1. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 15/04/2009
Semestre:
Curso: Engenharia de Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I
1. 4 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1
1 −2 0 −1 0 0
A=@ 0 1 1 A B=@ 0 2 0 A
1 −2 1 0 0 3
(a) Encontrar: det A e det B.
(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ .
(c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 .
(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ).
(e) Encontrar os produtos: A B e B A.
(f) Mostre que em geral vale por matrizes do mesmo ordem: (A B)−1 = B −1 A−1 .
(g) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 .
(h) Encontrar o inverso do produto: (B A)−1 .
2. 4 pts. Dado a sistema linear:
8 9
< x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 =
(∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 2
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 3
: ;
(a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).
(b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.
(c) Encontrar a solução completa do sistema:
8 9
< x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2 =
(∗∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 3
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 4
: ;
3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:
0 1
1 2 3 4
B 4 3 2 1 C
A=@
B C, (a, b) ∈ R2
a 2 3 4 A
4 3 2 b
0 1
0 a 0 0
B a 0 a 0 C
B=B
@ 0
C, a∈R
a 0 a A
0 0 a 0
(a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.
(b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.
(c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.
(d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.
1 µατ µατ ικα
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A
2. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 05/05/2009
Semestre:
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I
1. 4 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1
1 −2 0 −1 0 0
A=@ 0 1 1 A B=@ 0 2 0 A
1 −2 1 0 0 3
Sabendo que:
1
det (A−1 ) = det A−1 =
det A
e:
(A B)−1 = B −1 A−1
responde o seguinte:
(a) Encontrar: det A e det B.
(b) Encontrar as matrizes adjuntas: A∗ e B ∗ .
(c) Encontrar os inversos: A−1 e B −1 .
(d) Encontrar os determinantes dos inversos: det (A−1 ) e det (B −1 ).
(e) Encontrar os produtos: A B e B A.
(f) Encontrar o inverso do produto: (A B)−1 .
2. 4 pts. Dado a sistema linear:
8 9
< x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 1 =
(∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 2
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 3
: ;
(a) Encontrar a solução completa do sistema homogêneo do (∗).
(b) Encontrar a solução completa do sistema não homogêneo.
(c) Encontrar a solução completa do sistema:
8 9
< x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2 =
(∗∗) : 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 − x5 = 3
3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 − 3x5 = 4
: ;
3. 2 pts. (Cabeludo) Dado as matrizes:
0 1
1 2 3 4
B 4 3 2 1 C
A=B C , (a, b) ∈ R2
@ a 2 3 4 A
4 3 2 b
0 1
0 a 0 0
B a 0 a 0 C
B=B C, a ∈ R
@ 0 a 0 a A
0 0 a 0
(a) Encontrar para quaisquer valores de a e b o determinante do A.
(b) Encontrar para quaisquer valores de a e b o posto do A.
(c) Encontrar para qualquer valor de a o determinante do B.
(d) Para quais valores de a o matriz B tem inverso? Para estes valores, encontrar o inverso.
2 µατ µατ ικα
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3. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 27/05/2009
Semestre:
Curso: Engenharia de Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :
v1 = (1, 1, 1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1, −1, 1)T v3 = (3, −1, 3, −1, 3)T v4 = (0, 1, 0, 1, 0)T
(a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
(b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
(c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 6 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em R4 :
v1 = (1, 1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1, −1)T v3 = (1, 1, −1, −1)T v4 = (1, −1, −1, 1)T
(a) Mostre que os vi ’s são mutualmente ortogonais, isto é: vi · vj = 0 por i = j.
(b) Encontrar um base ortonormal de R4 , (d1 , d2 , d3 , d4 ), tal que: di = ci vi .
(c) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados em relação aos ei ’s (antigos), xA , e os coordenados em
relação aos di ’s (novos), xN :
xA = D xN
(d) Encontrar uma relação matricial entre os coordenados novos, xN , e os coordenados antigos, xA :
xN = D xA
−1 T
(e) Justificar que vale: D = D = D = D.
(f) Encontrar os coordenados dos vetores:
w1 = (−1, 1, −1, 1)T w2 = (1, 2, 3, 4)T
em relação ao base novo, (d1 , d2 , d3 , d4 ).
3. 2 pts. (Cabeludo?) Ortogonalização de Graham-Schmidt
Dado os vetores em R3 :
v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, −1, 1)T v3 = (1, 1, −1)T
(a) Mostre que v1 , v2 , v3 não são mutualmente ortogonais.
(b) Mostre que v1 , v2 , v3 são linearmente independentes.
(c) Escolhendo: d1 = v1 e d2 = v2 + αd1 , mostre que por:
d1 · v2
α=−
d1 · d1
obtemos um vetor, d2 ⊥ d1 . Encontrar d2 .
(d) Escolhendo: d3 = v3 + βd1 + γd2 , mostre que por:
d1 · v 3 d2 · v 3
β=− γ=−
d1 · d1 d2 · d2
obtemos um vetor, d3 ⊥ d1 e d3 ⊥ d2 . Encontrar d3 .
3 µατ µατ ικα
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4. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 05/06/2009
Semestre:
Curso: Engenharia de Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 2a chamada
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :
v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T
(a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
(b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
(c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:
(a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ).
(b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .
