الدرس-المحاصيل الزراعية في وطننا العربي. مرفت روماني يوسف شاكر شعبة ...
حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول
1. 7 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 8
ثانيا
حساب المثلثات
2. 7 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 7
الزاوية الموجهة :-
هى زاوية محصورة بين ضلعين أحدهما يسمى ضلع أبتدائى والاخر يسمى ضلع نهائى ولها أتجاه
يتحدد من الضلع الابتدائى الى الضلع النهائى
و أ يسمى ضلع أبتدائى و ب يسمى ضلع أبتدائى
و ب يسمى ضلع نهائى و أ يسمى ضلع نهائى
تسمى الزاوية أ و ب تسمى الزاوية ب و أ
لاحظ أن
ق ) أ و ب ( ق) ب و أ (
*************************************************************
للزاوية تقسيمان من حيث القياس
1( من حيث وحدة القياس يوجد نوعان (
أ قياس موجب ب قياس سالب – -
2( من حيث الاشارة )أتجاه الدوران ( (
أ قياس موجب ب قياس سالب - -
***************************************************************
أولا القياس من حيث الوحدة
1( القياس الستينى :- (
هو قياس وحداته الدرجة ، الدقيقة ، الثانية ويرمز له بالرمز س 1 // 06 = /1 ، / 06 = 2( القياس الدائرى :- (
هو قياس وحدته الدرجة الدائرية ) 1 ء
( ويرمز له بالرمز هـ
ء
القياس الدائرى لزاوية مركزية =
هـ
ء
= ـــــ ،،،، نق = ــــــ ،،، ل = هـ
ء نق ×
أ
و
ب
أ
و
ب
قياس الزاوية الموجهة
طول القوس الذى تحصره
طول نصف قطر الدائرة
هـ
ء
ل
نق
ل
نق
ل
هـ
ء
الزاوية الموجهة
3. 7 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 8
أوجد القياس الدائرى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 16 سم من دائرة طول نصف
قطرها 4سم
هـ
ء = ــــــ = ــــــ = 2.2
ء
***************************************************************
زاوية مركزية قياسها 1.2
ء تحصر قوسا طوله 8.2 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها
نق = ـــــــ = ـــــــــ = 2سم
*************************************************************
زاوية مركزية قياسها 1.4
ء تحصر قوساً طوله 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره
ل = هـ
ء 8 سم = 2 × نق = 1.4 ×
**************************************************************
هى زاوية مركزية تحصر قوسا طوله يساوى طول نصف قطر دائرتها ) ل = نق ( فيكون قياسها
الدائرى يساوى 1 ء
***************************************************************
ــــــــ = ــــــ ومنه نجد أن
1( س = (
2( هـء = (
ل
نق
16
4
ل
هـ
ء
8.2
1.2
الزاوية النصف قطرية
العلاقة بين القياسين الدائرى والستينى
س 176
هـ
ء
ط
176 × هـء
ط
ط × سْ
176
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
5. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 1
***************************************************************
حول كلا من القياسات الدائرية الاتية إلى القياس الستينى
1( هـ (
ء = س = = 86
2( هـ (
ء = س = = 066
0( هـ (
ء = س = = 102
أوجد بدلالة ط القياس الدائرى لكلا من القياسات الاتية
126 هـ )1(
ء
= =
126 هـ )2(
ء = =
012 هـ )0(
ء = =
06 هـ )4(
ء = =
ملاحظة
إذا أعطيت القياس الدائرى بدلالة ط فإنه يحول مباشرة إلى القياس الستينى
بالتعويض عن ط بـ 176
ط
2
176
2
2 ط
0
176 × 2
0
0ط
4
176 × 0
4
الحـــــــل
الحـــــــل
الحـــــــل
ط × 126
176
2ط
0
ط × 126
176
2ط
0
ط × 012
176
8 ط
4
ط × 06
176
ط
0
الحـــــــل
الحـــــــل
الحـــــــل
الحـــــــل
مثال
مثال
6. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
أوجد القياس الدائرى والقياس الستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله 2سم من
دائرة طول نصف قطرها 4سم
ل = 2سم
هـ
ء = ــــــ = ــــ = 1.22
ء نق= 4سم
س = = =
أوجد القياس الستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله 8سم من دائرة طول قطرها
16 سم
ل = 8سم
هـ
ء = ــــــ = ــــ = 1.7
ء نق= 2سم
س = = =
