1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Secciones Unificadas
Actividad I
Alumno:
Orlando Mejías
C.I. 22200478
SAIA-A

2. La sumatoria:
Determinada con el símbolo (sigma) nos indica la suma de una
serie de términos en alguna expresión matemática, repitiéndola e
incrementándola en una unidad.
n El tamaño del intervalo es determinado por la parte inferior
(k=1) y superior (n), estos límites reciben el nombre de
k=1 índice inferior e índice superior.
El índice inferior puede comenzar en cualquier número no
necesariamente en uno (1), por último, el índice superior puede ser
cualquier número siempre y cuando este sea superior al índice inferior.
Propiedades de la sumatoria:
Regla de la suma:
n n n
( ak + bk ) = ak + bk
k=1 k=1 k=1
Regla de la resta:
n n n
( ak - bk ) = ak - bk
k=1 k=1 k=1
Regla de los múltiplos constante:
n n
cak =c ak
k=1 k=1
c es una constante.
Regla del valor constante:
n
c = nc
k=1
c es una constante.

3. Otras propiedades para enteros positivos:
n
K = n (n+1) / 2
k=1
n 2
K = n (n+1)(2n+1) / 6
k=1
n 3 2
K = (n (n+1)/ 2)
k=1
Suma superior e inferior:
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2
+ 1, donde
F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x",
podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el
área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor
aproximado del área real.
Propiedades de la suma superior e inferior:
Propiedad 1:
Para cualquier partición P, la suma inferior es menor que la superior:
S inf⁡ (f,P)≤ S sup⁡ (f,P)
Propiedad 2:
Las sumas inferiores aumentan al aumentar el número de puntos de la
partición, y las sumas superiores disminuyen:
Si P y Q son dos particiones, y P≤Q , entonces
S inf⁡ (f,P)≤ S inf⁡ (f,Q) y S sup⁡ (f,P)≥ S sup⁡ (f,Q)
Propiedad 3:
Una suma inferior es siempre menor que cualquier suma superior: Si P y Q
son dos particiones cualesquiera, S inf⁡ (f,P)≤ S sup⁡ (f,Q)
Propiedad 4:
Las sumas superiores e inferiores están acotadas superior e inferiormente:
Para cualquier partición P se tiene m(b−a)≤ S inf⁡ (f,P)≤ S sup⁡
(f,P)≤M(b−a).

4. La integral definida:
Dado una función f(x) y un intervalo [a, b] la integral definida es
igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de las abscisas y las
rectas verticales x=a y x=b.
Las integrales definidas se representan de la siguiente manera.
b
∫f(x)dx
a
a: límite inferior de la integral.
b: límite superior de la integral.
Propiedades de la integración definida:
Cero:
a
∫f(x)dx=0
a
Múltiplo constante:
b b
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
a a
k es una constante.
Cambio del orden de integración:
b b
Si a >b entonces ∫f(x)dx=-∫ f(x)dx
a a
Sumas y restas:
b b b
∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
a a a
La propiedad es válida para más de dos funciones.

5. Teorema del valor medio para integrales:
Suponiéndose que se tiene una función f y que esta función es
continúa entre sus intervalos a y b, debe de existir por lo menos un valor
dentro del mismo, que al derivar la función y evaluarla en c de un valor
promedio.
Teorema fundamental del cálculo:
Si f(x) es una función continúa en el intervalo cerrado [a, b] y F(x) es
una antiderivada de f(x) entonces,
b b
∫f(x)dx=F(x)]=F(b)-F(a)
a a
Sustitución y cambio de variable:
Cuando las integrales no se pueden resolver directamente se debe de
aplicar una serie de métodos para su solución.
Método 1:
Resolvemos la integral indefinida, luego tomamos la antiderivada
encontrada y la evaluamos en la integral con los límites originales.
Método 2:
Hacemos el cambio de variable y cambiamos los límites de
integración.