Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt

1. 1
MAKALAH
PENCERMINAN (REFLEKSI)
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd
Disusun oleh :
Niamatus Saadah 1201125122
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
2015

2. 2
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
(i) Jika P  s maka Ms (P) = P.
Gambar 1
(ii) Jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP .
Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s
disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.
Gambar 2
Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan
itu suatu transformasi.
Penyelidikan:
Bukti:
(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.
(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.
Ambil sebarang .' VX 
 Kasus 1: Andaikan .' sX 
Maka 'XX  sebab ')( XXXMs 
 Kasus 2: Andaikan .' sX 
s
P = Ms(P)
s
P
P’

3. 3
Dari sifat geometri ada VX  sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini
berarti bahwa Ms(X) = X’. Artinya setiap X’ memiliki prapeta.
Jadi Ms surjektif.
(3) Akan dibuktikan Ms injektif.
Andaikan BA  .
 Kasus 1: sA dan 𝐵 𝜖 𝑠.
Maka 𝐴′
= 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′
= 𝑀𝑠(𝐵) = 𝐵.
Jadi A′ ≠ 𝐵′.
 Kasus 2: sA dan 𝐵 ∉ 𝑠.
Maka 𝐴′
= 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′
= 𝑀𝑠(𝐵) dengan 𝐵′ ∉ 𝑠.
Jadi 𝐴′ ≠ 𝐵′.
 Kasus 3: 𝐴 ∉ 𝑠, 𝐵 ∉ 𝑠.
Andaikan 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) atau 𝐴′
= 𝐵′.
Jadi 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠 dan 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠. Ini berarti dari satu titik A’ ada dua garis
berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.
Jadi pengandaian bahwa jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) adalah tidak
benar sehingga pengandaian itu salah.
Jadi jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) ≠ 𝑀𝑠(𝐵).
Jadi 𝑀𝑠(𝐴) injektif.
Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.
Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:
Teorema 1
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka
apabila 𝐴′
= 𝑀(𝐴) dan 𝐵′
= 𝑀(𝐵), 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Jadi jarak setiap dua titik sama
dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang
dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M
adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:

4. 4
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q
berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).
Gambar 3
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’.
Bukti:
Ambil Sebarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan A’B’ = AB.
 Kasus I
Jika A, B  s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.
Jadi AB = A’B’.
 Kasus II
Jika A  S, B  s, maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’.
Perhatikan CABABC '& .
AC = AC (berimpit).
𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐵′
(karena siku-siku).
BC = B’C (karena S sumbu simetri).
Jadi CABABC ' .
Diperoleh AB = A’B’.
s
A = A’
B’B C
s
P
P’
Q
Q’

5. 5
C
A’
s
A
B’B
D
 Kasus III
Jika A, B ∉ S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’
(i) Perhatikan Δ𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐶𝐷.
DC = DC (berimpit)
𝑚∠ADC = 𝑚∠𝐴′
𝐷𝐶 (900
)
AD = A’D (karena s sumbu simetri)
Jadi Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐴′
𝐶𝐷 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).
Diperoleh AC = A’C dan 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′
𝐶𝐷.
(ii) Perhatikan Δ𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐵′𝐶.
AC = A’C (pembuktian (i))
𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 900
− 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 900
− 𝑚∠𝐴𝐶′𝐷 = 𝑚∠𝐴′
𝐶𝐷.
BC = B′
C(karena s sumbu simetri).
jadi Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴′
𝐵′
𝐶 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).
Diperoleh AB = A’B’.
Jadi AB = A’B’.
Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B)
maka AB = A’B’.
Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

6. 6
SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan
pula Mg(B).
● ●
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).
Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1














yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien 𝑚1 =
4
3
.
Gradien yang tegak lurus AB, 𝑚2 = −
3
4
Titik tengah AB = )1,
2
1
(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(




Persamaan garis yang melalui )1,
2
1
( dengan 𝑚 = −
3
4
adalah
y – y1 = m (x – x1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)

7. 7
y – 1 = -
4
3
(x +
2
1
)
y = -
4
3
x -
8
3
+ 1
y = -
4
3
x +
8
5
8y + 6x – 5 = 0
6x + 8y – 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0
3. Diketahui: g =   -3x, yx
Ditanya:
a. A’=Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) = 




 