„ « „ « „ « „ «
1 3 −2 1 5 3 1 1
(c) A1 = , A2 = , A3 = , A4 = .
2 2 3 −4 1 2 1 0
3. 3 pts. Dado os vetores em R3 :
v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T
(a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 .
(b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos
coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k).
(c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T
4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:
v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T
(a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.
(b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d1 é ortogonal em d1 e d2 .
(c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz
deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.
(d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T .
4 µατ µατ ικα
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5. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 17/06/2009
Semestre:
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II
1. 2 pts. Dado os vetores em relação ao base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 , e5 ), em R5 :
v1 = (1, 2, 2, 2, 1)T v2 = (1, 0, 0, 0, 1)T v3 = (2, 2, 2, 2, 2)T v4 = (0, 1, 1, 1, 0)T
(a) Mostre que: V = ger(v1 , v2 ) = ger(v3 , v4 ). Qual a dimensão do V ?
(b) Escreve v1 e v2 como combinações lineares de v3 e v4 .
(c) Escreve v3 e v4 como combinações lineares de v1 e v2 .
2. 3 pts. Qual a dimensão dos conjuntos gerados de:
(a) f1 (x) = x(1 − x), f2 (x) = x(1 + x), f3 (x) = x(1 − x2 ) e f4 (x) = x(3 − x2 ).
(b) v1 = (1, −1, −1, −1)T , v2 = (1, 1, −1, −1)T , v3 = (1, 1, 1, −1)T , v4 = (1, 1, 1, 1)T , v5 = (0, 0, 1, 1)T .
„ « „ « „ « „ «
1 3 −2 1 5 3 1 1
(c) A1 = , A2 = , A3 = , A4 = .
2 2 3 −4 1 2 1 0
3. 3 pts. Dado os vetores em R3 :
v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T
(a) Mostre que (v1 , v2 , v3 ) formam uma base em R3 .
(b) Encontrar uma relação matricial expressando os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ), em termos dos
coordenados em relação ao base canônica, (i, j, k).
(c) Encontrar os coordenados em relação ao base (v1 , v2 , v3 ) dos vetores: w1 = (1, 2, 3)T e w2 = (3, 2, 1)T
4. 2 pts. Considere os vetores do exercísio anterior:
v1 = (1, 1, 1)T v2 = (1, 1, 0)T v3 = (1, 0, 1)T
(a) Definindo: d1 = v1 e d2 = d1 × v2 . Encontrar d1 e d2 . Mostrar que d1 e d2 são ortogonais.
(b) Definindo: d3 = d1 × d2 . Encontrar d3 . Mostrar que d3 é ortogonal em d1 e d2 .
(c) Encontrar uma base ortonormal de R3 , cuja os eixos são paralelos com os vetores d1 , d2 e d3 . Encontrar o matriz
deste substituição ortonormal, M. Demostrar que M−1 = MT e encontrar seu determinante.
(d) Encontrar neste base os coordenados dos vetores: w1 = (0, 1, 1)T e w2 (0, 0, 1)T .
5 µατ µατ ικα
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A
6. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 03/07/2009
Semestre:
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: III - Chamada Extra
1. (465) 4 pts. Dado o matriz, A, de uma aplicação linear, f : R4 → R4 :
0 1
1 0 0 −3
B 2 3 0 3 C
A=@
B C
−2 −1 2 −3 A
0 0 0 4
(a) Mostre que o núcleo (kernel), kerf = {x ∈ R4 | A x = 0}, tem dimensão 0.
(b) Encontrar autovalores e autovetores de f .
(c) Mostre que é possível escolher um base de autovetores de f .
(d) Encontre o matriz, B, de f ao respeito desde base. Qual a relação entre A e B?
2. (341, c) 4 pts. Dado a forma quadrática:
(∗) x2 + y 2 − z 2 + 2xy
(a) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que reduz (∗) em uma forma sem termos mistos: λ1 x2 + λ2 y1 + λ3 xz1
1
2 2
- onde λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 .
(b) Classificar geométricalmente: x2 + y 2 − z 2 + 2xy − 2x − 4y − 1 = 0.
3. (471) 2 pts. (Projeção ortogonal.) Uma aplicação linear, f , é dado por:
f (x) = (x · e)e − x
onde e é um vetor de unidade dado (fixo).
(a) Fazer uma figura indicando os vetores e, x e f (x).
(b) Mostre que a imagem do f é perpendicular em e.
√ √
2 2
(c) Seja i e j dois vetores unitários e ortogonais. Pondo: e = 2
i + 2
j. Encontrar o matriz, A, de f em relação ao
base (i, j).
6 µατ µατ ικα
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A
7. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 08/07/2009
Semestre:
Curso: Engenharia Civil e Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: III
1. (410) 4 pts. Em R4 são dado os vetores:
d1 = (1, 2, 2, 0)T d2 = (0, 1, 1, 1)T d3 = (0, 0, 1, 1)T d4 = (1, 1, 1, 1)T
(a) Mostre que d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 .
(b) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 é dado por:
f (d1 ) = (1, 1, 2)T f (d2 ) = (3, −1, 1)T f (d3 ) = (4, 0, 3)T f (d4 ) = (−5, 3, 0)T
Encontrar a matriz do f em respeito ao base di em R4 e a base canônica em R3 .
