dich sách

1. Chương 2 : Tập rõ và tập mờ
A : tập rõ B : tập mờ
Một tập hợp cổ điển được xác định bởi các ranh giới rõ ràng , nghĩa là có sự không chắc chắn
về quy định hoặc vị trí của các ranh giới của tập hợp, như trong Hình 2.1a trong đó ranh giới
của tập hợp rõ ràng A là một đường rõ ràng. Mặt khác, một tập hợp mờ được quy định bởi các
thuộc tính mơ hồ hoặc không rõ ràng; do đó các ranh giới của nó được xác định một cách mơ
hồ, như thể hiện bởi ranh giới mờ của tập hợp A trong Hình 2.1 b .
tư cách thành viên của điểm c, nằm trên vùng biên, là không rõ ràng. Nếu tư cách thành viên
đầy đủ trong một tập hợp (chẳng hạn như điểm a trong Hình 2.1b) được biểu thị bằng số 1 và
không có tư cách thành viên nào trong một tập hợp (chẳng hạn như điểm b trong Hình 2.1b)
được biểu thị bằng 0, thì điểm c trong hình 2.1b phải có một giá trị thuộc trung gian nào đó
(thuộc một phần trong tập mờ A) trên khoảng [0,1]. Có lẽ tư cách thành viên của điểm c trong
A tiếp cận giá trị 1 khi nó tiến gần đến vùng trung tâm (không tô bóng) trong Hình 2.1b của
A, và tư cách thành viên của điểm c trong A tiến dần đến giá trị 0 khi nó tiến gần hơn đến
việc rời khỏi ∼ vùng biên của A.
1. Tập cổ điển (tập rõ )
X, như một tập hợp các đối tượng có cùng đặc điểm. Các phần tử riêng lẻ trong vũ trụ X sẽ
được ký hiệu là x. Đặc trưng của các phần tử trong X có thể là các số nguyên rời rạc, đếm
được hoặc các đại lượng có giá trị liên tục trên đường thực.
Hơn nữa, hầu hết các quy trình kỹ thuật được đơn giản hóa để chỉ xem xét các vũ trụ (tập
hợp) có kích thước hữu hạn. Mặc dù cường độ Richter có thể không có giới hạn lý thuyết,
nhưng trong lịch sử chúng ta không đo được cường độ động đất trên 9; giá trị này có thể là
giới hạn trên trong một vấn đề thiết kế kỹ thuật kết cấu.
Một ví dụ khác, giả sử bạn quan tâm đến lực căng dưới một chân của chiếc ghế mà bạn đang
ngồi. Bạn có thể lập luận rằng có thể tạo ra một ứng suất vô hạn trên một chân ghế bằng cách
ngồi trên ghế theo cách chỉ có một chân đỡ bạn và bằng cách để cho diện tích của đầu chân
đó tiệm cận bằng không. Mặc dù điều này về mặt lý thuyết là có thể, nhưng trên thực tế, chân
ghế sẽ bị khóa đàn hồi khi diện tích đầu ghế trở nên rất nhỏ hoặc bị biến dạng dẻo và hỏng do
vật liệu có độ bền vô hạn chưa được phát triển. Do đó, việc chọn một vũ trụ(tập hợp) rời rạc
và hữu hạn hoặc một vũ trụ(tập hợp) liên tục và vô hạn là một lựa chọn mô hình hóa; sự lựa
chọn không làm thay đổi đặc tính của các tập hợp được xác định trên vũ trụ. Nếu các phần tử
của vũ trụ (tập hợp) là liên tục, thì các tập hợp (phần tử) được xác định trên vũ trụ (tập hợp)
sẽ bao gồm các phần tử liên tục.

