan B dinyatakan dalam vektor
satuan
A = a1 i + b1 j + c1 k
B = a2 i + b2 j + c2 k
Maka perkalian silang A x B dapat dituliskan
dalam bentuk determinan matriks sbb:
A x B =
222
111
cba
cba
kji

20. Contoh:
Jika P = 2i + 4j +3 k dan Q = i + 5j – 2k
Tentukanlah P x Q
Jawab:
P x Q =
kji
kjikji
kji
6723
)4415()1038(
251
342
++−=
+−−++−=
−

21. 7. Sudut Antara Dua Vektor
Dari defenisi
a . b = | a | | b | cos θ
a . b = a1. b1 + a2.b2 + a3.b3
Diperoleh:
Cos θ = ))(( 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
++++
++

22. Contoh:
Hitunglah besar sudut antara a = i + 2j + 2 k
dan b = 2i + 3 j – 6k
Jawab:
Cos θ =
=
θ = arc cos (-0,19)
θ = 180o
– 79o
= 101o
ba
ba
.
.
190,0
21
4
222222
)6(32)(221(
)6.(23.22.1
−=
−
=
−++++
−++

23. 8. Proyeksi Suatu Vektor pada Vektor Lain
a)Proyeksi vektor a pada vektor b adalah:
b) Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
adalah:
2
)..(
b
bba
b
ba .

24. Contoh:
Diketahui : a = 2i – 3j + 4k
b = i + 2j – k
Tentukanlah
a.Proyeksi vektor a pada vektor b
b.Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
Jawab:
a . b = (2i – 3j + 4k) . (i + 2j – k) = 2 - 6 – 4 = -8
6)1(21
294)3(2
222
222
=−++=
=+−+=
b
a

25. a. Proyeksi vektor a pada vektor b
b. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
( )
kji
kji
b
bba
3
4
3
8
3
4
22
6
)2(8
)..(
+−=
−+−
= −
6
3
4
6
8
.
−
=
−
=
b
ba

26. PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN
Bentuk umum : ax2
+ bx + c = 0
Cara menyelesaikan:
1.Memfaktorkan
2.Melengkapkan kuadrat sempurna
3.Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
4.Menggambarkan sketsa grafik fungsi
f : ax2
+ bx + c = 0
Persamaan Kuadrat

27. Contoh :
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan
kuadrat berikut:
1.x2
+ 7x + 12 = 0
2.x2
– 4x + 3 = 0
3.x2
+ 6x + 3 = 0
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan
kuadrat berikut:
1.x2
+ 7x + 12 = 0
2.x2
– 4x + 3 = 0
3.x2
+ 6x + 3 = 0
Jawab:
1. x2
+ 7x + 12 = 0
↔ (x +4) ( x+3) = 0
↔ x = -4 atau x = -3

28. 2. x2
– 4x + 3 = 0
↔ (x-1) (x-3) = 0
↔ x = 1 atau x = 3
3. x2
+ 6x + 3 = 0
63
2
626
2
246
2
12366
2
3.1.466
2,1
2
2,1
±−=
±−
=
±−
=
−±−
=
−±−
=
x
x

29. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah hubungan yang
ditandai dengan adanya notasi <, >, ≤, ≥
dan ≠.
Beberapa cara penulisan pertidaksamaan
dapat dilihat seperti tabel berikut ini.

31. Pertidaksamaan Kuadrat
Rumus Dasar:
1.Jika a< b dan (x-a) (x-b)< 0, maka a<x<b
2.Jika a< b dan (x-a) (x-b) ≤ 0, maka a≤x≤b
3.Jika a< b dan (x-a) (x-b)> 0, maka x< a
atau x > b
4.Jika a< b dan (x-a) (x-b)≥ 0, maka x ≤ a
atau x ≥ b

32. Contoh:
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut ini.
1.x2
– 10x + 16 < 0
2.x2
– 3x – 10 ≥ 0
Jawab:
1.x2
– 10x + 16 < 0
Nilai nol dari bagian kiri pertidaksamaan
x2
– 10x + 16=0
(x-8)(x-2) =0
X= 8 atau x = 2 2 8
Hp= {x/ 2 < x < 8}

33. Jawab:
x2
– 3x – 10 ≥ 0
Nilai nol dari bagian kiri pertidaksamaan
x2
– 3x-10=0
(x- 5)(x+2) =0
x= 5 atau x = -2 -2 5
Hp= {x/ x ≤ -2 atau x ≥ 5}

34. Persamaan Nilai Mutlak
Defenisi:
Untuk tiap bilangan riil x, maka nilai mutlak
x ditentukan sebagai berikut:
{
0,
0,
≥+
<−
=
xjikax
xjikax
x

35. Sifat-sifat nilai mutlak
yxyxiv)
yxyxiii)
0ydengan,
y
x
y
x
ii)
yxyxi)
makaR,ydanRxtiapUntuk3.
2xx2.
axatauaxaxii)
axaaxi)
:berlaku0,adanR,aR,xUntuk1.
+=+
−=−
≠=
×=×
∈∈
=
≥−≤⇔≥
≤≤−⇔≤
>∈∈

36. Contoh:
Carilah penyelesaian dari persamaan nilai
mutlak berikut ini.
1.| x – 1 | = 2
2.| 2x – 4 |= 4
Jawab:
1. | x – 1 | = 2
(x-1)2
= 22
x2
-2x+ 1= 4
(x+1)(x-3)=0
x1 = -1 atau x2 = 3
2)1( 2
=−x
2. | 2x – 4 |= 4
(2x-4)2
= 42
4x2
-16x + 16 = 16
4x2
-16x = 0
4x(x-4) = 0
x1 = 0 atau x2=4

37. Pertidaksamaan Nilai mutlak
Carilah himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut ini.
1.|x-3| < 4
2.|2x+1| ≥ |x – 2|
Jawab:
1. |x-3| < 4 dengan menggunakan sifat (i)
-4 < x – 3 < 4
-4 + 3 < x < 4 +3
-1 < x< 7
Hp= {x/ -1 < x < 7, x R}ϵ

38. 2. |2x+1| ≥ |x – 2|
22
)2()12( −≥+ xx
(2x+1)2
≥ (x-2)2
4x2
+ 4x+1 ≥ x2
- 4x+4
3x2
+ 8x-3 ≥ 0
(x+3)(3x-1) ≥ 0
x ≤ -3 atau x ≥ 1/3
Hp = {x/ x ≤ -3 atau x ≥ 1/3, x R}ϵ

39. TERIMA KASIH
Selamat Belajar
http://polmansem3.esy.es/