1. Información Cascada Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de San German Departamento de Matemática Norlan Rodríguez García Enrique Malavé Rivera Luis Albizu Pons Pérez Matemática Discreta Avanzada Dr. Balbino García

2. Introducción Cuando las personas están conectadas en una red, es posible que puedan influir en dos aspectos: la conducta La tomar decisiones de la persona. Este principio básico, da lugar a una serie de procesos sociales, en la cual las redes sirven para el comportamiento individual agradable a los demás y por tanto producen en toda la población, los resultados colectivos.

3. Algunas situaciones en la cual las personas se ven influenciadas por los demás: Las opiniones Los productos que compran Las posiciones políticas Las tecnologías Posición social La razón de la investigaciones es el ¿porque sucede este fenómeno? Hay muchas situaciones en las que de hecho puede ser racional para una persona imitar las decisiones de otras personas, aunque la información del individuo sugiere una alternativa de elección.

4. Ejemplo: Los restaurantes A y B de una ciudad desconocida. Trabajo de Banerjee La información inferida de un evento puede ser mas poderosa que la información privada o investigada para tomar una decisión, por consecuente, tiene sentido para usted el unirse al evento que realizan otra personas, independientemente de su información privada .

5. ¿Qué es la Información cascada? Esta es la información que tiene el potencial de que las personas tome decisiones de forma secuencial, esto ocurre cuando las personas después de ver las acciones de los anteriores, y de estas acciones inferir algo sobre lo que las personas sabe antes. Una cascada se desarrolla cuando las personas abandonan sus propia información (investigación) en favor de las inferencias basadas en acciones de las personas antes de comprobarlas.

6. Los individuos en una cascada de información están realizando: Imitación: es el copiar el comportamiento de los demás. Esto surge por dos razones: el resultado de inferencias racionales a partir de información limitada la presión social para cumplir, sin causa subyacente de información

7. Interpretación de los resultados del experimento: Una demostración de una fuerza social de conformidad que se fortalece con el grupo conforme a la actividad se hace más grande, es decir un posible mecanismo que da lugar a la conformidad observados en este tipo de situación.

8. Por tanto, las cascadas de información puede ser al menos parte de la explicación de muchos tipos de la imitación en los entornos sociales. Los cuales pueden ser: Moda y tendencias El voto por algún candidatos Lograr la venta de un libro como un best - seller la propagación de una elección tecnológica de los consumidores y las empresas

9. Efectos informativos vs Efectos directos en los beneficios Diferente clase de razones por la cual un individuo podría querer imitar lo que hacen los demás: Beneficio directo a usted de la alineación su comportamiento.(Adaptarse a la circunstancias) Beneficiarse de la elección de una opción que tiene una gran población de usuarios.

10. Un simple experimento de pastoreo Experimento de pastoreo es creado por Anderson y Holt. El experimento está diseñado para capturar las situaciones con las condiciones básicas: No es una decisión que debe tomarse | por ejemplo, la posibilidad de adoptar una nueva tecnología, llevar un nuevo estilo de ropa, comer en un restaurante nuevo, o apoyar una posición política en particular. La gente toma la decisión de forma secuencial, y cada persona puede observar las elecciones hechas por los que actuaron antes. Cada persona tiene alguna información privada que ayuda a guiar su decisión. Una persona no puede observar directamente la información privada que otras personas sepan, pero él o ella pueden hacer inferencias acerca de esta información privada de lo que hacen.

11. Regla De Bayes':Un ModeloDeToma De DecicionesBajoIncertidumbre

12. Si queremos construir un modelo matemático de como una cascada de información ocurre, es necesario envolver a la persona para que se pregunte. Cual es la probabilidad de que un evento ocurra? Pregunta que responderá en base a sus investigaciones, lo que lee y lo que ve en otras personas, en otras palabras, necesitamos un medio para determinar posibilidades de eventos utilizando las experiencias que tenemos y nuestras observaciones

13. Probabilidad Condicional y las Reglas de Bayes La probabilidad de que un evento A ocurra se le denota como Pr [A] y a un evento B como Pr [B]. Cuando dos eventos ocurren juntos, como en el caso de A y B, se le conoce como intersección de A y B. y se denota como A∩B y se puede demostrar a través de un Diagrama de Venn.

