Logica de predicados

RAZONAMIENTO MATEMATICO 5º

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº1
APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F
FECHA: …….MARZO 2012 TIEMPO: 3 HORAS

Razonamiento y demostración
Identifica los principales conectores lógicos y sus respectivas propiedades

Los términos “y", "o", "no", "si... entonces..:" y "si y sólo si", se llaman conectivos lógicos porque sirven para
UNIR dos o más proposiciones simples o compuestas. Los símbolos son.

Símbolo Nombre Lenguaje común
~ Negación “no”, “no es cierto que” “no es el caso que”
“y”, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, a
 Conjunción
pesar que, no obstante
Ѵ Disyunción inclusiva “o”
 Disyunción exclusiva “o”, “o... o...”
“si... entonces...”, “si... dado que...”, “... siempre que...”
 Condicional
“….porque…”, “….en vista que….”
 Bicondicional “sí y solo sí”

1. Conjunción ( )
Une dos proposiciones mediante el término “y”
Ejemplo:
Juan es estudiante y juega fútbol

p: Juan es estudiante
En símbolos p  q
q: Juan juega fútbol

2. Disyunción Débil o Inclusiva ( )
Une dos proposiciones mediante el término “o”
Ejemplo:
Juan irá al cine o al estadio

p: Juan irá al cine
En símbolos pѵq
q: Juan irá al estadio

1. Disyunción fuerte o Exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.
Ejemplo:
Einstein era Peruano o Judío
P: Einstein era Peruano
En símbolos p  q
q: Einstein era Judío

3. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”
Ejemplo:
Si trabajas entonces tendrás dinero
P: Trabajas
En símbolos p  q
q: Tendrás dinero

Pablo Ninaquispe Cesar Enriquez Página 1


4. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”
Ejemplo:
Serás profesional si y solo si estudias
P: Serás profesional
En símbolos p  q
q: Estudias

5. Negación (~)
Cambia el valor de verdad de la proposición
Ejemplo:
No es cierto que Juan sea ingeniero y médico
P: Juan es Ingeniero
En símbolos ~(p  q)
q: Juan es médico

Observación
Cuando en un párrafo se escribe los términos
No es el caso que……………………………y………………………….
En estos casos , los
indicados términos
~~ pp 𝚲 q
q niegan toda la
proposición compuesta
Es falso que ………………………………. Y ..………………………..
~(p 𝚲 q)

~ p 𝚲 q

I. Escribir la representación simbólica de la proposición compuesta

1. Mario es bueno y es alto.

𝑝⋀𝑞

2. No es verdad que Mario no es bueno o que no es alto"

q
𝑝 𝑞

3. SI p = "José es médico", q = "José es dentista" r = "Fidel es ingeniero".
Escribir cada una de las siguientes proposiciones en Forma simbólica.

A. José es médico y Fidel es ingeniero.

B. Si José es médico o Fidel es ingeniero, entonces José es dentista.



C. José no es médico; pero Fidel no es ingeniero.

D. Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico.

II. Si: p = "José es médico", q = "José es dentista" y r = "Fidel es ingeniero".
Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones.
A. p ~q

José es médico y no es dentista

B. (~p v q) r
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

C. p ~ q
………………………………………………………………………………………………………………………………

D. r => (p v q)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

Responde las siguientes preguntas desarrollando en tu cuaderno de trabajo
I. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Estudio sistemáticamente
q : Obtendré buenas calificaciones en Álgebra
r : Voy a bailar todos los fines de semana
s : Me sentiré feliz
Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas:
A. r⇒ s
B. p⇒ ( q s)
C. q p
D. (p r )⇒ q
Dadas las siguientes proposiciones:
p : Los Bancos Hipotecarios bajan a un 6 % los intereses de los préstamos
q : La venta de casas y departamentos experimentará un alza significativa
r : Disminuirá la demanda de arriendo de casas y departamentos
Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas.
A. p⇒ ( q r )
B. (q r)
C. (p⇒r)
D. p⇒ ( q r)
II. Identificar las proposiciones, sus conectores, luego expresarlo en un lenguaje formal.
a) Eddy es joven y honrado
b) El gerente habla inglés o francés
c) Raimondi era Italiano o Peruano
d) Si estudias entonces ingresaras
e) Serás un excelente medico si y solo si te esfuerzas en tus estudios.
f) No es cierto que, Tito sea pintor y se levante temprano.



APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN:
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 min

RECOMENDACIONES. ENCIERRA DENTRO DE UN CÍRCULO LA ALTERNATIVA
CORRECTA, TODO BORRON O ENMENDADURA INVÁLIDA TÚ RESPUESTA

1. Dadas las siguientes premisas:
p: Rodrigo es abogado.
q: Arturo es biólogo.
r: Arturo es administrador.
¿Cuál es la expresión simbólica de?
“Si Arturo es biólogo además Rodrigo no es abogado, entonces Arturo no es administrador”

a) (q  p)  ~r b) (q  ~p)  ~r c) (q  p)  r d) (q  ~p)  r e) (q p)  r

2. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Daniel es comerciante.
q : Daniel es un próspero industrial.
r : Daniel es ingeniero.
Simboliza el enunciado:
“Si no es el caso que Daniel sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es
ingeniero o no es comerciante”

a) ~(p  q)  (r  p) b) (~p  q)  (r  p) c) ~(p  q)  (r  p)
d) ~(p  q)  (r  ~p) e)(~p  ~q)  (~r  p)

3. Dadas las proposiciones :
p : Lenin aprueba sus cursos
q : Lenin va a la fiesta
r : Lenin estudia para su examen
Simbolizar:
“Si Lenin va a la fiesta entonces no estudiará para su examen, pero no es el caso que vaya a la
fiesta y aprueba sus cursos. De ahí que Lenin estudia para su examen”
(q r)  (q q)  r
b)  (qr) (qp)  r
c) (q r) (q  p)  r
d) (q r) (qp)  r
e) (q r) (qp) r

4. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Daniel es comerciante.
q : Daniel es un próspero industrial.
r : Daniel es ingeniero.
Simboliza el enunciado:

“Si no es el caso que Daniel sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es
ingeniero o no es comerciante”

a) ~(p  q)  (r  p)
b) (~p  q)  (r  p)
c) ~(p  q)  (r  p)
d) ~(p  q)  (r  ~p)
e) (~p  ~q)  (~r  p)




FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 3 horas

1. Conjunción ( )
Une dos proposiciones mediante el término “y”
Tabla de valores de verdad de la conjunción

p q p ⋀ q
V V V La Conjunción es verdadera solo cuando
V F F ambas proposiciones son verdaderas
F V F
F F F

2. Disyunción Débil o Inclusiva ( )
Une dos proposiciones mediante el término “o”

p q p q La disyunción débil es falsa cuando los dos
V V V componentes son falsas; en los demás casos es
V F V verdadera”.
F V V Además si ambas componentes son verdaderas, la
F F F disyunción débil es verdadera, por esto se llama
también disyunción inclusiva.

3. Disyunción fuerte o Exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.

p q p  q
La disyunción fuerte es verdadera
V V F
cuando sólo una de las componentes es
V F V verdadera; en los demás casos es falsa”.
F V V Además si ambas componentes son
F F F verdaderas, la disyunción fuerte es falsa,
por esto se llama disyunción exclusiva
4. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”

p q p q
V V V
“El condicional es FALSO cuando el
V F F
antecedente es verdadero y el consecuente
F V V es falso; en los demás casos es verdadero”
F F V

5. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”

p q p q
V V V
V F F “El bicondicional es VERDADERO cuando
las dos componentes tienen igual valor de
F V F
verdad; en los demás casos es falso”.
F F V



6. Negación (~)
Cambia el valor de verdad de la proposición

Una tabla de verdad es un esquema de filas y columnas que presentan los valores de verdad de las
variables y los conectivos que intervienen en un esquema molecular.

Evaluar un esquema consiste en determinar los valores de verdad del conectivo principal.

JERARQUIA DE CONECTORES LOGICOS
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional
y la disyunción fuerte y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante
la siguiente proposición:

El correcto para resolverlo sería para este caso:

1. Primero negamos

2. Luego resolvemos la conjunción

3. Por ultimo resolvemos la implicación.

RESULTADOS DE UNA TABLA
De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:

TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo: La proposición “p ( p  q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q p  (p  q)
V V V V V
V F V V V
F V F V V
F F F V F

CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos.

Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q (p  q)  ~q
V V V F F
V F F F V
F V F F F
F F F F V

4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-
Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad.

Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q (p  q) ~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V V



EJEMPLO Nº1
Al resolver la tabla de verdad de: [ ] indique el resultado de la matriz
principal
EJEMPLO Nº2
Se define las proposiciones.
⋀

Además la proposición [ ] Es verdadera. Halle los valores de verdad
de “p”, “q”, “r”.

