1. ΜΔΓΑΛΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ –
ΣΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΢ΣΖΝ ΣΔΥΝΖ –
ΥΡΤ΢Ζ ΣΟΜΖ

2. ΜΔΓΑΛΟΗ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟΗ

3. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟΙ ΣΗ΢
ΑΡΦΑΙΟΣΗΣΑ΢

4. ΘΑΛΗ΢ Ο ΜΙΛΗ΢ΙΟ΢ (630 - 543 π.Φ.)
Ο Θαλόσ γεννόθηκε
ςτην Μύλητο και
δραςτηριοποιόθηκε ςτισ αρχϋσ
του 6ου αιώνα π.Φ. Ο Ηρϐδοτοσ μασ
πληροφορεύ πωσ ο Θαλόσ πρϐβλεψε
την ϋκλειψη Ηλύου του 585 π.Φ. το
οπούο και τον ανϋδειξε .

5. Ο Θαλόσ αναφϋρεται ωσ ςπουδαύοσ γεωμϋτρησ. Κϋρδιςε μϊλιςτα
τον θαυμαςμϐ πολλών μετρώντασ το ϑψοσ των
πυραμύδων, βαςιζϐμενοσ ςτο μόκοσ τησ ςκιϊσ τουσ και τησ ςκιϊσ
μιασ ρϊβδου που ϋμπηγε ςτο ϋδαφοσ.
Γνωςτϐ εύναι το Θεώρημα του Θαλό που αναφϋρει: ϐταν
παρϊλληλεσ ευθεύεσ τϋμνονται απϐ δϑο ϊλλεσ ευθεύεσ τϐτε τα
τμόματα μεταξϑ των παραλλόλων που ορύζονται ςτην μια
τϋμνουςα, εύναι ανϊλογα ……
΢τον Θαλό αποδύδονται απϐ τουσ αρχαύου ςυγγραφεύσ πϋντε
ακϐμα αποδεύξεισ γεωμετρικών προτϊςεων που εύναι οι
ακϐλουθεσ:
Η διϊμετροσ κϑκλου διχοτομεύ τον κϑκλο.
Οι κατϊ κορυφό γωνύεσ εύναι ύςεσ.
Οι παρϊ τη βϊςη ιςοςκελοϑσ τριγώνου γωνύεσ εύναι ύςεσ.
Αν δυο τρύγωνα ϋχουν μια πλευρϊ ύςη και τισ προςκεύμενεσ ςε
αυτό γωνύεσ ύςεσ, εύναι και μεταξϑ τουσ ύςα.
Η εγγεγραμμϋνη ςε ημιπεριφϋρεια γωνύα εύναι ορθό.

6. ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟ΢(610-547π.Φ)
 Ο Αναξύμανδροσ, (610 π.Φ.-547 π.Φ.) όταν ο
δεϑτεροσ απϐ τουσ φυςικοϑσ φιλϐςοφουσ ό
φυςιολϐγουσ τησ Ιωνύασ, πολύτησ τησ
Μιλότου, ϐπωσ ο Θαλόσ, του οπούου
ϊλλωςτε υπόρξε μαθητόσ, ςϑντροφοσ και
διϊδοχοσ ςτη ΢χολό του (Ιωνικό ΢χολό).
Λύγα εύναι γνωςτϊ για τη ζωό και το ϋργο
του. Τπολογύζεται η ημερομηνύα γϋννηςόσ
του το 610 π.Φ. και ο θϊνατϐσ του λύγο μετϊ
το 547 π.Φ.
 Οι πηγϋσ τον αναφϋρουν ενύοτε ωσ
επιτυχημϋνο ςπουδαςτό τησ Αςτρονομύασ
και τησ Γεωγραφύασ και πρώιμο υπϋρμαχο
τησ ακριβοϑσ επιςτόμησ. Λϋγεται, επύςησ,
ϐτι ειςόγαγε τη χρόςη του γνώμονα ςτην
αρχαύα Ελλϊδα και ϐτι καταςκεϑαςε χϊρτη
του γνωςτοϑ τϐτε κϐςμου.

7.  Μερικϊ απϐ τα ςημαντικϐτερα ϋργα του
Αναξύμανδρου όταν:
 Περύ τησ Υϑςεωσ, του οπούου επιβιώνει απϐςπαςμα
που αναφϋρεται ςτον ΢ιμπλύκιο. Βϋβαια εύναι
αμφύβολο αν αυτϐσ όταν ο πραγματικϐσ τύτλοσ του
ϋργου, μια και ςυνηθιζϐταν ςτην αρχαιϐτητα ςε
ανϊλογα ϋργα να αποδύδεται ο ςυγκεκριμϋνοσ
τύτλοσ.
 Φϊρτησ του γνωςτοϑ κϐςμου (χαμϋνοσ)
 Επύκεντρο τησ φιλοςοφύασ του Αναξύμανδρου εύναι
το ϊπειρον, ϋνα ϊπειρο ϐμωσ που πιθανώσ
προςλϊβανε δϑο ερμηνεύεσ:
 ϊπειρον α+πϋρασ = χωρύσ τϋλοσ
 ϊπειρον α+περϊω =αδιαπϋραςτο

8. ΑΝΑΞΙΜΕΝΗ΢(585-525μ.Φ)
 Ο Αναξιμϋνησ, (γενικό: του
Αναξιμϋνουσ) ο τρύτοσ ςτη
διαδοχό Μιλόςιοσ φιλϐςοφοσ,
όταν γιοσ του Ευρϑςτρατου και
μαθητόσ του Αναξύμανδρου.
Δραςτηριοποιόθηκε ςτο δεϑτερο
μιςϐ του 6ου π.Φ αιώνα και
πϋθανε πιθανώσ ςε ηλικύα 60
χρονών κατϊ την 63η Ολυμπιϊδα
(528-525 π.Φ.). Για τον βύο και τισ
δραςτηριϐτητεσ του Αναξιμϋνoυσ
γνωρύζουμε ελϊχιςτα πρϊγματα.
Οι περιςςϐτερεσ πληροφορύεσ για
τη ζωό και το ϋργο του
βαςύζονται ςτον Θεϐφραςτο, που
διαςώζεται περιληπτικϊ απϐ τον
΢ιμπλύκιο.

9.  . Αναζότηςε την αρχό του κϐςμου ςτον αϋρα, τον
οπούο ϐριςε ωσ μοναδικό και ϊπειρη αρχό. Ο αϋρασ
εύναι ποςοτικϊ ϊπειροσ και αυτϐ τον καθιςτϊ
ανεξϊντλητη πηγό του γύγνεςθαι. Με την θεωρύα
τησ πϑκνωςησ και τησ αραύωςησ ερμόνευςε ϐλα ϐςα
δεν εύναι αϋρασ, προκειμϋνου να γύνουν αντιληπτϊ
ωσ καταςτϊςεισ που προϋκυψαν απϐ τισ μεταβολϋσ
του αϋρα. (Απϐ τον αϋρα μϋςω τησ αραύωςησ
δημιουργεύται το πυρ, ενώ μϋςω τησ ςυμπϑκνωςησ
δημιουργεύται η γη και το ϑδωρ). Τιοθετώντασ τον
υλοζωιςμϐ του Θαλό, θεώρηςε ωσ προϒπϐθεςη των
μεταβολών του αϋρα τη ςυνεχό κινητικϐτητϊ του.

10. ΠΤΘΑΓΟΡΑ΢ (575-500π.Φ.)
Ο Πυθαγϐρασ, αρχαύοσ Έλληνασ
φιλϐςοφοσ και μαθηματικϐσ,
γεννόθηκε το 575π.Φ ςτη ΢ϊμο
και πϋθανε το 500π.Φ εξϐριςτοσ
ςτο Μεταπϐντιο τησ Κϊτω
Ιταλύασ. Ήταν ο ιδρυτόσ και
θεμελιωτόσ τησ μαθηματικόσ
επιςτόμησ.. Θεωρεύται ακϐμη
αρχηγϐσ τησ περύφημησ
ςχολόσ, που ϋβγαλε πλόθοσ
οπαδοϑσ και μαθητϋσ
φιλοςϐφουσ και επιςτόμονεσ,
τουσ περύφημουσ
Πυθαγϐρειουσ.

11. Πυθαγόρειο Θεώρημα
Η διατϑπωςη του θεωρόματοσ ϋχει
ωσ εξόσ:
το τετρϊγωνο τησ υποτεύνουςασ ενϐσ
ορθογώνιου τριγώνου ιςοϑται με το
ϊθροιςμα των τετραγώνων των δϑο
κϊθετων πλευρών.
Η παραπϊνω πρϐταςη εκφρϊζεται με
τον ακϐλουθο τϑπο:
c2 = a2 + b2. ϐπου: c = το μόκοσ τησ
υποτεύνουςασ και a, b = τα μόκη των
δϑο ϊλλων πλευρών
Ιςχϑει και το αντύςτροφο Πυθαγϐρειο
θεώρημα:
Ότι, αν ιςχϑει η παραπϊνω ςχϋςη
μεταξϑ των πλευρών ενϐσ τριγώνου,
τϐτε το τρύγωνο εύναι ορθογώνιο.

12. Ο ΕΤΚΛΕΙΔΗ΢ ΑΠΟ ΣΗΝ
ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ (325 - 265 π.Φ.)
Έλληνασ μαθηματικϐσ, που δύδαξε και
πϋθανε ςτην Αλεξϊνδρεια τησ Αιγϑπτου,
κατϊ την διϊρκεια τησ βαςιλεύασ
του Πτολεμαύου Α΄ . ΢τισ μϋρεσ μασ εύναι
γνωςτϐσ ωσ ο «πατϋρασ» τησ Γεωμετρύασ. Ο
Ευκλεύδησ δεν όταν ακριβώσ ϋνασ μεγϊλοσ
καινοτϐμοσ αλλϊ κυρύωσ οργανωτόσ που
ςυςτηματοπούηςε και ϋθεςε ςε ςτϋρεεσ
θεωρητικϋσ βϊςεισ τα ςυμπερϊςματα ςτα
οπούα ϋφταςαν ο Θαλόσ, ο Εϑδοξοσ και ϊλλεσ
προςωπικϐτητεσ τησ εποχόσ. Ο Ευκλεύδησ
εύχε την ικανϐτητα να αναςυντϊξει τισ
αποδεύξεισ των θεωρημϊτων ςε ςϑντομουσ
αυςτηροϑσ ϐρουσ.

13. Ευκλεύδεια γεωμετρύα
Γεωμετρύα εύναι ο κλϊδοσ των μαθηματικών που αςχολεύται με
τη μελϋτη χωρικών ςχϋςεων, δηλαδό ςχϋςεων μεταξϑ ςχημϊτων
που ϋχουν ιδιϐτητεσ ϐπωσ μόκοσ και ϐγκο και εκτεύνονται ςτο
χώρο. Εμπειρικϊ, αλλϊ και διαιςθητικϊ, οι ϊνθρωποι απϐ την
αρχαιϐτητα χαρακτόριζαν το χώρο μϋςω ςυγκεκριμϋνων
θεμελιωδών εννοιών, ϐπωσ εύναι η επιφϊνειεσ οι γραμμϋσ και τα
ςημεύα. Λϐγω των ϊμεςων πρακτικών τησ εφαρμογών, η
Γεωμετρύα όταν ανϊμεςα ςτουσ πρώτουσ ιςτορικϊ κλϊδουσ των
μαθηματικών. Οι Αρχαύοι Έλληνεσ, θεωρώντασ ϐτι τα
Μαθηματικϊ πρϋπει να εύναι διαχωριςμϋνα απϐ την εμπειρικό
γνώςη οδηγόθηκαν ςτη θεμελύωςη του πρώτου αξιωματικοϑ
ςυςτόματοσ των μαθηματικών, αυτϐ τησ Ευκλεύδειασ
Γεωμετρύασ. Πιο ςυγκεκριμϋνα, ο Ευκλεύδησ περύπου το 300
π.Φ με το βιβλύο του "΢τοιχεύα" που το αποτελοϑςαν 13
τϐμοι, όταν ο πρώτοσ που τοποθϋτηςε τη γεωμετρύα ςε
αξιωματικό βϊςη, δικαιολογημϋνοσ λοιπϐν και ο ϐροσ
«Ευκλεύδεια γεωμετρύα».

14. Σο πιο γνωςτϐ ϋργο του εύναι τα ΢τοιχεύα, που αποτελεύται απϐ
13 βιβλύα. Εκεύ, οι ιδιϐτητεσ των γεωμετρικών αντικειμϋνων και
των ακεραύων αριθμών προκϑπτουν απϐ ϋνα ςϑνολο
αξιωμϊτων, εμπνϋοντασ την αξιωματικό μϋθοδο των μοντϋρνων
μαθηματικών. Παρ' ϐτι πολλϊ απϐ τα θεωρόματα που
περιϋχονταν ςτα ΢τοιχεύα όταν όδη γνωςτϊ, ϋνα απϐ τα
επιτεϑγματα του Ευκλεύδη όταν ϐτι τα παρουςύαςε ςε ϋνα
ενιαύο, λογικϊ ςυμπαγϋσ πλαύςιο. Σο ϋργο του Ευκλεύδη όταν
τϐςο ςημαντικϐ ώςτε η γεωμετρύα που περιϋγραψε
ςτα ΢τοιχεύα του (η βϊςη τησ οπούασ εύναι: ϋςτω μύα ευθεύα ε και
ϋνα ςημεύο Α ϐχι πϊνω ςε αυτόν την ευθεύα, τϐτε υπϊρχει μϐνο
μύα ευθεύα, παρϊλληλη τησ ε, που διϋρχεται απϐ το Α)
ονομϊςτηκε Ευκλεύδεια, ενώ τα ΢τοιχεύα ςόμερα θεωροϑνται
ϋνα απϐ τα ςημαντικϐτερα μαθηματικϊ ϋργα ϐλων των εποχών.
Όταν ο Πτολεμαύοσ Α΄ του ζότηςε ϋναν πιο εϑκολο τρϐπο απϐ
τα ΢τοιχεύα του για να μϊθει Γεωμετρύα η απϊντηςη του
μεγϊλου μαθηματικοϑ όταν: «Δεν υπϊρχει βαςιλικό οδϐσ για τη
Γεωμετρύα».

