7. مفهوم أساسي
الحل بالتعويض:
الخطوة1:
حل إحدى المعادلتين على القل باستعمال أحد المتغيرين إذا كان ذلك ضروريا.
ً
الخطوة2:
عوض المقدار الناتج من الخطوة )1( في المعادلة الثانية ، ثم حلها.
الخطوة3:
عوض القيمة الناتجة من الخطوة )2( في أي من المعادلتين
وحلها ليجاد قيمة المتغير الثاني ، واكتب الحل كزوج مرتب.
8. حل نظام من معادلتين بالتعويض
مثال1
استعمل التعويض لحل النظام التي:
ص = 2س + 1
3 س + ص = -9
9. ص = 2س + 1
3س + ص = -9
الخطوة1: إحدى المعادلتين مكتوبة أساسا بدللة ص
ً
الخطوة2: عوض 2س + 1 بدل من ص في المعادلة الثانية
ً
3س + ص = -9
المعادلة الثانية
3س + 2س + 1= -9 عوض عن ص بـ 2س + 1
5س + 1= -9 اجمع الحدود المتشابهة
5س = -01
س = -2
اقسم كل طرف على 5
اطرح )1( من كل طرف
الخطوة3:
ص = 2س + 1 المعادلة الأولى
= 2 )-2( + 1 عوض عن س بـ )-2(
بسط
طّ
= -3
عوض -2 بدل من س في أي من المعادلتين ليجاد قيمة ص.
ً
إذن ، الحل هو: )-2 ،-3(.
12. وإذا لم يكن أحد المتغيرين مكتوبا وحده في طرف إحدى
ً
المعادلتين في النظام، فحل إحدى المعادلتين أوال بالنسبة
ً
لهذا المتغير، ثم عوض لحل النظام.
13. إرشادات للدراسة
صيغة الميل والمقطع
إذا كتبت كل من المعادلتين بصيغة الميل والمقطع
)ص = م س + ب(، فيمكن مساواتهما معا، ثم إيجاد
ً
قيمة س، وتعويضها ليجاد قيمة ص.
15. س + 2ص = 6
3 س – 4 ص = 82
الخطوة1: حل المعادلة اللولى بالنسبة للمتغير س ل ن معامل س = 1.
المعادلة الولى
س + 2ص = 6
س + 2ص - 2ص
= 6 – 2ص
اطرح 2ص من كل طرف
س = 6 - 2ص
بسط
طّ
الخطوة2: عوض عن س بـ )6- 2ص( في المعادلة الثانية ليجاد قيمة ص.
3)2-6ص(-4ص=82 عوض عن س بـ )6- 2ص(
خاصية التوزيع
6-81ص - 4ص=82
اجمع الحدود المتشابهة
81 – 01ص =82
81–01ص -81 =82-81 اطرح 81 من كل طرف
16. -01 ص = 01
ص = -1
بسط
طّ
اقسم كل طرف على -01
الخطوة3: أوجد قيمة س بالتعويض في المعادلة الولى.
س+2ص=6
المعادلة الولى
أوجد قيمة س بالتعويض في المعادلة الولى.
س + 2 )-1( = 6
س-2=6
س=8
الحل هو )8، -1(
عوض عن ص بـ )-1(
بسط
طّ
أضف 2 إلى كل طرف
19. وبصورة عامة، إذا كانت نتيجة حل نظام
من معادلتين جملة خطأ مثل 3 = -2، فل
يوجد حل للنظام في هذه الحالة، أما إذا
كانت النتيجة متطابقة مثل 3 = 3 فهناك
عدد النهائي من الحلول.
20. إرشادات للدراسة
النظام غير المستقل
هناك عدد النهائي من الحلول للنظام
في المثال3؛ لنه عند كتابة المعادلتين
بصيغة الميل والمقطع تكونان
متكافئتين ولهما التمثيل البياني نفسه.