زاوية مركزية قياسها 126 طول نصف قطر دائرتها 2سم أوجد طول القوس الذى تحصره
هـء = = = 2.1 ء س = 126
نق= 2سم
16.2 سم = 2 × نق = 2.1 × ل = هـء
زاوية مركزية قياسها 126 تحصر قوساً طوله سم أوجد طول نصف قطر دائرتها
س = 126 ل = = 10.02
هـء = = = 2.0
نق = ـــــــ = = 2.22 سم
ل
نق
2
4
176 × هـء
ط
176 × 1.22
ط
ل
نق
8
2
176 × هـء
ط
176 × 1.7
ط
ط × سْ
176
ط × 126
176
18 ط
4
18 ط
4
ط × س
176
ط × 126
176
ل
هـء
10.02
2.0
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
7. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 0
زاوية محيطية قياسها 02 طول نصف قطر دائرتها = 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره
106 نق = 4سم = 02 × سْ = 2
هـء = = 2.0
8.2 سم = 4 × نق = 2.0 × ل = هـء
82 تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها / زاوية محيطية قياسها 26
126 ل = 12 سم / 46 = 82 / 26 × سْ = 2
هـء = = 2.00 ء
نق = ــــــ = ـــــــــــ = 2.8 سم
أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوساً طوله يساوى طول
نصف قطر دائرتها ) الزاوية النصف قطرية (
ل = نق
28 / 18 // هـء = ــــــــ = ـــــــ = 1 ء س = = 44
أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوساً طوله يساوى طول
قطر دائرتها
ل = 2نق
114 / 02 // هـء = ــــــــ = ـــــــ = 2 ء س = = 28
ط × 106
176
46 / ط × 126
176
ل
هـء
12
2.00
ل
نق
نق
نق
176 × 1
ط
ل
نق
2نق
نق
176 × 2
ط
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــل
8. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 4
] أ [
1[أوجد القياس الدائرى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 7سم من دائرة طول نصف قطرها 2سم [
2[زاوية مركزية قياسها 1.2 ء من دائرة طول نصف قطرها 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره [
0[زاوية مركزية قياسها 1.0 ء تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها [
4[ زاوية مركزية قياسها 1.2 ء وطول قطر دائرتها 14 سم أوجد طول القوس الذى تحصره [
**************************************************************
]ب [ حول من القياس الدائرى إلى القياس الستينى كلا مما يأتى
2.1 ء ] 4.0 ء ] 2 ] 2.0 ء ] 4 ] 1.0 ء ] 0 ] 6.8 ء ] 2 ]1[
***************************************************************
]جـ[ حول من القياس الستينى إلى القياس الدائرى كلا مما يأتى
/ 46 //12]2[ 206 / 22 ]4[ 126 / 46 ]0[ 186 ]2[ 116 [1[
266
***************************************************************
]ء[
1( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 8سم من دائرة طول نصف (
قطرها 0سم
2( زاوية مركزية قياسها 126 تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها (
0( زاوية مركزية قياسها 122 طول نصف قطر دائرتها 2سم أوجد طول القوس الذى تحصره (
4( زاوية محيطية قياسها 02 طول نصف قطر دائرتها 0سم أوجد طول القوس الذى تحصره (
86 تحصر قوساً طوله 26 سم لأوجد طول نصف قطر دائرتها / 2( زاوية محيطية قياسها 22 (
0( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله يساوى طول نصف قطر (
دائرتها
8( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله يساوى طول قطر دائرتها (
7( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 2 ط من دائرة طول نصف (
قطرها 0سم
**************************************************************
]هـ[ أوجد القياس الستينى لكلا مما ياتى
)0( )2( )4( )0( )2( )1(
***************************************************************
]و[ أوجد بدلالة ط القياس الدائرى لكلا مما يأتى
012 )0( 246 )2( 006 )4( 222 )0( 102 )2( 216 )1(
) تمارين ) 1
0ط
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط
2
ط
0
9. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
القياس من حيث الاشارة
ينقسم القياس من حيث الاشارة إلى
1( القياس الموجب (