15. Βαςικϊ ςτοιχεύα τησ
ευκλεύδειασ γεωμετρύασ
Η μελϋτη τησ Γεωμετρύασ, ϐπωσ και κϊθε αξιωματικόσ
θεωρύασ, ξεκινϊ απϐ πρωταρχικϋσ ϋννοιεσ, οι οπούεσ
προκϑπτουν εμπειρικϊ και τισ οπούεσ δεχϐμαςτε χωρύσ
περαιτϋρω διευκρινύςεισ. Επύςησ δεχϐμαςτε ωσ αρχικό την
ϋννοια του ανόκειν, αφοϑ μασ ενδιαφϋρει να
διατυπώνουμε προτϊςεισ γϑρω απϐ «ςημεύα που ανόκουν
ςε μια ευθεύα» ό για «κϑκλουσ που ανόκουν ςε μια ςφαύρα»
κ.λπ. Σϋλοσ, τα προηγοϑμενα υπϐκεινται ςε
οριςμϋνα αξιώματα, δηλαδό ςε κϊποιεσ παραδοχϋσ, τισ
οπούεσ επύςησ δεχϐμαςτε ωσ διαιςθητικϊ προφανεύσ, με
βϊςη την εμπειρύα. Φαρακτηριςτικϊ αναφϋρονται
(αναλυτικϐτερα) τα Αξιώματα Φύλμπερτ.
Βαςιζϐμενοι ςε αυτϊ, μποροϑμε να προχωρόςουμε βόμα-
βόμα αποδεικνϑοντασ ϐλα τα θεωρόματα τησ ευκλεύδειασ
γεωμετρύασ· κϊθε απϐδειξη θα ςτηρύζεται και θα
προκϑπτει απϐ τα προηγοϑμενα ςυμπερϊςματα. Η
αποδεικτικό μϋθοδοσ δε, εύναι κατϊ βϊςη
καταςκευαςτικό και ςυνύςταται ςτη χρόςη κανϐνα και
διαβότη.

16. Σο αντικεύμενο τησ
Ευκλεύδειασ Γεωμετρύασ
Η μελϋτη του χώρου και των ςχημϊτων που μποροϑν
να νοηθοϑν μϋςα ςε αυτϐν. Γενικϐτερα ςτο χώρο
διακρύνουμε τα ςημεύα (χωρύσ καμύα διϊςταςη),
τισ γραμμϋσ (με μύα διϊςταςη) και τισ επιφϊνειεσ (με
δϑο διαςτϊςεισ). Οι επιφϊνειεσ διαχωρύζουν τα
αντικεύμενα μεταξϑ τουσ ό απϐ το περιβϊλλον. Πϊνω
ςε μια επιφϊνεια μποροϑμε να θεωρόςουμε γραμμϋσ,
οι οπούεσ μϊλιςτα μποροϑν να οριοθετηθοϑν. ΢την
καθημερινό γλώςςα μιλϊμε π.χ. για «γραμμϋσ τησ
αςφϊλτου» ό «ςιδηροδρομικϋσ γραμμϋσ», ό
«ακτοπλοώκϋσ γραμμϋσ» λαμβϊνοντασ πϊντα υπϐψη
κϊποια αρχό (αφετηρύα) και κϊποιο τερματικϐ
ςημεύο. ΢την καθημερινό γλώςςα δεχϐμαςτε τισ
προςεγγύςεισ ενώ ςτην γεωμετρύα ϐχι. Λειτουργοϑμε
αναγκαςτικϊ πολλϋσ φορϋσ και με αφηρημϋνεσ
ϋννοιεσ που αποκαλοϑμε ϊλλοτε
«πρωταρχικοϑσ ϐρουσ» και ϊλλοτε
«γεωμετρικϋσ προτϊςεισ».

17. ΠΡΩΣΑΡΦΙΚΕ΢ ΕΝΝΟΙΕ΢
Η Ευκλεύδεια Γεωμετρύα θεμελιώνεται πϊνω ςε
κϊποιεσ προτϊςεισ που δεχϐμαςτε ωσ αληθινϋσ: τα αξιώματα.
Κϊθε ϊλλη πρϐταςη (διαφορετικό απϐ τα αξιώματα) την
θεωροϑμε ωσ αληθό μϐνο εϊν ϋχουμε καταλόξει ςε αυτό
αποδεικνϑοντασ την με βϊςη τα αξιώματα (κατϊ ςυνϋπεια κϊθε
αποδεδειγμϋνη πρϐταςη μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ για την
απϐδειξη μύασ ϊλλησ πρϐταςησ).
Κϊθε πρϐταςη περιϋχει την υπϐθεςη και το ςυμπϋραςμα , ςτο
οπούο καταλόγουμε με τη βοόθεια τησ απϐδειξησ.
Η «υπϐθεςη» και το «ςυμπϋραςμα» λϋγονται ςυνθόκεσ τησ
πρϐταςησ . ΢τη Γεωμετρύα δϑο προτϊςεισ μπορεύ να λϋγονται:
αντύςτροφεσ: ϐταν κϊθε μια ϋχει ωσ υπϐθεςη το ςυμπϋραςμα
τησ ϊλλησ . αντύθετεσ: ϐταν οι ςυνθόκεσ (υπϐθεςη και
ςυμπϋραςμα) τησ μιασ αποτελοϑν αρνόςεισ των ςυνθηκών τησ
ϊλλησ, και τϋλοσ αντύςτροφεσ και αντύθετεσ: ϐταν κϊθε μια ϋχει
ωσ υπϐθεςη την ϊρνηςη του ςυμπερϊςματοσ τησ ϊλλησ . Αν δϑο
προτϊςεισ ςχετύζονται με μύα απϐ τισ τρεισ προηγοϑμενεσ
ςχϋςεισ τϐτε η μύα καλεύται ευθεύα πρϐταςη και η ϊλλη
«αντύςτροφη» ό αντύθετη αντύςτοιχα.

18. Ερατοςθϋνησ(276-194π.Φ)
Ο Ερατοςθϋνησ όταν αρχαύοσ
Έλληνασ μαθηματικϐσ γεωγρϊφοσ
αςτρονϐμοσ. Γεννόθηκε ςτη
Κρόνη( ςημερινό Λιβϑη) το 276π.Φ
και πϋθανε ςτην Αλεξϊνδρεια το
194π.Φ.Έκανε αρκετϋσ
ςημαντικϋσ ςυνειςφορϋσ ςτα
Μαθηματικϊ:
I. Εφηϑρε τον ςφαιρικϐ
αςτρολϊβο
II. Τπολϐγιςε τη περιφϋρεια τησ
γησ ςε 252.000 ςτϊδια
III. Εφηϑρε μια μϋθοδο για την
εϑρεςη πρώτων αριθμών
(Κϐςκινο του Ερατοςθϋνη)
IV. Επινϐηςε ϋνα ςϑςτημα
γεωγραφικών παρϊλληλων
V. Σϋλοσ, γϑρω ςτο 240π.Φ
υπολϐγιςε τη περιφϋρεια τησ
γησ

19. Η πρώτη μϋτρηςη τησ γησ
Οι Έλληνεσ απϐ νωρύσ ϋφταςαν
ςτο ςυμπϋραςμα ϐτι η γη εύναι
ςφαιρικό. Ο Ερατοςθϋνησ
πληροφορόθηκε ϐτι ςτη ΢υόνη (
ςημερινϐ Αςουϊν)οι ακτύνεσ του
όλιου κατϊ το μεςημϋρι του
θερινοϑ ηλιοςταςύου πϋφτουν
κϊθετα ςτον ορύζοντα και
επομϋνωσ φωτύζουν το πυθμϋνα
ενϐσ πηγαδιοϑ. Σην ύδια ςτιγμό
ςτην Αλεξϊνδρεια οι ακτύνεσ του
ηλύου ςχηματύζουν μια γωνύα
7ο με την κατακϐρυφο του τϐπου.
Έπειτα με τη βοόθεια ενϐσ
γνώμονα μϋτρηςε την απϐςταςη
Αλεξϊνδρειασ – ΢υόνησ. Έτςι,
υπολϐγιςε ϐτι η περύμετροσ τησ
γησ εύναι περύπου 46.250χμ.

20. ΑΡΙ΢ΣΑΡΥΟ΢ Ο ΢ΑΜΙΟ΢(310-
230π.Υ)
 Ο Αρύςταρχοσ ο ΢ϊμιοσ(310π.X.–περύπου
230π.X.) όταν Έλληνασ αςτρονϐμοσ και
μαθηματικϐσ, που γεννόθηκε ςτη ΢ϊμο.
Εύναι ο πρώτοσ καταγεγραμμϋνοσ
ϊνθρωποσ ο οπούοσ πρϐτεινε ηλιοκεντρικϐ
μοντϋλο του Ηλιακοϑ ΢υςτόματοσ
θϋτοντασ τον Ήλιο και ϐχι τη Γη, ςτο
κϋντρο του γνωςτοϑ ΢ϑμπαντοσ. Οι ιδϋεσ
του περύ Αςτρονομύασ δεν εύχαν γύνει
αρχικϊ αποδεκτϋσ και θεωρόθηκαν
κατώτερεσ απϐ εκεύνεσ του Αριςτοτϋλη
και του Πτολεμαύου, ϋωσ ϐτου
αναγεννόθηκαν επιτυχώσ και
αναπτϑχθηκαν απϐ τον Κοπϋρνικο
περύπου 2000 χρϐνια μετϊ. Η μοναδικό
εργαςύα του Αρύςταρχου η οπούα ϋχει
διαςωθεύ μϋχρι ςόμερα, «Περύ μεγεθών
και αποςτημϊτων Ηλύου και ΢ελόνησ»
βαςύζεται ςε γεωκεντρικϐ μοντϋλο.

21. Ο Αρύςταρχοσ παρατόρηςε την κύνηςη τησ
΢ελόνησ διαμϋςου τησ ςκιϊσ τησ Γησ κατϊ τη
διϊρκεια μιασ ϋκλειψησ ΢ελόνησ. Εκτύμηςε ϐτι
η διϊμετροσ τησ Γησ όταν 3 φορϋσ μεγαλϑτερη
απϐ τη διϊμετρο τησ ΢ελόνησ.
Φρηςιμοποιώντασ τον υπολογιςμϐ του
Ερατοςθϋνουσ ϐτι η περιφϋρεια τησ Γησ όταν
42.000 χλμ ςυμπϋρανε ϐτι η ΢ελόνη ϋχει
περιφϋρεια ύςη με 14.000 χλμ .΢όμερα, εύναι
γνωςτϐ ϐτι η ΢ελόνη ϋχει περιφϋρεια περύπου
ύςη με 10.916 χλμ

22.  Ο Αρύςταρχοσ παρατόρηςε ϐτι ο Ήλιοσ, η ΢ελόνη και η
Γη ςχηματύζουν ςχεδϐν μια ορθό γωνύα τη ςτιγμό του
πρώτου ό του τελευταύου τετϊρτου τησ ΢ελόνησ.
Εκτύμηςε ϐτι η γωνύα όταν 87°. Φρηςιμοποιώντασ
ςωςτϊ τη Γεωμετρύα, αλλϊ με λανθαςμϋνα ςτοιχεύα
παρατόρηςησ, ο Αρύςταρχοσ ςυμπϋρανε ϐτι ο Ήλιοσ
όταν 20 φορϋσ πιο μακριϊ απϐ ϐ,τι η ΢ελόνη. ΢την
πραγματικϐτητα ο Ήλιοσ εύναι περύπου 390 φορϋσ πιο
μακριϊ. Εντϐπιςε ϐτι η ΢ελόνη και ο Ήλιοσ ϋχουν
ςχεδϐν το ύδιο φαινϐμενο μϋγεθοσ απϐ τη Γη και
ςυμπϋρανε ϐτι οι διϊμετρού τουσ θα εύναι ανϊλογοι με
την απϐςταςό τουσ απϐ τη Γη. Έτςι κατϋληξε ςτο
ςυμπϋραςμα ϐτι ο Ήλιοσ εύχε 20 φορϋσ μεγαλϑτερη
διϊμετρο απϐ τη ΢ελόνη, κϊτι που εύναι υπολογιςτικϊ
λογικϐ και ςωςτϐ, αλλϊ επύςησ λϊθοσ (αφοϑ
ςτηρύζεται ςε λϊθοσ δεδομϋνα). Η εκτύμηςό του ϐμωσ
αυτό υποδεικνϑει ϐτι ο Ήλιοσ εύναι ξεκϊθαρα
μεγαλϑτεροσ απϐ τη Γη, κϊτι που υποςτηρύζει το
ηλιοκεντρικϐ μοντϋλο.

23. ΓΤΝΑΙΚΕ΢ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟΙ
΢ΣΗΝ ΑΡΦΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

24. Η ιςτορύα τησ επιςτόμησ εύναι η
ιςτορύα χιλιϊδων ανθρώπων οι
οπούοι ςυνειςϋφεραν ςτη γνώςη
και ςτισ θεωρύεσ που αποτελοϑςαν
την επιςτόμη τησ εποχόσ τουσ,
ανούγοντασ ϋτςι το δρϐμο ςτα
«μεγϊλα ϊλματα». Πολλού απϐ
αυτοϑσ τουσ ανθρώπουσ όταν
γυναύκεσ. Ωςτϐςο η ιςτορύα τουσ
παραμϋνει ουςιαςτικϊ ϊγνωςτη.
΢χεδϐν ϐλοι θεωροϑμε την ιςτορύα
τησ επιςτόμησ, ιςτορύα ανδρών.
Η ιςτορύα των γυναικών ςτην
επιςτόμη ξεκινϊει την
προώςτορικό εποχό και εύναι ςτο
μεγαλϑτερο μϋροσ ιςτορύα
προνομιοϑχων γυναικών που όταν
ςε θϋςη να αποκτόςουν μϐρφωςη
και να ακολουθόςουν τα
επιςτημονικϊ τουσ ενδιαφϋροντα,
παρϐλο που βρύςκονταν
αποκλειςμϋνεσ απϐ τα
εκπαιδευτικϊ ιδρϑματα και τισ
επύςημεσ ό ανεπύςημεσ
αδελφϐτητεσ των ανδρών
επιςτημϐνων.

25.  Έτςι λοιπϐν λϐγο τησ
κοινωνικόσ τουσ θϋςησ
ςε πρώτο επύπεδο αλλϊ
και λϐγο τησ
καταςτροφόσ τησ
βιβλιοθόκησ τησ
Αλεξϊνδρειασ ςε
δεϑτερο, η γυναύκεσ
αυτϋσ ϋμειναν αφανεύσ
και μονϐ 40 απϐ αυτϋσ
κατϊφεραν να
εντοπιςτοϑν απϐ το 10
αιώνα πΦ ϋωσ και τον 5
αιώνα μΦ. Οι πιο
γνωςτϋσ ςε εμϊσ εύναι η
εξόσ:

26. ΤΠΑΣΙΑ
 Η Τπατύα γεννόθηκε ςτην
Αλεξϊνδρεια το 370μ.Φ και
πϋθανε το 416μ.Φ. Τπόρξε απϐ
τισ πιο εξιδανικευμϋνεσ μορφϋσ
τησ επιςτόμησ. . Ήταν κϐρη του
Θϋωνα, ενϐσ πολϑ ςημαντικοϑ
λογύου, μαθηματικοϑ και
αςτρονϐμου ο οπούοσ ϋκανε
εξαιρετικϊ ςχϐλια ςτα ϋργα δϑο
παλαιοτϋρων ςπουδαύων
αλεξανδρινών μαθηματικών και
φιλοςϐφων, του Πτολεμαύου και
του Ευκλεύδη. Δύπλα ςτον
πατϋρα τησ η Τπατύα ϋλαβε
εξαιρετικό μϐρφωςη, την οπούα
ανϋπτυξε και καλλιϋργηςε ςε
τϋτοιο βαθμϐ, ώςτε τελικϊ τον
ξεπϋραςε.

