1. MỞ ĐẦU
Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm
đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của
phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người
giải.
Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông
minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi
tương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điều quan
trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứng minh bài
toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất.
Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tác giả
thường đặt ra các câu hỏi:
- Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào?
- Dấu bằng xảy ra khi nào?
- Bất đẳng thức có đồng bậc không?
- Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức?
- Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức?
- …
Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các
biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của
bất đẳng thức…để giải quyết bài toán.
Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh
bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập). Lý thuyết bất đẳng
thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày.

2. NỘI DUNG
1. Kỹ thuật thêm bớt
Sử dụng: A A B B A B
= + - = ´ để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất
B
đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:
2 2 2
a + b + c ³ a + b +
c
b + c c + a a +
b
2
Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc nhất
Hướng dẫn:
2
a + b + c ³
2
a
b +
c
4
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a + b + c ³ a + b +
c
b + c c + a a +
b
Phân tích: - BĐT đồng bậc hai
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc hai
Hướng dẫn:
3
a a b c a
b c
ab bc ca a b c
2
+ + ³
( 2 ) 2
+
2 9 3
+ + £ + +
2 2 2
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:
(1+ a3 )(1+ b3 )(1+ c3 ) ³ (1+ ab2 )(1+ bc2 )(1+ ca2 )
Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Hướng dẫn:
( ) ( ) 3 3 (1+ a3 )(1+ b3 )(1+ b3 ) ³ 1+ 3 a3b3c3 = 1+ ab2

3. Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
5 5 5
a b c a b c
b c a
3 3 3
+ + ³ + +
2 2 2
2)
3 3 3
a + b + c ³ a + b +
c
b c c a a b
( + )2 ( + )2 ( +
)2 4
3)
3 3 3
( ) ( ) ( ) 2
a + b + c ³ a + b +
c
b c + a c a + b a b +
c
4)
4 4 4
2 2 2
a + b + c ³ a + b +
c
bc ca ab
5)
3 3 3
a b c a b c
+ + ³ + +
2 2 2 2 2 2 3
a + ab + b b + bc + c c + ca +
a
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
6)
a 5 5 + b + c 5
³
1
b 4 c 4 a
4 7) 3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ³
+ + +
Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
8)
1 + 1 + 1 ³
6
cosA cosB cosB
9)
1 + 1 + 1 ³
6
2 + cos2A 2 + cos2B 2 -
cos2B 5
10)
1 + 1 + 1 + c
osA+cosB+cosC ³
27
osAcosB osBcosC osCcosA 2
c c c

4. 2. Kỹ thuật “san sẽ”
Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có:
1 + 1 + 4xy ³
7
x 2 +
y 2
xy
Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y= 1
2
- Đại lượng “lớn”:
1
xy ; Đại lượng “bé”: 2 2
1 ;4xy
x + y
Hướng dẫn:
1 + 1 + 4 xy = 1 + 1 + 1 + 4 xy
+
1
2 2 2 2
x y xy x y xy xy xy
+ +
+ 2
³ + + =
2 4 4
(1 1) 2 1 .4 xy
1 7
2 2 2
x + y + xy xy x +
y
2 4 ( )
Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
1 + 1 + 1 + c
osA+cosB+cosC ³
15
osA osB osB 2
c c c
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600
- Đại lượng “lớn”:
1 1 1
cosA cosB cosC
+ + ; Đại lượng “bé”: cosA+cosB+cosC
Hướng dẫn:
1 1 1 osA+cosB+cosC
osA osB osC
= 1 + 4 osA + 1 +4cosB + 1 +
4cosC
osA osB osC
-3( osA cosB cosC) 4 4 4 9 15
2 2
c
+ + +
c c c
c
c c c
c
+ + ³ + + - =
Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
3 3 3 3
2(a + b + c ) + 9(a + b + c) ³
33
2 2 2
abc a + b +
c
2) a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ a3b + b3c + c3a + ab3 + bc3 + ca3
3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
P = 3 + 2 + 4xy;Q = 1 +
1
2 2 2 2
x + y xy x +
y xy

