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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA
INDUSTRIAL
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES AL CALCULO DE LA VELOCIDAD EN
CUALQUIER INSTANTE CONSIDERANDO LA RESISTENCIA DEL AIRE –
METODO DE SOLUCION POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA.
CURSO : CALCULO ll
DOCENTE: HOLGER ESPINOLA LOPEZ
INTEGRANTES:
1. CARRION NEGRETE JOSE LUIS
2. LUNA VICTORIA RODRIGUEZ RONALD
3. SANTOS NARVAEZ OSCAR
TRUJILLO – JULIO – 2017
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Tabla de contenido
INTRODUCCION................................................................................................................3
1. Realidad Problemática:..........................................................................................4
2. Formulación del Problema: ....................................................................................5
3. Hipótesis:..............................................................................................................5
4. Objetivos:.............................................................................................................5
5. Marco Teórico:......................................................................................................6
6. Desarrollo:............................................................................................................9
7. Conclusiones:......................................................................................................11
8. Bibliografía:.........................................................................................................11
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INTRODUCCION
Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros el conocimiento
sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital
importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la solución de creativa
de problemas de la rutina diaria en el campo laboral. La finalidad de nuestra
investigación sobre las integrales indefinidas es: Comprender los conceptos
básicos del cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de
integración.
Aunque no se trata de una herramienta de uso cotidiano del ingeniero, el cálculo
integral tiene aplicaciones en el desarrollo de algunos modelos estocásticos para
los cuales es indispensable la formulación de integrales. La aplicación de estos
modelos va dese la distribución de plantas, hasta la planificación de compras y
producción.
En la ingeniería industrial, para algunas aplicaciones como el diseño de
almacenes, siempre vamos a necesitar formular un modelo matemático y
resolverlo mediante las integrales. Asimismo, podemos diseñar procesos y
estimar la velocidad de una faja transportadora considerando la posición del
producto, su peso u otra variable que pueda ser diferenciable.
En este sentido es que hemos logrado adaptar un problema tomado del libro de
Ingeniería Mecánica Dinámica 12 Edición de R. C. Hibbeler.
Se va analizar la velocidad de la caída libre de un cuerpo considerando la
resistencia del aire. Asimismo, la velocidad máxima alcanzable cuando el tiempo
tiende al infinito.
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1. Realidad Problemática:
Nosotros, desde inicios del aprendizaje de la FISICA, cuando resolvemos
problemas físicos relacionados con la caída libre, con frecuencia se nos pide
que ignores la resistencia del aire y que asumas que la aceleración es
constante y sin fin. En el mundo real, debido a la resistencia del aire, los
objetos no caen indefinidamente con aceleración constante. Una forma de
ver esto es comparar la caída de una pelota de béisbol y de una hoja de papel
cuando se sueltan desde una misma altura. La pelota de béisbol se está
acelerando todavía cuando golpea el suelo. El aire tiene un efecto mucho
mayor sobre la hoja de papel que el que tiene sobre el movimiento de la pelota
de béisbol. El papel no se acelera mucho tiempo antes que la resistencia del
aire reduzca la aceleración de modo que se mueve con una velocidad casi
constante. Cuando un objeto cae con una velocidad constante, preferimos
usar el término velocidad terminal, o 𝑣 𝑇. El papel alcanza la velocidad terminal
muy rápidamente en una corta caída hacia el suelo, la pelota de béisbol no lo
hace.
A la resistencia del aire algunas veces de le llama fuerza de arrastre. Se han
hecho experimentos con una gran variedad de objetos cayendo en el aire.
Estos algunas veces muestran que la fuerza de arrastre es proporcional a la
velocidad y otras veces que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado
de la velocidad. En cualquier caso, el sentido de la fuerza de arrastre es
opuesto al sentido del movimiento. Matemáticamente, la fuerza de arrastre
se puede describir usando 𝐹𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = −𝑏𝑣 o 𝐹𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝑐𝑣2
. Las constantes
b y c se denominan como los coeficientes de arrastre que dependen del
tamaño y de la forma del objeto. En la caída hay dos fuerzas que actúan sobre
un objeto: el peso, mg, y la resistencia del aire, –bv o –cv2. A la velocidad
terminal, la fuerza hacia abajo es igual a la fuerza hacia arriba, así que mg=-
bv o mg = –cv2, dependiendo de si la fuerza de arrastre sigue la primera o la
segunda relación. En cualquier caso, como g y b o c son constantes, la
velocidad terminal se ve afectada por la masa del objeto.