27.  Δύδαξε ςτην φιλοςοφικό ςχολό του τησ
Αλεξϊνδρειασ μαθηματικϊ και φιλοςοφύα.
Διακρύθηκε ςτην Άλγεβρα ςτην Αςτρονομύα
και τη Γεωμετρύα. Εφηϑρε οριςμϋνα εργαλεύα
ϐπωσ ϋνα ϐργανο για την διϑλιςη του νεροϑ
και την πλανιςφαύρα. Δυςτυχώσ παρϐτι η ύδια
η Τπατύα υπόρξε πολυγραφϐτατη κανϋνα απϐ
τα ϋργα τησ δεν ςώζεται και ϋχουμε μϐνο
αναφορϋσ για αυτϊ. Πολλού απϐ τουσ μαθητϋσ
τησ ανόκαν ςτουσ ανώτατουσ κϑκλουσ τησ
αριςτοκρατύασ τησ πϐλησ και ϋγιναν
ςημαντικϋσ προςωπικϐτητεσ, ϐπωσ ο
επύςκοποσ Κυρόνησ ΢υνϋςιοσ και ο ϋπαρχοσ
τησ Αλεξανδρεύασ Ορϋςτησ. Η ύδια
επηρεϊςτηκε φιλοςοφικϊ απϐ τουσ
νεοπλατωνικοϑσ Πλωτύνο και Ιϊμβλιχο.
Πϋθανε βύαια , πιθανϐν ςυρϐμενη μϋςα ςτουσ
δρϐμουσ απϐ ϋνα ϐχλο που την εκτϋλεςε Με
κελϑφη απϐ ϐςτρακα. Περιγρϊφεται ο
θϊνατϐσ τησ περιςςϐτερο ςαν πολιτικό
δολοφονύα παρϊ ςαν κϊτι που ϋγινε απϐ ϋνα
εξοργιςμϋνο ϐχλο.

28. ΠΟΛΤΓΝΩΣΗ
 Η Πολϑγνωτη ϋζηςε περύπου τον 7ο-6ο
αιώνα πΦ. Ο ιςτορικϐσ Λϐβων ο
Αργεύοσ αναφϋρει την Πολυγνώτη ωσ
ςϑντροφο και μαθότρια του Θαλοϑ.
Γνώςτρια κατϊ τον Βοόθιο πολλών
γεωμετρικών θεωρημϊτων, λϋγεται
πωσ και αυτό ςυντϋλεςε ςτην
απλοϑςτευςη των αριθμητικών
ςυμβϐλων με την ειςαγωγό τησ αρχόσ
τησ ακροφωνύασ, δηλαδό με την
ειςαγωγό αλφαβητικών γραμμϊτων
που αντιςτοιχοϑςαν το καθϋνα ςε το
καθϋνα ςτο αρχικϐ γρϊμμα του
ονϐματοσ του αριθμοϑ. Έτςι το Δ
αρχικϐ του ΔΕΚΑ, παριςτϊνει τον
αριθμϐ 10. Σο Φ, αρχικϐ του ΦΙΛΙΑ
παριςτϊνει τον αριθμϐ 1000 κοκ Κατϊ
τον Βιτροϑβιο η Πολυγνώτη διετϑπωςε
και απϋδειξε πρώτη την πρϐταςη ’’ΕΝ
ΚΤΚΛΩ Η ΕΝ ΣΩ ΗΜΙΚΤΚΛΙΩ ΓΩΝΙΑ
ΟΡΘΗ Ε΢ΣΙΝ’’.

29. ΘΕΜΙ΢ΣΟΚΛΕΙΑ
 ΘΕΜΙ΢ΣΟΚΛΕΙΑ (6οσ αιώνασ π.Φ.). Ο
Διογϋνησ ο Λαϋρτιοσ λϐγιοσ-
ςυγγραφϋασ την αναφϋρει ωσ
Αριςτϐκλεια ό Θεϐκλεια. Ο Πυθαγϐρασ
πόρε τισ περιςςϐτερεσ απϐ τισ ηθικϋσ
του αρχϋσ απϐ την Δελφικό ιϋρεια
Θεμιςτϐκλεια, που ςυγχρϐνωσ τον
μϑηςε ςτισ αρχϋσ τησ αριθμοςοφύασ
και τησ γεωμετρύασ. ΢ϑμφωνα με τον
φιλϐςοφο Αριςτϐξενο (4οσπ.Φ.
αιώνασ) η Θεμιςτϐκλεια δύδαςκε
μαθηματικϊ ςε ϐςουσ απϐ τουσ
επιςκϋπτεσ των Δελφών εύχαν την
ςχετικό ϋφεςη. Ο μϑθοσ αναφϋρει ϐτι
η Θεμιςτϐκλεια εύχε διακοςμόςει τον
βωμϐ του Απϐλλωνοσ με γεωμετρικϊ
ςχόματα. Κατϊ τον Αριςτϐξενο ο
Πυθαγϐρασ θαϑμαζε τισ γνώςεισ και
την ςοφύα τησ Θεμιςτϐκλειασ γεγονϐσ
που τον ώθηςε να δϋχεται αργϐτερα
και ςτην ΢χολό του γυναύκεσ.

30. ΘΕΑΝΩ
 Η Θεανώ καταγϐταν απϐ
τουσ Θοϑριουσ τησ Κϊτω Ιταλύασ
και ϊκμαςε περύ τον 6ο αιώνα
π.Φ. Τπόρξε αρχικϊ μαθότρια και
ςτη ςυνϋχεια ςϑζυγϐσ του κατϊ 30
χρϐνια μεγαλϑτεροϑ
τησ, Πυθαγϐρα.
Δύδαξε αςτρονομύα και μαθηματι
κϊ ςτισ ΢χολό του Πυθαγϐρα
ςτον Κρϐτωνα και μετϊ το
θϊνατο του ςυζϑγου ςτη ΢ϊμο.
Επιμελόθηκε τη διϊδοςη τησ
διδαςκαλύασ και του ϋργο
του, τϐςο ςτον κυρύωσ Ελλαδικϐ
χώρο, ϐςο και ςτην Αύγυπτο, ςε
ςυνεργαςύα με τα παιδιϊ τησ που
ανϋλαβαν με τη ςειρϊ τουσ και τη
διούκηςη των Πυθαγορεύων
ςχολών.

31.  Δεϑτεροσ ςϑζυγϐσ τησ μετϊ το
θϊνατο του Πυθαγϐρα ϋγινε ο
επύςησ ςτενϐσ μαθητόσ
του Αρύςταιοσ, ο οπούοσ και
ανϋλαβε για μια περύοδο
το Ομακοεύο και την
Πυθαγϐρεια κοινϐτητα. Η
Θεανώ θεωρεύται η ψυχό τησ
θεωρύασ των αριθμών, που
ϋπαιξαν κυριαρχικϐ και καύριο
ρϐλο ςτην πυθαγϐρεια
διδαςκαλεύα. ΢την ύδια
αποδύδεται η πυθαγϐρεια
ϊποψη τησ "Φρυςόσ Σομόσ". Σησ
αποδύδονται ακϐμα διϊφορεσ
κοςμολογικϋσ θεωρύεσ.

32. ΔΑΜΩ
 Δαμώ (6οσ π.X. αιώνασ): Θυγατϋρα του
Πυθαγϐρα και τησ Θεανώσ δύδαξε τα
πυθαγϐρεια δϐγματα ςτην ΢χολό του
Κρϐτωνοσ. Μετϊ την διϊλυςη τησ ΢χολόσ, η
Δαμώ, ςτην οπούα ο Πυθαγϐρασ εύχε
εμπιςτευτεύ τα γραπτϊ του ϋργα, με την ρητό
εντολό να μην τα ανακοινώςει ςε
αμϑητουσ, κατϋφυγε ςτην Αθόνα. Για ϋνα
μεγϊλο χρονικϐ διϊςτημα τόρηςε την
παραγγελύα του πατϋρα τησ. Αργϐτερα ϐμωσ
δημοςύευςε μϐνο την γεωμετρικό
διδαςκαλύα του Πυθαγϐρα, με την βοόθεια
του Υιλολϊου και του Θυμαρύδα. Η ϋκδοςη
αυτό, που εύχε (ςϑμφωνα με τον Ιϊμβλιχο)
τον τύτλο 'Η ΠΡΟ΢ΠΤΘΑΓΟΡΟΤ Ι΢ΣΟΡΙΑ'.
Ήταν μύα γεωμετρύα ανωτϋρου επιπϋδου.
Κατϊ τον Γϋμινο, η καταςκευό του κανονικοϑ
τετραϋδρου και η καταςκευό του κϑβου
οφεύλονται ςτην Δαμώ. Η Δαμώ παντρεϑτηκε
ςτην Αθόνα κϊποιον πυθαγϐρειο και
απϋκτηςε μύα κϐρη την Βιτϊλη. Ο Διογϋνησ ο
Λαϋρτιοσ αποδύδει την θεώρηςι : "ΣΩΝ
΢ΦΗΜΑΣΩΝ ΣΟ ΚΑΛΛΙ΢ΣΟΝ ΢ΥΑΙΡΑΝ ΕΙΝΑΙ
ΣΩΝ ΢ΣΕΡΕΩΝ, ΣΩΝ Δ' ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΚΤΚΛΟΝ'

33. ΥΙΝΣΤ΢- ΜΕΛΙ΢΢Α
 ΥΙΝΣΤ΢:(6οσ π.Φ. αιώνασ).
Αναφϋρεται και ωσ
Υύλτυσ. Μαθότρια του
Πυθαγϐρα, θυγατϋρα του
Θϋοφρη απϐ τον Κρϐτωνα
και αδελφό του Βυνδϊκου.
Δύδαξε ςτην ΢χολό του
Κρϐτωνοσ. Ο Ρωμαύοσ
ςυγγραφϋασ Βοόθιοσ την
αναφϋρει ωσ εμπνεϑςτρια
τησ ιςϐτητασ που ςυνδϋει
τισ Πυθαγϐρειεσ τριϊδεσ.
 ΜΕΛΙ΢΢Α:
6οσ π.Φ. αιώνασ).
Μαθότρια του
Πυθαγϐρα. Αςχολόθηκε
με την καταςκευό
κανονικών πολυγώνων.
Ο Λϐβων ο Αργεύοσ
γρϊφει για μύα ϊγνωςτη
εργαςύα τησ: “Ο ΚΤΚΛΟ΢
ΥΤ΢ΙΝ ΣΩΝ
ΕΓΓΡΑΥΟΜΕΝΩΝ
ΠΟΛΤΓΩΝΩΝ ΑΠΑΝΣΩΝ
Ε΢ΣΙ”.

34. ΣΤΜΙΦΑ
 ΣΤΜΙΦΑ (6οσ π.Φ. αιώνασ).Η Συμύχα
γυναύκα του Κρότωνα
του Μυλλύου όταν ΢παρτιϊτιςςα,
γεννημϋνη ςτον Κρότωνα. Από πολύ
νωρύσ ϋγινε μϋλοσ τησ Πυθαγόρειασ
κοινότητοσ . Αναφϋρεται από τον
Ιϊμβλιχο ϋνα ςύγγραμμϊ τησ ςχετικϊ
με τουσ φύλουσ αριθμούσ(*6). Μετϊ
την καταςτροφό τησ ςχολόσ από
τουσ δημοκρατικούσ του Κρότωνοσ η
Συμύχα κατϋφυγε ςτισ ΢υρακούςεσ. Ο
τύραννοσ των ΢υρακουςών Διονύςιοσ
απαύτηςε από την Συμύχα να του
αποκαλύψει τα μυςτικϊ
τησ Πυθαγόρειασ διδαςκαλύασ
ϋναντι μεγϊλησ αμοιβόσ. Αυτό
αρνόθηκε κατηγορηματικϊ και
μϊλιςτα ϋκοψε με τα δόντια την
γλώςςα τησ και την ϋφτυςε ςτο
πρόςωπο του Διονυςύου. Σο γεγονόσ
αυτό αναφϋρουν ο Ιππόβοτοσ και ο
Νεϊνθησ

35. ΛΑ΢ΘΕΝΕΙΑ- ΑΞΙΟΘΕΑ
 ΛΑ΢ΘΕΝΕΙΑ (4οσ π.Φ.
αιώνασ). Η Λαςθενύα απϐ την
Αρκαδύα εύχε μελετόςει τα ϋργα
του Πλϊτωνοσ και όλθε ςτην
Ακαδημύα (του Πλϊτωνοσ) για
να ςπουδϊςει μαθηματικϊ και
φιλοςοφύα. Μετϊ τον θϊνατο
του Πλϊτωνοσ ςυνϋχιςε
τισ ςπουδϋσ τησ κοντϊ ςτον
ανεψιϐ του ΢πεϑςιππο.
Αργϐτερα ϋγινε και αυτό
φιλϐςοφοσ και ςϑντροφοσ του
΢πευςύππου. ΢ϑμφωνα με
τον Αριςτοφϊνη τον
Περιπατητικϐ ςτην Λαςθϋνεια
οφεύλεται και ο επϐμενοσ
οριςμϐσ τησ ςφαύρασ: ΢ΥΑΙΡΑ
Ε΢ΣΙΝ ΢ΦΗΜΑ ΢ΣΕΡΕΟΝ ΤΠΟ
ΜΙΑ΢ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑ΢
ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΟΝ, ΠΡΟ΢ ΗΝ, ΑΥ Ε
ΝΟ΢ ΢ΗΜΕΙΟΤΣΩΝ ΕΝΣΟ΢ ΣΟΤ
΢ΦΗΜΑΣΟ΢ ΚΕΙΜΕΝΩΝ, ΠΑ΢ΑΙ ΑΙ
ΠΡΟ΢ΠΙΠΣΟΤ΢ΑΙ ΕΤΘΕΙΑΙ Ι΢ΑΙ
ΑΛΛΗΛΑΙ΢ ΕΙ΢ΙΝ.
 ΑΞΙΟΘΕΑ (4οσ π.Φ. αιώνασ).
Μαθότρια και
αυτό, ϐπωσ και η
Λαςθϋνεια, τησ ακαδημύασ
του Πλϊτωνοσ. Ήλθε ςτην
Αθόνα απϐ την
Πελοποννηςιακό πϐλη
Υλιοϑντα. Έδειξε ιδιαύτερο
ενδιαφϋρον για τα
μαθηματικϊ και την
φυςικό φιλοςοφύα.
Αργϐτερα δύδαξε
τισ επιςτόμεσ αυτϋσ ςτην
Κϐρινθο και την Αθόνα..