 
2
1
,
2
2
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )2,2(2,6 '' AA yx 
   1,8, '' AA yx
Jadi A’ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah
y=7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) = 




 





 
2
7
,
2
1
2
,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas   )7,1(14,6  CC yx
X
Y
A(2,1)
(-1,7)g
x=-3

8. 8
   7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (-3, yp) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).
4. Diketahui g =   2y, yx
Ditanya:
a. Jika A =  2,3 , tentukan A’ = Mg(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =







 





 
2
2
,
2
3
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )2,3(4,6 '' AA yx 
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (6 − 3,4 − √2)
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (3,4 − √2)
   24,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3, 24  )
b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,

9. 9
Maka (2,2) = 




 





 
2
)4(
,
2
2
2
,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas   )4,2(4,4  DD yx
⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 4 − 2,4 + 4
⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 2,8
Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, 2) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   
   pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxx
x




4,,
,4,2
)
2
,
2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x, 4 - y).
5. Diketahui h =   xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus
dengan garis h adalah m1 = -1.
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah
)( 111 xxmyy 
1
32
)2(13



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 yaitu dengan cara y = x,
disubtitusikan ke persamaan 𝑦 = −𝑥 − 1. Diperoleh :

10. 10
𝑥 = −𝑥 − 1
⟺ 2𝑥 = −1
⟺ 𝑥 = −
1
2
substitusikan x = -
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y = -
2
1
.
Jadi titik tengah 'AA (-
2
1
,-
2
1
).
Jelas (-
2
1
,-
2
1
) titik tengah 'AA , maka





 





 







2
3
,
2
2
2
,
22
1
,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )3,2(1,1 '' AA yx 
   2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah
m= -1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan
m = -1 adalah
)( 11 xxmyy 
2
53
)3(15



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x
disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh
𝑥 = −𝑥 + 2
⟺ 2𝑥 = 2
⟺ 𝑥 = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.

11. 11
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
  




 





 

2
5
,
2
)3(
2
,
2
1,1 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas   )5,3(2,2  BB yx
   3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy

 )(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
6. Diketahui k =   0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
b. Jika B’ = (-3,5), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx  0
Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =
1 adalah
)( 11 xxmyy 

12. 12
5
32
)2(13



xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan
𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 5, diperoleh :
-x = x – 5
⟺ 2𝑥 = 5
⟺ 𝑥 =
5
2
substitusikan x =
2
5
ke persamaan y = -x
diperoleh y = -
2
5
.
Jadi titik potongnya (
2
5
, -
2
5
)
Karena (
2
5
, -
2
5
) titik tengah 'AA , maka





 





 







2
3
,
2
2
2
,
22
5
,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas   )3,2(5,5 '' AA yx 
   2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis
tersebut adalah m = 1.
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
8
53
)3(15
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan
𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 8, diperoleh.

13. 13
−𝑥 = 𝑥 + 8
⟺ 2𝑥 = −8
⟺ 𝑥 = −4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
  




 





 

2
5
,
2
)3(
2
,
2
4,4 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas   )5,3(8,8  BB yx
   3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1
adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy

 )(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) = 




 
2
,
2
'' pppp yyxx
 
   QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''


Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
7. Diketahui g =   1yx, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.

14. 14
Jawab:
a. Dipunyai g =   1yx, yx , dari x + y = 1  y = 1 – x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g
adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
xy
xy
xxmyy



)0(10
)( 11
Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥}
Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑥 ke
dalam persamaan 𝑦 = 1 − 𝑥 sehingga diperoleh
1 − 𝑥 = 𝑥
⟺ 2𝑥 = 1
⟺ 𝑥 =
1
2
substitusikan x =
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y =
2
1
.
Jadi titik potongnya (
2
1
,
2
1
)
Karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka





 





 






2
0
,
2
0
2
,
22
1
,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas   ),(1,1 '0'0 yx
   1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah

15. 15
1
12
)1(12
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥 + 1}
Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 =
1 − 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, diperoleh
1 − 𝑥 = 𝑥 + 1
⟺ 2𝑥 = 0
⟺ 𝑥 = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
  




 





 

2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 '''' BBoooo yxyyxx
Jelas   )2,1(2.0 '' oo yx 
   0,1, ' oo yx
Jadi A’ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =   1yx, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,(  xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1  xxxyx
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).