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2. Formulación del Problema:
Si se toman en cuenta los efectos de la resistencia atmosférica, un cuerpo
que cae tiene una aceleración definida por la ecuación:
𝑎 = 981[1 − 𝑣2(10−4)]
𝑚
𝑠2
Donde v está en m/s y la dirección positiva es hacia abajo. Si el cuerpo se
suelta del reposo desde una gran altitud:
¿Es posible conocer la velocidad terminar o máxima alcanzable? (es decir, a
medida que 𝑡 → ∞)
3. Hipótesis:
Aplicando la integral entre la aceleración y la velocidad, podemos obtener
la velocidad en función del tiempo.
A la función velocidad podemos reemplazar el tiempo con el valor infinito
y obtenemos la velocidad terminal
4. Objetivos:
4.1. Objetivo general:
Determinar la función de la velocidad en función del tiempo, si se
tiene la relación de la aceleración en caída libre considerando la
resistencia del aire.
4.2. Objetivos específicos:
Integración de la relación aceleración vs velocidad,
considerando el método de Sustitución trigonométrica.
Calcular la velocidad para un tiempo muy grande, y obtener
la velocidad máxima alcanzable.
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5. Marco Teórico:
Caída libre: Es el movimiento vertical que realizan los cuerpos en el vacío.
¿Por qué en el vacío? porque si un cuerpo es soltado en un medio como
por ejemplo el aire, éste se opone al libre movimiento del cuerpo y por
consiguiente, el movimiento no sería de caída libre
Movimiento Vertical: Cuando se suelta un cuerpo a una determinada
altura, éste cae a través de la vertical, para ello ejerce un movimiento que
toma el nombre mencionado. Si el cuerpo es lanzado desde la superficie
hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical
Aceleración de la gravedad: Es aquella aceleración con la cual caen los
cuerpos. Su valor depende íntegramente del lugar en que se tome. En la
superficie terrestre esta aceleración no es constante, esto se debe a que
la tierra no es perfectamente esférica y además posee superficies
accidentadas.
Al soltar simultáneamente una pluma y una piedra en el aire,
la piedra llega primero que la pluma, puesto que sobre esta
última el aire ejerce mayor resistencia (mayor superficie)
Al soltar simultáneamente una pluma y una piedra en el
vacío ambas llegan al mismo tiempo, puesto que sobre
ambas no existe ninguna resistencia, por lo tanto, caen con
la misma aceleración.
Casos de Caída Libre:
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Fórmulas de caída libre: Puesto que el movimiento de caída libre es un
caso particular del M.R.U.V.; las fórmulas serán las mismas, con la
diferencia de que la aceleración ya es conocida (g).
Solución de Integrales por Sustitución Trigonométrica:
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa
en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el
integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En
muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a
una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método
realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena
resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su
primitiva directa.
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Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias
enteras de alguna de las expresiones:
es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución
trigonométrica.
22
xa
22
xa 22
ax
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Proceso de solución de integración por sustitución trigonométrica:
Para resolver una integral mediante el método de sustitución
trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso:
Proponer la sustitución adecuada.
Reemplazar los términos en la integral a partir de la
sustitución propuesta.
Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los
términos a partir de la sustitución propuesta.
Expresar la solución de la integral equivalente en términos
de la sustitución original.
6. Desarrollo:
Se tiene lafunción
𝑎 = 9.81√1 − 𝑣2(10−4)
𝑚
𝑠2
Se sabe que:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
𝑎
𝑑𝑡 =
𝑑𝑣
9.81√1 − 𝑣2(10−4
)
