1. ‫4-7‬
‫المعادل ت التربيعية:‬
‫أ س2 + ب س + جـ = 0‬

2. ‫فيما سبق:‬
‫درست تحليل يثليثية حدود على‬
‫الصورة س2 + ب س + جـ‬

3. ‫ أحلل يثليثية حدود على الصورة: أ س2 + ب س + جـ‬‫- أحل معادل ت على الصورة: أ س2 + ب س + جـ = 0‬

5. ‫لماذا؟‬
‫يمكن تمثيل مسار الرجوحة في مدينة اللعاب‬
‫بالعبارة 5ن2 – 2ن + 03؛ حيث ن زمن‬
‫الحركة. وتحليل هذه العبارة إلى عواملها الولية‬
‫يساعد المسؤول عن التشغيل على معرفة الوقت‬
‫الذي تستغرقه أرجحتها في المرة الولى .‬

6. ‫تحليل أ س + ب س + جـ: حللت في الدرس‬
‫السابق عبارا ت تربيعية على الصورة:‬
‫أ س2 + ب س + جـ، أ = 1 .‬

7. ‫ستطبق في هذا الدرس طرق تحليل عبارا ت‬
‫تربيعية فيها أل يساوي صفر على الشكل المجاور‬
‫بعدا المستطيل المكون من بطاقا ت الجبر )س +‬
‫1(، )2س + 3( وهما عامل 2س2 + 5س +‬
‫3، يمكنك استعمال طريقة التحليل بتجميع الحدود‬
‫لتحليل هذه العبارة .‬

8. ‫الخطوة 1: طبق القاعدة:‬
‫2س2 + 5س + 3 = 2س2 + م س + ن س + 3 .‬
‫الخطوة 2: أوجد عددين ناتج ضربهما 2*3 = 6‬
‫ومجموعهما 5 .‬
‫عوامل العدد 6 مجموع العاملين‬
‫1،6‬
‫7‬
‫2،3‬
‫5‬

9. ‫الخطوة 3: استعمل التجميع ليجاد العوامل .‬
‫2س2 + 5س + 3 = 2س2 + م س + ن س + 3‬
‫اكتب القاعدة‬
‫م = 2، ن = 3‬
‫= 2س 2 + 2 س + 3 س + 3‬
‫= )2س2 + 2س( + )3س + 3(‬
‫جمع الحدود ذا ت العوامل المشتركة= م + ن، جـ = م ن‬

10. ‫= 2س )س + 1( + 3 )س + 1(‬
‫حلل كل تجمع بإخراج )ع.م.أ(‬
‫= )2س + 3( )س + 1(‬
‫)س + 1( عامل مشترك‬
‫إذن 2س2 + 5س + 3 = )2س + 3( )س + 1(‬

11. ‫مفهوم أساسي: تحليل أ س2 + ب س + جـ‬
‫التعبير اللفظي: لتحليل يثليثية حدود على‬
‫الصورة أس2 + ب س + جـ، أوجد عددين‬
‫صحيحين م، ن مجموعهما يساوي ب وناتج‬
‫ضربهما أ جـ، يثم اكتب أس2 + ب س + جـ‬
‫على الصورة أس2 + م س + ن س + جـ،‬
‫يثم حلل بتجميع الحدود .‬

12. ‫مثال:‬
‫5س2 – 31س + 6 = 5س2 – 01س – 3س + 6‬
‫م = -01، ن = -3‬
‫= 5س )س – 2( + )-3( )س – 2(‬
‫= )5س – 3( )س – 2(‬

13. ‫إرشادات للدراسة‬
‫العامل المشترك البكبر‬
‫ابحث عن العامل المشترك البكبر‬
‫لحدود بكثيرة الحدود قبل تحليلها.‬

14. ‫تحليل اس2 + ب س + جـ‬
‫1‬
‫أ( 7س2 + 92س + 4 حلل كل يثليثية حدود فيما يأتي:‬
‫في يثليثية الحدود أعل،ه، أ = 7، ب = 92، جـ = 4.‬
‫أوجد عددين ناتج ضربهما 7×4 = 82، ومجموعهما‬
‫92. كون قائمة بأزواج من عوامل العدد 82، وابحث‬
‫عن العاملين اللذين مجموعهما 92 .‬
‫عوامل العدد 82 مجموع العاملين‬
‫1،82‬
‫92‬

