1. Université de Ngaoundéré
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques et
Informatique
The University of Ngaoundere
Faculty of Science
Department of Mathematics and
Computer Science
Élaboration d’un système de vote électronique à crédit
anonyme résistant à la coercition
Présenté par: AMBASSA PACÔME LANDRY
Soutenance de mémoire de Master recherche
Mention: Ingénierie Informatique
Parcours: Systèmes et Logiciels en Environnements Distribués
11 janvier 2013
Sous la direction de :
Pr. TIEUDJO Daniel Maitre de Conférences
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 1 / 38
2. Plan
Plan
1 Introduction
2 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
3 Présentation de quelques schémas de vote électronique
Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Courbes elliptiques
Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
4 Proposition d’un schéma de vote électronique
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée du schéma
Illustration numérique avec SAGE
5 Conclusion et Perspectives
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 2 / 38
3. Plan
Plan
1 Introduction
2 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
3 Présentation de quelques schémas de vote électronique
Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Courbes elliptiques
Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
4 Proposition d’un schéma de vote électronique
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée du schéma
Illustration numérique avec SAGE
5 Conclusion et Perspectives
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 2 / 38
4. Plan
Plan
1 Introduction
2 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
3 Présentation de quelques schémas de vote électronique
Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Courbes elliptiques
Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
4 Proposition d’un schéma de vote électronique
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée du schéma
Illustration numérique avec SAGE
5 Conclusion et Perspectives
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 2 / 38
5. Plan
Plan
1 Introduction
2 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
3 Présentation de quelques schémas de vote électronique
Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Courbes elliptiques
Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
4 Proposition d’un schéma de vote électronique
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée du schéma
Illustration numérique avec SAGE
5 Conclusion et Perspectives
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6. Plan
Plan
1 Introduction
2 Système de vote électronique
Généralités
Propriétés du e-vote
3 Présentation de quelques schémas de vote électronique
Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Courbes elliptiques
Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
4 Proposition d’un schéma de vote électronique
Outils cryptographiques utilisés
Description détaillée du schéma
Illustration numérique avec SAGE
5 Conclusion et Perspectives
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7. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
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8. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 3 / 38
9. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
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10. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
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11. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 3 / 38
12. Introduction
Introduction
Définition du vote [Connes, 2006]
Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions,
un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles.
Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒
coût organisationnel
Condition de participation difficile ⇒ Longue file
d’attente devant les bureaux de vote
Fraude électorale ⇒ désintérêt la population
Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins
contraignant ?
solution
Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote
électronique
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13. Introduction
Introduction
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al, introduisent la notion de résistance à la coercition et proposent un
schéma de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient et n’assure pas la complétude
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un schéma de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition
Problématique
Conception d’un système de vote par internet qui utilise le crédit anonyme pour assurer
la résistance à la coercition et repose sur les systèmes cryptographiques de la théorie
des courbes elliptiques
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14. Introduction
Introduction
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al, introduisent la notion de résistance à la coercition et proposent un
schéma de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient et n’assure pas la complétude
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un schéma de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition
Problématique
Conception d’un système de vote par internet qui utilise le crédit anonyme pour assurer
la résistance à la coercition et repose sur les systèmes cryptographiques de la théorie
des courbes elliptiques
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15. Introduction
Introduction
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al, introduisent la notion de résistance à la coercition et proposent un
schéma de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient et n’assure pas la complétude
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un schéma de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition
Problématique
Conception d’un système de vote par internet qui utilise le crédit anonyme pour assurer
la résistance à la coercition et repose sur les systèmes cryptographiques de la théorie
des courbes elliptiques
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16. Introduction
Introduction
[Juel et al, 2005 ]
En 2005, Juel et al, introduisent la notion de résistance à la coercition et proposent un
schéma de vote électronique qui assure cette propriété.
