7. Lanczos法 [Lanczos, 1950]
),,,(span),( 1
xAAxxxA m
m
−
= Kκ
xAAxx m 1
,,, −
K mvvv ,,, 21 Kに対するGram-Schmidtの直交化
],,,[ 21 mm vvvV K= に基づく射影法→ Lanczos法
Krylov部分空間
mm AVV
T
特徴： は三重対角行列
Krylov部分空間の性質
計算量の小さい実装（CG法の漸化式）
7/26
8. リスタート付き Lanczos 法
特徴： 三重対角行列
計算量の小さい実装（CG法の漸化式）
MATLABのeigsのデフォルトは 6,20 == km
Krylov部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル)(T)( l
m
l
m AVV
)(],,[ )()(
1
)(
kmvvV l
m
ll
m >= K
および を計算
)(T)( l
m
l
m AVV
...,2,1,0=lfor
end for
)()(
1
l
m
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
yy K
)1()()()(
kjyVz l
j
l
m
l
j ≤≤=
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ ll
k
ll
k
l
Qzzvv KK =++
ある直交行列
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9. Sorensenの収束定理 (1992)
ある が存在して，任意の に対して の副対角成分
)1(lim,lim )()(
kjxz j
l
j
l
j
l
j
l
≤≤==
∞→∞→
λθ
0>ε
特徴： は三重対角行列
)(T)( l
m
l
m AVV
)(T)( l
m
l
m AVV の 首座小行列を とする．jj× )1()(
mjT l
j ≤≤
)(l
kTl
の絶対値が より大きいと仮定すると，ε
)(l
kT の副対角成分が0に近づかないと仮定
0に近づいたら減次を行えばよい
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14. リスタート付き Lanczos 法（再）
は固定していた
km,
Krylov部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル)(T)( l
m
l
m AVV
)(],,[ )()(
1
)(
kmvvV l
m
ll
m >= K
)()(
1
l
m
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
yy K
および を計算)1()()()(
kjyVz l
j
l
m
l
j ≤≤=
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ ll
k
ll
k
l
Qzzvv KK =++
)(T)( l
m
l
m AVV
...,2,1,0=lfor
end for ある直交行列
14/26
15. リスタート戦略の一般化
Krylov部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル
)(T)( l
m
l
m ll
AVV
)(],,[ )()(
1
)(
ll
l
m
ll
m kmvvV ll
>= K
)()(
1
l
m
l
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
l
yy K
および を計算)1( 1
)()()(
+≤≤= l
l
j
l
m
l
j kjyVz l
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ 11
ll
k
ll
k
l
Qzzvv ll ++
=++
KK
...,2,1,0=lfor
end for
)( 1 kkl ≥+
を動的に変えて収束加速
ll km ,)(T)( l
m
l
m ll
AVV
Heuristicな戦略
ある直交行列
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16. 一般化したリスタート戦略に対する
収束定理 [本研究]
)1(lim,lim )()(
kjxz j
l
j
l
j
l
j
l
≤≤==
∞→∞→
λθ
)(T)( l
m
l
m ll
AVV の 首座小行列を とする．jj× )1()(
l
l
j mjT ≤≤
),,(diaglim 1
)(
k
l
k
l
T λλ K=
∞→
が成り立ち，さらに
自然な拡張！
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17. リスタート戦略の一般化（２）
Krylov部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル
)(T)( l
m
l
m ll
AVV
)(],,[ )()(
1
)(
lll
l
m
ll
m qpmvvV ll
+>= K
)()(
1
l
m
l
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
l
yy K
および )1,1( 11
)()()(
llll
l
j
l
m
l
j mjqmpjyVz l
≤≤+−≤≤= ++
