1. GI I TÍCH (CƠ B N)
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
PGS TS. Lê Hoàn Hóa
Ngày 15 tháng 12 năm 2009
Phép Tính Vi Phân Hàm Nhi u Bi n
I - S liên t c
1. Không gian :
Đ nh nghĩa:
V i , đ t:
- là chu n Euclide c a
- là kho ng cách
gi a .
- là qu c u m tâm , bán kính .
Cho , đi m đư c g i là đi m biên c a n u v i m i thì
và .
N u là đi m biên c a thì cũng là đi m biên c a . T p t t c các đi m
biên c a đư c g i là biên c a , ký hi u . Ta có:
T p đư c g i là m n u m i , có sao cho .N u là t p
m , thì không là đi m biên c a . V y n u là t p m thì không ch a
đi m biên c a và ngư c l i.
T p đư c g i là đóng n u là t p m . là t p đóng
Đ t:
là t p m l n nh t ch a trong và g i là ph n trong c a .
là t p đóng bé nh t ch a và g i là bao đóng c a
Tâp đư c g i là b ch n n u có sao cho v im i
Đ nh lý:
1) là không gian đ y đ , nghĩa là m i dãy cơ b n trong đ uh it .
2) Cho là t p đóng b ch n trong và là dãy trong . Khi đó có dãy con
c a dãy sao cho và
2. Gi i h n và s liên t c :
Đ nh nghĩa:
Cho , đi m đư c g i là đi m gi i h n (hay đi m t ) c a n uv i
m i thì
1

2. là đi m gi i h n c a n u và ch n u có dãy trong , ,
2.1 Cho và là đi m gi i h n c a . Ta nói:
Ta có :
Ghi chú :
Đ ch ng minh không có ta c n ch ra có hai dãy trong
mà
2.2 Cho và . Ta nói:
liên t c t i
N u liên t c t i m i ta nói liên t c trên
liên t c trên
liên t c đ u trên
Ta có: N u và là đi m gi i h n c a thì:
liên t c t i
2.3 T p đư c g i là liên thông n u không có hai t p m sao cho :
Đ nh lý:
Cho là t p đóng b ch n trong và liên t c. Khi đó:
a) liên t c đ u trên
b) đ t c c đ i, c c ti u trên , nghĩa là có sao cho :
2

3. c) N u gi s thêm liên thông và đ t :
,
Khi đó :
3. Thí d :
3.1 Cho , mi n xác đ nh là t p đóng,
b ch n trong
Cho mi n xác đ nh:
/
Biên c a là hai đư ng cong :
M i thì
M i thì
là t p b ch n, không là t p đóng cũng không là t p m . không liên
thông
Th t v y, đ t:
/ /
là t p m th a mãn:
3.2 Cho / /
Khi đó :
Th t v y , v i và , trong qu c u m tâm bán
kính , g i là hình vuông m ch a trong qu c u
Do m i kho ng m khác r ng đ u ch a vô s s h u t và s vô t nên
Vy
Ngoài ra, t p các đi m gi i h n c a cũng là
3

4. 3.3 Tính các gi i h n:
i)
(đ t )
ii)
iii)
Th t v y :
iv) không t n t i.
Th t v y, đ t , ch n:
v) không t n t i.
Đ t , ch n:
3.4 Cho là t p b đóng, b ch n trong và . Ch ng minh: có
sao cho :
Đ t đ nh b i: thì liên t c.
Do là t p đóng, b ch n nên đ t c c đ i, c c ti u trong .
3.5 Cho là t p đóng trong và . Ch ng minh: có sao cho :
Đ t: đ nh b i: thì liên t c.
V i đ l n sao cho là qu c u đóng).
Đ t thì là t p đóng, b ch n.
V y có sao cho:
V i , xét hai trư ng h p:
- thì
4

5. - thì
Vy
3.6 Cho liên t c và th a mãn: . Ch ng minh: liên t c
đ u.
V i , do , có sao cho khi thì:
Khi đó: v i thì
Do liên t c đ u trên t p đóng, b ch n nên có sao cho khi
thì V y liên t c đ u trên .
3.7 Cho
Đ nh đ liên t c t i .
Đ t , ta có:
(do )
V y: liên t c t i
Do , có th gi s . Khi đó:
Suy ra:
Vy liên t c t i
Bài t p
1 - Kh o sát các gi i h n sau:
i)
ii)
2 - Đ nh đ các hàm s sau lên t c:
i)
ii)
3 - Ch ng minh hàm s sau liên t c đ u trên :
HD:
5