Problème : il n’est pas efficient et n’assure pas la complétude
Une nouvelle approche :
[Porkodi et al, 2011 ]
En 2011, Porkodi et al, propose un schéma de vote électronique basé sur les courbes
elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition
Problématique
Conception d’un système de vote par internet qui utilise le crédit anonyme pour assurer
la résistance à la coercition et repose sur les systèmes cryptographiques de la théorie
des courbes elliptiques
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17. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
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18. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
utilisation d’urnes électronique : machine à voter
2 Le vote a distance
par internet :via un site Internet auquel l’électeur se connecte
par téléphone :via un serveur vocal interactif
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
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19. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
utilisation d’urnes électronique : machine à voter
2 Le vote a distance
par internet :via un site Internet auquel l’électeur se connecte
par téléphone :via un serveur vocal interactif
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
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20. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
utilisation d’urnes électronique : machine à voter
2 Le vote a distance
par internet :via un site Internet auquel l’électeur se connecte
par téléphone :via un serveur vocal interactif
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 6 / 38
21. Système de vote électronique Généralités
Vote Électronique
Définition [rapport UCL, 2007]
Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui
implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du
suffrage.
On distingue deux types de vote électronique :
1 Le vote hors ligne
utilisation des bureaux de vote et des isoloirs
utilisation d’urnes électronique : machine à voter
2 Le vote a distance
par internet :via un site Internet auquel l’électeur se connecte
par téléphone :via un serveur vocal interactif
Avantages du i-vote
« Plus pratique pour les électeurs
« Réduction des coûts (bureaux et matériel)
« Le décompte rapide des voix
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 6 / 38
22. Système de vote électronique Généralités
Déroulement
Phase
Le vote électronique (par internet) se
subdivise en 5 phases :
38. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
Propriétés de sécurité du e-vote
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· Vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· Complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Les propriétés de sécurité à satisfaire sont :
très nombreuses ;
à première vue contradictoires.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 8 / 38
39. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
Propriétés de sécurité du e-vote
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· Vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· Complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Les propriétés de sécurité à satisfaire sont :
très nombreuses ;
à première vue contradictoires.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 8 / 38
40. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
Propriétés de sécurité du e-vote
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· Vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· Complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Les propriétés de sécurité à satisfaire sont :
très nombreuses ;
à première vue contradictoires.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 8 / 38
41. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du e-vote
Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng,
2010] :
Propriétés de sécurité du e-vote
De base
· Éligibilité
· Secret
· Précision
· Vérifiabilité individuelle
· Pas de double vote
· Complétude
Étendu
· Vérifiabilité universelle
· Receipt-freeness
· Résistance à la coercition
Les propriétés de sécurité à satisfaire sont :
très nombreuses ;
à première vue contradictoires.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 8 / 38
42. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Propriétés du vote et lien cryptographique
TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique
Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primitives
Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,...
Receipt-freenes Rechiffrement
Éligibilité Authentification Technique symétrique Mot de passe
Technique asymétrique Signature
Précision Intégrité Fonction de hachage SHA
Non répudiation Signature Elgamal
Mixnet Déchiffrement
Secret des votes Anonymat Rechiffrement
Signature aveugle RSA
Confidentialité Chaine de caractères
Résistance à la coercition Crédit anonyme Mot de vote
Anonymat Signature
Vérifiabilité individuelle Preuves Validité
Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 9 / 38
43. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose qu’aucun attaquant ne doit forcer un électeur à voter d’une manière
particulière ou à s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 10 / 38
44. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose qu’aucun attaquant ne doit forcer un électeur à voter d’une manière
particulière ou à s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 10 / 38
45. Système de vote électronique Propriétés du e-vote
Définition des concepts
crédit anonyme (credential en anglais)
Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à
son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de
son possesseur en fournissant le service d’anonymat.
Résistance à la coercition
⇒ receipt-freeness
Suppose qu’aucun attaquant ne doit forcer un électeur à voter d’une manière
particulière ou à s’abstenir de voter.