(c) Encontrar a matriz do f em respeito ao base canônica em R4 e R3 .
(d) Encontrar a dimensão do imagem do f .
(e) Dados os vetores: v1 = d1 + d2 − d3 e v2 = −d1 + 2d2 + d4 .
Mostre que: kerf = x ∈ R4 | f (x) = 0 = ger(v1 , v2 ).
˘ ¯
(f) Encontrar a solução completa da equação: f (x) = f (d1 ).
2. (403) 4 pts. Dado a superfície:
(∗) 3x2 − 3y 2 + 12xz + 12yz + 4x − 4y − 2z = 0
(a) Encontrar a parte linear do (∗), F1 (x, y, z).
(b) Encontrar a parte quadrática do (∗), F2 (x, y, z), e escreve-a na forma matricial: rT A r.
(c) Encontrar autovalores e autovetores da matriz A.
(d) Encontrar uma base ortonormal, di , de autovetores da A.
(e) Encontrar uma substituição ortogonal, D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = DT A D.
(f) Transformar, usando o item anterior, F2 em uma forma quadrática sem termos mistos.
(g) Encontrar F1 (x, y, z) em termos dos coordenados novos.
(h) Classificar (∗) geometricalmente.
3. (442) 2 pts. Seja a e b vetores fixos em R3 que satisfaz:
√
|a| = |b| = 2 a·b=1
A aplicação, f , é dado por:
f (x) = a × x + (a · x)b
(a) Mostrar que f é uma aplicação linear.
No resto deste exercísio, pomos: c = a × b
(b) Mostre a, b, c formam uma base em R3 . Mostre que o matrix ao respeito desde base é dado por:
0 1
0 0 1
A=@ 2 1 −2 A
0 1 0
Informamos, que para o produto vetorial duplo, vale:
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
(c) Encontrar autovalores e autovetores do f .
(d) Encontrar a dimensão da imagem e uma base da mesma.
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8. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 06/10/2009
Semestre: 2009.2
Curso: *
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I
1. (390) 4 pts. Dado o matriz:
0 1
2−λ −1 −1
A = @ −1 2−λ −1 A , λ ∈ R
−1 −1 2−λ
(a) Encontrar det A para qualquer valor de λ.
(b) Para quais valores de λ A é singular?
(c) Para λ = 1 encontrar o matriz adjunto de A.
(d) Para λ = 2 encontrar o matriz inversa de A.
(e) Para λ = 0 resolver o sistema homogêneo (1) : A x = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço
solucional.
(f) Para λ = 3 resolver o sistema homogêneo (2) : Ax = 0. Encontrar a dimensão e uma base desde espaço
solucional.
(g) Mostre que qualquer vetor do espaço solucional de (1) é ortogonal em qualquer vetor do espaço solucional de (2).
2. (387) 2 pts. Dado os vetores:
a1 = (0, 1, 2, 2, 0)T a2 = (1, 1, 4, 0, 0)T a3 = (1, 2, 6, 2, 1)T a4 = (−1, 2, 2, 6, −1)T
(a) Mostrar que a1 , a2 , a3 são linearmente independentes.
(b) Escrever a4 como uma combinação linear de a1 , a2 , a3
3. (371) 4 pts. Dado o matriz e o vetor::
0 1 0 1
1 0 −a 0 0
B 0 1 0 2 C B b C
C, a ∈ R
A=@ @ 0 A, b ∈ R
B B C
−1 0 1 0 A
0 1+a 0 1 b
Considerando o sistema linear:
(∗) A x = b
(a) Encontrar det A para qualquer a ∈ R.
(b) Encontrar o posto do matriz A para qualquer a ∈ R.
(c) Encontrar o posto do matriz total do sistema (∗) para qualquer a, b ∈ R e no cada caso a dimensão do espaço
solucional.
(d) Resolver o sistema (∗) para quaisquer a, b ∈ R.
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9. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 13/10/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Estatística
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:
0 1 0 1
1 a−1 2 a+2 a+b
B 1 2a 0 a C B 2a + b C
A=B C, b=B C
@ 0 −a − 1 2a + 2 0 A @ 0 A
2
0 2a + 2 4a − 4 a +a−8 4a + ab + b
E o sistema linear:
(∗) : Ax=b
(a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
(b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|b), por quaisquer valores de a, b ∈ R.
(c) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) não tem solução.
(d) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem solução única.
(e) Encontrar os valores (a, b) tal que o sistema (∗) tem infinitas solução.
(f) Resolver o sistema (∗) para (a, b) = (−1, 1). Identificar nesta solução a solução completa do sistema homogênea
(SCSH) e uma solução particular do sistema inhomogênea (SPSñH).
2. 3 pts. Dado os vetores:
a1 = (1, −1, 2, 1)T a2 = (0, 1, 1, 3)T a3 = (1, −2, 2, −1)T a4 = (0, 1, −1, 3)T a5 = (1, −2, 2, −3)T
(a) Mostre que a1 , a2 , a3 , a4 formam uma base de R4 .
(b) Encontrar os coordenados do vetor a5 neste base.
(c) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 neste base.
(d) Encontrar os coordenados dos vetores a1 , a2 , a3 , a4 no base canônica.