14. Ecuación de la Regla de Bayes s

15. Ejemplo de las cabinas de los carros Pr [cierto=Y│reporte=Y]=Pr 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜=𝑌∗Pr⁡[𝑟𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒=𝑌│𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜=𝑌]Pr⁡[ 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒=𝑌] Pr[reporte=Y│ cierto=Y] es 0.8 , Pr[cierto=Y]es 0.2, Pr[cierto =Y]*Pr [reporte= Y│ cierto=Y] =0.2*0.8=0.16

16. La posibilidad de un reporte de amarilla es la suma de dos probabilidades. Pr[reporte=Y]= Pr[ cierto=Y . Pr[reporte=Y| cierto=Y]+Pr[cierto=B] . Pr[[reporte=Y│ cierto=B]= 0.2 *0.8+0.8*0.2=0.32

17. Un Simple Modelo GeneralDe Cascada

18. Comencemos con el Experimento Herding de la Sección 6.2: Este experimento sirve como comparación para cualquier situación donde personas toman decisiones secuencialmente. Donde estas decisiones están basadas en combinaciones de su información privada. Y de observaciones sobre lo que personas anteriores han ejecutado.

19. Veremos como la Regla de Bayes’ predice en este modelo general: Que las Cascadas informan con una probabilidad tendiente a 1 en la medida que el número de personas tiende a infinito.

20. Considere un grupo (enumerado 1, 2, 3,…) que secuencialmente va a tomar decisiones. Individuo 1 va a tomar decisiones primero. Individuo 2 va a tomar decisiones segundo. Individuo 3 va a tomar decisiones tercero. Formulando El Modelo

21. Se describirán las decisiones como alternativas de: Rechazo Aceptación La aceptación y el rechazo será sobre algunas opciones: Si aceptar o no una nueva tecnología. Vestir una nueva moda. Comer en un nuevo restaurante. Ejecutar o no un crimen. Votar o no por un candidato particular de algún partido político. El escoger una ruta para un destino común v/s escoger una ruta alternativa.

22. Estados Del Mundo Antes que nada, antes que ningún individuo tome alguna decisión, se debe asumir que el mundo esta colocado de forma aleatoria en dos posibles estados: Esta colocado en un estado en el cual la opción es una buena idea. Esta colocado en un estado en el cual la opción es una mala idea. Ingrediente Del Primer Modelo

23. Hay que imaginar que el estado del mundo se determina por algunos eventos iníciales aleatorios que los individuos no pueden observar. Ejemplo: El estado del mundo es uno en el que el nuevo restaurante es bueno , o establece que el restaurante es malo. Los individuos en el modelo conocen que han sido colocados aleatoriamente en uno de estos dos estados, y tratan de adivinar en cual.

24. Dos posibles estados del mundo: G = representa que la opción es una buna idea. B = representa que la opción es una mala idea. Suponemos que cada individuo conoce los siguientes echos. El evento inicial aleatorio que coloca el mundo en estado de G o B lo coloca en estado de G con probabilidad p. Y en estado B con probabilidad 1-p. Esto servirá como Probabilidad Previa a G y B

25. SiPr(G)= py Pr(B)= 1-Pr(G)  Pr(B)=1-p

26. Cada individuo recibe un “Payoff” referente a su decisión de Aceptar o Rechazar la opción. El Individuo rechaza: Recibe un “Payoff” de 0. El “Payoff” de aceptar depende de si la opción es buena idea o mala idea. Supongamos que la opción es buena idea. El “Payoff” obtenido al aceptar es un número positivo vg > 0. Supongamos que la opción es mala. El “Payoff” obtenido al aceptar es un número negativo vb < 0. Ingrediente del Segundo Modelo

29. Las Señales privadas si proveen información valiosa.

30. Hay Dos Posibles Señales:

31. Alta Señal (H)= sugiere que aceptar es una buena idea.

33. Estados Señales La probabilidad de recibir una Baja Señal o Alta Señal, como función de dos posibles Estados Del Mundo (G o B).

34. Noten como las propiedades del Experimento de Herding encajan de este modelo mas abstracto. Las dos posibilidades de Estados Del Mundo son que la urna colocada al frente del salón era Mayoría-Azul, o que era Mayoría-Roja. Podemos pensar que aceptar como adivinar “Mayoría-Azul”, es una buena idea (G) si la verdadera urna realmente es Mayoría-Azul y mala idea (B) lo contrario.

35. La Probabilidad Previa de aceptar siendo una buena idea es p = ½. La información privada en el experimento es el color de la bola que los individuos colocaron, esta es una Alta Señal si la bola es Azul, y así Pr[H|G]= Pr[Azul | Mayoría-Azul] = q = 2/3.

36. Similar al ejemplo el de los dos restaurantes: Aceptar puede corresponder a escoger el primer restaurante A; y será una buena idea si restaurante A es mejor que el restaurante B. La información privada puede provenir de una ensayo culinario que leíste en el primer restaurante, con una Alta Señal correspondiendo a una comparación culinaria donde se favorece al restaurante A y no al B. Debe entonces haber una alto número de estas comparaciones donde Pr[H|G] = q >1/2.