)()()(
1
)()(
1
)1()1(
1 ],,,,,[:],,[ 111
ll
m
l
qm
l
p
ll
k
l
Qzzzzvv llll
KKK +−
++
+++
=
...,2,1,0=lfor
end for ある直交行列
大きいほうから 個，小さいほうから 個もとめたい
動機：アプリケーション上，アルゴリズム上の理由
p q ):( qpk +=
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18. 一般化したリスタート戦略に対する
収束定理 [本研究]
)1(lim,lim )()(
pjxz j
l
j
l
j
l
j
l
≤≤==
∞→∞→
λθ
が成り立つ．
自然な拡張！ただし対角行列に収束するわけではない
大きいほうから 個，小さいほうから 個もとめるp q
Lanczos法において
)1(lim,lim )()(
qjxz jqN
l
jqm
l
jqN
l
jqm
l ll
≤≤== +−+−
∞→
+−+−
∞→
λθ
18/26
20. リスタート付きのRR法（再掲）
[大きい方から 個の固有値 を求める場合]kλλ >>L1
k
基本性質：
ある部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル
)(T)( l
m
l
m ll
AVV
)(],,[ )()(
1
)(
ll
l
m
ll
m kmvvV ll
>= K
)()(
1
l
m
l
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
l
yy K
および を計算)1( 1
)()()(
+≤≤= l
l
j
l
m
l
j kjyVz l
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ 11
ll
k
ll
k
l
Qzzvv ll ++
=++
KK
...,2,1,0=lfor
end for
)( 1 kkl ≥+
zz
Azz
xx
Axx
l
m
NN
Vz
l
x
T
T
}span{
)(
1T
T
R
1 )(
max,max
∈∈
== ×
θλ
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22. Lanczos法の収束性解析
→ ∞→ll
N
l
N VAV )(T)( ~~
0
0
Krylov部分空間の性質より
よって は の固有値 は固有ベクトル
)()(
1
∞∞
>> kθθ L NN
A ×
∈R )()(
1 ,, ∞∞
kzz K
※大きい固有値への収束証明はSorensenと同様
相似変換
)(T)( l
m
l
m AVV
Krylov部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル
)(T)( l
m
l
m ll
AVV
)(],,[ )()(
1
)(
ll
l
m
ll
m kmvvV ll
>= K
)()(
1
l
m
l
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
l
yy K
および を計算)1( 1
)()()(
+≤≤= l
l
j
l
m
l
j kjyVz l
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ 11
ll
k
ll
k
l
Qzzvv ll ++
=++
KK
...,2,1,0=lfor
end for
)( 1 kkl ≥+
ある直交行列
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25. リスタート付きのRR法（再掲）
[大きい方から 個の固有値 を求める場合]kλλ >>L1
k
ある部分空間の正規直交基底を生成
の固有値 固有ベクトル
)(T)( l
m
l
m ll
AVV
)(],,[ )()(
1
)(
ll
l
m
ll
m kmvvV ll
>= K
)()(
1
l
m
l
l
θθ ≥≥L
)()(
1 ,, l
m
l
l
yy K
および を計算)1( 1
)()()(
+≤≤= l
l
j
l
m
l
j kjyVz l
として1へ
)()()(
1
)1()1(
1 ],,[:],,[ 11
ll
k
ll
k
l
Qzzvv ll ++
=++
KK
...,2,1,0=lfor
end for
)( 1 kkl ≥+
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26. 収束定理 (C., P., S. 1994)
}{span)()( )1()()()(T)()(
1
+
+
∈−− l
m
l
i
l
i
l
i
l
m
l
m lll
VzIACVVI θ
)()(
, ∞∞
ii zθすべての に対して は の固有対A
任意の に対して}{span )(l
ml
Vv ⊥
)0,0( 21 >> KK を満たし（正定値性），かつ
※Lanczos法は が単位行列，Davidson法は正定値対角行列
)(
,
l
ijC
0,)())(( )(
,
)(
,2
)()()(T)()(
=≤−− ∞
ij
l
ij
l
i
l
i
l
i
l
i
l
i wwAKzIACzIA θθキー不等式:
すべての に対して，行列集合 がki ,,2,1 K= K,1,0
)(
}{ =l
l
iC
2
2
)(T2
1 vKvCvvK l
i ≤≤
ki ,,2,1 K=
26/26