36. ΠΤΘΑΪ΢-ΠΑΝΔΡΩ΢ΙΩΝ
 ΠΤΘΑΪ΢ (2οσ π.Χ. αιώνασ).
Γεωμέτρησ, κόρη του μαθηματικού
Ζηνοδώρου. Αςχολήθηκε, μαζί με
τον πατέρα τησ, με εμβαδά
επιπέδων χωρίων. Σην αναφέρει ο
Ευτόκιοσ. Ο Θέων ο
Αλεξανδρεύσ (4οσ μ.Χ. αιώνασ) ςτα
ςχόλιά του ςτην ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ
΢ΤΝΣΑΞΙ του Πτολεμαίου γράφει:
“ΠΟΙΗ΢ΟΜΕΘΑ ΔΗ ΣΗΝ ΣΟΤΣΩΝ
ΑΠΟΔΕΙΞΙΝ ΕΝ ΕΠΙΣΟΜΗ ΕΚ ΣΩΝ
ΖΗΝΟΔΩΡΟΤ ΚΑΙ ΠΤΘΑΪΔΟ΢
ΔΕΔΕΙΓΜΕΝΩΝ ΕΝ ΣΩ ΠΕΡΙ
Ι΢ΟΠΕΡΙΜΕΣΡΩΝ ΢ΧΗΜΑΣΩΝ”
 ΠΑΝΔΡΟ΢ΙΩΝ (4οσ μ.Χ.
αιώνασ). ΢υναντάται κει
ωσ Πάνδροςοσ. Αλεξανδρινή
γεωμέτρησ, μάλλον μαθήτρια του
Πάππου, ο οποίοσ τησ αφιερώνει
και το γ βιβλίο τησ ΢ΤΝΑΓΩΓΗ΢. Η
Πανδροςίων χωρίζει τα
γεωμετρικά προβλήματα ςε τρεισ
κατηγορίεσ :ΣΡΙΑ ΓΕΝΗ ΕΙΝΑΙ ΣΩΝ
ΕΝ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΩΝ
ΚΑΙ ΣΑ ΜΕΝ ΑΤΣΩΝ ΕΠΙΠΕΔΑ
ΚΑΛΕΙ΢ΘΑΙ, ΣΑ ΔΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ.

37. ΢ΤΓΡΟΝΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟΙ

38. ΛΕΩΝ Ο ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ΢
(797-872κ.Υ)
 Λϋων ο Μαθηματικϐσ: ο
μεγαλϑτεροσ επιςτόμονασ του
Βυζαντύου . Mεγϊλοσ Βυζαντινϐσ
λϐγιοσ και «πρϑτανησ» του
διδακτηρύου τησ
Κωνςταντινουπϐλεωσ
Λϋων, όταν γνωςτϐσ ςτην εποχό
του ωσ Λϋων ο φιλϐςοφοσ ό
μαθηματικϐσ. Γεννόθηκε κϊπου
ςτη Θεςςαλύα, γϑρω ςτο 790
μ.Φ. Ση ςτοιχειώδη εκπαύδευςη
την ϋλαβε ςτην Άνδρο, ϐπου και
πϋραςε τα παιδικϊ του χρϐνια.
Κατϐπιν, ςποϑδαςε γραμματικό
ςτην Κωνςταντινοϑπολη, καθώσ
και φιλοςοφύα.

39. Γηόραλ Καξι Φξίληξηρ Γθάνπο
(1777–1855κ.Υ)
Ο Johann Carl Friedrich Gauss, όταν
Γερμανϐσ μαθηματικϐσ που ςυνειςϋφερε ςε
πολλϊ ερευνητικϊ πεδύα τησ επιςτόμησ του,
ϐπωσ η θεωρύα αριθμών, η ςτατιςτικό,
η μαθηματικό ανϊλυςη, η διαφορικό και η
γεωμετρύα. Αποκαλϋςτηκε ωσ «ο πρύγκηψ
των μαθηματικών» και ο «μεγαλϑτεροσ
μαθηματικϐσ μετϊ τον Αρχιμόδη και τον
Ευκλεύδη». Ο Γκϊουσ υπόρξε ύςωσ ο
ςημαντικϐτεροσ Γερμανϐσ μαθηματικϐσ
ϐλων των εποχών και ϋνασ απϐ τουσ δϑο ό
τρεισ ςπουδαιϐτερουσ των νεϐτερων
χρϐνων.
Ο Γκϊουσ όταν αυτϐ που αποκαλεύται παιδύ
θαϑμα. ΢ε ηλικύα 21 ετών εύχε ολοκληρώςει
το κϑριο ϋργο του ςτα καθαρϊ μαθηματικϊ,
το Disquisitiones Arithmeticae
( «Αριθμητικϋσ Έρευνεσ» ). Αυτϐ το ϋργο
διαδραμϊτιςε θεμελιώδη ρϐλο ςτην
εδραύωςη τησ θεωρύασ αριθμών ωσ
αυτοδϑναμου κλϊδου των μαθηματικών και
τη ςημϊδεψε μϋχρι τισ μϋρεσ μασ.

40. Ο Γκϊουσ γεννόθηκε
ςτο Μπρϊουνςβαώγκ , ςτο
τϐτε δουκϊτο και ςόμερα μϋροσ
τησ Κϊτω ΢αξονύασ, ςτη Γερμανύα.
Οι γονεύσ του όταν φτωχού
εργϊτεσ και δεν εύχαν ϊλλα παιδιϊ.
Οι ιςτορύεσ για την πρώιμη
ιδιοφυϏα του ωσ μικρϐ παιδύ εύναι
ϐλεσ αναπϐδεικτεσ. ΢ϑμφωνα με
μύα, το ταλϋντο του
πρωτοεμφανύςθηκε ςε ηλικύα
τριών ετών, ϐταν διϐρθωςε χωρύσ
χαρτύ και μολϑβι ϋνα λϊθοσ που
εύχε κϊνει ο πατϋρασ του ςτο χαρτύ
ενώ ϋκανε υπολογιςμοϑσ για τα
οικονομικϊ τησ οικογϋνειασ.

41. Ση χρονιϊ (1796) ο Γκϊουσ ϋκανε πολλϋσ
ςυνειςφορϋσ ςτη θεωρύα
αριθμών, ϐπωσ το θεώρημα των
πρώτων αριθμών, που ϋθεςε
ωσ εικαςύα ςτισ 31 ΜαϏου και
προςφϋρει μια καλό κατανϐηςη του
πώσ κατανϋμονται οι πρώτοι αριθμού
ανϊμεςα ςτουσ ακϋραιουσ. Ο Γκϊουσ
ανακϊλυψε επύςησ ϐτι κϊθε φυςικϐσ
αριθμϐσ μπορεύ να εκφραςθεύ ωσ το
ϊθροιςμα ενϐσ, δϑο ό
τριών τριγωνικών αριθμών και τϐτε
ϋγραψε ςτο ημερολϐγιϐ του την
περύφημη απϐ τον Αρχιμόδη λϋξη
«εϑρηκα!» .Σην 1η
Οκτωβρύου δημοςύευςε ϋνα
αποτϋλεςμα για τον αριθμϐ των
λϑςεων πολυωνϑμων με ςυντελεςτϋσ
ςε πεπεραςμϋνα πεδύα (αυτϐ οδόγηςε
τελικώσ ςτισ Εικαςύεσ του Weil 150
χρϐνια μετϊ).

42. Σο 1818 ο Γκϊουσ, βρύςκοντασ μια
πρακτικό χρόςη των
υπολογιςτικών του ικανοτότων,
ϋκανε μια γεωδαιτικό
επιςκϐπηςη του κρατιδύου
του Ανϐβερου, ενώνοντϊσ το με
προηγηθεύςεσ
δανϋζικεσ επιςκοπόςεισ. Για αυτό
την εργαςύα ο Γκϊουσ εφηϑρε το
ϐργανο ηλιοτρϐπιο, μια διϊταξη
που με ϋνα κϊτοπτρο ανακλϊ το
ηλιακϐ φωσ ςε μεγϊλεσ
αποςτϊςεισ για την ακριβό
μϋτρηςη θϋςεων.
ΗΛΙΟΤΡΟΠΙΟ

43. ΑΝΘΡΩΠΟ΢
ΤΠΟΛΟΓΙ΢ΣΗ΢
Ο Γκϊουσ όταν ϋνασ θαυμαςτϐσ ανθρώπινοσ υπολογιςτόσ.
Αναφϋρεται ϐτι, ϐταν ρωτόθηκε πώσ μπϐρεςε να προβλϋψει την
τροχιϊ τησ Δόμητρασ με τϋτοια ακρύβεια, απϊντηςε «με
λογαρύθμουσ». Ο ερωτών τϐτε ζότηςε να μϊθει πώσ μπϐρεςε να
κοιτϊξει τϐςουσ πολλοϑσ αριθμοϑσ απϐ τουσ λογαριθμικοϑσ
πύνακεσ τϐςο γρόγορα. «Να τουσ κοιτϊξω;» αποκρύθηκε ο Γκϊουσ.
«Ποιοσ χρειϊζεται να τουσ δει; Απλώσ τουσ υπολϐγιςα απϐ μνόμησ!»

44. Ο Γκϊουσ επύςησ ιςχυρύςθηκε ϐτι εύχε ανακαλϑψει τη
δυνατϐτητα για μη ευκλεύδειεσ γεωμετρύεσ, αλλϊ δεν τη
δημοςύευςε ποτϋ. Αυτό η ανακϊλυψη όταν ϋνασ ςταθμϐσ
ςτα μαθηματικϊ, καθώσ απελευθϋρωςε τουσ
μαθηματικοϑσ απϐ τη λανθαςμϋνη πεπούθηςη ϐτι τα
αξιώματα του Ευκλεύδη όταν ο μϐνοσ τρϐποσ για να εύναι
η γεωμετρύα αυτοςυνεπόσ. Η ϋρευνα ςτισ μη ευκλεύδειεσ
γεωμετρύεσ απετϋλεςε, μεταξϑ ϊλλων, το υπϐβαθρο για
τη γενικό θεωρύα τησ ςχετικϐτητασ του Αώνςτϊιν, που
περιγρϊφει τον χώρο του ΢ϑμπαντοσ ωσ μη ευκλεύδειο. Ο
φύλοσ του Υϊρκασ Μπολυαύ, με τον οπούο ο Γκϊουσ εύχε
ορκιςθεύ «αδελφοςϑνη και ειλικρύνεια» ωσ φοιτητόσ, εύχε
προςπαθόςει μϊταια επύ πολλϊ ϋτη να αποδεύξει το
αξύωμα των παρϊλληλων ευθειών απϐ τα υπϐλοιπα
γεωμετρικϊ αξιώματα του Ευκλεύδη. Ο γιοσ του
Υϊρκασ, ο Γιϊνοσ Μπολυαύ, κατϋληξε ςτη μη ευκλεύδεια
γεωμετρύα το 1829, ενώ η εργαςύα του δημοςιεϑθηκε το
1832. Αφοϑ τη διϊβαςε, ο Γκϊουσ ϋγραψε ςτον Υϊρκασ
Μπολυαύ: «Σο να την εξυμνόςω θα όταν ιςοδϑναμο με το
να εξυμνόςω τον εαυτϐ μου. Γιατύ ολϐκληρο το
περιεχϐμενϐ τησ ... ςυμπύπτει ςχεδϐν ακριβώσ με τισ δικϋσ
μου ςκϋψεισ, που απαςχολοϑν το μυαλϐ μου τα τελευταύα
30 ό 35 χρϐνια.»

45. 
ΝΙΚΟΛΑΟ΢ ΝΙΚΟΛΑΪΔΗ΢
(1826-1889μ.Φ)
΢τον 19ο αιώνα, απϐ κϊποια
ςτιγμό και πϋρα, η ΢χολό των
Ευελπύδων, (΢΢Ε), ςε απομύμηςη
τησ Ecole Polytechnique των
Παριςύων, εύναι περιςςϐτερο
Μαθηματικϐ Σμόμα παρϊ
΢τρατιωτικό ΢χολό. Βγϊζει
ϊλλωςτε, ϐπωσ και η παριςινό
ςχολό μϐνον αξιωματικοϑσ του
Μηχανικοϑ και του Πυροβολικοϑ.
Απϐ αυτϐ το κλύμα θα
αναπηδόςει ο χρονολογικϊ
πρώτοσ μεγϊλοσ Έλληνασ
ερευνητό μαθηματικϐσ, o
Νικϐλαοσ ΝικολαϏδησ απϐ την
Σρύπολη.

46. Σο Ελληνικϐ Κρϊτοσ θα τον ςτεύλει ςτο Παρύςι
ϐπου, ςε ςϑντομο διϊςτημα, θα αποκτόςει το
Doctorat d’ Etat ès Sciences Mathématiques, με
ϊριςτα (ο δυςκολϐτεροσ διδακτορικϐσ τύτλοσ, ςτα
Μαθηματικϊ, ςτον δυτικϐ κϐςμο). Η ϋρευνϊ του
αυτό εύναι ςτην Κινηματικό. Θα αναπτϑξει, τϐςο
ςτο Παρύςι ϐςο και αργϐτερα ςτην Ελλϊδα,
πυρετώδη ερευνητικό δραςτηριϐτητα
(Μηχανικό, Διαφορικό Γεωμετρύα, Ανϊλυςη
ακϐμα και λύγη Θεωρύα Αριθμών)….

47. Σο 1889 ο ΝικολαϏδησ θα
πϊθει νευραςθϋνεια και
θα φϑγει πρϐωρα απϐ το
Πανεπιςτόμιο. ΢ϑμφωνα
με κϊποιον θρϑλο, ςτα
διαλεύμματα τησ
αρρώςτιασ του
προςπαθοϑςε να διδϊξει
μαθηματικϊ ςτουσ
ψαρϊδεσ…

48. 
ΙΩΑΝΝΗ΢ ΦΑΣΖΙΔΑΚΗ΢
(1844-1921)
Ο Ιωϊννησ Φατζιδϊκησ υπόρξε Έλληνασ
φυςικομαθηματικϐσ καθηγητόσ Πανεπιςτημύου του
19ου αιώνα. Γεννόθηκε ςτην Κρότη το 1844. Πόγε
γυμνϊςιο ςτην ΢ϑρο και ςποϑδαςε μαθηματικϊ ςτο
Εθνικϐ Πανεπιςτόμιο. Αποφούτηςε με διδακτορικϐ
δύπλωμα Μαθηματικών και πόγε με υποτροφύα του
Πανεπιςτημύου ςτο Παρύςι και Βερολύνο για να
εμβαθϑνει τισ ςπουδϋσ του.

49. Επϋςτρεψε και διορύςτηκε καθηγητόσ ςτο Πανεπιςτόμιο,
ςτην ΢χολό Ευελπύδων και ςτην ΢χολό Ναυτικών
Δοκύμων.
Εξϋδωςε πολυϊριθμο επιςτημονικϐ και διδακτικϐ ϋργο.
Μεταξϑ των ϊλλων:
Ειςαγωγό εισ την ανωτϋρα ϊλγεβρα
Επύπεδοσ αναλυτικό γεωμετρύα
Διαφορικϐσ λογιςμϐσ
Θεωρητικό Μηχανικό
΢τοιχειώδησ Γεωμετρύα
΢τοιχειώδησ Αριθμητικό
Θεωρητικό Αριθμητικό
Ολοκληρωτικϐσ Λογιςμϐσ
Θεωρητικό Μηχανικό

50. 
ΚΤΠΑΡΙ΢΢Ο΢ ΢ΣΕΦΑΝΟ΢ (1857-
1917)
Ο Κππάξηζζνο ΢ηέθαλνο
επέζηξεςε ζηελ Διιάδα θαη
δηνξίζηεθε θαζεγεηήο ζην
Δζληθό Παλεπηζηήκην. Γηεηέιεζε
επίζεο θαζεγεηήο ηνπ
Πνιπηερλείνπ, θαη ησλ ΢ρνιώλ
Δπειπίδσλ θαη Ναπηηθώλ
Γνθίκσλ.
Ήηαλ ηδξπηήο ηεο Γεσξγηθήο
Δηαηξείαο θαη ησλ Γεκνζίσλ
Δκπνξηθώλ ΢ρνιώλ, ζπληδξπηήο
ηεο Φηινδαζηθήο Δηαηξείαο θαη
ηεο Διιεληθήο Βηνηερληθήο
Δηαηξείαο, θαη δηνξγαλσηήο θαη
πξόεδξνο ηνπ Γηδαζθαιηθνύ
΢πιιόγνπ.