37. En esta etapa queremos modelar como las personas toman decisiones sobre como aceptar o rechazar. Supongamos que una persona obtiene una Alta Señal. Esto cambia su esperado “Payoff” de: vgPr[G] + vgPr[B]= 0 a vgPr[G|H] + vgPr[B|H] Decisiones Individuales

38. Para determinar este nuevo “Payoff”, utilizaremos la regla de Bayes’. Expandimos el denominador Pr[H] expandiendo así las dos posibilidades de obtener una Alta Señal ( ya sea la opción buena o mala idea); y así la final inecuación dice:pq + (1-p)(1-q) < pq +(1-p) q = q en el denominador.

39. Este resultado tiene sentido: Una Alta Señal es mas propensa a ocurrir si la opción es buena, que si la opción es mala. En el resultado el esperado “Payoff” cambia de 0 a un número positivo, por lo que ellos deberán aceptar la opción. Un cálculo análogo completo muestra que si el individuo recibe una Baja Señal deberá rechazar la opción.

40. Sabemos del Experimento de Herding que un importante escalón en el entendimiento sobre como individuos toman decisiones en secuencia, es el entender como un individuo debe utilizar la presencia de múltiples señales. Utilizando la Regla de Bayes’, no es difícil entender como las decisiones de un individuo cuando están en secuencia S de señales generadas independientemente constituyendo una a Alta Señal y bBaja Señal entrelazadas de alguna forma. Múltiples Señales

41. Se derivan los siguientes echos: La Probabilidad Posterior Pr[G|S] es mayor que la Probabilidad Previa Pr[G] cuando a > b; La Probabilidad Posterior Pr[G|S] es menos que la Probabilidad Previa Pr[G] cuando a < b; Las Dos probabilidades Pr[G|S] y Pr[G] son iguales cuando a=b. Estos planteamientos se justifican utilizando la Regla de Bayes’ y el álgebra.

42. Al aplicar la Regla de Bayes’ Donde S es una secuencia con a Alta Señal y b Baja Señal. Para calcular Pr[S|G] en el numerador, notamos que si las señales son generadas de forma independiente, podemos simplemente multiplicar sus probabilidades.

43. Esto nos da a factores de q y bfactores de (1-q), tal que Pr[S|G]= qa(1-q)b. Para calcular Pr[S], consideramos que S puede subir si la opción es buena idea o mala idea también,

44. Si juntamos todo esto dentro de la ecuación obtenemos: Es importante averiguar como esta expresión se compara con p Si remplazamos el segundo en el denominador por (1-p) qa(1-q)b, el denominador se transforma en:

45. Así toda la expresión se transforma en:

46. ¿Este cambio hace al denominador mas pequeño o mas grande? Si a>b, entonces este cambio hace el denominador mas grande, en q >1/2 y ahora tenemos mas factores de q y menos factores de 1-q. Si el denominador se hace grande, la expresión misma se hace pequeña a la ves que se convierte a un valor de p, de tal forma Pr[G|S]>p=Pr[G]. Si a<b, el argumento es simétrico: este cambio hace al denominador mas pequeño, y entonces la expresión en si se hace grande. Tal que Pr[G|S]< p =Pr[G]. Finalmente si a=b, entonces este cambio mantiene los valores del denominador iguales, y entonces Pr[G|S]=p=Pr[G].

47. Decisiones Secuenciales- Construcciones y Cascadas

48. Consideremos ahora que ocurre cuando individuos toman decisiones en secuencia. En nuestro modelo un individuo decide si acepta o rechaza la opción, donde los individuos tienen acceso a sus propias señales privadas y a la vez a la aceptación o rechazo de los individuos anteriores; aunque no pueden ver las señales privadas que estos previos individuo tuvieron.

49. Paralelismos: El individuo 1 sigue sus señales privadas, como ya hemos hablado. El individuo 2 conocerá que las decisiones que el individuo 1 revela, revelan también sus señales privadas. Si estas señales son iguales, las decisiones del individuo 2 son sencillas. Si son diferentes, el individuo 2 será indiferente a aceptar o rechazar. Aquí debemos asumir que seguirá sus señales privadas. Como resultado, el individuo 3 conoce que el individuo 1 y 2 ambos aceptan basándose en sus señales privadas, a la vez se piensa que el individuo 3 a recibido tres independientes señales. Sabemos que el argumento que el individuo 3 seguirá es el de la mayoría en las señales (Altas o Bajas) en la selección de aceptar o rechazar.

50. Estas cascada comienza cuando la diferencia entre el numero de aceptaciones y rechazos alcanza dos.

51. Por otro lado, si el individuo 1 y 2 toman la misma decisión, el individuo 3 los seguirá sin considerar sus propias señales. Así futuros individuos sabiendo que el individuo 3 se unió a los demás sin tomar en consideración sus propias señales, también seguirán a este imitando su conducta. En este caso comienza una cascada.