protection contre
· Attaque par randomisation ;
· Attaque par abstention forcé ;
· Attaque par simulation ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 10 / 38
46. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 11 / 38
47. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Fonctionnement
TABLE 2: Description détaillé du schéma
Phases de vote Actions Primitives cryptographique
Enregistrement R vérifie l’éligibilité de Vi
Génération et transmission à Vi d’un crédit anonyme
Enregistrement de la paire (identifiant, crédit chiffré)
Vote Identification de Vi et construction du vote vi = (A,B,C)
A = chiffT candidat, B = chiffcredit Chiffrement ElGamal
C = preuve Preuve de validité
Transmission de vi sur BB
Décompte Exclusion des votes invalide
Élimination des crédits dupliqués PET
Mixer des votes muni de leur crédit Mixnet à rechiffrement
Élimination des votes accompagnés de crédit non valide PET
Déchiffrer le reste des votes et compter les voix Déchiffrement ElGamal
Publication Vérifier et publier le résultat
Limites
Inefficience du schéma car le décompte est effectué en temps quadratique [weber, 2006]
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 12 / 38
48. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005
Fonctionnement
TABLE 2: Description détaillé du schéma
Phases de vote Actions Primitives cryptographique
Enregistrement R vérifie l’éligibilité de Vi
Génération et transmission à Vi d’un crédit anonyme
Enregistrement de la paire (identifiant, crédit chiffré)
Vote Identification de Vi et construction du vote vi = (A,B,C)
A = chiffT candidat, B = chiffcredit Chiffrement ElGamal
C = preuve Preuve de validité
Transmission de vi sur BB
Décompte Exclusion des votes invalide
Élimination des crédits dupliqués PET
Mixer des votes muni de leur crédit Mixnet à rechiffrement
Élimination des votes accompagnés de crédit non valide PET
Déchiffrer le reste des votes et compter les voix Déchiffrement ElGamal
Publication Vérifier et publier le résultat
Limites
Manque de complétude : suppression des votes valides
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 12 / 38
49. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques
Courbe elliptique sur un corps quelconque
Definition
Soit k un corps, une courbe elliptique E définie sur le corps k est donné par l’équation
de Weierstrass :
E : y2
+a1xy +a3y = x3
+a2x2
+a4x +a6 (1)
où ai ∈ k et ∆ = 0 avec ∆ le discriminant de E
FIGURE 2: Courbe d’équation
y2
= x3
−3x +4 sur R
FIGURE 3: Courbe d’équation
y2
+y = x3
−7x +6 sur R
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 13 / 38
50. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques
Courbes elliptiques définies sur un corps fini
Représentation est constituée d’un ensemble de point discret
FIGURE 4: Courbe d’équation
y2
= x3
+2x +3 sur F997
FIGURE 5: Courbe d’équation
y2
= x3
+10x +4 sur F13
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 14 / 38
51. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Soient E une courbe elliptique définie sur un corps fini Fp, P un sous-groupe
cyclique de E(Fp) d’ordre premier n engendré par le point P et un point Q ∈ P ,
chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P. L’entier k est le logarithme discret de
Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z. La multiplication scalaire,
notée [k]P, est la fonction définie comme suit :
E(Fp)×Z −→ E(Fp)
(P,k) −→ [k]P = P +P +...+P
k fois
avec [0]P = O et [k]P = [−k](−P)
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 15 / 38
52. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Soient E une courbe elliptique définie sur un corps fini Fp, P un sous-groupe
cyclique de E(Fp) d’ordre premier n engendré par le point P et un point Q ∈ P ,
chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P. L’entier k est le logarithme discret de
Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z. La multiplication scalaire,
notée [k]P, est la fonction définie comme suit :
E(Fp)×Z −→ E(Fp)
(P,k) −→ [k]P = P +P +...+P
k fois
avec [0]P = O et [k]P = [−k](−P)
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 15 / 38
53. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques
Problème du logarithme discret sur les courbes
elliptiques (PLD)
Definition (PLD sur les courbes elliptiques)
Soient E une courbe elliptique définie sur un corps fini Fp, P un sous-groupe
cyclique de E(Fp) d’ordre premier n engendré par le point P et un point Q ∈ P ,
chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P. L’entier k est le logarithme discret de
Q en base P.