51. Σζουζϋπε Πεϊνο (1858 –1932μ.Φ)
Ο Σζουζϋπε Πεϊνο γεννόθηκε ςτο Κοϑνεο
τησ Ιταλύασ μαθηματικϐσ, του οπούου η
εργαςύα εύχε επιφανό φιλοςοφικό αξύα.
΢υγγραφϋασ περιςςϐτερων απϐ
διακοςύων βιβλύων και ϊρθρων, όταν απϐ
τουσ ιδρυτϋσ τησ Μαθηματικόσ
Λογικόσ και τησ θεωρύασ ΢υνϐλων, ενώ η
καθιερωμϋνη αξιωματικό θεμελύωςη
των φυςικών αριθμών πόρε το ϐνομϊ του
προσ τιμό του. Επύςησ, οι καμπϑλεσ που
πληρώνουν το χώρο αναφϋρονται πολλϋσ
φορϋσ ωσ καμπϑλεσ Πεϊνο, μιασ και αυτϐσ
όταν ο πρώτοσ που τισ περιϋγραψε.
Αφιϋρωςε το μεγαλϑτερο μϋροσ τησ
ςταδιοδρομύασ του ςτη διδαςκαλύα των
Μαθηματικών ςτο πανεπιςτόμιο του
Σορύνο.

52. Καμπύλεσ Πεϊνο

53. Ντϊβιντ Φύλμπερτ
(1862 - 1943μ.Φ)
Ο Ντϊβιντ
Φύλμπερτ όταν Γερμανϐσ μαθη
ματικϐσ, που απϐ
αρκετοϑσ θεωρεύται ο πιο
ςημαντικϐσ του 19ου και
20ου αιώνα. Η πιο γνωςτό
εργαςύα του περιλαμβϊνει τα
Αξιώματα Φύλμπερτ για τη
γεωμετρύα καθώσ και την
περιγραφό των χώρων
Φύλμπερτ με εφαρμογϋσ
ςτην Κβαντομηχανικό και
τη Θεωρύα τησ ΢χετικϐτητασ.

54. ΚΩΝ΢ΣΑΝΣΙΝΟ΢ ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ΢
(1873-1950μ.Φ)
Κορυφαύοσ ςϑγχρονοσ Έλληνασ
μαθηματικϐσ που διακρύθηκε ςε
παγκϐςμιο επύπεδο. Ο Καραθεοδωρόσ
όταν γνωςτϐσ εκτϐσ Ελλϊδασ ωσ
Constantin Carathéodory . Σο
επιςτημονικϐ ϋργο του
Κωνςταντύνου Καραθεοδωρό
επεκτεύνεται ςε πολλοϑσ τομεύσ των
Μαθηματικών. Εύχε ςημαντικϐτατη
ςυνειςφορϊ ιδιαύτερα ςτουσ τομεύσ
τησ πραγματικόσ ανϊλυςησ,
ςυναρτηςιακόσ ανϊλυςησ και
θεωρύασ μϋτρου και ολοκλόρωςησ.

55. Σο Νοϋμβριο του 1926, ϋγινε μϋλοσ ςτη νεοώδρυθεύςα
Ακαδημύα Αθηνών για την τϊξη των Θετικών Επιςτημών.
Σο 1928, ανταποκρινϐμενοσ ςε πρϐςκληςη απϐ το
Πανεπιςτόμιο Φϊρβαρντ και την Αμερικανικό
Μαθηματικό Εταιρεύα, επιςκϋφθηκε τισ ΗΠΑ για ϋναν
ςχεδϐν χρϐνο, για να δώςει διαλϋξεισ ςε διϊφορα
αμερικανικϊ πανεπιςτόμια, ανϊμεςϊ ςτα οπούα το
Πανεπιςτόμιο Πρύνςτον, το Πανεπιςτόμιο τησ
Πενςυλβϊνια, το Πανεπιςτόμιο του Σϋξασ ςτο Ώςτιν και
ϊλλα.

56. Αρχικϊ αςχολόθηκε με τον Λογιςμϐ
των Μεταβολών και η
διδακτορικό διατριβό του
(Γκϋτινγκεν, 1904) φϋρει τον
τύτλο «Περύ των αςυνεχών
λϑςεων ςτον Λογιςμϐ των
Μεταβολών». ΢την
ςυνϋχεια, καταπιϊςτηκε με ϐλουσ
ςχεδϐν του κλϊδουσ των
Μαθηματικών: θεωρύα
πραγματικών
ςυναρτόςεων, θεωρύα
διαφορικών εξιςώςεων, θεωρύα
ςυνϐλων και διαφορικό
γεωμετρύα, ςϑμμορφεσ
απεικονύςεισ κ.ϊ.
Οι μαθηματικϋσ του αποδεύξεισ
χαρακτηρύζονται απϐ «κομψϐτητα
και απλϐτητα», αλλϊ και
αυςτηρϐτητα που δύνει απϐλυτη
αςφϊλεια ςτα ςυμπερϊςματα που
προκϑπτουν.

57. Με την ςυμβολό του ςτον Λογιςμϐ
των Μεταβολών βοόθηςε ςτην
ανϊπτυξη τησ Γενικόσ Θεωρύασ τησ
΢χετικϐτητασ προκαλώντασ τον
θαυμαςμϐ του ύδιου του Αώνςτϊιν:
«Αν θϋλετε να μπεύτε ςτον κϐπο να
μου εξηγόςετε ακϐμα και τουσ
κανονικοϑσ μεταςχηματιςμοϑσ θα
βρεύτε ϋναν ευγνώμονα και
ευςυνεύδητο ακροατό. Αν ϐμωσ λϑςετε
και το πρϐβλημα των κλειςτών
γραμμών του χρϐνου, θα ςταθώ
μπροςτϊ ςασ με ςταυρωμϋνα χϋρια.
Πύςω απϐ αυτϐ υπϊρχει κρυμμϋνο κϊτι
που εύναι αντϊξιο του ιδρώτα των
καλυτϋρων.» — Επιςτολό του Αώνςτϊιν
προσ τον Καραθεοδωρό, 1916

58. 
ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ΢ ΖΕΡΒΟ΢
(1878-1952μ.Φ)
Ο Π. Ζερβϐσ, απϐ τουσ μεγαλϑτερουσ
μαθηματικοϑσ των αρχών του 20ου
αιώνα ςτην
Ελλϊδα, γεννόθηκε ςτα Ζερβϊτα τησ
Κεφαλονιϊσ το 1878 και πϋθανε ςτην
Αθόνα
το 1952. Τπόρξε τακτικϐσ καθηγητόσ
του
Πανεπιςτημύου Αθηνών και
ακαδημαώκϐσ.
΢ποϑδαςε ςτο Πανεπιςτόμιο Αθηνών
και
εργϊςθηκε ςαν δϊςκαλοσ ςτο
Ληξοϑρι, ςτον
Πειραιϊ και ςτην Αθόνα.

59. ΢υνϋχιςε τισ ςπουδϋσ του ςτο
Παρύςι (1903-
1905), ςυγκεκριμϋνα ςτην
΢ορβϐννη και ςτο College
de France, ϐπου παρακολοϑθηςε
μαθόματα διαςόμων
μαθηματικών τησ εποχόσ του.
Σο 1906 εκλϋγεται υφηγητόσ
των μαθηματικών ςτην Αθόνα
και το 1917 τακτικϐσ
καθηγητόσ, μϋχρι το 1949.
Αςχολόθηκε με τη διοργϊνωςη
διαβαλκανικών μαθηματικών
ςυνεδρύων, και όταν πρϐεδροσ
του πρώτου ςυνεδρύου που
ϋγινε ςτην Αθόνα το 1933, ενώ
ςτη διϊρκεια
τησ ςταδιοδρομύασ του
αντιπροςώπευςε την Ελλϊδα ςε
πολλϊ αντύςτοιχα διεθνό
ςυνϋδρια.

60. Αςχολόθηκε επύςησ με θϋματα τησ φιλοςοφύασ των
επιςτημών και υπόρξε ο ιδρυτόσ και πρϐεδροσ τησ
Ελληνικόσ Υιλοςοφικόσ Εταιρεύασ. Σο 1936
ειςϋρχεται ςτην Ακαδημύα Αθηνών ωσ πρϐςεδρο
μϋλοσ, το 1946 ωσ τακτικϐ, ςτην ϋδρα των
μαθηματικών επιςτημών.

61. 
ΓΙΩΡΓΟ΢ ΡΕΜΟΤΝΔΟ΢
(1878-1928μ.Φ)
Ο Γεώργιοσ Ρεμοϑνδοσ όταν
Έλληνασ μαθηματικϐσ και
μϋλοσ τησ Ακαδημύασ
Αθηνών.
Γεννόθηκε ςτην Αθόνα και
παρακολοϑθηςε μαθόματα
ςτη Βαρβϊκειο
ςχολό, απ'ϐπου και
αποφούτηςε. ΢ποϑδαςε
μαθηματικϊ ςτο
πανεπιςτόμιο Αθηνών και
ςυνϋχιςε τισ ςπουδϋσ του
ςτο Παρύςι με υποτροφύα
του ελληνικοϑ κρϊτουσ.

62. Υούτηςε ςτην Ecole Normal Superieure καθώσ
και ςτην Faculte des sciences. Αναγορεϑθηκε
διδϊκτορασ και ςυμμετεύχε ενεργϊ ςτισ
δραςτηριϐτητεσ τησ Γαλλικόσ Ακαδημύασ
Επιςτημών. Επϋςτρεψε ςτην
Ελλϊδα, διορύςτηκε ςτη Βαρβϊκειο και το 1904
αναγορεϑτηκε υφηγητόσ τησ ανώτερησ
μαθηματικόσ ανϊλυςησ και το 1912 τακτικϐσ
καθηγητόσ τησ ύδιασ ϋδρασ ςτο πανεπιςτόμιο
Αθηνών. Αργϐτερα ϋγινε καθηγητόσ του Ε.Μ.Π.
και τησ ανώτατησ ςχολόσ οικονομικών και
εμπορικών επιςτημών.

63. Σο 1926 διορύςτηκε με την ςυντακτικό πρϊξη
ύδρυςησ τησ Ακαδημύασ Αθηνών μϋλοσ αυτόσ.
Διετϋλεςε επύςησ πρϐεδροσ τησ Εθνικόσ
Επιτροπεύασ Πνευματικόσ ΢υνεργαςύασ για την
Κοινωνύα των Εθνών καθώσ και κοςμότορασ τησ
΢χολόσ Θετικών Επιςτημών του πανεπιςτημύου
Αθηνών (1916-1917,1922-1923). Δημοςύευςε πϊνω
απϐ 100 επιςτημονικϋσ εργαςύεσ και όταν αυτϐσ
που θεμελύωςε τη θεωρύα των αλγεβροειδών
ςυναρτόςεων και διατϑπωςε πρώτοσ το θεώρημα
περύ τησ πυκνϐτητασ των μηδενύζουςων τιμών.
Πολλϋσ απϐ τισ εργαςύεσ του τιμόθηκαν διεθνώσ.
Απεβύωςε το 1928 επύ του πλούου και ενώ
επϋςτρεφε ςτην Ελλϊδα απϐ την Γαλλύα που
βριςκϐταν για την ςυνεδρύαςη τησ Κοινωνύασ των
Εθνών.

64. 
ΚΩΝ΢ΣΑΝΣΙΝΟ΢ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΤ
(1899-)
Ο Κωνςταντύνοσ
Παπαώωϊννου υπόρξε
Έλληνασ φυςικομαθηματικϐσ
καθηγητόσ Πανεπιςτημύου
του 19ου αιώνα. Γεννόθηκε
ςτην Αθόνα το 1899. ΢χολεύο
πόγε ςτο Πρακτικϐ Λϑκειο και
εν ςυνεχεύα ςποϑδαςε ςτο
Πολυτεχνεύο Αθηνών.
Αποφούτηςε το 1919 με
δύπλωμα τησ Ανωτϊτησ
΢χολόσ των μηχανολϐγων -
ηλεκτρολϐγων.

65. ΢υνϋχιςε τισ ςπουδϋσ
του ςτο πανεπιςτόμιο
και πόρε δύπλωμα
Μαθηματικών και
αναγορεϑτηκε διδϊκτωρ
των Ανώτερων
Μαθηματικών.
Διορύςτηκε καθηγητόσ
του Πανεπιςτημύου και
ϋγινε μϋλοσ τησ
Ακαδημύασ Αθηνών.

66. ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΚΑΗ ΣΔΥΝΖ

67. 
 Σα Μαζεκαηηθά ζπρλά νξίδνληαη σο ε κειέηε ησλ πνζνηήησλ, ησλ δνκώλ,
ησλ κεηαβνιώλ θαη ηνπ ρώξνπ. Καηά ηε ζύγρξνλε επίζεκε άπνςε ηα
καζεκαηηθά είλαη ε έξεπλα ησλ αμησκαηηθά ζεκειησκέλσλ αθεξεκέλσλ
δνκώλ ρξεζηκνπνηώληαο ηε ινγηθή θαη ηε καζεκαηηθή ζεκεηνινγία.
 Οη καζεκαηηθνί εξεπλνύλ απηέο ηηο δνκέο θαη πξνζπαζνύλ λα
ζρεκαηίδνπλ ππνζέζεηο θαη λα εμαθξηβώλνπλ ηελ αιήζεηα ηνπο κέζσ
απζηεξώλ θαλόλσλ ζπλεπαγσγήο θαη έρνληαο σο βάζε νξηζκέλα αμηώκαηα
θαη νξηζκνύο. Οη δνκέο πνπ εξεπλώληαη ζπρλά έιθνπλ ηελ πξνέιεπζή ηνπο
από ηηο θπζηθέο επηζηήκεο, ζπλεζέζηεξα από ηελ θπζηθή, αιιά νη
καζεκαηηθνί επίζεο νξίδνπλ θαη εξεπλνύλ δνκέο γηα ιόγνπο θαζαξά
εζσηεξηθνύο ζηα καζεκαηηθά, επεηδή νη δνκέο απηέο κπνξνύλ λα
παξέρνπλ, παξαδείγκαηνο ράξηλ, κηα ελνπνηεηηθή γελίθεπζε γηα δηάθνξα
ππνπεδία, ή έλα ρξήζηκν εξγαιείν γηα ηνλ ινγηζκό. Σειηθά, πνιινί
καζεκαηηθνί κειεηνύλ ηνπο ηνκείο πνπ κειεηνύλ γηα θαζαξά αηζζεηηθνύο
ιόγνπο, αληηκεησπίδνληαο ηα καζεκαηηθά σο κηα κνξθή ηέρλεο
πεξηζζόηεξν παξά σο κηα πξαθηηθή ή εθαξκνζκέλε επηζηήκε.
Μαζεκαηηθά είλαη ...