6. 4 - Ch ng minh hàm s sau không liên t c đ u trên :
HD: Hàm tương đương v i hàm khi
II - S kh vi
1. Đ o hàm riêng:
Cho là t p m trong , .
Đ t (thàng ph n th b ng 1). V i , đ o hàm riêng
c a t i theo bi n , ký hi u , đ nh b i:
(n u gi i h n t n t i, h u h n)
2. S kh vi:
Cho là t p m trong , và . Gi s t n t i các đ o hàm riêng
. Ta nói kh vi t i n uv i sao cho
thì:
trong đó xác đ nh trong lân c n c a th a:
Vi phân c a t i , ký hi u là , đ nh b i:
thay b ng
Tính ch t:N u kh vi t i thì liên t c t i .
Đi u ki n đ : N u các đ o hàm riêng liên t c t i thì kh vi
t i
Ghi chú: Hàm
có nhưng không liên t c t i (do không t n t i
).
3. Thí d :
3.1 Tính đ o hàm riêng:
a)
6

7. b)
, ,
c)
,
3.2 Xét s kh vi c a các hàm sau t i
a)
Ta có:
,
V i ,
. Suy ra:
Vy kh vi t i
b)
,
V i ,
Ch n ,
Suy ra: không có
Vy không kh vi t i
3.3 Cho
Xét s kh vi c a t im i . Xét s liên t c c a t i .
T i :
Do liên t c t i m i nên kh vi t i m i .
T i :
7

8. ,
V i ,
Suy ra:
V y kh vi t i
Ch n:
, ,
,
Suy ra không t n t i ,
Vy không liên t c t i
BÀI T P:
1) Cho
Đ nh giá tr c a t i đ liên t c. Khi đó tính
2) Cho
a) Xét tính liên t c c a t i và
b) Tính
3) Cho
Xét s kh vi c a t i .
4) Cho
Tính và xét tính liên t c c a chúng t i m i , đ c bi t
t i
HD: Dùng
5) Ch ng t các hàm sau có đ o hàm riêng không liên t c t i nhưng
kh vi t i :
a)
8

9. b)
6) Cho
Ch ng minh các đ o hàm riêng liên t c t i m i đ c bi t t i
HD:
4. Hàm n:
Đ nh nghĩa: Cho , m i ph n t c a ghi là v i
. Cho .M i ghi là:
Các hàm đư c g i là hàm thành ph n c a . M i hàm
thành ph n là m t hàm s th c theo bi n s th c
Phương trình vectơ:
(1)
tương đương v i h th ng g m phương trình:
(2)
Khi nào t phương trình vectơ (1) có th gi i đư c ?
Ánh x xác đ nh trong t p con c a có giá tr trong , n u có, đư c g i là ánh
x n suy ra t phương trình vectơ (1).
Đi u này tương đương v i bài toán: khi nào t h phương trình (2) có th gi i đư c
là các hàm theo các bi n :
Các hàm , n u có, đư c g i là hàm n suy ra t h phương trình (2)
Sau đây là đ nh lí hàm n cho trư ng h p đ c bi t
Đ nh lý:
9

10. i) Phương trình :
Cho có đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a . Gi s :
và
Khi đó, có kho ng m ch a , hàm kh vi liên t c th a mãn:
và
ii) Phương trình :
Cho có đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a
Gi s và
Khi đó có t p m , hàm có đ o hàm riêng liên
t c th a mãn:
, ,
và
, ,
iii) H phương trình:
Cho có các đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a . Gi s :
và
Khi đó có kho ng m ch a và các hàm kh vi liên t c th a
mãn:
,
v i
và đ o hàm đư c tính t h phương trình tuy n tính:
10

11. iv) H phương trình:
Cho có các đ o hàm riêng liên t c trong lân c n c a . Gi
s :
và
Khi đó có m t lân c n m c a và hai hàm có đ o hàm
riêng liên t c theo th a mãn:
,
v i
Các đ o hàm riêng cho b i h 4 phương trình:
Thí d :
1) Cho xác đ nh t h phương trình
Tính
Ta xem là hàm n. T ba phương trình trên,
đ o hàm theo :
11

12. 2) Cho là hàm n suy ra t h phương trình:
v i gi thi t
Tính
Xem là hàm n, t hai phương trình đ o hàm theo :
Thay , ta đư c:
BÀI T P
1- Cho là hàm n suy ra t các phương trình sau, tính :
a)
b)
2- Cho là hàm n suy t h :
Tính
12

13. 3- Cho là hàm n suy ra t :
Tính t i đi m .
4- Cho là hàm n suy t :
Tính bi t
HD: Sau khi đ o hàm riêng hai phương trình theo thay đi u ki n
.
13