EJEMPLO Nº3
Sabiendo que
[ ] ⋀ Es verdadero y la proposición
es falsa ,
halle los valores de verdad de “p”,”q”,”s”

DESARROLLA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN TU CUADERNO DE TRABAJO

PROBLEMA 5
PROBLEMA Nº1 Si la proposición
Determine si las siguientes proposiciones [ ]
son leyes lógicas Es verdadera, entonces determine los
a) ⋀ valores de verdad de p, q, r, s
b) Además es falso

PROBLEMA Nº2 PROBLEMA 6
Determine la matriz principal de Si “s” es verdadera y la proposición
[ ]
Es falso , halle los valores de “p”, “q” y
PROBLEMA Nº3 “r”.
Dada la proposiciones
PROBLEMA 7
¿Cuáles son Tautologías?
a) [ ]
Calcule el valor veritativo de b) [ ⋀ ]
[ ]⋀
PROBLEMA Nº8
PROBLEMA 4 Si la proposición
Sabiendo que la proposición “p” es [ ] [ ]
verdadera. ¿En cuál de los siguientes Es verdadera, halle los valores de verdad
casos es suficiente dicha información de cada una las proposiciones p, q, r, s.
para determinar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones?
A.
B.
C.
D. ⋀




APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………..….SECCIÓN: A-B-C-D-E-F-
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 3 horas
PABLONINAQUISPE - CESAR ENRIQUEZ

1. Cuantos “V” o “F” tienen la matriz b) FVV
principal de c) VVV
[ ] d) VVF
en ese orden. e) FFF
a) 2 y 6 6. {[ ] } es
b) 3 y 5 verdadero, halle el valor de verdad de
c) 8(v) [ ] [ ]
d) 8(f)
a) verdadero
e) 6 y 2
b) falso
2. Si [ ] es falso c) VoF
, Hallar el valor de verdad de: d) VyF
[ ] e) No se puede determinar
7. Si [ ] [ ] es
a) V
b) F falsa , halle los valores de verdad de
c) VoF “p”, “q” y “r”
d) VyF
e) No se puede determinar a) VFF
3. Si b) VVF
[ ] c) VVV
es falsa , halle el valor de verdad de d) FVV
e) FFF
a) V
b) F 8. Si la proposición ⋀ es
c) VoF verdadera, halle los valores de verdad
d) VyF de:
e) No se puede determinar
y
4. Si las proposiciones
[ ] y
son equivalentes a F , a) VF
b) FF
entonces determine el valor de
c) VV
verdad de y d) FV
[ ] e) No se puede determinar
9. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones
a) VV son tautologías
b) FF
c) VF a) {[ ] }
d) FV
e) No se puede determinar b) {[ ] }
5. Si [ ] es falso y además
“q” es verdadero. Determine los
valores de verdad de “p”, “q” y “r”

a) FVF



PRUEBA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO Nº2
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 30min

Comunicación Matemática: Analiza la tabla de verdad en proposiciones compuestas aplicando las propiedades de los conectores
lógicos.

I. Halla la tabla de verdad de las siguiente proposiciones e indica si es tautología, contradicción o
contingencia
A. [ ] B. [ ] [ ]

II. Resuelve
A. Si la proposición [ ] [ ]
Es verdadera, halle los valores de verdad de cada una de las preposiciones (p, q, r, s).

B. Si la proposición
[ ] Es falsa, halle los valores de verdad de p, q y r

C. Sabiendo que:   Es falsa, halla los valores de verdad de:
  

  



PRUEBA DE RAZONAMIENTO MATEMATICO Nº2
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 30min

Comunicación Matemática: Analiza la tabla de verdad en proposiciones compuestas aplicando las propiedades de los conectores
lógicos.
I. Halla la tabla de verdad de las siguiente proposiciones e indica si es tautología, contradicción o
contingencia
A. [ ⋀ ] B. [ ] [ ]

I. Resuelve
A. Si la proposición
{[ ] } es verdadera además , halle

B. los valores de verdad de p, q , r, s
Si “s” es verdadera y la proposición [ ] ⋀ es falsa halle los valores
de verdad de p, q , r

C. Si la siguiente proposición:   
Es falsa, halla los valores de verdad de:

  
  




APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………..….SECCIÓN: A-B-C-D-E-F-
FECHA: …………ABRIL 2012 TIEMPO: 3 horas
PABLONINAQUISPE - CESAR ENRIQUEZ
Resolución de Problemas. Evalúa problemas de lógica de clases empleando las propiedades
LOGICA PREDICATIVA
Hemos visto anteriormente las diferentes formas de relacionar proposiciones mediante
los conectivos lógicos.
Ahora analizaremos la estructura interna de cada proposición, es decir la relación que
existente entre el sujeto y predicado.
I. PROPOSICIONES CATEGORICAS
Son aserciones que afirman o niegan que una clase (conjunto) esté incluida en otra, ya sea
total o parcialmente.

Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener:
 Cuantificador: todos, algún, ningún.
 Sujeto
 Verbo copulativo: ser
 Predicado.

Ejemplos
1. Todos los peces son acuáticos
 Cuantificador: todos(universal afirmativo)
 Sujeto: los peces
 Verbo copulativo: son
 Predicado: acuático
2. Ningún peruano es ecuatoriano
 Cuantificador: Ningún(universal negativo)
 Sujeto: peruano
 Verbo copulativo: es
 Predicado: ecuatoriano
3. Algunos libros son educativos
 Cuantificador: algunos(particular afirmativo)
 Sujeto: libros
 Predicado: predicado
4. Algunas bebidas no son alcohólicas
 Cuantificador: algunas(particular negativo)
 Sujeto: las bebidas
 Predicado: alcohólicas

II. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES
Para negar una proposición categórica, se debe cambiar tanto su cantidad (universal en
particular y viceversa), como su calidad (afirmativa en negativa y viceversa)
Ejemplos:



Identifica los elementos de las proposiciones siguientes, luego niega las proposiciones

1. Todas las aves son animales

2. Todo león no es un pez

3. Algún perro es consentido

4. Alguna ave no es gallina

5. Todos los pensionistas son pobres

6. Ningún felino es lento

7. Algún oso es viejo

8. Algún libro no es comprado

Clasificación de las proposiciones categóricas

CANTIDAD CUALIDAD
universal afirmativa
negativa
particular afirmativa
negativa

Solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las
siguientes:
1. Universales Afirmativas (llamadas tipo A)

Sea la proposición

“Todo pez es acuático”. Esta indica que la clase pez está incluida totalmente en la
clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es
P”

2. Universales Negativas (llamadas tipo E)

“Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningún elemento de la
clase de los niños pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de
exclusión total y se expresa por “Ningún S es P”

3. Particulares Afirmativas (llamadas tipo I)

“Algunos alumnos son artistas” es una proposición que señala que hay al menos
uno de la clase de los alumnos que está incluido en la clase de los artistas. Esta es
una relación de inclusión parcial y se expresa mediante “Algunos S son P”



4. Particulares Negativas (llamadas tipo O)

• La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas
no pertenecen a la clase de lo rojo. Aquí se establece una relación de exclusión
parcial y se denota como “Algunos S no son P”

REPRESENTACIÓN MEDIANTE EL DIAGRAMAS DE VENN

1. Universales Afirmativas
H
Todos los estudiantes son honestos
E
E H
 Cuantificador: todos(universal afirmativo)
 Sujeto: Estudiantes
 Predicado: Acuático El conjunto E está incluido
totalmente en el conjunto H

2. Universales Negativas
Ningún carnívoro es pez C P

C P
 Cuantificador: Ningún (universal negativo)
 Sujeto: Carnívoro
 Verbo copulativo: es El conjunto C está excluido
 Predicado: pez totalmente en el conjunto P

3. Particulares Afirmativas
Algunos estudiantes son trabajadores E T

E T X
 Cuantificador: Algunos (particular afirmativo)
 Sujeto: estudiantes
 Predicado: trabajadores Los conjunto “E” y “T” tienen
una inclusión parcial

4. Particulares Negativas
Algunos estudiantes no son trabajadores E T

E T X
 Cuantificador: Algunos (particular negativo)
 Sujeto: estudiantes
 Predicado: trabajadores Los conjunto “E”” está excluido
parcialmente del conjunto “T”