5. 3. Kỹ thuật nhóm đối xứng
Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó
chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế
kia. Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất
đẳng thức cần chứng minh.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:
bc + ca + ab ³ a + b +
c
a b c
Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Hướng dẫn:
bc + ca ³ 2 bc . ca =
2b
a b a b
Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
sin A + sin B + sin C £ c os A + c os B + c
os C
2 2 2
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600
Hướng dẫn:
A + B £ A +
B
A B c
sin sin 2(sin sin )
4sin 2 os C
£ + =
2 2
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
A B C £ A+ B B + C C + A
sin sin sin sin 3 sin 3 sin 3
4 4 4
Hướng dẫn:
A B A B B A B
+ ³ æ + + ö ³ + çè ø¸
sin 3 1 sin sin 1 sin 3 sin
4 2 2 4 4
1 .4. 4 sin A sin 3 B 4 sin A sin
3
B
4
³ =

6. Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
2 2 2
2 2 2
a + b + c ³ a + b +
c
b c a c a b
ab + bc + ca £ a + b +
c
a b b c c a
2) 2
+ + +
Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
3) sin 2A+ sin 2B + sin 2C £ sin A+ sin B + sinC
A Bc C £ A B C
4) cos cos os sin sin sin
2 2 2
1 + 1 + 1 ³ 1 + 1 +
1
sin sin sin os os os
A A A c A c B c C
5) 2 2 2
2 2 2
2 2 2
6) n sin A + n sin B + n sin C £ A n c os + n c os B + n c
os C
2 2 2

7. 4. Kỹ thuật đ ồng bậc hoá
Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có:
( 2 2 ) 1
8
ab a + b £
Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:
( ) 1 ( )
2 2 4
ab a + b £ a +
b
a b ab a b
a b
4 2 2
Û + - + ³
Û - 4
³
8
( ) 8 ( ) 0
( ) 0
Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a2 + b2 + c2 + 2 3abc £ 1
Phân tích: - BĐT không đồng bậc
- Vai trò a,b giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1
3
- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá
Hướng dẫn:
2 2 2 2
a b c abc a b c a b c
+ + + + + £ + +
Û + + £ + +
Û + + £ + +
2 3 ( ) ( )
abc a b c ab bc ca
abc a b c ab bc ca
3 ( ) ( )
3 ( ) ( )
2
Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:
2 2 2
a 3 + a 3 + a 3 = 3
Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 a + b + c ³ a 3 + b 3 + c 3
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:
a + b = 2
Chứng minh rằng : 2 £ a2 + b2 £ a3 + b3 £ a4 + b4
3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có:
16a + 16b + 16c ³ 2a + 2b + 2c

8. 5. Kỹ thuật chuẩn hoá
Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá. Việc chọn đối tượng để
chuẩn hoá là rất quan trọng.
Các ví dụ:
Bài 1:
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
a b c b c a c a b
b c a c a b a b c
+ + + + + £
( ) ( ) ( ) 6
2 2 2 2 2 2
+ + + + + +
( ) ( ) ( ) 5
Phân tích: - BĐT đồng bậc
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Chuẩn hoá: a + b + c = 1
c c
+ -
(1 )
b b
+ -
(1 )
a -
a
(1 )
Hướng dẫn: 1 - 2 a +
2
a
2 1 - 2 b +
2
b
2 1 - 2 c +
2 c
2
Theo Côsi: 2a(1-a)£
æ 2 a + 1
-a 2
= ( )
ö 2
çè
÷ø
a +1 2
4
a +1 2 = ( )( )
=> 1- 2a + 2a2 = 1 - 2a (1- a) ³ 1- ( )
4
1- a a +3 > 0
4
ö çèæ
a a
£ -
a -
a
4 (1 )
(1 )
a
=> ÷ø
=
= -
- +
- +
+
+
3
4 1 3
3
4
(1 )( 3)
1 2 2
2 a a
a a
a a
ù
= 4 3 3( 1 1 1 6
a b c é
=> VT£ 4 úû
êë
- )
+
+ -
+
+ -
+
3
) (1 3
3
) (1 3
3
(1 3
é - + + ù £ êë + + + úû
a 3 b 3 c 3 5
Bài 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
6(a + b + c) (a2 + b2 + c2) £ 27abc + 10 (a2+b2+c2)3/2 (1)
Phân tích: - BĐT đồng bậc
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Chuẩn hoá: a2 + b2 + c2 =9
Hướng dẫn: (1) <=> 2(a + b + c) - abc £ 10
VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c)
VT2 £ [a2 + (b+c)2] [(2- bc)2 + 4]
G/s: a ³ b ³ c do a2 + b2 + c2 = 9 => a2 ³ 3