Definition (Multiplication scalaire)
Soient E une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z. La multiplication scalaire,
notée [k]P, est la fonction définie comme suit :
E(Fp)×Z −→ E(Fp)
(P,k) −→ [k]P = P +P +...+P
k fois
avec [0]P = O et [k]P = [−k](−P)
Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques
Fonction est « à sens unique »
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 15 / 38
54. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
Schéma de Porkodi et al 2011 (version simplifiée)
Phase de vote
· l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,P) où
C = (ci,1,ci,2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pj ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pj
P est la preuve de validité du vote
· transmission de vi sur le tableau de vote publique ;
Phase de décompte
· calculer :
c = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci,1,
m
∑
i=1
ci,2) = ( (
m
∑
i=1
αi ) P, (
m
∑
i=1
αi ) h +(
r
∑
j=1
[dj ]Pj ))
· Les autorités Aj envoient wj = [sj ]c1 ;
· Calculent c2 −[s]c1
· Déterminent (d1,...,dr ) pour cela calculer ∑r
j=1 [dj ]Pj et comparer avec c2 −[s]c1
Limite
Ce schéma n’est pas résistant à la coercition car ne satisfait pas le receipt-freeness
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 16 / 38
55. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
Schéma de Porkodi et al 2011 (version simplifiée)
Phase de vote
· l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,P) où
C = (ci,1,ci,2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pj ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pj
P est la preuve de validité du vote
· transmission de vi sur le tableau de vote publique ;
Phase de décompte
· calculer :
c = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci,1,
m
∑
i=1
ci,2) = ( (
m
∑
i=1
αi ) P, (
m
∑
i=1
αi ) h +(
r
∑
j=1
[dj ]Pj ))
· Les autorités Aj envoient wj = [sj ]c1 ;
· Calculent c2 −[s]c1
· Déterminent (d1,...,dr ) pour cela calculer ∑r
j=1 [dj ]Pj et comparer avec c2 −[s]c1
Limite
Ce schéma n’est pas résistant à la coercition car ne satisfait pas le receipt-freeness
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 16 / 38
56. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
Schéma de Porkodi et al 2011 (version simplifiée)
Phase de vote
· l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,P) où
C = (ci,1,ci,2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pj ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pj
P est la preuve de validité du vote
· transmission de vi sur le tableau de vote publique ;
Phase de décompte
· calculer :
c = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci,1,
m
∑
i=1
ci,2) = ( (
m
∑
i=1
αi ) P, (
m
∑
i=1
αi ) h +(
r
∑
j=1
[dj ]Pj ))
· Les autorités Aj envoient wj = [sj ]c1 ;
· Calculent c2 −[s]c1
· Déterminent (d1,...,dr ) pour cela calculer ∑r
j=1 [dj ]Pj et comparer avec c2 −[s]c1
Limite
Ce schéma n’est pas résistant à la coercition car ne satisfait pas le receipt-freeness
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 16 / 38
57. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011
Schéma de Porkodi et al 2011 (version simplifiée)
Phase de vote
· l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,P) où
C = (ci,1,ci,2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pj ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pj
P est la preuve de validité du vote
· transmission de vi sur le tableau de vote publique ;
Phase de décompte
· calculer :
c = (c1,c2) = (
m
∑
i=1
ci,1,
m
∑
i=1
ci,2) = ( (
m
∑
i=1
αi ) P, (
m
∑
i=1
αi ) h +(
r
∑
j=1
[dj ]Pj ))
· Les autorités Aj envoient wj = [sj ]c1 ;
· Calculent c2 −[s]c1
· Déterminent (d1,...,dr ) pour cela calculer ∑r
j=1 [dj ]Pj et comparer avec c2 −[s]c1
Limite
Ce schéma n’est pas résistant à la coercition car ne satisfait pas le receipt-freeness
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 16 / 38
58. Proposition d’un schéma de vote électronique
Notre schéma
schéma
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
61. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Comment résisté à la coercition ?
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 17 / 38
62. Proposition d’un schéma de vote électronique
Notre schéma
schéma
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
65. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Comment résisté à la coercition ?
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 17 / 38
66. Proposition d’un schéma de vote électronique
Notre schéma
schéma
· Basé sur la théorie des courbes elliptiques ;
· le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ;
participants
69. les autorités :
d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l]
de décompte Tj avec j ∈ [1,n]
Comment résisté à la coercition ?
Pour le faire l’électeur crée un faux crédit
Pour l’attaquant : faux ≈ vrai
Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 17 / 38
70. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Chiffrement ElGamal distribué
Génération des clés distribuées
choisir une courbe elliptique E(Fp) et G un point de E d’ordre q
Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = [s]G.
Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir.
Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1
, a0 = P(0) = s
Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Diffie Hellman.
Chiffrement
Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp), choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1]
calculer c = (c1,c2) avec c1 = [k]G et c2 = [k]h +m
Déchiffrement distribué
Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange :
m = c2 −[s]c1 où [s]c1 = ∑
j∈∆
λj wj et λj = ∏
k∈∆,k=j
(
k
k −j
)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 18 / 38
71. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Chiffrement ElGamal distribué
Génération des clés distribuées
choisir une courbe elliptique E(Fp) et G un point de E d’ordre q
Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = [s]G.
Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir.
Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1
, a0 = P(0) = s
Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Diffie Hellman.
Chiffrement
Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp), choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1]
calculer c = (c1,c2) avec c1 = [k]G et c2 = [k]h +m
Déchiffrement distribué
Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange :
m = c2 −[s]c1 où [s]c1 = ∑
j∈∆
λj wj et λj = ∏
k∈∆,k=j
(
k
k −j
)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 18 / 38
72. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Chiffrement ElGamal distribué
Génération des clés distribuées
choisir une courbe elliptique E(Fp) et G un point de E d’ordre q
Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = [s]G.
Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir.
Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1
, a0 = P(0) = s
Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Diffie Hellman.
Chiffrement
Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp), choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1]
calculer c = (c1,c2) avec c1 = [k]G et c2 = [k]h +m
Déchiffrement distribué
Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange :
m = c2 −[s]c1 où [s]c1 = ∑
j∈∆
λj wj et λj = ∏
k∈∆,k=j
(
k
k −j
)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 18 / 38
73. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Chiffrement ElGamal distribué
Génération des clés distribuées
choisir une courbe elliptique E(Fp) et G un point de E d’ordre q
Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = [s]G.
Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir.
Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1
, a0 = P(0) = s
Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Diffie Hellman.
Chiffrement
Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp), choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1]
calculer c = (c1,c2) avec c1 = [k]G et c2 = [k]h +m
Déchiffrement distribué
Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange :
m = c2 −[s]c1 où [s]c1 = ∑
j∈∆
λj wj et λj = ∏
k∈∆,k=j
(
k
k −j
)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 18 / 38
74. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Autres outils
Mixnet à rechiffrement universellement vérifiable
Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ;
Correspondance entrée / sortie difficile ;
Preuve de rechiffrement après permutation
Preuves à divulgation nulle de connaissance
Égalité de logarithme discret :
Protocole de Chaum-Pedersen
Prouveur connait x et veut montrer que B = [x]G et C = [x]H
Validité du contenu d’un message chiffré :
Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique
Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext
(message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 19 / 38
75. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Autres outils
Mixnet à rechiffrement universellement vérifiable
Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ;
Correspondance entrée / sortie difficile ;
Preuve de rechiffrement après permutation
Preuves à divulgation nulle de connaissance
Égalité de logarithme discret :
Protocole de Chaum-Pedersen
Prouveur connait x et veut montrer que B = [x]G et C = [x]H
Validité du contenu d’un message chiffré :
Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique
Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext
(message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 19 / 38
76. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Construction du crédit anonyme
® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ;
® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ;
Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures).
signatures agrégées [Boneh et al, 2003]
® Introduite par Boneh et al en 2003 ;
® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs
signataires de signer des messages différents et ensuite d’agréger ces différentes
signatures en une seule ;
® Étant donné n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est
possible d’agréger ces signatures en une seule ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 20 / 38
77. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Construction du crédit anonyme
® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ;
® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ;
Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures).
signatures agrégées [Boneh et al, 2003]
® Introduite par Boneh et al en 2003 ;
® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs
signataires de signer des messages différents et ensuite d’agréger ces différentes
signatures en une seule ;
® Étant donné n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est
possible d’agréger ces signatures en une seule ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 20 / 38
78. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Schéma de signature agrégée basé sur les courbes
elliptiques
Soient F = E(Fp) le groupe de points de E définie sur un corps Fp, P un générateur
de F d’ordre q , H : {0,1}∗
→ F une fonction de hachage.
Génération des clés
Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante
1 choisir aléatoirement x ∈ Z∗
q et calculer v = [x]P ;
2 la clé publique est v et la clé privée x ;
Signature
pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗
:
1 calculer h = H(m) où h ∈ F ;
2 calculer σ = [x]h c’est la signature ;
Agrégation
pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) :
1 le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗
;
2 calculer δ = ∑n
i=1 σi la signature agrégé est δ ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 21 / 38
79. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Schéma de signature agrégée basé sur les courbes
elliptiques
Soient F = E(Fp) le groupe de points de E définie sur un corps Fp, P un générateur
de F d’ordre q , H : {0,1}∗
→ F une fonction de hachage.