15. ‫العوامل الصحيحة 1، 82‬
‫7س2 + 92س + 4 = 7س2 + م س + ن س + 4‬
‫استخدم القاعدة‬
‫= 7س2 + 1س + 82س + 4‬
‫م = 1، ن = 82‬
‫= )7س2 + 1س( + )82س + 4(‬
‫تجميع الحدود ذات العوامل المشتركة‬
‫= س )7س + 1( + 4 )7س + 1( حلل بإخراج )ع.م.أ(‬
‫= )س + 4( )7س + 1(‬
‫)7س + 1( عامل مشترك‬

16. ‫ب( 3س2 + 51س + 81‬
‫)ع.م.أ( للحدود 3س2، 51س، 81 هو 3. حلل بإخراج‬
‫العامل 3 .‬
‫3س2 + 51س + 81 = 3 )س2 + 5س + 6(‬
‫خاصية التوزيع‬
‫= 3 )س + 3( )س + 2(‬
‫أوجد عاملين للعدد 6 مجموعهما‬

17. ‫1أ( 5س2 + 31س + 6‬
‫)5س+3()س+2(‬

18. ‫تحليل اس2 + ب س + جـ‬
‫2‬
‫حلل كثيرة الحدود 3س2 – 71س + 02‬
‫في يثليثية الحدود أعل،ه أ = 3، ب = -71، جـ = 02. وبما أن‬
‫ب سالبة، فإن م + ن ستكون سالبة أيضا، وبما أن جـ موجبة،‬
‫،ً‬
‫فإن م ن ستكون موجبة .‬
‫لتحديد م، ن كون قائمة العوامل السالبة ل أج = 06‬
‫وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما -71 .‬
‫عوامل العدد 06 مجموع العاملين‬
‫2، -03‬‫3، -02‬‫4، -51‬‫-5، -21‬
‫23‬‫32‬‫91‬‫-71‬

19. ‫3س2 – 71س + 02= 3س2 – 21س + 5س + 02‬
‫م = -21، ن = -5‬
‫= )3س2 – 21س( + )-5س + 02(‬
‫تجمع الحدود ذات العوامل المشتركة‬
‫= 3س )س – 4( + )-5( )س – 4(‬
‫حلل كل تجمع بإخراج )ع.م.أ(‬
‫= )3س – 5( )س – 4(‬
‫خاصية التوزيع‬

20. ‫2أ( 2ن2 – ن – 1‬
‫)ن-1()2ن+1(‬

21. ‫ُتمسمى كثيرة الحدود التي ل يمكن‬
‫ُ‬
‫تمسمى كثيرة الحدود التي ل يمكن‬
‫كتابتها على صورة ناتج ضرب‬
‫كتابتها على صورة ناتج ضرب‬
‫كثيرتي حدود بمعاملت صحيحة‬
‫كثيرتي حدود بمعاملت صحيحة‬
‫كثيرة حدود أولية ..‬
‫كثيرة حدود أولية‬

22. ‫تحديد كثيرة الحدلود اللولية :‬
‫3‬
‫حلل العبارة: 4س2 – 3س + 5 إن أمكن. وإذا لم يكن‬
‫ذلك ممكنا باستعمال العداد الصحيحة، فاكتب "أولية" .‬
‫ ً‬
‫في يثليثية الحدود المسابقة أ = 4، ب = -3، جـ = 5‬
‫وبما أن ب سالبة، م + ن سالبة. وبما أن جـ موجبة فإن‬
‫م ن موجبة. وعليه يكون كل من م، ن سالبا، كون قائمة‬
‫ ً‬
‫بأزواج عوامل العدد 02. وابحث عن العاملين اللذين‬
‫مجموعهما – 3 .‬

23. ‫عوامل العدد 02‬
‫مجموع العاملين‬
‫-02، -1‬
‫-12‬
‫-4 ، - 5‬
‫-9‬
‫-2، -01‬
‫-21‬

