for students

1. MATEMATIKA- IIIMATEMATIKA- III
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
Persamaan Diferensial HomogenPersamaan Diferensial Homogen
http://matematikapolman.esy.es

2. 1. Orde Dua
a. Bentuk Umum:
y’’+ p (x)y’ + q (x) y = r(x) …………….. (1)
Dimana p, q, r merupakan sebarang fungsi dari x
Jika r(x) = o , maka persamaan (1) menjadi
y” + p(x) y’ + q(x) y = 0 ……………...(2)
Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen
orde dua.
Jika p(x), q(x) merupakan konstanta dan r(x) =0
maka persamaan (1) dapat ditulis:
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

3. y” + p y’ + q (y) = 0
Persamaan ini dikatakan persamaan linier
homogen orde dua dengan koefisien
konstan.
b. Cara Menyelesaikan
Untuk menyelesaikan persamaan linier
homogen orde dua dengan koefisien konstan
dapat dilakukan dengan menggunakan
persamaan karakteristik (persamaan bantu) .
Terdapat tiga (3) kasus terhadap nilai
persamaan bantu yang aka dicari
Untuk persamaan y” + p y’ + q y = 0 dan
persamaan bantu r2
+ p.r + q = 0

4. Kasus I :
Jika r1 dan r2 merupakan dua akar ril yang
berbeda maka penyelesaian umumnya adalah :
y = C1 e r
1
x
+ C2 e r
2
x
Kasus II:
Jika persamaan bantu mempunyai akar
tunggal berulang maka penyelesaian
umumnya adalah :
y = C1 e r
1
x
+ C2 x.e r
2
x

5. Kasus III :
Jika persamaan bantu mempunyai akar
kompleks saling konjugat α ± βi
maka penyelesaian umumnya adalah :
y = C1 e α x
cos βx + C2 e α x
sin βx
Contoh:
Tentukan penyelesaian umum dari persamaan
diferensial berikut:
1.y” + 8 y’ + 15 y = 0
2.y” + 10 y’ + 25 y = 0
3.y” - 2y’ + 6 y = 0

6. Jawab:
1.y” + 8 y’ + 15 y = 0
persamaan bantu :
r2
+ 8r + 15 = 0
(r+5) (r+3) = 0
r1 = -5 v r2 = -3
Penyelesaian umum:
Y = C1 e-5x
+ C2 e-3x

7. Jawab:
2. y” + 10 y’ + 25 y = 0
persamaan bantu :
r2
+ 10r + 25 = 0
(r+5) (r+5) = 0
r1 = -5 v r2 = -5
Penyelesaian umum:
Y = C1 e-5x
+ C2 x.e-5x

8. y” - 2y’ + 6 y = 0
Persamaan bantu:
r2
– 2r + 6 = 0
Penyelesaian umum:
xeCxeCy xx
.5sin.5cos 21 +=
5:1
51
2
522
2
2442
2,1
2,1
==
±=
−±
=
−±
=
βα
ir
r

9. 2. Orde Yang Lebih Tinggi
Bentuk Umum:
y (n)
+ a1 y (n-1)
+ a2 y(n-2
)+ … + a(n-1)y1
+ an y = 0
dimana a1, a2, … , an adalah fungsi-fungsi dari x
Langkah penyelesaian:
1.Tentukan akar-akar persamaan bantu
rn
+ a1 r(n-1)
+ … + a(n-1) r+ an = 0

10. 2. Jika persamaan bantu r1 ≠ r2 ≠ r3 , … , ≠ r n
Maka penyelesaian umumnya adalah:
Y = C1 er1x
+ C2er2x
+ … + Cnernx
3. Jika persamaan bantu r1 = r2 = r3 , … , = r n
Maka penyelesaian umumnya adalah:
Y = C1 erx
+ C2. X.erx
+ … + Cn . X(n-1)
.erx

11. Contoh :
Tentukan penyelesaian umum dari persamaan
diferensial berikut:
1.y”’ – 3 y” + 3y’ – y = 0
2.y”’ + 3 y”+ 9 y’ – 13 y = 0
3.yv
+ 8 y”’ + 16 y’ = 0
Jawab :
1. y”’ – 3 y” + 3y’ – y = 0
Persamaan bantu : r3
-3r2
+ 3r -1 = 0
(r-1) (r-1) (r-1) = 0
r1 = r2 = r3 = 1
Penyelesaian Umum : y = C1 ex
+ C2 x.ex
+ C3 x2
ex

12. 2. y”’ + 3 y”+ 9 y’ – 13 y = 0
Persamaan bantu:
r3
+ 3r2
+ 9r -13 = 0
(r-1) (r2
+ 4r + 13)=0
r1 = 1
i
i
r
r
32
2
64
2
364
2
52164
1.2
13.444
3,2
2
3,2
±−=
±−
=
−±−
=
−±−
=
−±−
=
Penyelesaian umum:
Y = C1 ex
+ C2 e-2x
cos 3x + C3 e-2x
sin 3x

13. 3. yv
+ 8 y”’ + 16 y’ = 0
Persamaan bantu:
r5
+ 8r3
+ r + 16 r = 0
r (r4
+ 8r 2
+ 16)=0
r(r2
+ 4)2
= 0
r1 = 0; r2 = 2i ; r3 = -2i ; r4 = 2i ; r5 = -2i
Penyelesaian umum:
Y = C1 e0x
+ C2 cos 2x + C3 sin 2x+ C4 x. cos2x +
C5 x sin 2x
= C1 + (C2 + C4.x)cos2x + (C3+C5 x) sin 2x

14. 1. y”’ - 4y’’+ y’ + 6y = 0
2. y”’ + 6y’’+ 5 y’ -12y = 0
3. y”’ - 5y’ + 4y = 0

15. TERIMA KASIH
Selamat Belajar
http://matematikapolman.esy.es/