1. The t results

2. The t results
Let tan
2
t



3. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



4. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t

5. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t 

6. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t ;
2
tanIf

t
2
1
2
tan
t
t



7. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t ;
2
tanIf

t
2
1
2
tan
t
t

 2
1
2
sin
t
t



8. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t ;
2
tanIf

t
2
1
2
tan
t
t

 2
1
2
sin
t
t

 2
2
1
1
cos
t
t




9. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t ;
2
tanIf

t
2
1
2
tan
t
t

 2
1
2
sin
t
t

 2
2
1
1
cos
t
t



Note:
If tan ;t  2
2
tan 2
1
t
t
 


10. The t results
Let tan
2
t


2
2tan
2tan
1 tan
2





2
1
2
tan
t
t



t2
2
1 t
2
1 t
   
222 2
2 1h t t  
2 2 4
4 1 2t t t   
4 2
2 1t t  
 
22
1t ;
2
tanIf

t
2
1
2
tan
t
t

 2
1
2
sin
t
t

 2
2
1
1
cos
t
t



Note:
If tan ;t  2
2
tan 2
1
t
t
 

If tan 2 ;t  2
2
tan 4
1
t
t
 


11.  
1 cos
e.g. i Show that , where tan
sin 2
x x
t t
x

 

12.  
1 cos
e.g. i Show that , where tan
sin 2
x x
t t
x

 
1 cos
sin
x
x

2
2
2
1
1
1
2
1
t
t
t
t




is double ,
2
so results can be used for sin ,cos
x
x
t x x
 
 
 
 

13.  
1 cos
e.g. i Show that , where tan
sin 2
x x
t t
x

 
1 cos
sin
x
x

2
2
2
1
1
1
2
1
t
t
t
t




is double ,
2
so results can be used for sin ,cos
x
x
t x x
 
 
 
 
 2 2
1 1
2
t t
t
  


14.  
1 cos
e.g. i Show that , where tan
sin 2
x x
t t
x

 
1 cos
sin
x
x

2
2
2
1
1
1
2
1
t
t
t
t




is double ,
2
so results can be used for sin ,cos
x
x
t x x
 
 
 
 
 2 2
1 1
2
t t
t
  

2
2
2
t
t

t

15.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t






16.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  

17.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  

18.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t



19.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin

20.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2


21.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 

22.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 
Let tan ;
2
t


1 sin cos
1 sin cos
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 1
1
1 1
2 1
1
1 1
t t
t t
t t
t t

 
 

 
 

23.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 
Let tan ;
2
t


1 sin cos
1 sin cos
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 1
1
1 1
2 1
1
1 1
t t
t t
t t
t t

 
 

 
 
 2 2
2 2
1 2 1
1 2 1
t t t
t t t
   

   

24.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 
Let tan ;
2
t


1 sin cos
1 sin cos
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 1
1
1 1
2 1
1
1 1
t t
t t
t t
t t

 
 

 
 
 2 2
2 2
1 2 1
1 2 1
t t t
t t t
   

   
2
2 2
2 2
t t
t




25.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 
Let tan ;
2
t


1 sin cos
1 sin cos
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 1
1
1 1
2 1
1
1 1
t t
t t
t t
t t

 
 

 
 
 2 2
2 2
1 2 1
1 2 1
t t t
t t t
   

   
2
2 2
2 2
t t
t



 
 
2 1
2 1
t t
t




26.   2
2tan75
ii Use tan to simplify
2 1 tan 75
t





Let tan75 ;t  
i.e. 75
2

 
150  
2
2tan75
1 tan 75

 2
2
1
t
t


sin
sin150 
1
2

 
1 sin cos
iii Prove tan
1 sin cos 2
  
 
 

 
Let tan ;
2
t


1 sin cos
1 sin cos
 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 1
1
1 1
2 1
1
1 1
t t
t t
t t
t t

 
 

 
 
 2 2
2 2
1 2 1
1 2 1
t t t
t t t
   

   
2
2 2
2 2
t t
t



 
 
2 1
2 1
t t
t



t tan
2



27. 2005 Extension 1 HSC Q4b)
(iv) By making the substitution tan or otherwise,
2
show that cosec cot cot
2
t


 

 

28. 2005 Extension 1 HSC Q4b)
(iv) By making the substitution tan or otherwise,
2
show that cosec cot cot
2
t


 

 
cosec cot 
2 2
1 1
2 2
t t
t t
 
 

29. 2005 Extension 1 HSC Q4b)
(iv) By making the substitution tan or otherwise,
2
show that cosec cot cot
2
t


 

 
cosec cot 
t
t
1
2
2


2 2
1 1
2 2
t t
t t
 
 

30. 2005 Extension 1 HSC Q4b)
(iv) By making the substitution tan or otherwise,
2
show that cosec cot cot
2
t


 

 
cosec cot 
t
t
1
2
2


2
cot


2 2
1 1
2 2
t t
t t
 
 

31. 2005 Extension 1 HSC Q4b)
(iv) By making the substitution tan or otherwise,
2
show that cosec cot cot
2
t


 

 
cosec cot 
t
t
1
2
2


2
cot


2 2
1 1
2 2
t t
t t
 
 
Exercise 2B; 1def, 3ace, 4bcf, 5aceg, 6, 8bd, 10a