يكون قياس الزاوية الموجهة موجبا إذا كان
أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع
النهائى ضد حركة عقارب الساعة
1( القياس السالب (
يكون قياس الزاوية الموجهة سالبا إذا كان
أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع
النهائى مع حركة عقارب الساعة
للتحويل من قياس سالب إلى قياس موجب
– القياس الستينى السالب = القياس الستينىالموجب 006
القياس الدائرى السالب = القياس الدائرى الموجب 2ط ) بدلاللة ط ( –
للتحويل من قياس موجب إلى قياس سالب
القياس الستينى الموجب = القياس الستينى السالب + 006
القياس الدائرى الموجب = القياس الدائرى السالب + 2ط ) بدلاللة ط (
حول كلا من القياسات الموجبة الاتية إلى القياس السالب
266 / 26 // 22 )0( 126 )1(
- - – 006 266 / 26 // 216 القياس السالب = 22 =006 القياس السالب = 126
46 )2( / - 128 / 8 // 02 = 166
–ْ 006 166 / القياس السالب= 46
و
أ
ب
و
أ
ب
مثال
الحــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــل
11. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 8
] أ [ حول من القياس الموجب إلى القياس السالب
066 )0( 212 )2( 106 )1(
26 )4( / 102 / 02 )0( 100 / 12 )2( 166
22)8( // 46 / 212 / 06 // 26 )8( 22 / 02 // 46 )7( 122
)12( )11( )16(
)12( )14( )10(
***************************************************************
]ب [ حول من القياس السالب إلى القياس الموجب
- - - 067 )0( 242 )2( 146 )1(
- 26 )4( / - - 182 / 02 )0( 108 / 42 )2( 126
- 22 )8( // 42 / - - 282 / 06 // 26 )8( 166 / 22 // 46 )7( 022
)12( )11( )16(
)12( )14( )10(
***************************************************************
س أكمل العبارات الاتية
1 يكون قياس الزاوية الموجهة موجباً إذا كان أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع النهائى -
................ حركة عقارب الساعة
2 يكون قياس الزاوية الموجهة سالباً إذا كان أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع النهائى -
................ حركة عقارب الساعة
0 الزاوية التى قياسها الموجب ط يكون القياس السالب المكافئ لها هو ............ -
4 أكبر قياس سالب مكافئ للزاوية التى قياسها 1066 هو.............. -
) تمــــــارين) 2
0ط
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط
2
ط
0
0ط -
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط -
2
ط -
0
12. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 7
2 أصغر قياس موجب مكافئ للزاوية التى قياسها 1666 هو .............. – -
الزوايا المتكافئة :-
هى الزوايا التى لها نفس الشعاع النهائى وتنتج بأضافة أو طرح ) 006 أو 2 ط ( من القياس حسب
نوعه
006 )إذا كان القياس ستينى × هـ = هـ + ن
هـ = هـ + 2 ن ط ) إذا كان القياس دائرى بدلالة ط ( فمثلا
2+ ط = = = 086 = 006+06 = 06
2+ ط = = = 826 = 006 × 2+ 06 =
1116 = 006 × 0+ 06 =
ولهذا فإن الزاوية
1116 = 826 = 086 = 06
***************************************************************
16 ط = وهكذا + 7 ط = 06 + 0ط = 06 + 4 ط = 06 + 2+ ط = 06 06 = 06
لكن
8 ط = 116 + 8ط = 06 + 2 ط = 06 + 0 ط = 06 + 06 + ط = 06
وكذلك
- – 006 = 006 06 = 06
- – 086 = 006 × 2 06 = 06
- – 1126 = 006 × 0 06 = 06
خلاصة القول
أن الزاوية لا تتغير أذا أضيف إليها عدد كامل من الدورات أو طرح منها عدد كامل من الدورات
**************************************************************
لاحظ أن
)1( إذا كانت 6 > س > 86 فإن س تقع فى الربع الاول
)2( إذا كانت 86 > س > 176 فإن س تقع فى الربع الثانى
ط
2
ط + 16 ط
2
11 ط
2
ط
2
11 ط
2
11 ط + 16 ط
2
21 ط
2
6
86
176
الربع
الاول
الربع
الثانى
الربع
الرابع
الربع
الثالث
13. 8 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 8
)0( إذا كانت 176 > س > 286 فإن س تقع فى الربع الثالث
)4( إذا كانت 286 > س > 006 فإن س تقع فى الربع الرابع
