Este documento propone una secuencia didáctica para enseñar a estudiantes de segundo grado de secundaria a formular una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. La secuencia consta de 4 sesiones que utilizan el modelo de Van Hiele y enfoques constructivistas para guiar a los estudiantes desde el reconocimiento de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° hasta la deducción de la fórmula general (n-2)180° para cualquier polígon

1. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los
ángulos interiores de cualquier polígono.
Propuesta de enseñanza (Educación Básica. Segundo grado de secundaria)
En este documento daré la ubicación de dicho tema en el programa de matemáticas 2011 así como también una
descripción del contexto, enfoque, estándares curriculares, marco teórico que sustenta esta propuesta al mismo
tiempo una breve descripción de mi plan de clase, la secuencia didáctica, actividades de cada sesión y por último
la forma de evaluación de las mismas.
Ernesto Gómez Castellanos.
05/12/2012

2. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores
de cualquier polígono.
Contexto
Una vez que los alumnos han comprendido que la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es de 180 , un
problema interesante para ellos será; “calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono”.
Enfoque.
Con base a la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) el programa de estudios 2011. Educación básica.
Secundaria. Matemáticas. Tiene como propósito mediante el estudio de las matemáticas, que los adolescentes
desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas y
elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos y geométricos.
Los estándares de matemáticas en dicho programa se organizan en tres ejes temáticos:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
2. Forma, espacio y medida
3. Manejo de la información
4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas.
El cuarto punto es el resultado de la metodología didáctica que se propone al estudiar matemáticas, pues se busca
promover el desarrollo de actitudes y valores que son parte esencial de la competencia matemática.
Ahora bien la propuesta de enseñanza que se abordara a continuación para el contenido: Formulación de una regla
que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Se encuentra ubicado en el
segundo grado, tercer bloque, tema: Figuras y cuerpo, perteneciente al eje Forma, espacio y medida.
Tiene como estándares educativos que el alumno: Justifique la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o
polígono y utilice esta propiedad en la resolución de problemas.
Favoreciendo así las competencias de: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática
• Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente.

3. Propuesta de enseñanza.
Marco teórico.
Para lograr que los alumnos formulen una regla que les permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier
polígono nos apoyaremos en el modelo de Van Hiele (por sus alcances en la enseñanza-aprendizaje de la
geometría) así como también de ideas de la corriente constructivista, para lograr en los alumnos un aprendizaje
significativo (enfoques: psicogenética, sociocultural y cognitivista).
El modelo de Van Hiele está formado por dos partes, la primera es descriptiva pues identifica la secuencia de tipos de
razonamiento (niveles) por los que transita y van progresando los individuos desde que inician su aprendizaje
hasta que alcanzan el máximo grado de desarrollo intelectual. Dichos niveles son:
1. Reconocimiento.
2. Análisis
3. Clasificación
4. Deducción formal
5. Rigor
(Dado que trabajaremos en la educación básica. Secundaria. Los niveles que se abordaran son el de reconocimiento,
análisis y clasificación.)
La otra parte del modelo de Van Hiele da a los profesores directrices de cómo ayudar a los alumnos para que puedan
alcanzar con mayor facilidad un nivel superior de razonamiento, a estas directrices las conoceremos como fases
de aprendizaje y son las siguientes:
1. Información
2. Orientación dirigida
3. Explicitación
4. Orientación libre
5. Integración.

4. Respecto al constructivismo retomamos la importancia de los siguientes enfoques y algunas de sus ideas:
Enfoque cognitivo: (David Ausubel) el conocimiento y experiencias previas de los estudiantes son piezas clave en la
conducción de la enseñanza. “el factor aislado más importante que influencia el aprendizaje es aquello que el
aprendiz ya sabe. Averígüese esto y enséñese de acuerdo con ello.”… otra de las ideas importantes de esta
corriente es el enfoque experto-novato, énfasis en habilidades del pensamiento, aprendizaje significativo y solución
de problemas.
Enfoque psicogenético: (Jean Piaget) la competencia cognitiva está determinada por el nivel de desarrollo
intelectual, énfasis en el aprendizaje por descubriendo. Cualquier aprendizaje depende de él nivel cognitivo inicial
del sujeto. Solo aprenden los sujetos en transición mediante abstracción reflexiva.
Enfoque sociocultural: aprendizaje situado o en contexto en comunidades de práctica. Andamiaje y ajuste de la
ayuda psicopedagógica. Énfasis en el aprendizaje guiado y cooperativo, enseñanza reciproca. Evaluación
dinámica y en contexto.
En el desarrollo de nuestra propuesta de clases se utilizaran recursos como el uso de software en este caso
Geogebra, ya que este nos permite visualizar figuras geométricas, manipularlas y hacer significativa la sesión y la
manera en que se adquieren los conocimientos, pues el alumno interactúa, construye, interioriza y se apropia de
los nuevos conocimientos y refuerza lo que conoce. En el desarrollo de las actividades planteadas en este
documento, el uso de el software geogebra es fundamental ya que les permitirá demostrar que la suma de los
ángulos interiores de un triangulo es de 180 , dividir en regiones triangulares a los polígonos, trazando desde un
vértice sus diagonales, analizar los datos y generalizar para llegar a formular una regla para calcular la suma de
los ángulos interiores de cualquier polígono.

5. Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos
interiores de cualquier polígono.
Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
INDICADORES SESION ESTRATEGIAS NIVELES DE FASES DE RECURSOS EVALUACION
DE RAZONAMIENT APRENDIZAJE DIDACTICOS
DE
ENSEÑANZA Y O (MODELO DE
DESEMPEÑO. APRENDIZAJE VAN HIELE)
Identifica que la Sesión 1 Activar Reconocimiento. Información. Presentación del Diagnóstica.
suma de los conocimientos tema.
Presentación del Análisis Orientación Actitudes o
ángulos internos previos.
tema. dirigida. Exploración del valores a
de un triangulo clasificación
Discursivas. tema. considerar:
es de 180° Exploración de Explicitación.
participación,
conocimientos Ilustraciones. Software
Enuncia que Orientación libre. trabajo
previos dinámico:
para cualquier Comunicación colaborativo…
Integración. Geogebra.
triangulo la suma oral y escrita.
de sus ángulos Tarea 1.
interiores es de Preguntas
Duración de las sesiones: 60 min.
180 intercaladas.
Número de alumnos: 20 – 25.

6. Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
INDICADORES DE SESION ESTRATEGIAS NIVELES DE FASES DE RECURSO EVALUACION
DE RAZONAMIENT APRENDIZAJE S
DESEMPEÑO.
ENSEÑANZA Y O (MODELO DE DIDACTIC
APRENDIZAJE VAN HIELE) OS
Idéntica que todo Sesión 2. Discursiva. Reconocimiento Información. Actividad: Tarea resuelta
polígono se puede Suma de correctamente en la que
Suma de Ilustraciones. Análisis Orientación
dividir en triángulos los ángulos se comprueba que el
los dirigida.
por medio del trazo Organización. clasificación interiores alumno conoce que para
ángulos
de sus diagonales. Explicitación. de un cualquier triangulo la
interiores Adquisición.
Analiza la relación polígono. suma de sus ángulos
de un Orientación libre.
entre el número de interiores es de 180° y
polígono Interpretación. Software
Duración de las sesiones: 60 min.
lados del polígono y para cualquier
Integración. dinámico:
Número de alumnos: 20 – 25.
el número de Análisis y cuadrilátero la suma es
Geogebra.
triángulos formados razonamiento. de 360°. Ejercicio de
Tarea2
con sus diagonales. clase contestado
Comunicación
correctamente, se
oral y escrita.
observa el proceso, así
como el razonamiento
para poder llegar a la
formula.

7. Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
INDICADORES SESION ESTRATEGIAS NIVELES DE FASES DE RECURSOS EVALUACION
DE RAZONAMIENT APRENDIZAJE DIDACTICOS
DE
ENSEÑANZA Y O (MODELO DE
DESEMPEÑO. APRENDIZAJE VAN HIELE)
Enuncia que Sesión 2. Discursiva. Reconocimiento Información. Actividad: Tarea resuelta
para cualquier Suma de los correctamente en la
Suma de los Ilustraciones. Análisis Orientación
cuadrilátero la ángulos que se comprueba
ángulos dirigida.
suma de sus Organización. clasificación interiores de un que el alumno conoce
interiores de un
ángulos Explicitación. polígono. que para cualquier
polígono Adquisición.
interiores es de triangulo la suma de
Orientación Software
360°. Establece sus ángulos interiores
Interpretación. dinámico:
la relación y libre. es de 180° y para
Geogebra.
formula la regla Análisis y cualquier cuadrilátero
Integración. Tarea2
que le permite razonamiento. la suma es de 360°.
calcular la suma Ejercicio de clase
Comunicación
de los ángulos contestado
oral y escrita.
Duración de las sesiones: 60 min.
interiores de correctamente, se
Número de alumnos: 20 – 25.
cualquier observa el proceso,
polígono: (n- así como el
2)180 razonamiento para
poder llegar a la
formula. Actitudes o
valores a considerar:
participación, trabajo
colaborativo…

8. Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
INDICADORES SESION ESTRATEGIAS NIVELES DE FASES DE RECURSOS EVALUACION
DE RAZONAMIENT APRENDIZAJE DIDACTICOS
DE
ENSEÑANZA Y O (MODELO DE
DESEMPEÑO. APRENDIZAJE VAN HIELE)
Analiza y razona Sesión 3 Discursiva. Análisis Integración. Repaso. Tarea resuelta
lo que ya correctamente
Integración de lo Análisis y clasificación Aula digital.
conoce. en la que se
que ya se razonamiento.
Software comprueba que
Comunica y conoce.
Comunicación Geogebra. el alumno
argumenta como
Trabajando con oral y escrita. conoce que la
se llego al
geogebra suma de los
resultado (n- Uso de software ángulos
2)180 °. geogebra. interiores de
cualquier
Organización.
polígono es : (n-
repaso
Actitudes o
valores a
considerar:
Duración de las sesiones: 60 min.
participación,
Número de alumnos: 20 – 25.
trabajo
colaborativo…sig
ue las
instrucciones en
el aula digital y
termina el
ejemplo que se
le pide2)180°

9. Plan de clase: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
INDICADORES SESION ESTRATEGIAS NIVELES DE FASES DE RECURSOS EVALUACION
DE RAZONAMIENT APRENDIZAJE DIDACTICOS
DE
ENSEÑANZA Y O (MODELO DE
DESEMPEÑO. APRENDIZAJE VAN HIELE)
Resuelve el Sesión 4. Examen con Reconocimiento. Información. Examen de Examen escrito
examen de preguntas evaluación
Evaluación Análisis Integración.
evaluación. abiertas y escrito.
Duración de las sesiones: 60 min.
cerradas. clasificación
Número de alumnos: 20 – 25.
Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y
resultados • Manejar técnicas eficientemente

10. SECUENCIA DIDACTICA. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de
cualquier polígono.
SESION 1:
TEMA: PRESENTACION Y EXPLORACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOS.
OBJETIVO:
El alumno: Justificará que para todo triangulo la suma de sus ángulos interiores es de 180 .
Material: Software de geometría dinámica “Geogebra”.
Actividad 1: Abran el programa Geogebra, cierren la vista algebraica, dibujen un triangulo (con el icono polígono).
Tracen una recta s paralela al lado BC del triangulo y que pase por A.
¿Cuál es la suma de los ángulos formados con la recta es?________ (1)
¿Por qué?____________________
¿Qué ángulos son iguales? _____________________________
¿Por qué?______________________________
Si sustituyen en (1), B por B y C por C ¿Qué obtienen?____________
Por lo tanto: ______________________________.

11. Ejercicio: encuentra el valor de la medida del ángulo que falta en cada uno de los triángulos mostrados.
Tarea:
Escribe la definición de:
Cuadrilátero convexo, cuadrilátero cóncavo, polígono regular y diagonal de un polígono. Dibuja tres ejemplos de cada
uno de ellos.

12. SECUENCIA DIDACTICA. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de
cualquier polígono.
SESION 2:
TEMA: SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN POLIGONO.
OBJETIVO:
EL ALUMNO:
Idéntica que todo polígono se puede dividir en triángulos por medio del trazo de sus diagonales.
Analiza la relación entre el número de lados del polígono y el número de triángulos formados con sus diagonales.
Enuncia que para cualquier cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es de 360 .
Establece la relación y formula la regla que le permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono
es: (n-2)180 .
Material: Software de geometría dinámica “Geogebra”.
Actividad 2:
Reúnete con un compañero y discute lo siguiente: La suma de los ángulos interiores de un cuadrado es de 360
porque cada ángulo, de sus cuatro ángulos, mide 90 , ¿Qué será mayor, esta suma o la de los ángulos interiores
de un cuadrilátero cualquiera?____________________________________________ ¿Cuánto suman sus ángulos
interiores? _______________________________________________________________ ¿Existe una forma de
conocer dicha suma sin tener que usar el transportador?
______________________________________________Comenta tu respuesta.

13. Abre el programa Geogebra, activa la vista cuadricula y desactiva vista algebraica. Ahora apoyándote de la cuadricula
dibuja un cuadrilátero (icono polígono), marca los ángulos (icono ángulo),
Después dibuja otro cuadrilátero siguiendo procedimiento, si cambias de lugar uno de los vértices por ejemplo el D,
¿cambiara la suma?_______________ comenta tu respuesta.
Desde D traza una diagonal (icono segmento entre dos puntos) ¿Cuántos triángulos resultan?___________ ¿Cuánto
suman los ángulos interiores de un triangulo?_________ ¿Qué harías para hallar la suma de los ángulos interiores
del cuadrilátero?_______________________.