3. 3 pts. Dado os matrices:
0 1
„ « 1 1 1
0 2 2
A= , B = @ −1 1 1 A
−2 0 2
−1 −1 1
(a) Mostre que B é regular.
(b) Encontrar B−1 .
(c) Resolver a equação matricial: X B = A.
9 µατ µατ ικα
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10. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 16/10/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Física
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado o matriz, A, e o vetor, b:
0 1 0 1
1 1 2a a 1
B 1 a 2a 1 C B 1 C
A=B
@ 1
C, b=B C
1 a 2a A @ 1 A
1 a a 2a a
E o sistema linear:
(∗) : Ax=b
(a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
(b) Encontrar o posto da matriz aumentada, T = (A|b), por qualquer valores de a ∈ R.
(c) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) não tem solução.
(d) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem solução única.
(e) Encontrar os valores a tal que o sistema (∗) tem infinitas soluções.
(f) Resolver o sistema (∗) para a = 1.
(g) Identificar na solução do item anterior a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular
do sistema inhomogênea (SPSñH).
2. 3 pts. Dado os vetores:
a1 = (1, 0, −1)T a2 = (1, 1, 1)T a3 = (1, −1, 1)T
(a) Mostre que a1 , a2 , a3 formam uma base de R3 .
(b) Encontrar uma equação expressando coordenados em relação à base a1 , a2 , a3 , em termos dos coordenados em
relação à base canônica em R3 .
(c) Encontrar os coordenados dos vetores básicos da base canônica em R3 , na base a1 , a2 , a3 .
3. 3 pts. Dado a matriz:
0 1
0 1 1
A=@ 1 −1 0 A
1 0 1
(a) Mostre que A é singular.
(b) Resolver a sistema homogênea: A x = 0.
(c) Resolver a equação matricial: A X = A2 .
Hint: Pode ser conveniente usar, que X = A é uma solução particular da equação matricial.
10 µατ µατ ικα
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11. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 19/10/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Engenharia Mecânica
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I - 2a Chamada
1. 4 pts. Dado as matrizes, A e B:
0 1 0 1
1 1 −1 1 −1
B 0 a 1 C B −2 2 C
A=B C, b=B C
@ 2 a+2 a−2 A @ b b A
1 a+1 a−1 b−1 2b + 1
E a equação:
(∗) : AX=B
(a) Encontrar o posto da matriz coefficiente, A, por qualquer valor de a ∈ R.
(b) Encontrar o posto da matriz augmentada, T = (A|B), por quaisquer valores de (a, b) ∈ R2 .
(c) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) não tem solução (incompatível).
(d) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem solução única (determinado).
(e) Encontrar os valores (a, b) tal que a equação (∗) tem infinitas soluções (indeterminado).
(f) Resolver a equação (∗) para (a, b) = (2, 0).
2. 3 pts. Dado as matrizes:
0 1 0 1
1 −2 0 −1 0 0
A=@ 0 1 1 A, B=@ 0 2 0 A
1 −2 1 0 0 3
(a) Encontrar A−1 .
(b) Encontrar B−1 .
(c) Encontrar (A B)−1 .
3. 3 pts. Dado os vetores:
1 1 1 1
d1 = (1, 1, 1, 1)T d2 = (−1, 1, −1, 1)T d3 = (−1, −1, 1, 1)T d4 = (−1, 1, 1, −1)T d5 = (1, 2, 1, 2)T
2 2 2 2
(a) Mostre que (d1 , d2 , d3 , d4 ) formam uma base ortonormal em R4 .
(b) Encontrar os coordenados do vetor d5 em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
(c) Encontrar os coordenados dos vetores da base canônica, (e1 , e2 , e3 , e4 ), em relação a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
11 µατ µατ ικα
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12. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 08/12/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Física
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 1a Chamada
1. 4 pts. Dado a forma quadrática:
F2 (x, y, z) = 6y 2 + 12xz
(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).
(b) Encontrar os autovalores do A.
(c) Encontrar os autovetores do A.
(d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.
(e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D.
(f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos,
x, e vice-versa.
(g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x).
(h) Classifique a superfície:
6y 2 + 12xz + 2x − 2y + 2z = 3
2. 2 pts. Dado a matriz:
0 1
2 −1 2
A = @ −1 5 −1 A
2 −1 2
E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.
(a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.
(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .
(c) Pondo, d = (1, 2, 1)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d).
3. 2 pts. Dado a matriz:
„ √ «
10
√ −2 3
A=
−2 3 6
„ «
x
E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A .
y
(a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.
(b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 .
(c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.
(d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.
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13. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 08/12/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Estatística
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 1a Chamada
1. 4 pts. Dado a forma quadrática:
F2 (x, y, z) = 4z 2 + 8xy
(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x) = xT A x, onde x = (x, y, z).
(b) Encontrar os autovalores do A.
(c) Encontrar os autovetores do A.
(d) Encontrar uma base ortonormal de autovetores do A.
(e) Encontrar uma matriz ortogonal,D, e uma matriz diagonal, B, tal que: B = D−1 A D.
(f) Com este substituição ortogonal, encontre uma relação entre os coordenados novos, x , e os coordenados antigos,
x, e vice-versa.