حدد الربع الذى تقع فيه كلا من الزوايا التى قياسها كالاتى
1266 )1(
– – –ْ 126 = 006 476 = 006 746 = 006 1266 = 1266
الزاوية التى قياسها 1266 تقع فى الربع الثانى
***********************
– 1266 )2(
- - - - - - 06 = 006+ 426 = 006+ 876 = 006+ 1146 = 006+ 1266 = 1266
- 066 = 006+ 06 =
الزاوية التى قياسها 1266 تقع فى الربع الرابع –
*********************
)0(
- – – 46 = 006 466 = 006 806 = 006 1126 = 1126 = =
الزاوية التى قياسها تقع فى الربع الاول
*************************
)4(
- - - - 222=006+ 102 =006+ 482 = 006+ 722 = 722 = =
الزاوية التى قياسها تقع فى الربع الثالث
286
18 ط
0
18 ط
0
176 × 18
0
18 ط
0
18 ط -
4
18 ط -
4
- 176 × 18
4
18 ط -
4
الحــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــل
مثال
14. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 6
حساب المثلثات
الفصل الثانى
الدوال المثلثية
بســــــــــــــــــــــم الله الرحمن الرحيم
إعداد أ/ سيد معــــــــــــروف
15. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 1
دائرة الوحدة : -
) 6 ، هى دائرة مركزها نقطة الاصل و) 6
وطول نصف قطرها 1سم تقطع محورى
الاحداثيات فى أربعة نقط هى على الترتيب
) 1 ، 6 ( ،،،، ب = ) 6 ، أ=) 1
- - ) 1 ، 6 ( ،،، ء = ) 6 ، جـ = ) 1
**************************************************************
إذا فرض وجود نقطة ب = ) س ، ص ( هذه النقطة فى أى
موضع تكون زاوية أ و ب يمكن تعريف مجموعة من الدوال
المثلثية لهذه الزاوية وهذه الدوال تعتمد على الاحداثيين
السينى والصادى لنقطة ب وهى كالاتى
1( دالة الجيب ) جا ( sin 4( دالة قاطع التمام ) قتا ( ( )
جا )أ و ب ( = الاحداثى الصادى لنقطة ب=ص قتا)أ و ب ( = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
*************************************************************
2( دالة جيب التمام ) جتا ( cos 2( دالة القاطع ) قا ( ( )
جتا )أ و ب ( = الاحداثى السينى لنقطة ب = س قا)أ و ب ( = ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
**************************************************************
0( دالة الظل ) ظا ( tan 0( دالة ظل التمام ) ظتا ( ( )
الدوال المثلثية
أ
ب
جـ
ء
) 6 ، 1(
) 1 ، 6 (
- ) 6 ، 1 (
- ) 1 ، 6 (
و
أ
ب
)س،ص(
س
ص
1سم
الاحداثى الصادى
الاحداثى السينى
ص
س
1
الاحداثى الصادى
1
ص
1
الاحداثى السينى
1
س
الاحداثى السينى
الاحداثى الصادى
س
ص
16. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
ظا) أ و ب ( = = ظتا) أ و ب ( = =
ملخص الدوال المثلثية
إذا كانت زاوية أ و ب = هـ تقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب = ) س ، ص ( فإن
جا هـ = ص قتا هـ = ــــــ
جتاهـ = س قاهـ = ــــــ
ظاهـ = ظتاهـ =
***************************************************************
إذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى تقطع دائرة الوحدة فى النقطة ب أوجد جميع الدوال
المثلثية لها إذا كانت
1( ب = ) ، ( ) 0( ) س ، ( حيث س < 6 (
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل
جاهـ = قتاهـ = ــــــــ نوجد الاحداثى السينى من العلاقة
1 = س 2 + ص 2
1 = 2) ( + جتاهـ = قــاهـ = 2 س 2
1 = + س 2
- = 1 = ظاهـ = ــــــــ = 0 ظتاهـ = ـــــ س 2
6.7 ( س = = ، 2( ب = ) 6.0 (
الحـــــــــــــــــــــــــل
جاهـ = قتاهـ = ب = ) ، (
جتاهـ = قاهـ = جاهـ = قتاهـ = 2
ظاهـ = ـــــــ = ظتاهـ = جتا هـ = قاهـ = ـــــ
ص
س
1
ص
1
س
س
ص
ملاحظة هامة جد اً
الاحداثى الصادى والسينى لنقطة ب يرتبطان
1 = بالعلاقة س 2 + ص 2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
2
0
7
16
0
16
7
16
0
16
7
0
16
7
16
0
0
7
1
2
1
2
1
4
1
4
0
4
0
4
0
2
0
2
0
2
1
2
1
2
2
0
مثال
17. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 0
ظاهـ = ـــــــ = ـــــ ظتاهـ = 0