2. Ví dụ: nếu vũ trụ của diễn ngôn được định nghĩa là tất cả các cường độ Richter lên đến giá trị
9, thì chúng ta có thể định nghĩa một tập hợp ''cường độ hủy diệt'', có thể bao gồm (1) tất cả
các cường độ lớn hơn hoặc bằng giá trị 6 trong trường hợp sắc nét hoặc (2) của tất cả các
cường độ ''xấp xỉ 6 và cao hơn'' trong trường hợp mờ.
Một thuộc tính hữu ích của các tập hợp và vũ trụ mà chúng được xác định trên đó là một số
liệu được gọi là lực lượng, hoặc số lượng chính. Tổng số phần tử trong một(tập hợp) vũ trụ
X được gọi là số chính của nó, ký hiệu là n x , trong đó x lại là nhãn cho các phần tử riêng lẻ
trong(tập hợp)
Đối với các tập rõ A và B gồm các tập gồm một số phần tử trong X, X là tập cha của mọi tập
hợp) ký hiệu sau được xác định:
x ∈ X ⇒ x thuộc về X
x ∈ A ⇒ x thuộc A
x A ⇒ x không thuộc A
Đối với các tập hợp A và B trên X, ta cũng có
A ⊂ B ⇒ A tập con của B (nếu x ∈ A thì x ∈ b)
A ⊆ B ⇒ A nằm trong hoặc tương đương với B
(A ↔ B) ⇒ A ⊆ B và B ⊆ A (A tương đương với B)
định nghĩa tập rỗng, ∅ , là tập không chứa phần tử nào
tập hợp nguyên X, là tập gồm tất cả các phần tử trong vũ trụ.
Ví dụ 2.1. Chúng ta có một tập hợp bao gồm ba phần tử, X = { a, b, c } , vì vậy số chính là n x
= 3. Tập hợp lũy thừa là

3. P(X) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a, b } , { a, c } , { b, c } , { a, b, c }}
Số tâp hợp con của tập hợp , ký hiệu là n P(X) , được tìm thấy là
n P(X)
= 2 n X
= 2 3
= 8
Chú ý rằng nếu lực lượng của vũ trụ là vô hạn thì lực lượng của tập lũy thừa cũng là vô hạn,
nghĩa là n X = ∞ ⇒ n P(X)
= ∞ .
Phép toán trên tập rõ
Cho A và B là hai tập hợp trên (tập hợp) X. Hợp giữa hai tập hợp, ký hiệu A ∪ B, đại diện
cho tất cả các phần tử trong X cư trú trong (hoặc thuộc về) tập hợp A, tập hợp B hoặc cả hai
tập hợp A và B.
Giao của hai tập hợp, ký hiệu là A ∩ B, đại diện cho tất cả các phần tử trong vũ trụ (tâp hợp)
X đồng thời nằm trong (hoặc thuộc về) cả hai tập hợp A và B. bổ sung của một
𝐴̅ định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử trong vũ trụ X không nằm trong tập hợp A.
Hiệu của tập hợp A đối với B, ký hiệu A | B, được định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử
trong vũ trụ cư trú tại A và không cư trú tại B đồng thời.
Hợp A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B } (2.1)
Giao (2.2)
Phủ định (2.3)
Hiệu A | B = { x | x ∈ A và (2.4)

4. Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A ⊂ B thì B A được gọi là phần bù của A
trong B, ký hiệu CA
B (hay CB A)
Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A (2.5)
tính kết hợp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (2.6)
phân phối A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (2.7)
Luật luỹ đẳng: A ∪ A = A
A ∩ A = A (2.8)
Xác thực
A ∪ ∅ = A
A ∩ X = A
A ∩ ∅ = ∅ (2.9)

5. A ∪ X = X
chuyển tiếp Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C (2.10)
Quy nạp A = A
Hai tính chất đặc biệt của phép toán tập hợp được gọi là tiên đề giữa bị loại trừ và nguyên lý
De Morgan . Các thuộc tính này được liệt kê ở đây cho hai tập hợp A và B. Các tiên đề ở giữa
bị loại trừ là rất quan trọng vì đây là các phép toán tập hợp duy nhất được mô tả ở đây không
hợp lệ cho cả tập hợp cổ điển và tập hợp mờ. Có hai tiên đề ở giữa bị loại trừ (được cho trong
phương trình (2.12)). Đầu tiên, được gọi là tiên đề của khoảng giữa bị loại trừ, đề cập đến sự
hợp nhất của một tập hợp A và phần bù của nó; tiên đề thứ hai, được gọi là tiên đề mâu thuẫn ,
biểu diễn giao của tập hợp A và phần bù của nó.
Tiên đề của trung gian loại trừ (2.12a)
Tiên đề của mâu thuẫn
Các nguyên tắc của De Morgan rất quan trọng vì tính hữu ích của chúng trong việc chứng
minh các phép lặp và mâu thuẫn trong logic, cũng như trong một loạt các phép toán và chứng
minh tập hợp khác. Các nguyên tắc của De Morgan được hiển thị trong các khu vực bóng mờ
của biểu đồ Venn trong Hình. 2.9 và 2.10 và được mô tả bằng toán học trong biểu
De Morgan có thể được phát biểu cho n tập hợp,
Ví dụ 2.2. Một vòm nâng bao gồm hai cấu kiện mảnh như trong Hình 2.11. Nếu một trong hai
thành viên không thành công, thì vòm sẽ sụp đổ. Nếu E 1 = sự tồn tại của thành viên 1 và E 2 =
sự tồn tại của thành viên 2, thì sự tồn tại của cung = E 1 ∩ E 2 , và ngược lại, sự sụp đổ của cung
. Về mặt logic, sự sụp đổ của cung sẽ xảy ra nếu một trong hai phần tử bị hỏng, tức là
khi E 1 ∪ E 2 . Vì vậy,