(g) Encontrar F2 (x ) = F2 (x).
(h) Classifique a superfície:
4z 2 + 8xy + 2x − 2y = 3
2. 2 pts. Dado a matriz:
0 1
1 0 −1
A=@ 1 1 1 A
−1 1 3
E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.
(a) Encontrar o núcleo de f e sua dimensão.
(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem da f .
(c) Pondo, d = (1, −1, 0)T , encontrar a solução completa de: f (x) = f (d).
3. 2 pts. Dado a matriz:
„ √ «
7
√ − 3
A=
− 3 5
„ «
x
E uma função bilinear: g(x, y) = (x y)A .
y
(a) Encontrar os autovalores e autovetores do A.
(b) Mostre que g(x, y) define um produto interno em R2 .
(c) Dado o vetor v1 = (1, −1)T , encontrar um vetor, v2 ortogonal ao v1 ao respeito de g.
(d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito do produto interno g.
13 µατ µατ ικα
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14. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 15/12/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Física
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
0 1 1
0 0 1
1 1 1
v1 = @ 1 A v2 = @ 0 A v3 = @ 1 A
1 1 0
Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:
f (v1 ) = v2 − v3 f (v2 ) = v1 − v3 f (v3 ) = v2 − v1
(a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
(b) Encontrar o matriz de f na base vi .
(c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .
2. 2 pts. Dado a matriz:
0 1
2 −2 1
A = @ −2 5 −2 A
1 −2 2
E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.
(a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
√
F (x, y) = 7x2 − 2 3xy + 5y 2
„ «
x
(a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A .
y
(b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
(c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
√
(d) Classificar a curva: 7x2 − 2 3xy + 5y 2 + x = 4.
14 µατ µατ ικα
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15. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 15/12/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Estatística
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
0 1 0 1 0 1
1 1 1
v1 = @ −1 A v2 = @ 0 A v3 = @ −1 A
−1 −1 0
Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:
f (v1 ) = v3 − v2 f (v2 ) = v3 − v1 f (v3 ) = v1 − v2
(a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
(b) Encontrar o matriz de f na base vi .
(c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .
2. 2 pts. Dado a matriz:
0 1
5 −4 −4
A = @ −4 5 −4 A
−4 −4 5
E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.
(a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
√
F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2
„ «
x
(a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A .
y
(b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
(c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
√
(d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4.
15 µατ µατ ικα
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16. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 15/12/2009
Semestre: 2009.2
Curso: Estatística
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II - 2a Chamada
1. 3 pts. Dado os vetores:
0 1 0 1 0 1
1 1 1
v1 = @ −1 A v2 = @ 0 A v3 = @ −1 A
−1 −1 0
Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado por:
f (v1 ) = v3 − v2 f (v2 ) = v3 − v1 f (v3 ) = v1 − v2
(a) Mostre que os vetores vi formam uma base em R3 .
(b) Encontrar o matriz de f na base vi .
(c) Encontrar o matriz de f na base canônica, ei .
2. 2 pts. Dado a matriz:
0 1
5 −4 −4
A = @ −4 5 −4 A
−4 −4 5
E a aplicação linear: f : R3 → R3 : f (x) = A x.
(a) Encontrar autovalores e autovetores do A.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da A e o matriz de f neste base.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
√
F (x, y) = 7x2 + 2 3xy − 5y 2
„ «
x
(a) Encontrar uma matriz simétrica, A, tal que: F (x, y) = (x y) A .
y
(b) Encontrar autovetores e autovalores da A.
(c) Encontrar uma substituição ortogonal, D, que transforma F em uma forma sem o termo xy.
√
(d) Classificar a curva: 7x2 + 2 3xy − 5y 2 − y = 4.
16 µατ µατ ικα
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17. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
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Data: 23/03/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I
1. 2 pts. Dado a matriz:
„ «
1 1 a
A= , a∈R
−a −1 1
(a) Encontrar o posto do A para todo a ∈ R.
„ «
0
(b) Resolver a equação: A x = para todo a ∈ R.
0
0 1
0
T
(c) Resolver a equação: A x = @ b A para todo b ∈ R.
0
(d) Identifique a solução completa do sistema homogênea (SCSH) e uma solução particular do sistema não homogênea
(SPSñH) no item anteriror.
2. 2 pts. Com o matriz no item anterior pomos:
B1 = AT A B2 = A AT
(a) Calcular B1 e B2 .
(b) Calcular os determiantes det B1 e det B2 .
(c) Calcular as adjuntas B∗ e B∗ .
1 2
(d) Justifique que o produto de uma matriz com sua transposta é uma matriz simétrica.
3. 3 pts.
(a) Mostre que o determinante de ordem n > 1:
˛ ˛
˛ b a 0 0 ... 0 0 0 0 ˛
˛ ˛
˛ a b a 0 ... 0 0 0 0 ˛
˛ ˛
˛ 0 a b a ... 0 0 0 0 ˛
˛ ˛
˛ 0 0 a b ... 0 0 0 0 ˛
˛ ˛
An = ˛
˛ .
. .. .
.