Génération des clés
Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante
1 choisir aléatoirement x ∈ Z∗
q et calculer v = [x]P ;
2 la clé publique est v et la clé privée x ;
Signature
pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗
:
1 calculer h = H(m) où h ∈ F ;
2 calculer σ = [x]h c’est la signature ;
Agrégation
pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) :
1 le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗
;
2 calculer δ = ∑n
i=1 σi la signature agrégé est δ ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 21 / 38
80. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Schéma de signature agrégée basé sur les courbes
elliptiques
Soient F = E(Fp) le groupe de points de E définie sur un corps Fp, P un générateur
de F d’ordre q , H : {0,1}∗
→ F une fonction de hachage.
Génération des clés
Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante
1 choisir aléatoirement x ∈ Z∗
q et calculer v = [x]P ;
2 la clé publique est v et la clé privée x ;
Signature
pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗
:
1 calculer h = H(m) où h ∈ F ;
2 calculer σ = [x]h c’est la signature ;
Agrégation
pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) :
1 le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗
;
2 calculer δ = ∑n
i=1 σi la signature agrégé est δ ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 21 / 38
81. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés
Schéma de signature agrégée basé sur les courbes
elliptiques
Soient F = E(Fp) le groupe de points de E définie sur un corps Fp, P un générateur
de F d’ordre q , H : {0,1}∗
→ F une fonction de hachage.
Génération des clés
Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante
1 choisir aléatoirement x ∈ Z∗
q et calculer v = [x]P ;
2 la clé publique est v et la clé privée x ;
Signature
pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗
:
1 calculer h = H(m) où h ∈ F ;
2 calculer σ = [x]h c’est la signature ;
Agrégation
pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) :
1 le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗
;
2 calculer δ = ∑n
i=1 σi la signature agrégé est δ ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 21 / 38
82. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
83. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
84. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
85. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
86. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
87. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
88. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
89. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
90. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
91. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
92. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement
Première phase : Configuration
‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2
= x3
+ax +b et G un générateur de
E(Fp) d’ordre q ;
ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système
cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ;
„ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ;
… représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r
]P ∈ E(Fp).
Abstention=candidat ;
illustration
Deuxième phase : enregistrement
‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ;
ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n
i=1 σi ;
„ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ;
… Les autorités Rj rechiffrent Si ,
† Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38
93. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Troisième phase : vote
‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés
précédemment ;
ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ,εi ) et construit son vote vi = (C,A,B,P)
où
C = (ci1,ci2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pr
A est le chiffrement du crédit anonyme δi
B = ∆i = [εi ]δ
P est la preuve de validité du vote
„ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à
rechiffrement universellement vérifiable) ;
illustration
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 23 / 38
94. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Troisième phase : vote
‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés
précédemment ;
ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ,εi ) et construit son vote vi = (C,A,B,P)
où
C = (ci1,ci2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pr
A est le chiffrement du crédit anonyme δi
B = ∆i = [εi ]δ
P est la preuve de validité du vote
„ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à
rechiffrement universellement vérifiable) ;
illustration
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 23 / 38
95. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Troisième phase : vote
‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés
précédemment ;
ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ,εi ) et construit son vote vi = (C,A,B,P)
où
C = (ci1,ci2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté
par Pr
A est le chiffrement du crédit anonyme δi
B = ∆i = [εi ]δ
P est la preuve de validité du vote
„ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à
rechiffrement universellement vérifiable) ;
illustration
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 23 / 38
96. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) =
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1 =
m
∑
i=1
αi G,
m
∑
i=1
(αi ) h +
k
∑
r=1
[dr ]Pr
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer [s]c1
[P(0)]c1 = ∑t
i=1 si ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i c1 ⇒ [P(0)]c1 = ∑t
i=1 si c1 ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i
calculer c2 −[s]c1
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 24 / 38
97. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) =
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1 =
m
∑
i=1
αi G,
m
∑
i=1
(αi ) h +
k
∑
r=1
[dr ]Pr
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer [s]c1
[P(0)]c1 = ∑t
i=1 si ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i c1 ⇒ [P(0)]c1 = ∑t
i=1 si c1 ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i
calculer c2 −[s]c1
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 24 / 38
98. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) =
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1 =
m
∑
i=1
αi G,
m
∑
i=1
(αi ) h +
k
∑
r=1
[dr ]Pr
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer [s]c1
[P(0)]c1 = ∑t
i=1 si ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i c1 ⇒ [P(0)]c1 = ∑t
i=1 si c1 ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i
calculer c2 −[s]c1
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 24 / 38
99. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Quatrième phase : décompte
‚ Vérification des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est
incorrect ;
ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides
„ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des
votes valides ;
ct = (c1,c2) =
m
∑
i=1
ci1,
m
∑
i=1
ci1 =
m
∑
i=1
αi G,
m
∑
i=1
(αi ) h +
k
∑
r=1
[dr ]Pr
… Coopération de Tj pour déchiffrer ct .