6. đó là một minh họa cho nguyên tắc của De Morgan.
Ví dụ 2.3. Vì mục đích an toàn, nguồn cung cấp chất lỏng cho bơm thủy lực C trên máy bay
đến từ hai đường nguồn dự phòng, A và B. Chất lỏng được vận chuyển bằng các ống áp suất
cao bao gồm các nhánh 1, 2 và 3, như thể hiện trong Hình .2.12. Thông số kỹ thuật vận hành
của máy bơm chỉ ra rằng một trong hai đường nguồn có khả năng cung cấp áp suất chất lỏng
cần thiết cho máy bơm. Biểu thị E 1 = hỏng nhánh 1, E 2 = hỏng nhánh 2 và E 3 = hỏng nhánh 3.
Khi đó, không đủ áp suất để vận hành máy bơm là do
(E 1 ∩ E 2 ) ∪ E 3 , và đủ áp lực sẽ là phần bổ sung cho sự kiện này. Sử dụng De
Morgan, ta có thể tính được điều kiện đủ áp suất để
rong đó có nghĩa là có áp suất tại điểm nối và có nghĩa là không có mặt hoặc
sự cố ở nhánh 3.
Ánh xạ của các tập hợp cổ điển tới các hàm
Giả sử X và Y là hai (tâp hợp) diễn ngôn (thông tin) khác nhau. Nếu một phần tử x chứa trong
X và tương ứng với một phần tử y chứa trong Y, nó thường được gọi là ánh xạ từ X đến Y,
hoặc f : X → Y. Là một ánh xạ, hàm đặc trưng (chỉ số) χ A được xác định qua
χ A thể hiện ''tư cách thành viên'' trong tập hợp A của phần tử x
về tư cách thành viên này là một ánh xạ từ một phần tử x trong vũ trụ (tập hợp) X tới một trong
hai phần tử trong vũ trụ (tập hợp )Y, tức là tới các phần tử 0 hoặc 1, như trong Hình 2.13.

7. Hàm thành viên là một ánh xạ cho tập rõ A.
Ví dụ 2.4. Tiếp tục với ví dụ (Ví dụ 2.1) về một tập hợp có ba phần tử, chỉ gồm hai phần tử
(hàm đặc trưng),X = { a,b,c } , ta mong muốn ánh xạ các phần tử của tập lũy thừa của X, tức là ,
P(X), đến một vũ trụ, Y,
Y = { 0,1 }
Như trước đây, các phần tử của tập hợp sức mạnh được liệt kê.
P(X) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a,b } , { b,c } , { a,c } , { a,b,c }}
Do đó, các phần tử trong tập giá trị V(A) được xác định từ ánh xạ là
V { P(X) } = {{ 0,0,0 } , { 1,0,0 } , { 0,1,0 } , { 0,0,1 } , { 1,1,0 } , { 0,1,1 } , { 1,0,1 } , { 1,1,1 }}
Ví dụ, tập con thứ ba trong tập lũy thừa P(X) là phần tử b. Đối với tập hợp con này không có
a, vì vậy giá trị 0 nằm ở vị trí đầu tiên của bộ ba dữ liệu; có b, vì vậy giá trị 1 nằm ở vị trí thứ
hai của bộ ba dữ liệu; và không có c, vì vậy giá trị 0 nằm ở vị trí thứ ba được nhìn thấy. Bộ giá
trị có đồ họa tương tự được mô tả trong Chương 1 trong phần ''Bộ của bộ ba dữ liệu. Do đó,
tập hợp con thứ ba của tập hợp giá trị là bộ ba dữ liệu, { 0,1,0 } , giống như Điểm trong
Hypercubes.''