PROBLEMA 01
Si afirmamos: PROBLEMA 04
 Ningún Vietnamita es americano Si:
 Muchos valientes son  Ningún filósofo es acrítico
vietnamitas.  Ciertos filósofos son racionalistas
Entonces: Entonces:

a. Todo valiente no es americano. a. Algunos críticos son filósofos.
b. Ningún americano es valiente. b. Algunos racionalistas son
c. Muchos valientes mueren. acríticos.
d. Todo americano no es valiente. c. Algunos críticos son irracionales.
e. Muchos valientes no son d. Algunos racionalistas son críticos.
americanos e. Algunos críticos no son
racionalistas.
PROBLEMA 02
 Algunos estudiantes van a fiestas. PROBLEMA 05
 Todos los que van a fiestas Si:
pierden tiempo  Los médicos son profesionales.
Entonces:  Algunas personas no son
profesionales.
a. Los que van a fiestas no son Entonces:
estudiosos.
b. Los que van a fiestas son a. Toda persona es médico
estudiosos. b. Ningún médico es persona.
c. Algunos estudiosos pierden c. Es falso que los médicos sean
tiempo. personas.
d. Todos los estudiosos aprovechan d. Ciertas personas no son médicos.
el tiempo. e. Ningún no persona no es médico
e. No todos los que van a fiestas
aprovechan el tiempo. PROBLEMA 06
Si:
PROBLEMA 03  Los infantes son preescolares.
Si:  Cada bebé es un infante.
 Algunos mamíferos son Entonces:
rumiantes.
 Todo mamífero es vertebrado. a. Ningún bebé es preescolar.
Entonces: b. No existe preescolar que sea
bebé.
a. Algunos rumiantes son c. Los bebés son preescolares.
invertebrados d. Algún escolar es bebé.
b. Todo rumiante es vertebrado. e. Ningún bebé es escolar.
c. Algunos vertebrados son
rumiantes. PROBLEMA 07
d. Algunos vertebrados son Si:
mamíferos.  Todo hombre es racional.
e. Algunos rumiantes son  Ningún animal es un ser que
mamíferos. razona.
Entonces:

a. Algún animal es hombre.



b. Algún no animal no es hombre.
c. Ningún animal es hombre. PROBLEMA 12
d. Todo animal es siempre animal. Si:
e. Cierto no hombre no es hombre.  Muchos filósofos son críticos.
 Todo crítico es intrépido.
PROBLEMA 08 Entonces:
Si: a. Ningún filósofo es crítico.
 Ningún hombre es inmortal. b. Ningún filósofo es intrépido.
 Todo racional es inmortal. c. Algunos filósofos son intrépidos.
entonces d. Todo filósofo es intrépido.
a) Ningún racional es inmortal. e. Muchos filósofos no son
b) Todo racional es inmortal intrépidos.
c) Ningún irracional es inmortal
d) Todo racional es mortall PROBLEMA 13
e) Ningún mortal es irracional. Si:
 Algunos jóvenes son alienados.
PROBLEMA 09  Todo alienado es inmaduro.
Si: Entonces:
 Ningún francés es americano. a. Todos los jóvenes son inmaduros.
 Algún americano es peruano. b. Todos los jóvenes son alienados.
Entonces, se concluye que: c. Es falso que algunos jóvenes son
no alienados.
a. Algún peruano es francés. d. No todo joven es inmaduro.
b. Algún francés es no peruano. e. Algún joven no es maduro.
c. Algún no peruano es francés.
d. Algún peruano es no francés. PROBLEMA 14
e. Algún francés es peruano. Si afirmamos que:
 Ningún ave tiene alas.
PROBLEMA 10  Algunos mamíferos tienen alas.
Partiendo de las siguientes premisas: Se puede concluir que:
 Todo lo digno humaniza. a. Ningún mamífero es ave.
 Algún trabajo es digno. b. Algunas aves tienen alas.
Se concluye que: c. Algunos mamíferos son aves.
d. Algunos mamíferos no son aves.
a. Todo trabajo humaniza. e. Algunas aves son mamíferos.
b. No todo trabajo humaniza.
c. Algún trabajo no humaniza. PROBLEMA 15
d. Algún trabajo humaniza. Se afirma que:
e. Algún trabajador no es humano.  Todos los que habitan en Marte
f. son inteligentes.
PROBLEMA 11  Algunos que habitan en marte
Si: son caníbales.
 Todos los niños son juguetones. Entonces podemos afirmar que:
 Todo juguetón es travieso. a. Algunos que son inteligentes y
Entonces: habitan en Marte son caníbales.
a. No todos los niños son traviesos. b. Todos los que habitan en Marte
b. Todos los niños son traviesos. son caníbales.
c. No es cierto que todos los niños c. Algunos caníbales no habitan en
son traviesos. Marte.
d. No es cierto que todo travieso es d. Algunos inteligentes son
juguetón. caníbales.
e. Todos los traviesos son
juguetones.


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