4( ) س ، س ( حيث س > 6 ( إحداثيات ب = ) ـــــــ ، ــــــــ (
الحـــــــــــــــــــــــل الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- نوجد أولا قيمة س جاهـ = ـــــــــ قتاهـ = 2
1 = س 2 + س 2
- 1 جتاهـ = ــــــــ قاهـ = 2 = 2س 2
= س 2
س = = ــــــــ ظاهـ = ــــــــــ = 1 ظتاهـ = 1
**************************************************************
إذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى تقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب أوجد جميع الدوال المثلثية
لها إذا كانت
2( إحداثيات نقطة ب = ) ، ( ( ) 6 ، 1( إحاثيات نقطة ب = ) 1 (
4( إحداثيات نقطة ب = ) ،ص( حيث ص > 6 ( 0( إحاثيات نقطة ب = )س، 6.0 (حيث س< 6 (
- - ) 0( إحداثيات نقطة ب = )س، 1 ( 2( إحاثيات نقطة ب = ) س، س(حيث س< 6 (
7( إحداثيات نقطة ب = )س، 2س(حيث س< 6 ( 8( إحاثيات نقطة ب = ) 0أ ، 4أ(حيث أ< 6 (
16 ( إحداثيات نقطة ب = ) 1، ص( - ( 8( إحاثيات نقطة ب = ) 2ص، 0ص(، ص> 6 (
12 ( إحداثيات نقطة ب = ) ــــــ ، ص(،ص< 6 ( 11 ( إحاثيات نقطة ب = ) 0س، 7س(س> 6 (
1
2
0
2
1
0
1
2
1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
تــــــدريب
0
2
4
2
2
0
1
2
18. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 4
14 ( إحداثيات نقطة ب = ) ، ص(، ص > 6 ( 10 ( إحاثيات نقطة ب = )س ، ( س< 6 (
تختلف أشارة الدوال المثلثية بإختلاف الربع الذى تقع فيه الزاوية وذلك على حسب أشارة س ، ص
فى كل ربع فمثلا
1( فى الربع الاول س)موجبة ( ، ص )موجبة ( ولهذا فإن (
جتا)موجبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)موجبة (
2( فى الربع الثانى س)سالبة ( ، ص )موجبة ( ولهذا فإن (
جتا)سالبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)سالبة (
1( فى الربع الثالث س)سالبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن (
جتا)سالبة( ، جا)سالبة ( ، ظا)موجبة (
1( فى الربع الرابع س)موجبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن (
جتا)موجبة( ، جا)سالبة ( ، ظا)سالبة (
.***************************************************************
1( دالة الجيب ) جاس( (
موجبة فى الربعين) الاول والثانى ( ************ سالبة فى الربعين ) الثالث والرابع (
2( دالة جيب التمام )جتاس( (
موجبة فى الربعين ) الأول والرابع ( ************ سالبة فى الربعين ) الثانى والثالث (
0( دالة الظل ) ظاس( (
موجبة فى الربعين ) الأول والثالث ( ************سالبة فى الربعين ) الثانى والرابع (
***************************************************************
فمثلا
جا 166 ) موجبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ جا فى الربع الثانى موجبة
جتا 166 )سالبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ جتا فى الربع الثانى سالبة
ظا 166 ) سالبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ ظا فى الربع الثانى سالبة
0
4
2
0
إشارة الدوال المثلثية
كل+
جا+ ، قتا+
ظا+ ، ظتا+
جتا+، قا+
19. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
أكمل العبارات الاتية
1( أشارة ظا 126 تكون .............. ) 2( أشارة قا 166 تكون ............... (
0( أشارة قتا 066 تكون .............. ) 4( أشارة جا 222 تكون .............. (
2( أشارة جتا 006 تكون ............ ) 0( أشارة ظتا 06 تكون ............... (
8( أشارة ظا 26 تكون .............. ) 7( أشارة قا 216 تكون ............... (
8( أشارة قتا 146 تكون .............. ) 16 ( أشارة جا 106 تكون .............. (
11 ( أشارة جتا 206 تكون ............ ) 12 ( أشارة ظتا 186 تكون ............... (
10 ( أشارة ظا 266 تكون .............. ) 14 ( أشارة قا 86 تكون ............... (
12 ( أشارة قتا 2266 تكون .............. ) 10 ( أشارة جا 022 تكون .............. (
18 ( أشارة جتا 106 تكون ............ ) 17 ( أشارة ظتا 246 تكون ............... (