14. En vez de cuadriláteros dibuja pentágonos (icono polígono), desde un vértice traza todas las diagonales (icono
segmento entre dos puntos) ¿Cuántos triángulos se forman?__________ ¿qué relación hay entre el numero de
lados del pentágono y el numero de triángulos que se forman al trazar las
diagonales?____________________________________________
Ahora traza un hexágono, desde un vértice traza todas las diagonales ¿Cuántos triángulos se forman?___________
¿qué relación hay entre el numero de lados del hexágono y el numero de triángulos que se forman al trazar las
diagonales?____________________________________________.

15. Contesta la siguiente tabla:
Numero de lados 3 4 5 6 8 n
del polígono
Nombre del
polígono
Número máximo de
triángulos
Suma de los
ángulos interiores
Si el numero de lados es n ¿en cuántos triángulos se divide este polígono?______________________ ¿qué relación
hay entre el numero de lados del polígono y el numero de triángulos que se forman al trazar las
diagonales?____________________________________________.
¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono?_________________________________ ¿Cómo obtuviste
el resultado?_______________________________.
Nota: esta clase tiene una duración de 90 minutos o puede dividirse en dos sesiones según el avance en la sesión.

16. SECUENCIA DIDACTICA. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de
cualquier polígono.
SESION 3:
TEMA: Integración de lo que ya se conoce
OBJETIVO:
El alumno:
Analiza y razona lo que ya conoce.
Comunica y argumenta como se llego al resultado (n-2)180 .
Realiza un caso particular de la suma de ángulos interiores en los polígonos a través del programa geogebra (manipula
dicho objeto)
Material: Software de geometría dinámica “Geogebra”
Actividad 3:
Abre el programa geogebra, traza un polígono regular de 5 lados (polígono regular, dibuja dos puntos, después
especifica el numero de lados), traza otros más de 6, 7, 8 y 10 lados. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de
cada figura?______________________________________________________________________________
Contesta en tu libreta.
¿Cuantos lados tiene un polígono cuya suma de ángulos interiores es de 2012 ? Justifica tu
respuesta.__________________________________________________________________________________
Halla la medida faltante del ángulo interior de cada figura:

17. SECUENCIA DIDACTICA. Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de
cualquier polígono.
SESION 4: examen
Contesta las siguientes preguntas:
¿Qué es un polígono?
¿Qué es un polígono regular?
¿Qué es un cuadrilátero convexo?
Si dibujas todas las diagonales desde un vértice de un polígono, este se divide en regiones ______________; un
pentágono, en tres, un hexágono en cuatro. En general un polígono de n lados se divide en _____________
triángulos. Por lo tanto la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los ángulos
interiores __________ triángulos. De la misma forma la suma de los ángulos interiores de un pentágono es
______________________ la de un hexágono es_____________________. En general la suma de los ángulos
interiores de un polígono es________________________.
¿Cuál es el número de lados de un polígono si la suma de sus ángulos interiores es igual a 1710 ? Aplicando la
fórmula para obtener la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono, explica tu estrategia de solución.
Halla la medida del ángulo faltante en cada figura:

18. Evaluación
Actividades en equipo: 10%
Actividades individuales: 10%
Tareas: 20%
Examen de conocimientos: 60%
Propósitos de:
Las actividades en equipo tiene la finalidad de fomentar el trabajo colaborativo y al mismo tiempo desarrollar la
competencia de la comunicación y de argumentación.
Las actividades individuales tienen la finalidad de que interioricen los conocimientos vistos en grupo y al mismo tiempo
maneje la información de manera individual para plantear y resolver los problemas dados.
Las tareas tienen como función el reforzamiento de lo visto en clase y se busca que los alumnos, consoliden la
información nueva, y que los procedimientos se ejecuten de manera automática.
El examen de conocimientos permite conocer al profesor y al alumno mismo que tanto domina el tema y al mismo
tiempo lo enfrenta a una experiencia metacognitiva. Obteniéndose información cuantitativa y cualitativa del
alumno.
Indicadores de desempeño: El alumno:
Identifica…
Analiza…
Resuelve… lo que se pide en cada actividad
Comprueba que sus resultados obtenidos son correctos.
Discute y explica como obtiene sus resultados.
Bibliografía:
Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas.
Frida Díaz-Gerardo Hernández. Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Ed. Mc Graw Hill 2002
Jaime, A; Gutiérrez, A. (19 90): una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo Van
Hiele. En S. Linares, M. V. Sánchez (eds.), teoría y práctica en educación matemática (Alfar Sevilla, Spain pp.
295-384 (fragmentos) ¿En qué consiste el modelo de Van Hiele?