21. عدم وجود حل للنظام، أو وجود عدد ال
نهائي من الحلول:
مثال3
حل النظام التي مستعمل التعويض:
ً
ص = 2س – 4
-6س + 3ص = -21
22. ص = 2س – 4
6س + 3ص = -21-6س + 3ص = -21
عوض عن ص بـ )2س – 4( في
المعادلة الثانية.
المعادلة الثانية
-6س + 3)2س-4( = -21 عوض عن ص بـ )2س – 4(
خاصية التوزيع
6س + 6س – 21 = -21 21 = - 21اجمع الحدود المتشابهة
بما أن الجملة الناتجة تشكل متطابقة، لذا يوجد عدد ال
نهائي من الحلول.
25. ا ً
حل كال من النظامين التيين مستعمال
ا ً
التعويض.
حل مسائل من واقع الحياة:
يمكنك استعمال التعويض لحل
مسألة من واقع الحياة تتضمن
نظاما من معادلتين.
ا ً
26. كتابة نظام من معادلتين وحله
مثال 4
من واقع الحياة
أجهزة: باع متجر 521 جهاز تسجيل وسماعة، بسعر 59.401 ريال ت
اّ
لجهاز التسجيل الواحد، و59.81 ريال للسماعة الواحدة، فإذا كان ثمن
ا ً
مبيعاته من الجهزة 57.6296 ريال. فكم جهازا باع من كل نوع؟
ا ً
ا ً
لتكن جـ = عدد أجهزة التسجيل، ت = عدد السماعات.
عدد الوحدات
المبيعة
السعر
جـ
ت
521
59.401جـ
59.81ت
57.6296
27. أجهزة: باع متجر 521 جهاز تسجيل وسماعة، بسعر 59.401 ريال ت
اّ
لجهاز التسجيل الواحد، و59.81 ريال للسماعة الواحدة، فإذا كان ثمن
ا ً
مبيعاته من الجهزة 57.6296 ريال. فكم جهازا باع من كل نوع؟
ا ً
ا ً
عدد الوحدات
المبيعة
السعر
جـ
ت
521
59.401جـ
59.81ت
57.6296
فتكون المعادلتان هما: جـ + ت = 521، 59.401جـ
+ 59.81 ت = 57.6296
28. أجهزة: باع متجر 521 جهاز تسجيل وسماعة، بسعر 59.401 ريال ت
اّ
لجهاز التسجيل الواحد، و59.81 ريال للسماعة الواحدة، فإذا كان ثمن
ا ً
مبيعاته من الجهزة 57.6296 ريال. فكم جهازا باع من كل نوع؟
ا ً
ا ً
عدد الوحدات
المبيعة
السعر
جـ
ت
521
59.401جـ
59.81ت
57.6296
29. الخطوة1:
حل المعادلة الولى بالنسبة للمتغير جـ
جـ + ث = 521
جـ + ت- ت =521- ت
جـ =521- ت
المعادلة الولى
اطرح ت من كل طرف
بس ط
اّ
الخطوة2: عوض عن جـ بـ )521- ت( في المعادلة الثانية.
59.401جـ + 59.81 ت = 57.6296 المعادلة التانية
59.401)521- ت( + 59.81 ت = 57.6296
عوض عن جـ بـ )521- ت(
59.401-57.81131 ت + 59.81 ت = 57.6296
خاصية التوزيع
31. الخطوة3:
عوض عن ت بـ )27( في إحدى المعادلتين
ليجاد قيمة جـ.
جـ + ت = 521
المعادلة الولى
جـ + 27 = 521
عوض عن ت بـ )27(
جـ = 35
اطرح 27 من كل طرف
إذن، باع المتجر 35 جهاز تسجيل، 27 سماعة
اّ
32. تحقق من فهمك
4( رياضة: مجموع النقاط التي سجلها فريقان في إحدى
مباريا ت كرة اليد 13 نقطة. فإذا كان عدد نقاط الفريق
ُ
الول يساوي 2.5 مرة عدد نقاط الفريق الثاني. فما عدد
نقاط كل فريق؟