18 ( أشارة ظا 016 تكون .............. ) 26 ( أشارة قا 026 تكون ............... (
21 ( أشارة قتا 76 تكون .............. ) 22 ( أشارة جا 82 تكون .............. (
20 ( أشارة جتا 06 تكون ............ ) 24 ( أشارة ظتا 066 تكون ............... (
22 ( أشارة جا) 166 ( تكون............ ) 20 ( أشارة ظا) 066 ( تكون ........... - - (
28 ( أشارة جتا) 126 ( تكون............ ) 27 ( أشارة ظتا) 06 ( تكون ........... - - (
28 ( أشارة قا) 266 ( تكون............ ) 06 ( أشارة قا) 2666 ( تكون ........... - - (
01 ( أشارة قتا) 066 ( تكون............ ) 02 ( أشارة ظا) 1666 ( تكون ........... - - (
00 ( أشارة جا) 1666 ( تكون............ ) 04 ( أشارة ظا) 2666 ( تكون ........... (
02 ( إذا كانت جاس < 6 ، جتاس > 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
00 ( إذا كانت جاس < 6 ، جتاس < 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
08 ( إذا كانت جاس > 6 ، جتاس > 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
07 ( إذا كانت جاس > 6 ، جتاس < 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
تدريب
35. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 2 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 1
6 حيث جـ زاوية حادة موجبة أوجد قيمة جاجـ + جتاجـ ] [ - = 1( إذا كان 4 ظاجـ 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 86 > هـ > 176 أوجد قيمة المقدار = 2( إذا كان 2 جتاهـ + 4 (
– – ] [ جتا ) 006 هـ ( + جتا) 86 هـ ( + ظا 222
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 286 > هـ > 006 أوجد قيمة المقدار - = 0( إذا كان 10 جتاهـ 2 (
- 222 2 ظا هـ 0 جا 286 + قا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( إذا كان جتا ) 86 س ( = حيث جـ – ( 86 ] أوجد قيمة المقدار ، 6 ]
– ]4[ 006 جا 86 222 جتا 2 ظاجـ + 2 قتا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 86 > س > 176 أثبت أن – = 2( إذا كان 2 قتاس 10 (
- – – – 1 = 222 10 جتا) 176 س ( 2 ظتا ) 006 س ( + 0 قتا 006 جتا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث س أكبر زاوية موجبة أوجد قيمة المقدار – = 0( إذا كان 0 ظاس 4 (
- – ] 1 [ 0 جتا 176 2 جتا س + ظا 102
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث ب قياس أكبر – – = 0 ظاب 4 ، 6 حيث 286 > أ > 006 = 8( إذا كان 10 جتاأ 2 (
قا ) 86 + ب ( ] [ × ) زاوية موجبة أوجد قيمة جتا) 286 + أ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– 10 جتا ص = 12 حيث 286 >ص> 006 ، 6 حيث 86 > س > 176 = 7( إذا كان 2 جاس 4 (
أوجد قيمة قاس جتاص + 0 ظاس جاص
تمارين على الدوال المثلثية للزاوية الحادة
8
2
4
2
0
2
- 12
10
36. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 2 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
حل المعادلات المثلثية معناه إيجاد قيمة الزاوية التى تحقق المعادلة
خطوات حل المعادلات المثلثية
-1 تحديد الربع الذى تقع فيه الزاوية ) على حسب إشارة الدالة(
جا+ ) فى الربع الاول أو الثانى ( جا ) فى الربع الثالث أو الرابع ( -
جتا+ ) فى الربع الاول أو الرابع ( جتا ) فى الربع الثانى أو الثالث( -
ظا+ ) فى الربع الاول أو الثالث ( ظا ) فى الربع الثانى أو الرابع ( -
-2 تحديد الزاوية الحادة التى تحقق المعادلة ) هـ (
-0 أيجاد قيمة الزاوية حسب الربع الذى تقع فيه
***************************************************************
أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية
– 6 = 2جاس + 1 )2( 6 = 2 جاس 1 )1(
- 2جاس = 1 2جاس = 1
جاس = ]الاول الثانى[ جاس = ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثانى الثالث الرابع
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 06 006 = 06 +176= 06 176 = س= 06
006 = 216= 126 =