9. Đặt t = bc do
2 2 9 2 3
2 2
bc £ b + c = - a £
Nên VT2 £ (9+2bc) [(2-bc)2 + 4] = (9 + 2t) [(2-t)2 + 4] = f(t) với -3£t£
3
Khảo sát f(t) => f(t) £ max f(t) = 100 => VT £ 10 đpcm
1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc £ 3
1 (a + b + c)3; a, b, c > 0
2 + 2 + 2
a b c
2) ab + bc +
ca
abc ; a, b, c > 0
8 ³
+ 2
( a +b )( b +c )( c +a
)
ö
æ
a + b +
c 2
- a 3 + b 3 + c
3 a 2 + b 2 +
c
2
- 2 2 2
( ) 1 £ 2
3) a, b, c > 0: ÷ ÷ø
ç çè
+ +
+ +
ab bc ca
abc
a b c
2
abc
4 £
1 1 1 )+ 5
4) a, b, c > 0: (a + b + c) ( +
+
a +
b b +
c c + a
a +b b +c c +a
( )( )( )

10. 6. Kỹ thuật lượng giác hoá
Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng
minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này
được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác
và các đẳng thức lượng giác liên quan.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng:
a 1- b2 + b 1- a2 + 3(ab - (1- a2 )(1- b2 ) £ 2
Phân tích: - ĐK: -1£ a,b £ 1
- Công thức lượng giác liên quan sin2a + cos2a = 1
- Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt:
sin
sin
a
b
a
b
= ìí
î =
; a ,b Î [ 0;p ]
a + b - p £
VT=2 sin( ) 2
3
Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:
x y z
x y z
+ + £
2 2 2
3 3
- - -
1 1 1 2
tg Atg B + tg B tg C + tg C tg A =
Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan 1
2 2 2 2 2 2
- Lượng giác hoá
Hướng dẫn:
Đặt: t ; t ; t
a = g A b = g B c = g C ; ABC l à tam giác nhọn
2 2 2
1 ( ) 3 3
2 2
VT = tgA+ tgB + tgC ³
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 1 + 1 + 1 =
6
a 2b 3c
Chứng minh rằng:
1
a b c
a bc b ca c ab
£
+ + +
36 9 4 27
Hướng dẫn:
1 1 1
VT bc ca ab
1 36 1 9 4 1
a b c
=
+ + +

11. bc cotg A
a
Đặt 36 2 ,
ca cotg B
b
= 9 2
2
= , 0 < A, B <p
2
Từ giả thiết ta có: 6 bc 3 ca 2 ab = 6 bc + 3 ca +
2 ab
a b c a b c
A ab cotg + cotg B = = tg æ A + B ö cotg C c A ç ¸= cotg cotg B
- è ø
Suy ra, 2 2 2
1 2 2
2 2
với A,B,C là ba góc của một tam giác
1 1 1
Vậy 2 2 2
VT 1 cotg A 1 cotg B 1
cotg
C 2 2 2
=
+ + +
2
A B C c c C
= 2 2
= æ ö çè - ø¸
æ ö 2 æ ö 2
= çè - ø¸ £ èç - ø¸
3
sin sin sin 1 os A-B os A+B sin
2 2 2 4 2 2 2
c C C C
1 os A-B sin sin 1 1 sin C sin
4 2 2 2 4 2 2
æ æ 1 - sin C ö + æ 1 - sin C ö + æ 2sin C
ö ö = æ - öæ - ö C
ç çè ø¸ èç ø¸ èç ø¸¸ ç è ¸ç øè ø ¸ £ ç ¸ = ç ¸
1 1 sin C 1 sin C 2sin 1 2 2 2 1
8 2 2 2 8 3 27
çè ø¸
Bài t ập : 1) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng:
abc + (1- a)(1- b)(1- c) < 1
2) Chứng minh rằng:
a b ab
a b
+ - £
+ +
( )(1 ) 1
(1 2 )(1 2
) 2
3) Chứng minh rằng:
a - b b - c c -
a
+ ³
a b b c c a
2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 +
1
4) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN
2 2 3
1 1 1
P
= - +
a b c
2 2 2
+ + +

12. KẾT LUẬN
Bài viết trình bày một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, các ý tưởng, ví
dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng
học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển.
Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót
về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến.
Xin chân thành cảm ơn.