1) A trigonometria estuda as medidas dos triângulos, especialmente relacionadas aos lados e ângulos.
2) Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Nele, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
3) Os seno, cosseno e tangente de ângulos agudos e obtusos podem ser calculados em qualquer triângulo usando a lei dos seno e a lei dos cossenos.
2. O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da
conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein – medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
3.
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7. Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou
seja, um ângulo de 90°.
cateto cateto hipotenusa
cateto
cateto
hipotenusa
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros
dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses
ângulos são complementares.
8. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos
catetos
a 2 = b2 + c2
a=5
b=3 5 2 = 32 + 4 2
25 = 9 + 16
25 = 25
c=4
10. Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais,
determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo de aplicação:
23. Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados
por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do
fio necessário para a instalação?
Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos
que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com
senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).
24. A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso
de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.
25. A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos
internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
26. A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as
medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.
29. Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são
conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada
de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do
ângulo compreendido entre eles.
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31.
32.
33. Todo ângulo central possui um arco correspondente,
e reciprocamente, a todo arco corresponde um
ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do
seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o
grau ou o radiano.
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros,
metros...
IMPORTANTE
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma
“abertura”, ou seja, a mesma medida
(mesmo ângulo), mas possuem
comprimentos diferentes
34. O grau é definido, dividindo-se uma
circunferência em 360 partes iguais. Cada
uma dessas partes, corresponde a um arco
de um grau (1°).
Transferidor:
usado para
medir ângulos.
35. Observe o arco AB da circunferência, em
que o comprimento é igual a medida do
raio:
Dizemos que, a medida do arco AB ou do
ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano
(1 rad).
Assim, dizemos que um arco AB que
possui comprimento igual ao raio da
circunferência, mede 1 radiano.
36. Qual é o comprimento de uma circunferência?
Comprimento
= 3,141592654 → π (Pi)
Diâmetro
C
= π → C = 2πR
2R
Qual é a medida em radianos de um arco de
360°?
Compriment o do arco Medida do arco
R 1 rad
2πR x
R 1 rad
=
2πR x
xR = 2πR rad
2πR rad
x= ⇒ x = 2π rad → medida do arco de uma circunferência (360° )
R
37. Portanto, temos que: 360° = 2π rad
180° = π rad
Quantos graus mede um arco de 1 radiano?
Medida do arco em graus Medida do arco em radianos
360º 2π rad
x 1 rad
360° 2π
=
x 1
2πx = 360°
360° 180° 180°
x= ⇒x= = ≅ 57 ,3°
2π π 3,14
44. 1
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno sec x =
cos x
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno 1
cos sec x =
sen x
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da cos x
tangente. cot gx =
sen x