Nguyen le chi quyet

1. Ôn thi Cao h c năm 2010 môn Gi i tích (Cơ b n) Bài 3 - LÝ THUY T CHU I PGS TS. Lê Hoàn Hóa Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 3 tháng 1 năm 2010 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

2. Nội Dung PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

4. Định nghĩa Cho (an )n là dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký ∞ ∑︁ k ∑︁ hiệu là an . Với mỗi k ∈ N, đặt sk = an là tổng riêng phần 1 1 thứ k. Khi k thay đổi trên N, có dãy tổng riêng phần (sk )k . ∞ ∑︁ Nếu lim sk tồn tại hữu hạn, ta nói chuỗi an hội tụ và đặt k→∞ 1 ∞ ∑︁ S = lim sk là tổng của chuỗi, S = an . k→∞ 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk = +∞ hay k→∞ k→∞ ∞ ∑︁ lim sk = −∞, ta nói chuỗi an phân kỳ. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

8. Tính chất 1 Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. ∞ ∑︁ ∑︁ 2 Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n≥n0 ∞ ∑︁ 3 Điều kiện cần: nếu chuỗi an hội tụ thì lim an = 0. k→∞ 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

13. Chuỗi không âm » Tính chất ∞ ∑︁ Chuỗi không âm là chuỗi có dạng: an , a n ≥ 0 1 Tính chất ∞ ∑︁ Cho an , an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk )k là dãy tăng 1 ∞ ∑︁ và nếu (sk )k bị chặn thì chuỗi an hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

14. Chuỗi không âm » Tính chất ∞ ∑︁ Chuỗi không âm là chuỗi có dạng: an , a n ≥ 0 1 Tính chất ∞ ∑︁ Cho an , an ≥ 0. Khi đó dãy tổng riêng phần (sk )k là dãy tăng 1 ∞ ∑︁ và nếu (sk )k bị chặn thì chuỗi an hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

15. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh ∞ ∑︁ 1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, nếu bn hội tụ thì 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ an hội tụ, nếu an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

16. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh ∞ ∑︁ 1 Giả sử 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, nếu bn hội tụ thì 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ an hội tụ, nếu an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

17. Chuỗi không âm » Dấu hiệu so sánh an 2 Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ bn ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân 1 1 kỳ. ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ, nếu an phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì bn phân kỳ. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu k = ∞ và an hội tụ thì bn hội tụ, nếu bn phân 1 1 1 ∞ ∑︁ kỳ thì an phân kỳ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

22. Chuỗi không âm » Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ 0 và f giảm. Với mọi n ∈ N, đặt an = f (n). Khi đó: ∞ ∫︁ ∞ ∑︁ Tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi an hội tụ. 1 1 Chuỗi cơ bản ∞ ∑︁ 1 1 hội tụ khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ 1 2 t n , |t| < 1, hội tụ và tổng S = tn = 1−t 0 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

28. Chuỗi không âm » Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) ∞ ∑︁ an+1 Cho chuỗi số dương an , an > 0. Giả sử lim = k. Khi đó: n→∞ an 1 ∞ ∑︁ 1 Nếu k < 1 thì an hội tụ. 1 ∞ ∑︁ 2 Nếu k > 1 thì an phân kỳ. 1 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. ∞ an+1 ∑︁ Ghi chú. Nếu có ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chuỗi an phân kỳ. an 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

34. Chuỗi không âm » Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ ∑︁ √ Cho chuỗi không âm an , an ≥ 0. Giả sử lim n an = k. Khi đó: k→∞ 1 1 Nếu k < 1 thì chuỗi hội tụ. 2 Nếu k > 1 thì chuỗi phân kỳ. 3 Nếu k = 1, chưa kết luận về sự hội tụ. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

39. Chuỗi đan dấu » Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Chuỗi đan dấu có dạng (−1)n an hoặc (−1)n an , an ≥ 0. 1 0 Dấu hiệu Leibnitz ∞ ∑︁ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an , an ≥ 0. Giả sử (an )n là dãy giảm 1 và lim an = 0 thì chuỗi hội tụ.Gọi S là tổng của chuỗi. Khi đó: k→∞ |S| ≤ a1 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

45. Chuỗi bất kì » Các định nghĩa ∞ ∑︁ Chuỗi bất kì có dạng an với an có thể âm hay dương. 1 ∞ ∑︁ Xét chuỗi không âm |an |. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi |an | hội tụ thì chuỗi an hội tụ và ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an hội tụ tuyệt đối. 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi |an | phân kỳ, ta nói 1 1 ∞ ∑︁ chuỗi an là bán hội tụ. 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