24. ‫3أ( 4ر2 – ر + 7‬
‫ألولية‬

25. ‫حل معادلت بالتحليل: تمثل المعادلة ل = -5 ن2 +‬
‫ع ن + ل ارتفاع جمسم مقذوف لعلى، حيث تمثل ل‬
‫الرتفاع بالمتر، و ن الزمن بالثواني، و ع المسرعة‬
‫البتدائية م/ يثانية، ل الرتفاع البتدائي بالمتر .‬
‫ويمكن حل هذه المعادلة التي على الصورة أس2 + ب‬
‫س + جـ = 0 بالتحليل واستعمال خاصية الضرب‬
‫الصفري .‬

26. ‫حل المعادل ت بالتحليل الى العوامل :‬
‫4‬
‫حياة برية: افترض أن فهدا يقفز نحو فريمسته، بمسرعة‬
‫ ً‬
‫ابتدائية رأسية مقدارها 11 مترا/ يثانية. فكم يبقى الفهد في‬
‫ ً‬
‫الهواء قبل وصوله إلى فريمسته التي ترتفع عن الرض 2‬
‫متر؟‬
‫ل = -5ن2 + ع ن + ل‬
‫0‬
‫معادلة الرتفاع‬
‫2 = -5ن2 + 11ن + 0‬
‫عوض ل = 2‬
‫0 = -5ن2 + 11ن – 2 اطرح 2 من كل الطرفين‬

27. ‫اضرب كل الطرفين في -1‬
‫0 = )5ن – 1( )ن – 2(‬
‫5ن = 1 أو‬
‫5ن = 1‬
‫ن=2‬
‫ن=2‬
‫حلل‬
‫خاصية الضرب الصفري‬
‫حل كل معادلة‬
‫1‬
‫ن= 5‬
‫الجابتان 1 ، 2 يثانية، يحتاج الفهد إلى 1‬
‫5 يثانية‬
‫5‬
‫للوصول إلى ارتفاع 2 م في أيثناء صعوده، وإلى‬
‫يثانيتين في الهواء للوصول إلى الفريمسة .‬

28. ‫الربط مع الحياة‬
‫الفهد هو أسرع حيوان في العالم إذا تبلغ سرعته‬
‫211كلم ساعة، ويمكن أن تصل سرعته من‬
‫صفر إلى 46 كلم ساعة في 3خطوات واسعة‬
‫خل ل ثوان فقط.‬

29. ‫5( فيزياء: قذف شخص كرة إلى اللعلى من سطح‬
‫بناية ارتفالعها 02 م. والمعادلة ع = -5ن2 +‬
‫61ن + 02 تمثل ارتفاع الكرة ع بالمتار بعد ن‬
‫ثانية. فإذا سقطت الكرة لعلى شرفة ارتفالعها 4 م‬
‫لعن الرض، فكم ثانية بقيت الكرة في الهواء؟‬
‫4ثوان‬

30. ‫تنبيه‬
‫إشارة السالب‬
‫حافظ على )العدد – 1( معامل س2،‬
‫الذي م إخراجه خل ل التحليل، أو‬
‫أضراب كل الطرفين في -1 بدل من‬
‫ذلك.‬

31. ‫تأكد:‬
‫حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك‬
‫ممكنا باستعمال اللعداد الصحيحة فاكتب "أولية" :‬
‫ ً‬
‫2( 5س2 – 3س + 4‬
‫أولية‬

32. ‫تأكد:‬
‫حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل‬
‫4( 2س 2 + 9 س + 9 = 0‬
‫س= -3، -3‬
‫2‬

33. ‫حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك‬
‫ممكنا باستعمال اللعداد الصحيحة فاكتب "أولية" :‬
‫ ً‬
‫01( 2س2 – 3س – 9‬
‫)2س+3()س-3(‬

34. ‫حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك‬
‫ممكنا باستعمال اللعداد الصحيحة فاكتب "أولية" :‬
‫ ً‬
‫21( 2س2 + 3س + 6‬
‫أولية‬

35. ‫انتهى الدرس‬