52. Consideremos la perspectiva de un individuo N. Suponga que este individuo N conoce que todo el mundo antes que el a seguido sus propias señales. Suponga que la aceptación o rechazo de estos individuos previos coincide exactamente con el recibimiento de parte de los mismos de Altas o Bajas señales, y que el individuo N sabe esto. Como se desarrolla este proceso mas allá del 3er individuo.

53. Hay que considerar varios posibles casos: Si el numero de aceptación en los individuos antes que N es igual al numero de rechazos, entonces las señales de N deben estar muy parejas y N seguirá sus señales. Si el numero de aceptación en los individuos antes que N difiere del numero de rechazos por uno, entonces las señales privadas de N lo harán indiferente, o re-enforzara la señal de la mayoría. De todas forma que N seguirá sus propias señales. Si el numero de aceptaciones dentro de los individuos anteriores a N se diferencia del numero de rechazos por dos o mas, entonces las señales privadas de N cambiaran, y N no le dará peso a esto sobre la mayoría por adelantado.

54. Resumen del comportamiento. Así como el numero de las aceptaciones se diferencia del numero de los rechazos por al menos uno, cada persona en secuencia esta simplemente siguiendo sus propias señales privadas en la decisión de que hacer. Pero cuando el numero de las aceptaciones se diferencia del numero de los rechazos por dos o mas, la cascada toma fuerza y todo el mundo sigue las decisiones de la mayoría para siempre. Una vez la diferencia entre los números de la aceptación y los números de rechazo escapa del estrecho corredor alrededor del 0, como en la grafica presentada, una vez se mueve al menos dos espacios alejándose del eje de X la cascada se dispara y corre para siempre.

55. Es bien difícil que la diferencia se sostenga para siempre en tan estrecho intervalo ( entre -1 y 1). Pues durante el periodo de tiempo cuando las personas están siguiendo sus señales privadas, si tres individuos en línea les ocurre el que reciben la misma señal, es definitivo que una cascada a comenzado.

56. Lecciones De Una Cascada

57. Las Cascadas Pueden Estar Erróneas- Si aceptar la opción es en si una mala idea pero las primeras dos personas reciben Señal Alta, una cascada comenzará de inmediato, aunque se piense que es la peor decisión para la población. Las Cascadas Pueden Estar Basadas En Muy Poca Información - Como los individuos ignoran la información personal que poseen una vez la cascada comienza, solo la información previa a la cascada influencia el comportamiento de una población. Lo que implica que si una cascada comienza relativamente esporádica en una población grande, la mayoría de la información privada que se encuentra colectivamente disponible para dicha población no se usara. Observaciones Sobre El Experimento Herding Reforzadas Por El Modelo General Discutido

58. Las Cascadas Son Frágiles- Las cascadas pueden estar basadas en relativamente poca y pobre información, lo que hace fácil su generación. Pero esto a la vez es su debilidad, pues fácilmente pueden detenerse. Una forma es que los individuos que reciben mayor información en la población pueden cambiar su postura aun así a partir de cascadas de mayor vida.

59. La Lección Principal: Al estudiar las cascadas se debe ser cuidadoso en el establecimiento de conclusiones que tengan que ver con el curso de acción extraído del comportamiento de una multitud. Pues como hemos visto una multitud puede estar errónea y tomar una misma decisión, aunque cada individuo de la multitud sea un individuo racional.

60. Un Gran Contraste. Esto planteado contrasta el argumento hecho por un libro popular de audiencia-general de James Surowiecki “TheWisdom of Crowds”. En este libro Surowiecki plantea que el comportamiento agregado de personas con una limitada información sobre un tema puede producir resultados muy precisos. Surowiecki explica que cuando muchas personas especulan de forma independiente, entonces el promedio de su especulación es sorprendentemente un buen estimado sobre lo que especulan. Este argumento expresa que los individuos, cada uno, tiene información privada, y por eso especula independientemente, sin conocer que especulan los demás. Mientras que si especulan secuencialmente y son capaces de observar la especulación de los demás, entonces marca el panorama para una cascada y no existirá razón alguna para esperar que el promedio de la especulación pueda ser bueno.

61. Consideremos las tensiones. Existen tensiones que se crean cuando un grupo de expertos es forzado a trabajar juntos y construir sobre las ideas producto del equipo. Se le da a los expertos la oportunidad de formar sus propias opiniones, basadas en las opiniones de otros. Esto sugiere el desarrollo de estrategias para el balance de las tensiones creadas por el intercambio de opiniones. Cuando se fuerza al experto a alcanzar una decisión parcial independiente antes de que entre en la etapa de colaboración y consenso. Esto también sugiere el que hay individuos que se sabe que poseen buena información sobre algún asunto particular, y que esto importa y tiene peso en el pre-proceso de decisión o después del proceso.

63. “TheWisdom of Crowds”, James Surowiecki .Bibliografía

64. FIN