˛
˛ . . . ˛
˛
˛ 0 0 0 0 ... b a 0 0 ˛
˛ ˛
˛ 0 0 0 0 ... a b a 0 ˛
˛ ˛
˛ 0 0 0 0 ... 0 a b a ˛
˛ ˛
˛ 0 0 0 0 ... 0 0 a b ˛
satisfaz a fórmula de recursão: An = bAn−1 − a2 An−2 , n ≥ 3.
(b) Pondo A1 = b, encontrar A3 .
(c) Encontrar a determinante: ˛ ˛
˛ 2−λ −1 0 0 ˛
˛ ˛
˛ −1 2−λ −1 0 ˛
A=˛ ˛
˛ 0
˛ −1 2−λ −1 ˛
˛
˛ 0 0 −1 2−λ ˛
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18. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
4. 3 pts. Dado a matriz:
0 1
α α 0 1
B 2α 2α α 1 C
A=B
@ 2α
C, α∈R
3α 0 1 A
1 1 0 0
(a) Encontrar o posto do A por todo α ∈ R.
(b) Por quais valores α ∈ R A é regular? Por estes valores, encontrar a inversa.
(c) Resolver a sistema: 1 0
1
B a C
Ax=B C
@ b A
0
para todos α, a, b ∈ R.
18 µατ µατ ικα
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19. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 30/03/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I, 2a Chamada
1. 4 pts. Dado a matriz:
0 1
0 −a 0 a
B a 0 a 0 C
A=B C, a∈R
@ 0 −a 0 −a A
−a 0 a 0
(a) Por quais valores A é regular? Para estas valores, encontrar a inversa: A−1 .
(b) Por quais valores A é ortogonal, isto é: A−1 = AT ?
(c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ .
(d) Resolver a equação matricial: A X = 0, onde 0 ∈ M 4,4 .
2. 4 pts. Dado os planos em R3 :
(α) : x + y − 2z = 0
(β) : 2x − y + (3a − 4)z = 3
(γ) : ay − z = 1
(a) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem uma reta em comum?
(b) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ tem um ponto em comum?
(c) Para quais valores de a ∈ R os planos α, β e γ nenhum ponto em comum?
(d) Para a = 1 encontrar a intersecção: α ∩ β.
(e) Para a = 1 encontrar a intersecção: β ∩ γ.
(f) Para a = 1 encontrar a intersecção: γ ∩ α.
3. 2 pts. Dado a matriz:
a2 − a
0 1
1 0 0
B a a 1 a3 − 2a2 + a C
A=B C, a∈R
@ −1 3a 0 2a2 − 2a A
3
a 2a 1 a −a
(a) Encontrar o posto ρA para todo a ∈ R.
(b) Por todo a ∈ R resolver a equação matricial: A X = A.
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20. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
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Data: 06/04/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Engenharia de Alimentos
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: I
1. 2 pts. Calcular os determinantes:
(a) ˛ ˛
˛
˛ 1 2 3 4 ˛
˛
˛
˛ 2 1 2 1 ˛
˛
˛
˛ 0 0 1 1 ˛
˛
˛ 3 4 1 2 ˛
(b) ˛ ˛
˛
˛ 0 3 1 1 ˛
˛
˛
˛ 1 2 3 2 ˛
˛
˛
˛ 2 4 5 7 ˛
˛
˛ 1 0 0 3 ˛
2. 3 pts. Dado a matriz e os vetores:
0 1 0 1 0 1
1 1 −1 0 0 1 1
B
B 0 1 1 −1 0 C
C
B
B 1 C
C
B
B 0 C
C
A=B
B 0 0 1 1 −1 C
C b1 = B
B 1 C
C b2 = B
B 0 C
C
@ 0 −1 1 1 0 A @ 1 A @ 0 A
0 0 −1 1 1 1 0
(a) Mostre que a matriz A é regular.
(b) Resolver o sistema A x = b1 .
(c) Resolver o sistema A x = b2 .
3. 2 pts. Considerando a matriz:
0 1
0 1 0 0
B 1 0 1 0 C
A=@
B C
0 1 0 1 A
0 0 1 0
(a) Encontrar det A.
(b) Encontrar a matriz inversa: A−1 .
(c) Encontrar a matriz adjunta: A∗ .
4. 3 pts. Dado as matrizes: 0 1 0 1
1 1 0 −1 −2 5
B 1 1 1 −1 C B −2 −4 C
A=@
B C B=@
B C
−1 −1 0 2 A 3 0 A
1 1 2 2 1 2
(a) Encontrar o posto da A.
(b) Resolver o sistema matricial: A X = B.
(c) Indicar no item anterior a solução completa do sistema homogênea e uma solução particular do sistema não-
homogênea.
20 µατ µατ ικα
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21. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
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Data: 14/05/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Engenharia de Alimentos
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II
1. 4 pts. Dados os vetores em R4 :
0 1 0 1 01 0 1 0 1
1 0 0 1 1
B 1 C B 1 C B 0 C B 0 C B 1 C
d1 = B C
@ 0 A d2 = B C
@ 1 A d3 = B C
@ 1 A d4 = B C
@ 0 A d5 = B C
@ 1 A
0 0 1 2 1
(a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 , d4 formam uma base em R4 .
(b) Encontre uma relação entre as coordenadas em relação a base canônica e a base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
(c) Encontre as coordenadas do vetor d5 na base (d1 , d2 , d3 , d4 ).