8. Bây giờ, hãy xác định hai tập hợp A và B trên tập X. Hợp của hai tập hợp này dưới dạng các
thuật ngữ lý thuyết hàm số được cho như sau (ký hiệu ∨ là toán tử cực đại và ∧ là toán tử tối
thiểu):
Ánh xạ hợp
A ∪ B −→ χ A ∪ B (x) = χ A (x) ∨ χ B (x) = max(χ A (x),χ B (x))
(2.16)

9. Giao của hai tập hợp này theo thuật ngữ lý thuyết hàm được cho bởi
Giao A ∩ B −→ χ A ∩ B (x) = χ A (x) ∧ χ B (x) = min(χ A (x),χ B (x)) (2.17)
Phần bù của một tập hợp duy nhất trên vũ trụ X, giả sử A, được cho bởi
Phần bù
Đối với hai tập hợp trên cùng một vũ trụ, giả sử A và B, nếu một tập hợp (A) được chứa trong
một tập hợp khác (B), thì
Ngăn chặn A ⊆ B −→ χ A (x) ≤ χ B (x) (2.19)
Các toán tử lý thuyết hàm cho hợp và giao (không tính cực đại và cực tiểu tương ứng) được
thảo luận trong tài liệu [Gupta và Qi, 1991].
Tập mờ
Trong cổ điển, hoặc rõ ràng, thiết lập quá trình chuyển đổi cho một phần tử trong vũ trụ giữa
tư cách thành viên và không phải là thành viên trong một tập hợp nhất định là đột ngột và được
xác định rõ ràng (được cho là '' rõ ràng ''). Đối với một phần tử trong (tập hợp) chứa các tập
mờ, quá trình chuyển đổi này có thể diễn ra dần dần. Sự chuyển đổi này giữa các mức độ thành
viên khác nhau có thể được coi là phù hợp với thực tế là ranh giới của các tập mờ là mơ hồ .
Do đó, tư cách thành viên của một phần tử từ vũ trụ trong tập hợp này được đo bằng một hàm
cố gắng mô tả sự mơ hồ và không rõ ràng.
một tập hợp chứa các phần tử có mức độ thành viên khác nhau trong bộ. Ý tưởng này trái
ngược với các tập hợp cổ điển hoặc rõ ràng vì các thành viên của một tập hợp rõ ràng sẽ không
phải là thành viên trừ khi tư cách thành viên của họ là đầy đủ hoặc đầy đủ trong tập hợp đó
(nghĩa là tư cách thành viên của họ được gán giá trị là 1). Các phần tử trong một tập mờ, vì
thuộc tính của chúng không nhất thiết phải đầy đủ, nên cũng có thể là phần tử của các tập mờ
khác trong cùng một vũ trụ.
Các phần tử của tập mờ được ánh xạ tới một tập hợp các giá trị thành viên sử dụng dạng lý
thuyết hàm. Như đã đề cập trong Chương 1 (Eq. (1.2)), các tập mờ được biểu thị trong văn bản
này bằng một ký hiệu tập hợp với dấu gạch dưới; vì vậy, chẳng hạn, A sẽ là tập mờ
Hàm này ánh xạ các phần tử của tập mờ thành một giá trị thực được đánh số trên khoảng từ 0
đến 1.
Định nghĩa ba tập mờ A, B và C trên vũ trụ X. Với một phần tử x cho trước của vũ trụ, lý thuyết
hàm sau các phép toán cho các phép toán lý thuyết tập hợp của phép hợp, phép giao và phép
bù được xác định cho A, B và C trên X:
Hợp hai tậpmờ

10. :
Giao hai tập mơ :
Phần bù :
HÌNH 2.15
Hợp của các tập mờ A và B.
HÌNH 2.16
Giao của hai tập mờ A và B.
Phần bù of fuzzy set A
∼.

11. Các nguyên lý của De Morgan cho các tập hợp cổ điển cũng đúng cho các tập hợp mờ, như
được biểu thị bằng các biểu thức sau:
tất cả các phép toán khác trên các tập cổ điển cũng đúng cho các tập mờ, ngoại trừ các tiên đề
ở giữa bị loại trừ. Hai tiên đề này không đúng cho tập mờ vì chúng không tạo thành một phần
của cấu trúc tiên đề cơ bản của tập mờ (xem Phụ lục A); vì các tập mờ có thể chồng lên nhau
nên một tập hợp và phần bù của nó cũng có thể chồng lên nhau. Các tiên đề ở giữa bị loại trừ,
mở rộng cho tập mờ, được thể hiện bởi
Tính chất của tập hợp mờ
Tính giao hoán
Tính kết hợp :
Tính phân phối :