69. Ο θαλόλαο ιέεη όηη: ab/ac=ac/cb= 1,618. Γειαδή εάλ
έρεηο έλα ηεηξάγσλν 1×1 ην θαιύηεξν παξαιιειόγξακκν
πνπ κπνξείο λα βγάιεηο από απηό θαη έηζη λα έρεηο ην
ζπλαίζζεκα ηεο ρξπζήο ηνκήο ζα είλαη ην 1x (1×1.618) =
1×1.618.

70. 
 Με βάζε απηό νη Καιέο Σέρλεο δηαθξίλνληαη ζε δύν
θαηεγνξίεο: ΢ηηο ηέρλεο ηνπ Υώξνπ (Εσγξαθηθή,
Γιππηηθή, Αξρηηεθηνληθή) θαη ζηηο ηέρλεο ηνπ Υξόλνπ
(Μνπζηθή, Οξρεζηηθή – Υνξόο, Πνίεζε). Οη
ραξαθηεξηζηηθόηεξεο ζηηο θαηεγνξίεο ηνπο είλαη νη πξώηεο
αλαθεξόκελεο, δσγξαθηθή ηνπ Υώξνπ, κνπζηθή ηνπ
Υξόλνπ.Έλα δσγξαθηθό έξγν δελ είλαη παξά κία ζηαηηθή
(έιιεηςε θίλεζεο, άξα ακεηάβιεηνο ρξόλνο) απεηθόληζε
ελόο ζέκαηνο. Απελαληίαο έλα κνπζηθό θνκκάηη απαηηεί
νπσζδήπνηε ηνλ ρξόλν γηα λα ππάξμεη, αθνύ αλαγθαζηηθά
εμειίζζεηαη κέζα ζ’απηόλ.
ΦΗΛΜΗΚΟ΢
ΥΧΡΟΥΡΟΝΟ΢

71. 
Ση ζεσξείηαη ν
θηλεκαηνγξάθνο
 Ο θηλεκαηνγξάθνο ηώξα,
ζεσξείηαη όηη αλήθεη
εμ’ίζνπ θαη ζηηο δύν
θαηεγνξίεο. Έρεη δειαδή
ζηελ θαηνρή ηνπ θαη ηνλ
Υώξν θαη ηνλ Υξόλν θαη
κπνξεί λα αλαπηύζζεηαη
ειεύζεξα κέζα θαη ζηα δύν
ζπγρξόλσο. Απηό είλαη έλα
από ηα ζεκεία ηεο
αληηθεηκεληθήο ηνπ
ππεξνρήο απέλαληη ζηηο
άιιεο ηέρλεο.

72. 
Οη έλλνηεο ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ…
 Αο δνύκε ιίγν ηηο έλλνηεο ηνπ
Υώξνπ θα ηνπ Υξόλνπ από
καζεκαηηθή άπνςε. Λέκε γηα
παξάδεηγκα όηη έλα γεγνλόο
δηαδξακαηίζηεθε ζε κηα πιαηεία
γηα 5 ώξεο. Σόζν ν ρώξνο όζν θαη
ν ρξόλνο ζηνλ νπνίν
δηαδξακαηίζηεθε ην
ζπγθεθξηκέλν γεγνλόο, έρνπλ
θαζνξηζηεί απόιπηα κε
καζεκαηηθή αθξίβεηα. ΢ηα
καζεκαηηθά νη έλλνηεο ηνπ Υώξνπ
θαη ηνπ Υξόλνπ έρνπλ έλαλ ζαθή
– ζε γεληθέο γξακκέο –
θαζνξηζκό, ν νπνίνο είλαη
δπλαηόλ λα πξνζδηνξηζηεί:
κεηξνύκε ηνλ ρξόλν κε ην ξνιόη
θαη ην ρώξν κε ην κέηξν.

73. 
 ΢πρλά όκσο ηα αληηθεηκεληθά
κεγέζε ππνρσξνύλ κπξνζηά ζηελ
ππνθεηκεληθή αληίιεηςε,
 ε νπνία εμαξηάηαη ζπρλά από ηελ
ςπρνινγηθή δηάζεζε θάζε
αηόκνπ. Πξόθεηηαη γηα ηνλ
βησκέλν ρξόλν θαη ρώξν, πνπ δελ
πξνζδηνξίδεηαη κεηξηθά. Ζ
ςπρνινγηθή δηάζεζε ηεο ζηηγκήο,
πνιύ ζπρλά θάλεη λα δίλνπκε κία
θαηλνύξηα ζεκαζία ζηελ έλλνηα
ηνπ Υξόλνπ. Καηαζηάζεηο θαη
γεγνλόηα πνπ καο επραξηζηνύλ
«πεξλνύλ πην γξήγνξα από ην
θαλνληθό», ελώ αληηζέησο,
θαηαζηάζεηο θαη γεγνλόηα πνπ
καο δπζαξεζηνύλ, λνηώζνπκε όηη
δηαξθνύλ πνιύ.

74.  Έλα δσγξαθηθό έξγν δελ είλαη παξά κία ζηαηηθή (έιιεηςε
θίλεζεο, άξα ακεηάβιεηνο ρξόλνο) απεηθόληζε ελόο ζέκαηνο.
Απελαληίαο έλα κνπζηθό θνκκάηη απαηηεί νπσζδήπνηε ηνλ
ρξόλν γηα λα ππάξμεη, αθνύ αλαγθαζηηθά εμειίζζεηαη κέζα
ζ’απηόλ.
 Ο θηλεκαηνγξάθνο ηώξα, ζεσξείηαη όηη αλήθεη εμ’ίζνπ θαη
ζηηο δύν θαηεγνξίεο. Έρεη δειαδή ζηελ θαηνρή ηνπ θαη ηνλ
Υώξν θαη ηνλ Υξόλν θαη κπνξεί λα αλαπηύζζεηαη ειεύζεξα
κέζα θαη ζηα δύν ζπγρξόλσο.

75. Μαθηματικά και
μουσική

76. 
Σα καζεκαηηθά θαη ε
κνπζηθή είλαη δπν
επηζηήκεο πνπ έρνπλ
πνιύ κεγάιε ζρέζε
κεηαμύ ηνπο. Από ηελ
αξραηόηεηα αθόκε νη
δύν ηέρλεο
αιιειεπηδξνύλ κεηαμύ
ηνπο θαη ε
αιιειεπίδξαζε απηή
θηάλεη σο ηηο κέξεο
καο…

77.  Η ηδέα ηεο ζύλδεζεο ησλ καζεκαηηθώλ θαη ηεο
κνπζηθήο γελλήζεθε πξηλ από 26 νιόθιεξνπο
αηώλεο ζηελ αξραία Διιάδα από ηνλ
Ππζαγόξα, καζεκαηηθό θαη ηδξπηή ηεο
ππζαγόξεηαο ζρνιήο ζθέςεο. Ο θηιόζνθνο
γλώξηδε πνιύ θαιά ηε ζρέζε ηεο κνπζηθήο κε
ηνπο αξηζκνύο. Οη εηδηθνί εξεπλεηέο ζεσξνύλ όηη
ην πηζαλόηεξν είλαη πσο ν ίδηνο θαη νη καζεηέο
ηνπ εληξύθεζαλ ζηε ζρέζε ηεο κνπζηθήο θαη
ησλ αξηζκώλ κειεηώληαο ην αξραίν όξγαλν
κνλόρνξδν.
Λίγα ιόγηα γηα ηελ ζύλδεζε ηνλ
Μαζεκαηηθώλ κε ηελ κνπζηθή…

78. 
 Σν κνλόρνξδν ήηαλ έλα όξγαλν κε κία ρνξδή
θαη έλα θηλεηό θαβαιάξε πνπ δηαηξνύζε ηε
ρνξδή επηηξέπνληαο κόλν έλα ηκήκα ηεο λα
ηαιαληώλεηαη όπσο θαίλεηαη από ην όλνκα
ηνπ. Όκσο από αξθεηνύο κειεηεηέο
ηνπνζεηείηαη ζηελ νηθνγέλεηα ηνπ ιανύηνπ
δειαδή κε βξαρίνλα, ρέξη. Σν κνλόρνξδν
ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηνλ θαζνξηζκό ησλ
καζεκαηηθώλ ζρέζεσλ ησλ κνπζηθώλ ήρσλ.
Ολνκαδόηαλ επίζεο θαη "Ππζαγόξεηνο
θαλώλ" γηαηί απέδηδαλ ηελ εθεύξεζή ηνπ
ζηνλ Ππζαγόξα.
Μεξηθέο πιεξνθνξίεο
γηα ην κνλόρνξδν

79.  Έλαο ήηαλ ν Αξρύηαο εξγάζζεθε ζηηο αλαινγίεο ησλ
δηαζηεκάησλ ηνπ ηεηξαρόξδνπ ζηα ηξία γέλε, δηαηνληθό,
ρξσκαηηθό θαη ελαξκόλην θαη αλαθάιπςε ην ιόγν ηεο
κεγάιεο ηξίηεο ζην ελαξκόλην γέλνο
Μεξηθνί κεγάινη καζεκαηηθνί πνπ εξγάζζεθαλ γηα
ηνλ ππνινγηζκό ησλ κνπζηθώλ δηαζηεκάησλ πάλσ
ζηνλ «θαλόλα»
 Καη έλαο αθόκα ν Εξαηνζζέλεο ν Δίδπκνο ζ΄ απηόλ
απνδίδεηαη ν θαζνξηζκόο ηνπ "θόκκαηνο ηνπ Δηδύκνπ", πνπ
είλαη ε δηαθνξά κεηαμύ ηνπ κείδνλνο ηόλνπ (9/8) θαη ηνπ
ειάζζνλνο (10/9) δειαδή 81/80.

80. 
 Σν γεγνλόο απηό κπνξνύκε λα πνύκε όηη ήηαλ αξθεηό εληππσζηαθό
δηόηη κόλν νη αθξηβείο καζεκαηηθέο ζρέζεηο έδηλαλ αξκνληθνύο ήρνπο
ζην κνλόρνξδν. Γηα παξάδεηγκα, έπξεπε λα ρσξίζνπλ αθξηβώο ζηε
κέζε ηε ρνξδή, θαη όρη πεξίπνπ ζηε κέζε, ώζηε λα έρνπλ ην επράξηζην
ςπρηθό ζπλαίζζεκα πνπ απνξξέεη από έλαλ αξκνληθό ήρν . Γειαδή Αλ
κεηώζνπκε ινηπόλ ην κήθνο κηαο ρνξδήο αθξηβώο ζην κηζό, ηόηε ν ήρνο
πνπ παξάγεηαη είλαη αθξηβώο κία νθηάβα πςειόηεξνο (κία νθηάβα
είλαη έλα λην, ξε, κη, θα, ζνι, ια, ζη, λην) - καο δίλεη, δειαδή, έλα λην
πην πάλσ. Αλ κεηώζνπκε ην κήθνο ηεο ρνξδήο θαηά 1/3, ηόηε ηα 2/3 ηεο
ρνξδήο πνπ απνκέλνπλ καο δίλνπλ ηε δηαθνξά ηεο πέκπηεο (δειαδή
από ην λην ζην ια). Κη αλ κεηώζνπκε ην κήθνο θαηά 1/4, ηόηε ηα 3/4
πνπ απνκέλνπλ καο δίλνπλ ηε δηαθνξά ηεο ηεηάξηεο (από ην λην ζην
ζνι). Ήηαλ μεθάζαξν, ινηπόλ, ζ’ απηό ην επίπεδν ηεο παξαηήξεζεο όηη
ηα καζεκαηηθά "θπβεξλνύλ" ηε κνπζηθή. Σν γεγνλόο όηη από ηνπο
ήρνπο απηώλ ησλ δηαθνξώλ δεκηνπξγείηαη έλα επράξηζην ζπλαίζζεκα
ζηνλ αθξναηή, νδήγεζε ηνπο Ππζαγνξείνπο ζην ζπκπέξαζκα όηη νη
αθέξαηνη θαη ηα θιάζκαηα ειέγρνπλ όρη κόλν ηνλ άςπρν αιιά θαη ηνλ
έκςπρν θόζκν κέζσ ηεο κνπζηθήο
Πώο αθξηβώο πεηξακαηίζηεθαλ νη Ππζαγόξεηνη ζην
κνλόρνξδν γηα ηελ αλάδεημε ησλ ζρέζεσλ καζεκαηηθώλ θαη
κνπζηθήο;

81. 

