Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang turunan fungsi dan rumus-rumus dasar turunan untuk berbagai fungsi trigonometri, logaritma, eksponensial dan hiperbolik. Diberikan contoh soal untuk menentukan turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi serta penyelesaiannya.

1. MATEMATIKA II
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
http://polmansem3.esy.es/

2. h
)a(f)ha(f
lim)a(f
0h
' −+
=
→
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
' −+
=
→
Turunan dari fungsi f(x) pada x = a
ditentukan dengan rumus:
Jika fungsi f(x) dideferensialkan untuk semua x
maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang
nilai x ditentukan dengan rumus:

3. • f’(x) dibaca f aksen x disebut turunan dari
fungsi f(x).
• f’(a) diperoleh dari f’(x) dimana x diganti
dengan a.
• f’(x) sering ditulis dengan df(x)/dx atau
dy/dx

4. Contoh 1:
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi
di bawah ini!
a.
b.
Jawab:
a. maka
=
Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.
13)( −= xxF
52)( 2
++= xxxF
13)( −= xxF
1)(3)( −+=+ hxhxF
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
' −+
=
→
3
313)133(
lim
0
==
−−−+
→ h
h
h
xhx
h

9. Rumus Dasar:
y = sinx  y’ = cos x
y = cos x  y’ = - sin x
y = tg x  y’ = sec2
x
y = ctg x  y’ = -cosec2
x
y = sec x  y’ = sec x. tg x
y = cosec x y’ = -cosec x. ctg x

10. Rumus Dasar:
y = sin ax  y’ = a.cos ax
y = cos ax  y’ = -a.sin ax
y = tg ax  y’ = a.sec2
ax
y = ctg ax  y’ = -a.cosec2
ax
y = sec ax  y’ = a.sec ax. tg ax
y = cosec ax  y’ = -a.cosec ax. ctg ax

11. Contoh 3:
Tentukanlah turunan dari fungsi trigonometri
berikut:
1.Sin 5x
2.Tg 2x
Jawab:
1.Sin 5x = 5 cos 5x
2.Tg 2x = sec2
2x

12. dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
..
.
=
=

16. Contoh4:
Tentukanlah turunan kedua dari fungsi
berikut:
1.y = 5x3
– 7x2
+ 1
2.y = 3/x2
+ 2x4
3.y= sin2x
Jawab:
1.y = 5x3
– 7x2
+ 1
dy/dx = 15x2
- 14x
dy2
/dx2
= 30x - 14

17. 2. y = 3/x2
+ 2x4
dy/dx = -6x-3
+ 8x3
dy2
/dx2
= 18x-4
+ 24x2
3. y = sin 2x
dy/dx = 2 cos 2x
dy2
/dx2
= -4 sin 2x

18. Rumus Dasar:
y = ex
 y’ = ex
y = e-x
 y’ = - e-x
y = eax
 y’ = a. eax
y = e-ax
 y’ = -a e-ax
Contoh 5:
Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:
1. y = ecos5x
2. y = (e4x
– e5x
)4

19. Jawab:
1. y = ecos5x
mis u = cos 5x  du/dx = - 5.sin 5x
y = eu
 dy/du = eu
= ecos5x
dy/dx = du/dx . dy/du = - 5.sin 5x. ecos5x
2. y = (e4x
– e5x
)4
mis u = (e4x
– e5x
)  du/dx = 4e4x
–5 e5x
y = u4
dy/du = 4u3
= 4(e4x
– e5x
)3
dy/dx = du/dx . dy/du = (4e4x
–5 e5x
). 4(e4x
– e5x
)3
= 4(4e4x
–5 e5x
). (e4x
– e5x
)3

20. Rumus Dasar:
1. y = a
log x y’ =1/a. a
log e
2. y = ln x  y’ = 1/x e
log e =1 /x
3. y = ax
 y’ = ax.
ln a
Contoh 2.6:
Tentukan dy/dx dari fungsi logaritma berikut:
1. y = ln (x2
+ 5)
2. y =
)6( 2
3 xx +

21. Jawab:
1. y = ln (x2
+ 5)
mis: u = x2
+ 5  du/dx = 2x
y = ln u  dy/du = 1/u = 1/(x2
+ 5)
dy/dx = du/dx . dy/du = 2x . 1/(x2
+ 5) = 2x/(x2
+ 5)
2. y =
mis: u = x2
+ 6x  du/dx = 2x + 6
y = 3u
dy/du = 3u .
ln 3 = . ln 3
dy/dx = du/dx . dy/du = (2x + 6) . ln 3
)6( 2
3 xx +
)6( 2
3 xx +
)6( 2
3 xx +

22. Rumus Dasar:
1. y = sinh x  y’ = cosh x
2. y = cosh x  y’ = sinh x
Contoh 7:
Tentukan dy/dx dari fungsi hiperbolik berikut:
1. y = sinh 7x
2. y = cosh3
(1-x)

23. Jawab:
1. y = sinh 7x
mis u = 7x  du/dx =7
y = sinh u  dy/du = cosh u = cosh 7x
dy/dx = du/dx . dy/du = 7. cosh 7x
2. y = cosh3
(1-x)
mis u = 1 – x  du/dx = -1
t = cosh u  dt/du = sinh u = sinh (1-x)
y = t3
dy/dt = 3 t2
= 3 cosh2
(1-x)
dy/dx = du/dx . dt/du. dy/dt
= -1. sinh (1-x). 3 cosh2
(1-x)
= -3 sinh (1-x). cosh2
(1-x)

24. TERIMA KASIH
Selamat Belajar