1. Simplificación de fracciones
Ejercicios de Simplificación a de fracciones
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon °c 2007-2008
2. Contenido
1. Introducción 2
2. Suma de fracciones 3
3. Multiplicación de fracciones 5
4. División de fracciones 7
5. Simplificación de fracciones 9
3. 1 Introducción
El problema de simplificación de fracciones algebraicas reúne varias habilidades algebraicas, como la
suma y resta de polinomios, la división de polinomios y la multiplicación de polinomios o expresiones
algebraicas.
Simplificar una expresión algebraica significa diferentes cosas, dependiendo del objetivo particular.
Sin embargo, casi siempre se entiende que simplificar significa realizar las operaciones escritas.
Se hacen uso de las siguientes fórmulas:
1.
a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
2. a
b
¢
c
d
= ac
bd
3.
a
bc
d
= ad
bc
4. 2 Suma de fracciones
1. Simplificar
n
m2 +
3
mn
+
2
m
Paso 1 Obtener el producto de los denominadores o el mcm de los mismos.
n
m2 +
3
mn
+
2
m
=
m2n
Paso 2 Se divide el denominador del resultado por cada uno de los denominadores de los términos de
la izquierda y se multiplica por los numeradores.
n
3
2
n2 + 3m + 2mn
+
+
= m2 mn
m
m2n
Paso 3 Por lo tanto.
n
m2 +
3
mn
+
2
m
= n2 + 3m + 2mn
m2n
2. Simplificar
x + y
x ¡ y
+
x ¡ y
x + y
Paso 1 Obtener el producto de los denominadores o el mcm de los mismos.
x + y
x ¡ y
+ x ¡ y
x + y
=
(x + y)(x ¡ y)
Paso 2 Se divide el denominador del resultado por cada uno de los denominadores de los términos de
la izquierda y se multiplica por los numeradores.
x + y
¡ + x y
(x + y)2 + (x ¡ y)2
=
x ¡ y
x + y
(x + y)(x ¡ y)
Paso 3 Simplificando.
(x + y)2 + (x ¡ y)2
(x + y)(x ¡ y)
= x2 + 2xy + y2 + x2 ¡ 2xy + y2
(x + y)(x ¡ y)
=
2(x2 + y2)
x2 ¡ y2
5. 2. Suma de fracciones 4
Paso 4 Por lo tanto.
x + y
x ¡ y
+ x ¡ y
x + y
=
2(x2 + y2)
x2 ¡ y2
6. 3 Multiplicación de fracciones
1. Simplificar
7a
6m2
¢
3m
10n2
¢
5n4
14ax
Paso 1 Multiplicamos todos los numeradores y denominadores.
7a
6m2
¢
3m
10n2
¢
5n4
14ax
=
7a ¢ 3m ¢ 5n4
6m2 ¢ 10n2 ¢ 14ax
Paso 2 Simplificando.
7a ¢ 3m ¢ 5n4
6m2 ¢ 10n2 ¢ 14ax
=
(7 ¢ 3 ¢ 5)amn4
(6 ¢ 10 ¢ 14)m2n2ax
=
(7 ¢ 3 ¢ 5)n2
(3 ¢ 2 ¢ 5 ¢ 2 ¢ 7 ¢ 2)mx
=
1 ¢ n2
(2 ¢ 2 ¢ 2)mx
= n2
8mx
Paso 3 Por lo tanto.
7a
6m2
¢
3m
10n2
¢
5n4
14ax
= n2
8mx
2. Simplificar
1 ¡ x
a + 1
¢
a2
x ¡ x2
¢
x2
a
Paso 1 Multiplicamos todos los numeradores y denominadores.
1 ¡ x
a + 1
¢
a2
x ¡ x2
¢
x2
a
=
1 ¡ x ¢ a2 ¢ x2
a + 1 ¢ x ¡ x2 ¢ a
Paso 2 Simplificando.