(d) Encontre as coordenadas antigas dos vetores básicos novos.
(e) Encontre as coordenadas novas dos vetores básicos antigos.
2. 2 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
0 1
0 1 1
A=@ 1 −1 0 A
1 0 1
(a) Encontrar o núcleo e a sua dimensão.
(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, f (R3 ).
(c) Encontrar o conjunto: {x ∈ R3 | f (x) = (0, 1, 1)}.
(d) f tem inversa?
3. 4 pts. Dados os vetores em R4 :
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 −1 −1
B 2 C B 0 C B 1 C B 0 C
v1 = B
@ 4 A
C v2 = B
@ 3 A
C v3 = B C
@ −3 A v4 = B C
@ −3 A
−2 −2 5 1
e uma aplicação linear, f : R4 → R4 :
f (v1 ) = v1 + v2 , f (v2 ) = −v1 + v2 , f (v3 ) = v3 + v4 , f (v4 ) = −v3 + v4
4
(a) Mostrar que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R .
(b) Encontrar a matriz, A, em relação a base canônica (no domínio e na imagem).
(c) Encontrar a matriz, B, em relação da base (v1 , v2 , v3 , v4 ) (no domínio e na imagem).
(d) Sendo U = ger(v1 , v2 ), mostre que f (U ) = U .
(e) Sendo V a matriz contendo os vetores v1 , v2 , v3 , v4 em colunas, mostre: B = V−1 A V.
21 µατ µατ ικα
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22. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 19/05/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II
1. 5 pts. Uma aplicação linear, f : R4 → R4 é dado por sua matriz::
0 1
2 −1 0 −1
B −1 2 −1 0 C
A=@
B C
0 −1 2 −1 A
−1 0 −1 2
Considerando os vetores:
0
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1
1B 1 C 1B 1 C 1 B −1 C 1 B −1 C
v1 = B C v2 = B C v3 = B C v4 = B C
2@ 1 A 2 @ −1 A 2@ 1 A 2 @ −1 A
1 −1 −1 1
(a) Mostre que os vetores v1 , v2 , v3 , v4 formam uma base em R4 .
(b) Mostre que vale: f (vi ) = λi vi , i = 1, 2, 3, 4. Encontre os λi ’s.
(c) Uma base, vi , é chamado ortonormal, se:
0, i=j
vi · vj = δij =
1, i=j
Mostre que os vi ’s formam uma base ortonormal em R4 .
(d) Organizando os vetores vi como colunas numa matriz, V, mostre: V−1 = VT .
(e) Encontre uma relação entre coordenadas em relação a base canônica e coordenadas em relação a base vi .
(f) Mostre que B = V−1 A V é diagonal. Quais os valores na sua diagonal?
2. 3 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
0 1
1 0 2
A=@ 0 −1 2 A
2 2 0
(a) Encontrar o núcleo, ker f , e a sua dimensão. Mostrar que d1 = 1 (−2, 2, 1)T ∈ ker f .
3
(b) Encontrar a dimensão e uma base da imagem, Imf .
(c) Mostrar que os vetores d2 = 1 (2, 1, 2) e d3 = 3 (1, 2, −2) formam uma base ortonormal da imagem.
3
1
(d) Mostrar que: ker f ⊥ Imf .
3. 2 pts. Consideramos a aplicação e os vetores introduzidos no questão 2.
(a) Mostre que os vetores d1 , d2 , d3 formam uma base ortonormal em R3 .
(b) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base canônica.
(c) Encontrar as imagens: f (di ) em relação a base di .
(d) Encontrar a matriz do f usando a base di no domínio e na imagem.
22 µατ µατ ικα
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A
23. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 01/06/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: II, 2a chamada
1. 6 pts.Dado os vetores:
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1
B 2 C B 1 C B 0 C B 1 C
v1 = B C
@ 2 A v2 = B C
@ 1 A v3 = B C
@ 1 A v4 = B C
@ 1 A
0 1 1 1
(a) Mostre que os vetores (vi ) formam uma base de R4 .
(b) Encontrar uma relação expressando as coordenadas em relação a base canônica, em termo das coordenadas em
relação a base (vi ).
(c) Uma aplicação linear, f : R4 → R3 , é dado por:
0 1 0 1 0 1 0 1
1 3 4 −5
f (v1 ) = @ 2 A f (v2 ) = @ −1 A f (v3 ) = @ 0 A f (v4 ) = @ 3 A
2 1 3 0
Encontrar o matriz, A , da f usando base canônica em R3 e base (vi ) em R4 .
(d) Encontrar o matriz, A, da f usando base canônica em R4 e R3 .
(e) Encontrar a dimensão da imagem, f (R4 ).
(f) Dado os vetores: d1 = v1 + v2 − v3 e d2 = −v1 + 2v2 − v4 . Mostre que d1 e d2 gera o núcleo da f .
(g) Encontrar, em termos de v1 , v2 , v3 , v4 , todas as vetores que satisfaz: f (x) = f (v1 ).
2. 2 pts. Sendo v1 , v2 uma base em C2 , uma aplicação linear, f , é dado por:
f (v1 ) = v1 + 2v2 f (v2 ) = iv1 + v2
(a) Encontrar a matriz, A, da f em relação a base v1 , v2 .
