1. Differentiating
Logarithms

2. Differentiating
Logarithms
y  log f  x 

3. Differentiating
Logarithms
y  log f  x 
dy f  x 

dx f  x 

4. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x 

dx f  x 

5. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 

6. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5

7. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5
dy 3

dx 3 x  5

8. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3
dy 3

dx 3 x  5

9. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3
dy 3 dy 3 x 2
  3
dx 3 x  5 dx x

10. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3
dy 3 dy 3 x 2
  3
dx 3 x  5 dx x
3

x

11. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3 OR y  log x 3
2
dy 3 dy 3 x
  3
dx 3 x  5 dx x
3

x

12. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3 OR y  log x 3
2
dy

3 dy 3 x
 3 y  3 log x
dx 3 x  5 dx x
3

x

13. Differentiating
Logarithms
y  log f  x  y  log a f  x 
dy f  x  dy f  x 
 
dx f  x  dx log a  f  x 
e.g. (i) y  log3 x  5 ii  y  log x 3 OR y  log x 3
2
dy

3 dy 3 x
 3 y  3 log x
dx 3 x  5 dx x dy 3
3 
 dx x
x

14. (iii) y  loglog x 

15. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x

16. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x

17. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2

18. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2
dy  x  31   x  2 1

dx  x  3 x  2

19. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2
dy  x  31   x  2 1

dx  x  3 x  2
2x  5

 x  3 x  2

20. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2 OR y  log x  3  log x  2 
dy  x  31   x  2 1

dx  x  3 x  2
2x  5

 x  3 x  2

21. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2 OR y  log x  3  log x  2 
dy  x  31   x  2 1 dy 1 1
  
dx  x  3 x  2 dx x  3 x  2
2x  5

 x  3 x  2

22. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2 OR y  log x  3  log x  2 
dy  x  31   x  2 1 dy 1 1
  
dx  x  3 x  2 dx x  3 x  2
2x  5  x  2   x  3
 
 x  3 x  2  x  3 x  2

23. (iii) y  loglog x 
1
dy
 x
dx log x
1

x log x
iv  y  log x  3 x  2 OR y  log x  3  log x  2 
dy  x  31   x  2 1 dy 1 1
  
dx  x  3 x  2 dx x  3 x  2
2x  5  x  2   x  3
 
 x  3 x  2  x  3 x  2
2x  5

 x  3 x  2

24. v   x  5
y  log  
 x  2

25. v  y  log  x  5

 x  2
 x  21   x  51
dy

 x  22
dx x5
x2

26. v  y  log  x  5

 x  2
 x  21   x  51
dy

 x  22
dx x5
x2
3  x  2
 
 x  22  x  5

27. v  y  log  x  5

 x  2
 x  21   x  51
dy

 x  22
dx x5
x2
3  x  2
 
 x  22  x  5
3

 x  2 x  5

28. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51
dy

 x  22
dx x5
x2
3  x  2
 
 x  22  x  5
3

 x  2 x  5

29. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5
x2
3  x  2
 
 x  22  x  5
3

 x  2 x  5

30. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2
 
 x  22  x  5
3

 x  2 x  5

31. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2 3
  
 x  22  x  5  x  2 x  5
3

 x  2 x  5

32. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2 3
  
 x  22  x  5  x  2 x  5
3

 x  2 x  5
vi  y  log10 6 x

33. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2 3
  
 x  22  x  5  x  2 x  5
3

 x  2 x  5
vi  y  log10 6 x
dy 6

dx log 10 6 x

34. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2 3
  
 x  22  x  5  x  2 x  5
3

 x  2 x  5
vi  y  log10 6 x
dy 6

dx log 10 6 x
1

x log 10

35. v  y  log  x  5
 OR y  log x  5  log x  2 
 x  2
 x  21   x  51 dy

1

1
dy  x  22 dx x  5 x  2

dx x5  x  2    x  5

x2  x  5 x  2
3  x  2 3
  
 x  22  x  5  x  2 x  5
3

 x  2 x  5 Exercise 12B; 1acf, 2chk, 5acehi, 6b,
7ad, 8acef, 9bd, 10ac, 11, 13a, 14bdfhjl,
vi  y  log10 6 x 15b, 18bdf, 19b, 20af*, 21a*
dy 6

dx log 10 6 x Exercise 12C; 1bdf, 2, 3, 6, 7a, 8, 11,
1
 13, 14, 18*
x log 10