82.  Γηα ηνπο Ππζαγνξείνπο, απηή ε άκεζε θαη
αθξηβήο ζρέζε καζεκαηηθώλ, κνπζηθήο θαη
επράξηζηνπ ςπρηθνύ ζπλαηζζήκαηνο
απνηεινύζε ηε κέγηζηε απόδεημε όηη ε
αιήζεηα, ζην ύςηζην επίπεδό
ηεο, εθθξάδεηαη κε καζεκαηηθέο ζρέζεηο.
Πίζηεπαλ, κάιηζηα, όηη ε ςπρή, κέζα από ηα
καζεκαηηθά θαη ηε κνπζηθή, κπνξνύζε λα
εμπςσζεί ώζπνπ λα ελσζεί κε ην ζύκπαλ
θαη όηη νξηζκέλα καζεκαηηθά ζύκβνια
έρνπλ απνθξπθηζηηθή ζεκαζία
Ση απνηεινύζε απηό γηα ηνπο
Ππζαγνξείνπο;

83.  Δπεηδή απηόο πξνθύπηεη από ην άζξνηζκα
ησλ ηεζζάξσλ πξώησλ αξηζκώλ
1+2+3+4=10 θαη γηα απηό ηνπ έδσζαλ ην
όλνκα «ηεηξαθηύο» .
Καηά ηνλ Θέσλα ην ΢κπξλαίν ππάξρνπλ
έληεθα ηεηξαθηύεο πνπ ε θάζε κηα
εθθξάδεη έλα ηνκέα ηεο θηινζνθηθήο
ζθέςεο ζηελ αξραηόηεηα. Δλδεηθηηθά
αλαθέξσ όηη ε 4ε ηεηξαθηύο δειώλεη ηα
ηέζζεξα απιά ζηνηρεία θσηηά, αέξα, λεξό
θαη γε, ε 6ε αλαθέξεηαη ζηα γεσκεηξηθά
ζρήκαηα: κε 1 εθθξάδεηαη ην ζεκείν, κε 2
ην κήθνο, κε 3 ε επηθάλεηα θαη κε 4 ην
ζηεξεό, ε 8ε δίλεη ηα ζπζηαηηθά ηνπ δώνπ:
ηα 1,2,3 αληηζηνηρνύλ κε ην ινγηζηηθό, ην
ζπκηθό θαη ην επηζπκεηηθό, δειαδή
εθθξάδνπλ ηελ ςπρή, ελώ ην 4 ην ζώκα.
Γιατί οι Πυθαγόρειοι
θεωρούσαν τον αριθμό 10
τέλειο;

84.  Ο θύβνο ν νπνίνο εθθξάδεηαη κε ηνλ αξηζκό 4
ηεο 5εο ηεηξαθηύνο (1 = ηεηξάεδξν, 2 =
νθηάεδξν, 3 = εηθνζάεδξν , 4 = θύβνο) θαη
ζπκβνιίδεη ηε γε θαη ην ζπλδπαζκό ησλ
ζηνηρείσλ ηεο. Ο θύβνο έρεη 6 έδξεο, 8 θνξπθέο
θαη 12 αθκέο. Οη αξηζκνί 12 θαη 6 δίλνπλ ηελ
αλαινγία 2/1, νη 8 θαη 6 ηελ αλαινγία 4/3 ελώ νη
12 θαη 8 ηελ αλαινγία 3/2. Δπίζεο ν αξηζκόο 8
είλαη ην αξκνληθό κέζν ησλ 6 θαη 12, ελώ ην
αξηζκεηηθό κέζν ησλ αξηζκώλ απηώλ είλαη ν 9.
Ο αξκνληθόο θαη αξηζκεηηθόο κέζνο δίλνπλ ηελ
αλαινγία 9/8. Έηζη πξνθύπηνπλ νη καζεκαηηθέο
αλαινγίεο βάζε ησλ νπνίσλ θαηαζθεπάδεηαη ε
κνπζηθή θιίκαθα θαηά ηνπο Ππζαγόξεηνπο. Οη
αλαινγίεο απηέο απνδείρζεθαλ θαη ζηελ πξάμε
από ηα πεηξάκαηα πνπ έθαλε ν Ππζαγόξαο
πάλσ ζην κνλόρνξδν ην νπνίν δηαίξεζε ζε 12
ίζα ηκήκαηα (όζεο θαη νη αθκέο ηνπ θύβνπ).
Η θαηαζθεπή ηεο κνπζηθήο
θιίκαθαο ηνπ Ππζαγόξα κε βάζε
ηηο αλαινγίεο ηνπ θύβνπ!

85. 
 Πέξα από ην κνλόρνξδν, ν Ππζαγόξαο πεηξακαηίζηεθε θαη
κε άιια πιηθά θαη ηηο ηδηόηεηέο ηνπο πνπ ζπλζέηνπλ ηα
κνπζηθά δηαζηήκαηα, όπσο ε ηάζε ρνξδώλ ίζνπ κήθνπο θαη
πάρνπο, ην κήθνο ερεηηθνύ ζσιήλα θ.η.ι. Ο ρσξηζκόο θαη
θαζνξηζκόο ησλ κνπζηθώλ δηαζηεκάησλ πνπ πέηπρε, ήηαλ
έλα ηεξάζηηαο ζεκαζίαο επίηεπγκα ηόζν γηα ηε κνπζηθή θαη
ηε ζεσξία ηεο όζν θαη γηα ηα καζεκαηηθά θαη ηε δύλακή
ηνπο λα εξκελεύνπλ ηνλ θόζκν κε αξηζκνύο όπσο εμάιινπ
δίδαζθε θαη ν Ππζαγόξαο. Πέξα από ηε κεγάιε ζεκαζία
γηα ηε ζεσξία ηεο κνπζηθήο, ν ππνινγηζκόο ηνπ έδσζε ηελ
επθαηξία λα θαηαζθεπαζηνύλ κνπζηθά όξγαλα κε
κεγαιύηεξε αθξίβεηα από πξηλ.
Δελ αζρνιήζεθε κόλν κε
απηό…!!!

86. 
 Με ην πέξαζκα ηνπ ρξόλνπ, ε Ππζαγόξεηα κνπζηθή
θιίκαθα ηξνπνπνηήζεθε είηε γηα πξαθηηθνύο είηε γηα
θαζαξά θηινζνθηθνύο ιόγνπο, όκσο ν Ππζαγόξαο είρε
δείμεη έλαλ δξόκν πνπ θαη νη ζύγρξνλεο κνπζηθέο
θιίκαθεο αθνινπζνύλ. Αθόκα θαη ζήκεξα
ππνινγίδνπκε καζεκαηηθά ηα κνπζηθά δηαζηήκαηα ηα
νπνία βέβαηα έρνπλ δηαθνξνπνηεζεί ζεκαληηθά από
ηόηε.
Καη ηέινο γηα ηελ κνπζηθή.

87. 
Μαζεκαηηθά θαη Σέρλε
Η Σέρλε αλαπαξηζηά κε εηθόλεο θαη
αληηθείκελα ηηο ζρέζεηο θαη ηηο κνξθέο ηεο
θπζηθήο ή θαληαζηηθήο πξαγκαηηθόηεηαο. Σα
καζεκαηηθά κειεηνύλ ηηο ζρέζεηο θαη ηηο
κνξθέο ηεο θπζηθήο ή θαληαζηηθήο
πξαγκαηηθόηεηαο. Η πξώηε δεκηνπξγεί
, νπηηθνπνηεί , ε άιιε κειεηά.

88. 
Γηαηί είλαη όκνξθνη νη αξηζκνί;
Δίλαη ζαλ λα ξσηάο γηαηί είλαη όκνξθε ε
έλαηε ζπκθσλία ηνπ Bethoven. Αλ δελ
κπνξείο λα ην δεηο από κόλνο ζνπ, δελ κπνξεί
λα ζνπ ην πεη θαλείο. Γλσξίδσ όηη ηα
καζεκαηηθά είλαη όκνξθα. Αλ δελ είλαη απηά
όκνξθα, ηόηε ηίπνηα δελ είλαη

89. Σα καζεκαηηθά θαη ε ηέρλε γεληθόηεξα κνινλόηη, θαηλνκεληθά
ηνπιάρηζηνλ, απνηεινύλ δπν μερσξηζηά – δηαθξηηά πεδία ηεο αλζξώπηλεο
δξαζηεξηόηεηαο, εληνύηνηο είλαη δπλαηόλ λα ζπλδπαζηνύλ θαη λα δώζνπλ
δεκηνπξγίεο νη νπνίεο απνηεινύλ αμηνζαύκαζην κείγκα εληππσζηαθήο
πνιππινθόηεηαο θαη εθπιεθηηθήο νκνξθηάο.
Σα καζεκαηηθά από ηόηε κέρξη θαη ζήκεξα εμαθνινπζνύλ λα παίδνπλ έλα
ζεκαληηθό ξόιν ζηελ εμέιημε ησλ δηαθόξσλ κνξθώλ ηεο ηέρλεο ΢’ όιεο ηηο
επνρέο αλαδείρζεθαλ εμέρνπζεο κνξθέο ηεο ηέρλεο, νη νπνίεο
ρξεζηκνπνίεζαλ ηα καζεκαηηθά σο ην βαζηθό ζπζηαηηθό ηεο ηέρλεο ηνπο.
Δίλαη πξνθαλέο όηη δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξμνπλ θαλόλεο ή όξηα ζρεηηθά
κε ηα ζέκαηα ή ηηο ηδέεο ηεο καζεκαηηθήο ηέρλεο. Τπάξρνπλ όκσο θάπνηα
ζέκαηα ηα νπνία έρνπλ ρξεζηκνπνηεζεί πεξηζζόηεξν θαη δείρλνπλ όηη
έρνπλ θεξδίζεη ηελ πξνηίκεζε νξηζκέλσλ θαιιηηερλώλ. Μεηαμύ απηώλ
είλαη ηα πνιύεδξα, ηα ςεθηδσηά, ηα αλέθηθηα ζρήκαηα, νη ηαηλίεο Möbious
θαη ηα fractals.
Ι΢ΣΟΡΙΚΗ ΑΝΑΓΡΟΜΗ

90. 
Ο Leonardo da Vinci (1452-1519) είλαη γλσζηόο γηα ηα
επηηεύγκαηά ηνπ ηόζν ζηηο επηζηήκεο όζν θαη ζηηο θαιέο ηέρλεο.
΢ηα έξγα ηνπ ρξεζηκνπνίεζε παξαζηαηηθή γεσκεηξία
πξνθεηκέλνπ λα δεκηνπξγήζεη ηα πξώηα παξακνξθσκέλα
πιέγκαηα, ηα νπνία όηαλ εηδσζνύλ από θάπνηα ζπγθεθξηκέλε
γσλία εκθαλίδνληαη θαλνληθά. Υξεζηκνπνηεί επίζεο ηελ
παξαζηαηηθή γεσκεηξία ζηνλ ζρεδηαζκό πνιιώλ έξγσλ ηνπ.
Κάπνηα ζρέδηα ηνπ κνηάδνπλ έληνλα κε αλεκόπηεξν ή
ειηθόπηεξν. Αλαδεηθλύεηαη έηζη ε επηζηεκπνληθή ρξνηά ησλ
έξγσλ ηνπ θαη ε ζηξνθή ηνπ πξνο ην κέιινλ.
Leonardo da Vinci

91. 
Όηαλ όκσο αλαθεξόκαζηε ζηνλ όξν «καζεκαηηθή ηέρλε» ν λνπο
καο πεγαίλεη θπξίσο ζηνλ Οιιαλδό θαιιηηέρλε Maurits Escher
(1898-1972), ν νπνίνο δηθαίσο ζεσξείηαη ν παηέξαο απηνύ ηνπ
είδνπο ηεο ηέρλεο. Ζ εξγαζία ηνπ απνηειεί κηα αζηείξεπηε πεγή
έκπλεπζεο γηα πνιινύο ζύγρξνλνπο ζεκαληηθνύο θαιιηηέρλεο. Οη
ιηζνγξαθίεο, νη μπινγιπθίεο θαη νη ραιθνγξαθίεο ηνπ βξίζθνληαη
θξεκαζκέλεο ζηα ζπίηηα καζεκαηηθώλ θαη επηζηεκόλσλ ζ’ όιν ηνλ
θόζκν. Πνιιά έξγα ηνπ έρνπλ σο βάζε θάπνηα καζεκαηηθά ζέκαηα
πνπ έρνπλ θαηά θαηξνύο αλαιπζεί ζε βηβιία ςπραγσγηθώλ
καζεκαηηθώλ, όπσο απηά ηνπ Martin Gardner. Ο Escher είλαη
πεξηζζόηεξν γλσζηόο ζηνπο θξπζηαιινγξάθνπο γηα ηελ
πεηπρεκέλε ςεθηδσηή ηερληθή κε ηελ νπνία ρσξίδεη ην επίπεδν.
Υσξίδνληαο ην επίπεδν κε θπκαηηζηέο ζεηξέο
πνπιηώλ, ςαξηώλ, εξπεηώλ, ζειαζηηθώλ θαη αλζξώπσλ θαηάθεξε λα
δεκηνπξγήζεη κεγάιε πνηθηιία θαηαπιεθηηθώλ όζν θαη
απξνζδόθεησλ εηθόλσλ, νη νπνίεο βαζίδνληαη ζε λόκνπο ηεο
ζπκκεηξίαο, ηεο ζεσξίαο ζπλόισλ, ηεο πξννπηηθήο, ηεο ηνπνινγίαο
θαη ηεο θξπζηαιινγξαθίαο

92. 
Ο Salvator Dali (1904-1989) ήηαλ έλαο άιινο δηάζεκνο Ηζπαλόο
ζνπξεαιηζηήο δσγξάθνο ν νπνίνο ρξεζηκνπνίεζε ζηνπο πίλαθέο ηνπ ζρέδηα
κε έληνλα γεσκεηξηθά-ηνπνινγηθά ζηνηρεία. Ο Dali απεηθόληζε ζε πνιιά
έξγα ηνπ ηνλ ηεηξαδηάζηαην ρώξν ζην ρώξν ησλ δύν δηαζηάζεσλ. Γηα
παξάδεηγκα, ζην έξγν «΢ε αλαδήηεζε ηεο ηέηαξηεο δηάζηαζεο», ππάξρνπλ
ζηνηρεία ηνπνινγίαο θαη ηεηξαδηάζηαηεο γεσκεηξίαο, έηζη πνπ ν πίλαθαο
θαίλεηαη λα θηλείηαη γύξσ από κηα ππεξζθαίξα.΢ηα ηέιε ηνπ 19νπ αηώλα –
αξρέο ηνπ 20νπ, κηα νκάδα καζεκαηηθώλ κε επηθεθαιήο ηνπο Peano,
Hilbert, Cesaro, Koch θαη Sierprinski, κεηαμύ άιισλ, δηακόξθσζαλ κηα
λέα νηθνγέλεηα θακπύισλ κε αιινπξόζαιιεο καζεκαηηθέο ηδηόηεηεο, νη
νπνίεο μέθεπγαλ από θάζε άιιν πξνεγνύκελν. Αληίζεηα πξνο ηελ
παξαδνζηαθή γεσκεηξία πνπ βαζηδόηαλ ζηα ηξίγσλα, ηα ηεηξάγσλα, ηνπο
θύθινπο, ηηο ειιείςεηο θιπ, απηή ε λέα γεσκεηξία πεξηγξάθεη
πεξηζηξεθόκελεο θακπύιεο, ζπηξάι θαη ίλεο νη νπνίεο πεξηηπιίζζνληαη
κεηαμύ ηνπο έηζη ώζηε λα δίλνπλ πεξίπινθα ζρήκαηα, νη ιεπηνκέξεηεο ησλ
νπνίσλ λα ράλνληαη ζην άπεηξν.
Σα έξγα ηνπ Van Gogh ραξαθηεξίδνπλ ρανηηθέο δίλεο πνπ αθνινπζνύλ κε
αθξίβεηα ηηο καζεκαηηθέο πεξηγξαθέο ησλ αλαηαξάμεσλ ζε ξεπζηά πιηθά,
όπσο νη ζηξνβηιηζκνί ηνπ λεξνύ ζε έλα ηαξαγκέλν πνηάκη ή νη
αλεκνζηξόβηινη.
Salvator Dali

93. 
Ο καζεκαηηθόο όπσο έλαο δσγξάθνο ή έλαο πνηεηήο είλαη
έλαο ζρεδηαζηήο. Ο δσγξάθνο θηηάρλεη ζρέδηα κε ζρήκαηα
θαη ρξώκαηα , ν πνηεηήο κε ηδέεο. Σα καζεκαηηθά
ζρεδηάζκαηα , όπσο εθείλα ηνπ πνηεηή ή ηνπ δσγξάθνπ
πξέπεη λα είλαη όκνξθα. Δελ ππάξρεη κόληκε ζέζε ζηνλ
θόζκν γηα άζρεκα καζεκαηηθά.