7. 3. Multiplicación de fracciones 6
1 ¡ x ¢ a2 ¢ x2
a + 1 ¢ x ¡ x2 ¢ a
=
1 ¡ x ¢ a2 ¢ x2
a + 1 ¢ x(1 ¡ x) ¢ a
=
(1 ¡ x)(a2)(x2)
(a + 1)x(1 ¡ x)(a)
=
(a)(x)
(a + 1)
= ax
a + 1
Paso 3 Por lo tanto.
1 ¡ x
a + 1
¢
a2
x ¡ x2
¢
x2
a
= ax
a + 1
8. 4 División de fracciones
1. Simplificar
5m2
7n3
10m4
14an4
Paso 1 Aplicando la fórmula de la división.
5m2
7n3
10m4
14an4
=
5m2 ¢ 14an4
7n3 ¢ 10m4
Paso 2 Simplificando.
5m2 ¢ 14an4
7n3 ¢ 10m4 =
5m2 ¢ 14an4
7n3 ¢ 10m4
=
(5)(7 ¢ 2)(an)
(7)(5 ¢ 2)(m2)
= an
m2
Paso 3 Por lo tanto.
5m2
7n3
10m4
14an4
= an
m2
2. Simplificar
x3 ¡ x
2x2 + 6x
5x2 ¡ 5x
2x + 6
10. 5 Simplificación de fracciones
1. Simplificar
a ¡
a
b
b ¡
1
b
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
a ¡
a
b
b ¡
1
b
=
ab ¡ a
b
b2 ¡ 1
b
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
ab ¡ a
b
b2 ¡ 1
b
= b(ab ¡ a)
b(b2 ¡ 1)
=
(ab ¡ a)
(b2 ¡ 1)
= a(b ¡ 1)
(b ¡ 1)(b + 1)
= a
b + 1
Paso 3 Por lo tanto.
a ¡
a
b
b ¡
1
b
= a
b + 1
2. Simplificar
x2 ¡
1
x
1 ¡
1
x
11. 5. Simplificación de fracciones 10
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
x2 ¡
1
x
1 ¡
1
x
=
x3 ¡ 1
x
x ¡ 1
x
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
x3 ¡ 1
x
x ¡ 1
x
= x(x3 ¡ 1)
x(x ¡ 1)
=
(x3 ¡ 1)
(x ¡ 1)
=
(x ¡ 1)(x2 + x + 1)
(x ¡ 1)
= x2 + x + 1
Paso 3 Por lo tanto.
x2 ¡
1
x
1 ¡
1
x
= x2 + x + 1
3. Simplificar
a
b
¡
b
a
1 +
b
a
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
a
b
¡
b
a
1 + b
a
=
a2 ¡ b2
ba
a + b
a
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
a2 ¡ b2
ba
a + b
a
= a(a2 ¡ b2)
ba(a + b)
=
(a + b)(a ¡ b)
b(a + b)
= a ¡ b
b
Paso 3 Por lo tanto.
12. 5. Simplificación de fracciones 11
a
b
¡
b
a
1 + b
a
= a ¡ b
b
4. Simplificar
1
m
+
1
n
1
m
¡
1
n
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
1
m
+
1
n
1
m
¡
1
n
=
n + m
mn
n ¡ m
mn
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
n + m
mn
n ¡ m
mn
= mn(n + m)
mn(n ¡ m)
=
(n + m)
(n ¡ m)
Paso 3 Por lo tanto.
1
m
+
1
n
1
m
¡
1
n
= n + m
n ¡ m
5. Simplificar
x
y
¡
y
x
1 +
y
x
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
x
y
¡
y
x
1 + y
x
=
x2 ¡ y2
yx
x + y
x
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
13. 5. Simplificación de fracciones 12
x2 ¡ y2
yx
x + y
x
= x(x2 ¡ y2)
yx(x + y)
=
(a + b)(a ¡ b)
b(a + b)
= a ¡ b
b
Paso 3 Por lo tanto.
a
b
¡
b
a
1 + b
a
= a ¡ b
b