50. Chuỗi bất kì » Tính chất ∞ ∑︁ Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối thì chuỗi có được bằng cách thay 1 đổi thứ tự các số hạng cũng hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi. Ghi chú ∞ ∑︁ Nếu bằng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy mà chuỗi |an | hội 1 ∞ ∑︁ tụ (phân kỳ) thì chuỗi an cũng hội tụ (phân kỳ) 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

53. Chuỗi bất kì » Định lí Cho (an )n là dãy giảm, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy bất n→∞ kỳ (không cần ⃒dương). Giả sử có hằng số C > 0 sao cho với mọi ⃒ n ⃒∑︁ ⃒ n ∈ N, ⃒ bk ⃒ ≤ C . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 ∞ ∑︁ ∞ ∑︁ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ và tổng S = an bn thỏa mãn 1 1 |S| ≤ Ca1 . Sau đây là một vài ví dụ "Xét tính hội tụ của chuỗi". PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

58. Ví dụ » Ví dụ 1 Ví dụ 1 ∞ ∑︁ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi n ln�� n 2 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên tục, f (x) ≥ 0 và f x ln�� x 1 giảm. Khi đó, f (n) = , n ≥ 2. n ln�� n ∞ ∫︁ ∞ ∫︁ dx dt Xét tích phân suy rộng �� = (đổi biến t = ln x) x ln x t �� 2 ln 2 Tích phân hội tụ khi �� > 1, phân kỳ khi �� ≤ 1. ∞ ∑︁ 1 Vậy chuỗi hội tụ khi �� > 1, phân kỳ khi �� ≤ 1. n ln�� n 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

65. Ví dụ » Ví dụ 2 Ví dụ 2 ∞ ∑︁ √ Xét tính hội tụ của chuỗi ( n a − 1)�� với a > 1 1 √ (︁ 1 )︁�� ln�� a Đặt an = ( n a − 1)�� = e n ln a − 1 và bn = �� thì n an lim =1 n→∞ bn ∞ ∑︁ ln�� a Chuỗi hội tụ khi �� > 1, phân kỳ khi �� ≤ 1. n�� 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi �� > 1, phân kỳ khi �� ≤ 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

70. Ví dụ » Ví dụ 3 Ví dụ 3 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi ln 2 − ln sin 2 1 n5 n5 1 ⎛ ⎞ [︂ 1 (︂ 1 )︂]︂ sin 2/5 Đặt an = ln 2/5 − ln sin 2/5 = − ln ⎝ ⎜ n ⎟ n n 1 ⎠ n2/5 t 3 sin t t 2 Do sin t = t − + o(t 3 )nên =1− + o(t 2 ) 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1,ta có lim = n t→0 t n→∞ bn 6 ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. 1 n4/5 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

78. Ví dụ » Ví dụ 4 Ví dụ 4 ∞ ∑︁ [︂ 1 (︂ )︂]︂ 1 Xét tính hội tụ của chuỗi sin − ln 1 + n n 1 (︂ )︂ 1 1 Đặt an = sin − ln 1 + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t 3 ), ln(1 + t) = t − + o(t 2 ) 6 2 t2 Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t 2 ) 2 1 an Đặt bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

85. Ví dụ » Ví dụ 5 Ví dụ 5 ∞ ∑︁ (︂ 1 )︂ n+1 Xét tính hội tụ của chuỗi − ln n n 1 1 n+1 Đặt an = − ln n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t 2 ), đặt bn = 2 ,ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ ∑︁ 1 Do chuỗi hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ. 2n2 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

91. Ví dụ » Ví dụ 6 Ví dụ 6 ∞ ∑︁ Xét sự hội tụ của chuỗi dương an thỏa điều kiện: 1 √ (︂ )︂ 1 ∀n ≥ n0 , n an ≤ 1 − �� với �� ∈ (0, 1). n 1 n (︂ )︂ Ta có: 0 < an ≤ 1 − �� , ∀n ≥ n0 )︂ n 1 n (︂ Xét lim n2 1 − �� n→∞ n PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

95. Ví dụ » Ví dụ 6 1 n [︂ (︂ )︂ ]︂ (︂ )︂ 2 1 Ta có ln n 1 − �� = 2 ln n − n ln 1 − �� n n [︂ (︂ )︂]︂ 1−�� 2 ln n �� 1 =n − n ln 1 − �� n1−�� n (︂ )︂ ln n �� 1 Do lim 1−�� = 0, lim n ln 1 − �� = −1nên n→∞ n n→∞ n 1 n (︂ )︂ 2 lim n 1 − �� =0 n→∞ n Dẫn đến lim n2 .an = 0 n→∞ ∞ ∞ ∑︁ 1 ∑︁ Do chuỗi hội tụ nên an hội tụ. n2 1 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học Giải tích

Nguyen le chi quyet

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (17)

Nguyen le chi quyet