(b) Mostre que os vetores: w1 = v1 + v2 e w2 = v1 − v2 formam uma base de C2 .
(c) Encontrar a matriz, B, da f em relação a base w1 , w2 .
3. 2 pts.Dado a matriz: 0 1
5 1 −1
A = @ −4 1 2 A
4 0 −1
(a) Encontrar as imagens dos vetores: v1 = (1, −1, 1)T e v2 = (1, −2, 2)T .
(b) Encontrar um vetor, v3 , tal que: f (v3 ) = v2 + v3 .
(c) Encontrar a matriz da f em relação a base v1 , v2 , v3 .
23 µατ µατ ικα
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24. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 24/06/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Engenharia de Alimentos
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: III
1. 3 pts. Dado a matriz:
„ «
1 a
A=
a 1
Onde a = 0.
(a) Encontrar os autovalores da A.
(b) Encontrar os autovetores da A.
(c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?
(d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!
2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
0 1
6 −4 −4
A = @ −4 6 −4 A
−4 −4 6
(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
(b) Encontrar o núcleo da matriz A.
(c) Mostre que A é diagonalizável.
(d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
F (x, y, z) = 6x2 + 6y 2 + 6z 2 − 8xy − 8xz − 8yz
(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
e as coordenadas antigas, (x, y, z).
(c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).
Superfícies quadráticas em R3 :
I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
2
+ 2
+ =1
a b c2
II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+ − =1
a2 b2 c2
Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
− − =1
a2 b2 c2
24 µατ µατ ικα
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25. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
2
− 2
− =0
a b c2
V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+ = z − z0
a2 b2
VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
− = z − z0
a2 b2
25 µατ µατ ικα
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A
26. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Data: 24/06/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: III
1. 3 pts. Dado a matriz:
„ «
1 a
A=
a 1
Onde a ∈ R.
(a) Encontrar os autovalores da A para todo a ∈ R.
(b) Encontrar os autovetores da A para todo a ∈ R.
(c) A matriz A é similar com uma matriz diagonal? Caso sim, qual?
(d) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!
2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
0 1
3 −4 −4
A = @ −4 3 −4 A
−4 −4 3
(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
(b) Encontrar o núcleo da matriz A.
(c) Mostre que A é diagonalizável.
(d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
F (x, y, z) = 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 8xy − 8xz − 8yz
(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
e as coordenadas antigas, (x, y, z).
(c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 4, fornecendo tipo, centro e semi-eixo(s).
Superfícies quadráticas em R3 :
I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
2
+ 2
+ =1
a b c2
II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+ − =1
a2 b2 c2
Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
− − =1
a2 b2 c2
26 µατ µατ ικα
Made in LTEX
A
27. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
ole@mat.ufg.br - http://www.ime.ufg.br/docentes/olepeter
Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
IV: Cone quadrático, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
2
− 2
− =0
a b c2
V: Parabolóide eliptica, centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
+ = z − z0
a2 b2
VI: Parabolóide hiperbólica (sela), centro (x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b:
(x − x0 )2 (y − y0 )2
− = z − z0
a2 b2
27 µατ µατ ικα
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28. Dr. Ole Peter Smith
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
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Data: 29/06/2010
Semestre: 2010.1
Curso: Engenharia de Alimentos
Disciplina: Álgebra Linear
Prova: IV (Substituitiva)
1. 3 pts. Dado a matriz:
„ «
1 2
A=
0 a
(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da A por qualquer valor do constante a ∈ R.
(b) Os autovetores da A são ortogonais? Justifique!
(c) Por quais valores do a ∈ R A é diagonaliável? Por estes valores, encontrar uma matriz regular, D, e uma matriz
diagonal, B, tal que B = D−1 A D.
2. 4 pts. Uma aplicação linear, f : R3 → R3 é dado pela sua matriz:
0 1
−1 1 1
A = @ 1 −1 1 A
1 1 −1
(a) Encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.
(b) Encontrar o núcleo da matriz A.
(c) Mostre que A é diagonalizável.
(d) Encontre uma matriz diagonal, B, e uma matriz ortogonal, D, tal que B = D−1 A D.
3. 3 pts. Dado a forma quadrática:
F (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 2yz
(a) Encontrar uma matriz simétrica, tal que: F (x, y, z) = xT A x.
(b) Encontrar uma base ortonormal de autovetores da matriz A, e uma relação entre as coordenadas novas, (x , y , z ),
e as coordenadas antigas, (x, y, z).
(c) Encontrar a matriz, B, neste base. Encontre também a forma quadrática transformada: F (x , y , z ) = F (x, y, z).
(d) Classifique a superfície definida por: F (x, y, z) = 2, encontrando tipo, centro e semi-eixo(s) na base canônica.
Superfícies quadráticas em R3 :
I: Elipsóide, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+ + =1
a2 b2 c2
II: Hiperbolóide 1 folha, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
2
+ 2
− =1
a b c2
Eixo principal: (x, y, z)T = (x0 + t, y0 + t, z0 )T , t ∈ R.
III: Hiperbolóide 2 folhas, centro C(x0 , y0 , z0 ), semi-eixos a, b, c:
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
− − =1
a2 b2 c2
28 µατ µατ ικα
Made in LTEX
A