Reconstruction de la clé privée s pour calculer [s]c1
[P(0)]c1 = ∑t
i=1 si ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i c1 ⇒ [P(0)]c1 = ∑t
i=1 si c1 ∏1≤i≤t
i=j
j
j−i
calculer c2 −[s]c1
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 24 / 38
100. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Quatrième phase : décompte (suite)
† compter les voix.
Calculer la somme ∑r [dr ]Pr
Comparer le résultat à celui du calcul de c2 −[s]c1.
lorsque les deux valeurs coïncident en déduire dr , (r ∈ [1,k])
Remarque
Pour k ≥ 3 la détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k
r=0 [dr ]Pr dans E(Fp)
est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de
sous-ensemble qui est NP-complet.
Cinquième phase : publication des résultats
.
1 Vérifier que le chiffrement ct est correct.
2 Vérifier que le déchiffrement distribué de ct est correct
Après vérifications, le résultat final est publié.
illustration Décompte
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 25 / 38
101. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Analyse du Schéma
Le schéma assure les propriétés suivantes :
Éligibilité
Secret des votes
Précision
Équité
Complétude
Pas de double vote
Vérifiabilité universelle
Receipt freeness
Résistance à la coercition
Limites
Pas de vérifiabilité individuelle : la possibilité n’est pas offerte aux électeurs de vérifier le contenu de leur vote
TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma
Propriétés JCJ Porkodi notre schéma
Complétude non oui oui
Vérifiabilité universelle oui oui oui
Vérifiabilité individuelle non oui non
Résistance à la coercition oui non oui
Go to conclusion
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38
102. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Analyse du Schéma
Le schéma assure les propriétés suivantes :
Éligibilité
Secret des votes
Précision
Équité
Complétude
Pas de double vote
Vérifiabilité universelle
Receipt freeness
Résistance à la coercition
Limites
N’est pas approprié pour une élection à un nombre de candidat k ≥ 3
TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma
Propriétés JCJ Porkodi notre schéma
Complétude non oui oui
Vérifiabilité universelle oui oui oui
Vérifiabilité individuelle non oui non
Résistance à la coercition oui non oui
Go to conclusion
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38
103. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Analyse du Schéma
Le schéma assure les propriétés suivantes :
Éligibilité
Secret des votes
Précision
Équité
Complétude
Pas de double vote
Vérifiabilité universelle
Receipt freeness
Résistance à la coercition
Limites
TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma
Propriétés JCJ Porkodi notre schéma
Complétude non oui oui
Vérifiabilité universelle oui oui oui
Vérifiabilité individuelle non oui non
Résistance à la coercition oui non oui
Go to conclusion
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38
104. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma
Analyse du Schéma
Le schéma assure les propriétés suivantes :
Éligibilité
Secret des votes
Précision
Équité
Complétude
Pas de double vote
Vérifiabilité universelle
Receipt freeness
Résistance à la coercition
Limites
TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma
Propriétés JCJ Porkodi notre schéma
Complétude non oui oui
Vérifiabilité universelle oui oui oui
Vérifiabilité individuelle non oui non
Résistance à la coercition oui non oui
Go to conclusion
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38
105. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons une courbe elliptique E définie sur le corps Fp d’équation
y2
= x3
+4x +20 (mod 10007) avec p = 10007 et un point de base G de
coordonnées (2,6) d’ordre 2011,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = [s]G = (5919,4268)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = [n]G = (8850,665)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 27 / 38
106. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons une courbe elliptique E définie sur le corps Fp d’équation
y2
= x3
+4x +20 (mod 10007) avec p = 10007 et un point de base G de
coordonnées (2,6) d’ordre 2011,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = [s]G = (5919,4268)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = [n]G = (8850,665)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 27 / 38
107. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons une courbe elliptique E définie sur le corps Fp d’équation
y2
= x3
+4x +20 (mod 10007) avec p = 10007 et un point de base G de
coordonnées (2,6) d’ordre 2011,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = [s]G = (5919,4268)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = [n]G = (8850,665)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 27 / 38
108. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Première phase : configuration
Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de
décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de
notre schéma de vote.