94. ΥΡΤ΢Ζ ΣΟΜΖ
΢Δ ΑΡΥΗΣΔΚΣΟΝΗΚΖ ΚΑΗ ΦΤ΢Ζ

95. Ζ Αξρηηεθηνληθή είλαη ζπγρξόλσο ηέρλε θαη
επηζηήκε. Καη σο ηέρλε κελ, πνπ απνηειεί
καδί κε ηε Εσγξαθηθή, ηε Γιππηηθή θαη ηε
Μνπζηθή ηε ιακπξή ησλ Καιώλ Σερλώλ
ηεηξάδα, απνζθνπεί ζηελ δηά ηεο ύιεο
παξάζηαζε ηνπ σξαίνπ. Χο επηζηήκε δε,
επηδηώθεη ηελ εθαξκνγή θαη πηζηή εθηέιεζε
ησλ κειεηεζέλησλ ζρεδίσλ κε ηελ βνήζεηα
θαηάιιεισλ πιηθώλ.

96. Σα Μαζεκαηηθά από ηελ άιιε πιεπξά, δίθαηα
ζεσξνύληαη ε βαζίιηζζα, αιιά θαη ζπγρξόλσο
ππεξέηεο ησλ άιισλ επηζηεκώλ, έρνπλ εμειηρζεί
ζήκεξα ζε έλα επξύ θνηλσληθό θαηλόκελν, ηνπ νπνίνπ
ε πνηθηιία ησλ εθαξκνγώλ θαη ηξόπσλ έθθξαζεο
θαιύπηεηαη κόλν κεξηθά από ηα θιαζζηθά
καζεκαηηθά, πνπ απνηεινύλ ηνλ βαζηθό «θνξκό» ησλ
πξνγξακκάησλ ησλ καζεκάησλ ησλ παλεπηζηεκίσλ.
΢ηα καζεκαηηθά απηά πεξηιακβάλεηαη όιν ην
καζεκαηηθό πιηθό πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηηο
επηζηήκεο, ηελ ηέρλε, ηελ βηνκεραλία, ην εκπόξην θαη
γεληθά ζηελ θαζεκεξηλή καο δσή!

97.  Σα Μαζεκαηηθά θαη ε
Αξρηηεθηνληθή έρνπλ
απνιαύζεη πάληα κηα ζηελή
έλσζε ν έλαο κε ηνλ
άιινλ, όρη κόλν ππό ηελ
έλλνηα όηη ην ηειεπηαίν
ελεκεξώλεηαη από ηα
πξώην, αιιά θαη δεδνκέλνπ
όηη έρνπλ κεξίδην ζηελ
αλαδήηεζε ηεο δηαηαγήο
θαη νκνξθηάο, ε πξώηε ζηε
θύζε θαη ε ηειεπηαία ζηα
θηήξηα.

98. Αιιά πνηα είλαη ε αλαγθαηόηεηα ησλ
Μαζεκαηηθώλ ζηελ ζύγρξνλε Αξρηηεθηνληθή;
Γηα λα ζπιιάβεη θαλείο κηα θαηαζθεπή θαη λα ηεο δώζεη ηηο
αθξηβείο ηεο αλαινγίεο, ζα πξέπεη λα αθνινπζήζεη ηόζν ην
κνλνπάηη ηεο δηαίζζεζεο όζν θαη ησλ καζεκαηηθώλ. Γηα
παξάδεηγκα έλαο αξρηηέθηνλαο δελ κπνξεί σζηόζν λα
απνθηήζεη κηα βαζηά γλώζε ηεο θαηαζθεπήο ρσξίο ηα
καζεκαηηθά εξγαιεία. Σα Μαζεκαηηθά δελ εμεγνύλ ηελ
θπζηθή ζπκπεξηθνξά ελόο ζηνηρείνπ, απιά ηελ πεξηγξάθνπλ.
Ζ πεξηγξαθή απηή όκσο είλαη ηόζν απνηειεζκαηηθή, ώζηε
κηα ζηνηρεηώδεο καζεκαηηθή εμίζσζε κπνξεί λα πεξηγξάςεη
απιά θαη θαζαξά κηα ζρέζε, πνπ γηα λα εθθξαζηεί κε ιέμεηο
ζα ρξεηαδόηαλ νιόθιεξεο ζειίδεο..!!

99.  Σα καζεκαηηθά είλαη
αλαπόθεπθηα ζηελ
θαηαλόεζε ησλ δνκηθώλ
ελλνηώλ θαη ησλ
ππνινγηζκώλ. ΢ην θνκκάηη
ηεο αξρηηεθηνληθήο βέβαηα,
ε γεσκεηξία γίλεηαη ε
θαηεπζπληήξηα αξρή.

100. Καηαζθεπαζηηθέο απαηηήζεηο γηα
βειηηζηνπνίεζε ησλ θαηαζθεπώλ:
1. Ι΢΢ΟΡΟΠΙΑ
2. ΔΤ΢ΣΑΘΔΙΑ
3. ΑΝΣΟΥΗ
4. ΛΔΙΣΟΤΡΓΙΚΟΣΗΣΑ
5. ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
6. ΑΙ΢ΘΗΣΙΚΗ

101. Η ιεπηνκεξήο
θαηαζθεπή ηεο
Αθξόπνιεο ζηελ
Αζήλα, δελ ζα
κπνξνύζε λα έρεη
γίλεη ρσξίο κηα
ιεπηνκεξή γλώζε
γεσκεηξίαο..!!

102.  Οη πξώηνη επηκήθεηο λανί κε ζρέζε πιάηνπο
κήθνπο 1:4 ζα θαηαιήμνπλ ζηε ζρέζε 4:9 ζηνλ
Παξζελώλα κε 8x17 θίνλεο αληίζηνηρα θαη κε
γελίθεπζε απηήο ηεο ζρέζεο ζε όιεο ηηο βαζηθέο
δηαζηάζεηο.
 Πιάηνο: κήθνο, δηάκεηξνο
 Κίνλα: κεηαμόλην δηάζηεκα
 Ύςνο νηθνδνκήκαηνο: πιάηνο πξόζνςεο
θηι.

103.  Οη θίνλέο ηνπ δελ είλαη θαηαθόξπθνη.
 ΢πγθιίλνπλ πξνο ηα κέζα πξνεθηεηλόκελνη πξνο ηα
πάλσ, ώζηε ζε απόζηαζε 2.200κ ζα ελώλνληαλ
εθείλνη ησλ ζηελώλ θαη ζε 4.950κ εθείλνη ησλ
καθξώλ πιεπξώλ.
 Παξαηεξείηαη θακπύισζε όισλ ησλ νξηδνληίσλ
γξακκώλ ηνπ κλεκείνπ.
 Αλαθνξά ζηνλ άλζξσπν θαη λνκνηέιεηά ηνπ, πνπ δελ
είλαη άιιε παξά ε ειιεληθή καζεκαηηθή
πλεπκαηηθόηεηα, ε νπνία ζέιεη εδώ λα κεηνπζησζεί
ζε Αξρηηεθηνληθή-θαιιηηερληθή δεκηνπξγία

104.  Σα ζηνηρεία πνπ δαλείδνληαη νη Σέρλεο από ηελ
Γεσκεηξία είλαη ηα εμήο:
 ΢εκείν Γξακκή ΢ρήκαηα
 ΢ηεξεά Δηαηήξεζε κάδαο
 Πιαησληθά ζηεξεά
 Δπαδηθόηεηα θαη ΢πκπιεξσκαηηθόηεηα
 Με θαλνληθά πνιύεδξα
 ΢ηεξεά ηνπ Αξρηκήδε
 ΢πλαξκνγή.

105. 
΢πκκεηξία θαη ζηελ θύζε
Οη πέληε άμνλεο ζπκκεηξίαο εληνπίδνληαη γηα ηα πέηαια απηνύ ηνπ ινπινπδηνύ,
από θάζε ζθνύξν πνξθπξό γξακκή ζην πέηαιν ζε κία θαληαζηηθή γξακκή πνπ
δηρνηνκεί ηε γσλία κεηαμύ ησλ απέλαληη κσβ γξακκώλ. Οη γξακκέο ίρλνο επίζεο
ζπκίδνπλ ην ζρήκα ελόο αζηεξηνύ.

106. 
Μαζεκαηηθά αθόκα θαη
ζηνλ κηθξόθνζκν!
Σα βαθηήξηα όπσο θαη ηα oneidensis Shewanella πνιιαπιαζηάδνληαη κε ηνλ
δηπιαζηαζκό ηνπ πιεζπζκνύ ηνπο ζε κέγεζνο κεηά από κόιηο 40 ιεπηά. Μηα
γεσκεηξηθή αθνινπζία όπσο απηή, όπνπ θάζε αξηζκόο είλαη δηπιάζηνο από ηνλ
πξνεγνύκελν αξηζκό [ή f (n +1) = 2 f (n)] παξάγεη κηα ηαρεία αύμεζε ηνπ
πιεζπζκνύ ζε έλα πνιύ ζύληνκν ρξνληθό δηάζηεκα.

107. 
Μαζεκαηηθά αθόκα θαη ζηελ
αλαπαξαγσγή ησλ θνπλειηώλ.
Κνπλέιηα. Ο Leonardo Fibonacci ήηαλ έλαο
πνιπηαμηδεκέλνο ηηαιόο νπνίνο εηζήγαγε ηελ
έλλνηα ηνπ κεδέλ θαη ην ηλδνπηζηηθό-αξαβηθό
ζύζηεκα αξίζκεζεο ζηελ Δπξώπε ην
1200κ.Υ.. Πεξηέγξαςε επίζεο ηελ αθνινπζία
αξηζκώλ Fibonacci ρξεζηκνπνηώληαο έλαλ
εμηδαληθεπκέλν αλαπαξαγσγηθό πιεζπζκό
θνπλειηώλ. Κάζε δεπγάξη θνπλειηώλ παξάγεη
έλα άιιν δεπγάξη θάζε κήλα, παίξλνληαο έλαλ
κήλα πξώηα γηα λα σξηκάζνπλ, θαη δίλνληαο
ζηελ αθνινπζία 0,1,1,2,3,5,8,13, ... Κάζε
αξηζκόο ζηελ αθνινπζία είλαη ην άζξνηζκα ησλ
δύν πξνεγνπκέλσλ.

108. 
Σν ζρήκα ηεο γεο
 Ζ Γε είλαη ην ηέιεην ζρήκα γηα ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηεο έιμε
ηεο βαξύηεηαο ζηα εμσηεξηθά άθξα ηεο- κηα ζθαίξα (αλ θαη
θπγόθεληξνο δύλακε από ηελ πεξηζηξνθή ηεο ηελ θάλεη ζηελ
πξαγκαηηθόηεηα έλα πεπιαηπζκέλν
ζθαηξνεηδέο, πεπιαηπζκέλν ζηνπο πάλσ θαη θάησ).

109. 
Ζ Υξπζή Αλαιόγηα ζην
αλζξώπηλν ζώκα
 Ο <Φ> έρεη ζπζρεηηζηεί
κε ηηο αλαινγίεο ηνπ
αλζξώπηλνπ ζώκαηνο.
Οη αξραίνη έιιελεο ήμεξαλ
κόλν όηη θαη ζην αλζξώπηλν
ζώκα αθόινπζεηηαη επ’
αθξηβώο ε
Υξπζή Αλαιόγηα ην ίδην θαη
ζηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ
πξνζώπσλ, αθόκε θαη ζην
DNA καο.

110. 
Ζ ζπείξα ηνπ Fibonacci
 Αλ θαηαζθεπάζεηε κηα ζεηξά
από ηεηξάγσλα κε κήθνο ίζν
κε ηνπο αξηζκνύο Fibonacci
(1,1,2,3,5, θιπ) θαη εληνπίζεηε
κηα γξακκή κέζσ ησλ
δηαγσλίσλ από θάζε
ηεηξάγσλν, ζρεκαηίδεηε κηα
ζπείξα Fibonacci. Πνιιά
παξαδείγκαηα ηεο ζπείξαο ηνπ
Fibonacci κπνξεί λα ηα δεη
θαλείο ζηε
θύζε, ζπκπεξηιακβαλνκέλσλ
ησλ ζαιάκσλ ελόο θειύθνπο
λαπηίινπ.

111. 
Ο αξηζκόο θ
Ζ αλαινγία ησλ δηαδνρηθώλ αξηζκώλ ηεο
αθνινπζίαο Fibonacci πιεζηάδεη έλαλ
αξηζκό γλσζηό σο ρξπζή αλαινγία, ή θ
(= 1,618033989 ...). Ο αηζζεηηθά
ειθπζηηθόο ιόγνο βξίζθεηαη πνιύ ζηελ
αλζξώπηλε αξρηηεθηνληθή θαη ηε δσή ησλ
θπηώλ. Μία ρξπζή ζπείξα πνπ
ζρεκαηίδεηαη κε έλα ηξόπν παξόκνην κε
ηελ ζπείξα Fibonacci κπνξεί λα βξεζεί
από ηνλ εληνπηζκό ζπόξσλ ελόο
ειηνηξόπηνπ από θέληξν πξνο ηα έμσ.

112. 
Σν άπεηξν
 Δίλαη έλα άπεηξν κεγαιύηεξν από έλα άιιν άπεηξν; Σν
κέγεζνο όισλ ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ, 1,2,3 ..., θιπ., είλαη
άπεηξν. Σν ζύλνιν όισλ ησλ αξηζκώλ κεηαμύ ηνπ ελόο θαη
ηνπ κεδελόο είλαη επίζεο άπεηξν - είλαη έλα άπεηξν
ζύλνιν κεγαιύηεξν από ην άιιν; Απηά ηα βαζηά
εξσηήκαηα ησλ καζεκαηηθώλ κπνξεί λα ζαο θάλνπλ λα
ληώζεηε πνιύ κηθξνί ζε έλα ηεξάζηην ζύκπαλ.

114. ΓΡΑ΢Ο΢ ΒΑΓΓΔΛΖ΢
ΜΖΣ΢Α ΔΤΑΓΓΔΛΗΑ
ΜΖΣ΢Α΢ ΓΗΧΡΓΟ΢
ΜΗΥΑΖΛΗΓΟΤ ΓΔ΢ΠΟΗΝΑ
ΠΑΠΑΝΑ΢ΣΑ΢ΗΟΤ
ΚΧ΢ΣΑ΢
ΑΜΠΡΑΕΖ ΜΑΡΗΑΝΝΑ
ΗΧΑΝΝΗΓΟΤ ΜΑΡΗΑ
ΚΑΡΑΓΚΗΟΕΗΓΖ΢ ΛΑΚΖ΢
ΚΑΡΑΓΚΗΟΕΗΓΖ΢ ΜΗΚΖ΢
Σ΢ΔΛΗΚΑΑΝΝΑ
ΚΑΝΔΛΛΖ΢ ΓΗΧΡΓΟ΢
ΚΑΦΑΥΔΗΛΖ΢ ΓΖΜΖΣΡΖ΢
ΚΧ΢ΣΗΓΖ΢ ΠΑΝΑΓΗΧΣΖ΢
΢ΣΑΜΑΣΗΑΓΖ΢ ΘΧΜΑ΢
ΔΠΗΜΔΛΔΗΑ: ΒΑΓΓΔΛΖ ΒΑΡΒΑΡΑ ΠΔ03