006 ، 126 م 6 ح = } 216 ، م 6 ح = } 06
حل المعادلات المثلثية
كل+
جا+
ظا+
جتا+
س = هـ
س = 176 هـ –
س = 176 + هـ
س = 006 هـ –
1
2
- 1
2
الحــــــــــــــــــل
مثال
الحــــــــــــــــــل
37. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 2 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 0
– 6 = 2جاس + 0 )4( 6 = 2 جاس 0 )0(
- 2جاس = 0 2جاس = 0
جاس = ]الاول الثانى[ جاس = ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثانى الثالث الرابع
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 06 006 = 06 +176= 06 176 = س= 06
066 = 246= 126 =
066 ، 126 م 6 ح = } 246 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جاس + 1 )0( 6 = 2 جاس 1 )2(
- 2جاس = 1 2جاس = 1
جاس = ـــــــ ]الاول الثانى[ جاس = ــــــ ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 42 هـ = 42
الاول الثانى الثالث الرابع
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 42 006 = 42 +176= 42 176 = س= 42
012 = 222= 102 =
012 ، 102 م 6 ح = } 222 ، م 6 ح = } 42
0
2
- 0
2
1
2
- 1
2
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
38. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 2 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 4
– 6 = 2جتاس + 1 )7( 6 = 2 جتاس 1 )8(
- 2جتاس = 1 2جتاس = 1
جتاس = ]الاول الرابع[ جتاس = ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 06 هـ = 06
الاول الرابع الثانى الثالث
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 06+176 = 06 176= 06 006 = س= 06
246 = 126= 066 =
246 ، 066 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جتاس + 0 )16( 6 = 2 جتاس 0 )8(
- 2جتاس = 0 2جتاس = 0
جتاس = ]الاول الرابع[ جتاس = ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 06 هـ = 06
الاول الرابع الثانى الثالث
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 06+176 = 06 176= 0 006 = س= 06
216 = 126= 006 =
216 ، 006 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جتاس + 1 )12( 6 = 2 جتاس 1 )11(
- 2جتاس = 1 2جتاس = 1
جتاس = ـــــــ ]الاول الرابع[ جتاس = ــــــ ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 42 هـ = 42
الاول الرابع الثانى الثالث
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 42+176 = 42 176= 42 006 = س= 42
1
2
- 1
2
0
2
- 0
2
1
2
- 1
2
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
39. 1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 2 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 2
222 = 102= 012 =
222 ، 012 م 6 ح = } 102 ، م 6 ح = } 42
– 6 = 0 ظاس + 1 )14( 6 = 0 ظاس 1 )10(
- 0ظاس = 1 0 ظاس = 1
ظاس = ــــــ ]الاول الثالث[ ظاس = ـــــــ ]الثانى الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثالث الثانى الرابع
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 06 س= 06 006 06 س= 176 + س= 06 س= 176
006 = 126 = 216 =
006 ، 216 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 10 ( ظاس + 0 ( 6 = 12 ( ظاس 0 (
ظاس = 0 ]الاول الثالث[ ظاس = 0 ]الثانى الرابع [ – – -
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثالث الثانى الرابع
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 06 06 س= 006 06 س= 176 + س= 06 س= 176
066 = 126 = 246 =
066 ، 246 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 17 ( ظاس + 1 ( 6 = 18 ( ظاس 1 (
ظاس = 1 ]الاول الثالث[ ظاس = 1 ]الثانى الرابع [ – –
هـ = 42 هـ = 42
الاول الثالث الثانى الرابع
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 42 42 س= 006 42 س= 176 + س= 42 س= 176
1
0
1
0
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل
الحــــــــــــــــــل