Phase de configuration
x Nous choisissons une courbe elliptique E définie sur le corps Fp d’équation
y2
= x3
+4x +20 (mod 10007) avec p = 10007 et un point de base G de
coordonnées (2,6) d’ordre 2011,
y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué.
Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique
h = [s]G = (5919,4268)
Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5)
génération du polynôme secret P(x) = 215x2
+139x +248 (mod 257)
calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101),
(3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage
de clé de Diffie- Hellman.
Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée.
z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée
SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = [n]G = (8850,665)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 27 / 38
109. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Phase de configuration (suite)
{ Enregistrement des candidats cr et représentation de ceux-ci comme des points
de E(Fp). Nos 4 candidats sont représentés par :
Tableau des candidats
Numéros Nom encodage
0 Abstention P0 = P (372,441)
1 Candidat 1 P1 = [(10 +1)]P = [11]P (7587,5187)
2 Candidat 2 P2 = (10 +1)2
P = [121]P (4158,1719)
3 Candidat 3 P3 = (10 +1)3
P = [1331]P (2057,5956)
Retour.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 28 / 38
110. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Deuxième phase : enregistrement
x Enregistrement des électeurs par Rj j ∈ [1,3] dans un bureau d’enregistrement.
y Transmission du crédit anonyme δ
Pour 10 électeurs nous obtenons les valeurs suivantes :
Tableau des électeurs
Identifiant votant crédit(δi )
1 V1 (3363 , 649 )
2 V2 (8909 , 9177 )
3 V3 (2637 , 6635 )
4 V4 (3988 , 7365 )
5 V5 (5331 , 9187 )
6 V6 (2128 , 3659 )
7 V7 (1840 , 4566 )
8 V8 (942 , 7912 )
9 V9 (1842 , 9216 )
10 V10 (9445 , 3839 )
Retour.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 29 / 38
116. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Quatrième phase : décompte (fin)
z Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr
C = (c1,c2)
=
10
∑
i=1
ci1,
10
∑
i=1
ci1
=
10
∑
i=1
(γi ) G,
10
∑
i=1
(γi ) h +
3
∑
r=0
[dr ]Pr
On obtient c1 = ∑10
i=1 ci1 = (1556,6700) et c2 = ∑10
i=1 ci2 = (9839,3723)
{ Déchiffrer les votes.
Reconstruction de la clé : supposons que nous avons les parts des 3 premières
autorités (1,88), (2,101), (3,30). Nous calculons
[P(0)]c1 = [s1]c1
2·3
(2−1)(3−1)
+[s2]c1
1·3
(1−2)(3−2)
+[s3]c1
1·2
(1−3)(2−3)
= [88]c1
6
2 +[101]c1
3
−1 +[30]c1 mod 257
= [264]c1 −[46]c1 +[30]c1 = [248]c1
= (6163,6689)
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 35 / 38
117. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE
Nous obtenons [s]c1 = (6163,6689),
le déchiffrement s’obtient en calculant c2 −[s]c1 = (3647,9144).
| compter les voix. calculer ∑3
r=0 [dr ]Pr en comparant le résultat à celui du calcul de
c2 −[s]c1. Pour notre exemple après calcul nous obtenons
∑3
r=0 [dr ]Pr = [3]P0 +[2]P1 +[4]P2 +P3 = (3647,9144)
Cinquième phase : publication des résultats
Après le décompte des voix et la vérification, les résultats sont publiés
Tableau des résultats
Numéros Nom nombre de voix
0 Abstention 3
1 Candidat 1 2
2 Candidat 2 4
3 Candidat 3 1
Le vainqueur est le candidat 2.
Retour.
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 36 / 38
127. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 37 / 38
137. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ;
Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 37 / 38
138. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 38 / 38