16. 16
8. Diketahui g =   013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k =   013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0
 3a +3 +1 = 0
 3a = - 4
 a = -
3
4
Jadi nilai a = -
3
4
.
10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk
semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat
tersebut dapat diperluas secara umum?
Selesaian:
Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y)  V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

17. 17
T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)
   2
12
2
1221P yyxxP 
   
   
   
   2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP




Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1 + k, y1 +l)
T(P2) = P2’ = (x2 + k, y2 + l)
   2
12
2
1221P yyxxP 
   
   
   
   2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)''P
)()()()(''P
''''''P
yyxxP
lylykxkxP
lylykxkxP
yyxxP




Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.
11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai
T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Selesaian:
Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)

18. 18
Jelas    22
pqpq yyxxPQ 
Menurut definisi  1,2)(  pp yxPT dan  1,2)(  qq yxQT
Jelas
   22
4 pqpq yyxx 
Diperoleh )()( QTPT ≠ PQ
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.
12. Diketahui garis g dan titik A, A’, B, dan C seperti terlihat pada gambar di
bawah ini.
a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B’=Mg(B) dan
C’=Mg(C)’
b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.
Selesaian:
a. Gambar
   22
)1()1(22)()(  pqpq yyxxQTPT
B
A
A’
C
g
B
A
A’
C
g
B’
C’

19. 19
b. Bukti:
Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari
𝐶𝐶′̅̅̅̅̅, 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅, dan 𝐵𝐵′̅̅̅̅̅. Sehingga B’ = Mg(B), A’ = Mg(A), C’ = Mg(C).
Jadi, lukisan di atas benar.
13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang
didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P’
= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan
membuktikan:
a. T(P) = P apabila P(x,y) ∈ g.
b. Apabila P(x,y) ∉ g maka g adalah sumbu ruas garis PP′̅̅̅̅.
Selesaian :
a. Dipunyai P(x,y) ∈ g
Maka T(P) = P’ = (y,x).
Karena (x,y) ∈ g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga
T(P) = P’ = (y,x) = (x,y).
Karena T(P) = P untuk P ∈ g maka T merupakan refleksi garis pada g.
b. Dipunyai P(x,y) ∉ g
(i) Akan dibuktikan PP′̅̅̅̅ ⊥ g.
Jelas mg = 1.
Karena P(x,y) ∉ g maka T(P) = P’ = (y,x).
m 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑥−𝑦
𝑦−𝑥
=
𝑥−𝑦
−(𝑥−𝑦)
= −1
Diperoleh mg = 1 = −
1
−1
= −
1
𝑚 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅̅
.
Jadi g ⊥ 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
(ii) Akan dibuktikan PO = P’O, jika O adalah titik persekutuan antara
𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan g.
Misalkan Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
𝑄 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
= (
𝑥 + 𝑦
2
,
𝑦 + 𝑥
2
)
g
P(x,y)
P’(y,x)
O

20. 20
Jelas
𝑥+𝑦
2
=
𝑦+𝑥
2
.
Maka 𝑥 𝑄 = 𝑦 𝑄, sehingga 𝑄 ∈ g.
Jadi Q = O.
Karena Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan Q = O, maka PO = P’O.
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas
garis 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅.
14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,
tentukan:
a. A jika Mh(A) = (-2,3)
b. Mh(P) untuk P=(x,y)
Selesaian:
c. h melewati (0,0) dengan m = -1.
Persamaan garis h :
y-y1 = m(x-x1)
 y – 0 = -1(x – 0)
 y = -x
 x + y = 0.
Jelas 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ ⊥ ℎ melalui (-2,3) dengan gradien m = 1
Persamaan garis 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ :
y-y1 = m(x-x1)
 y – 3 = 1(x + 2)
 y – 3 = x + 2
 y = x + 5.
Perpotongan garis h dan 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅
h : y = -x; 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y = x + 5
diperoleh y = y
 -x = x + 5
 2x = -5
 x = −
5
2
.

21. 21
y = -x = - (−
5
2
) =
5
2
.
Diperoleh titik tengah 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (xp,yp) = (−
5
2
,
5
2
).
Jelas (xp,yp) = (
𝑥+𝑥′
2
,
𝑦+𝑦′
2
)
 (−
5
2
,
5
2
) = (
𝑥−2
2
,
𝑦+3
2
)
Diperoleh x – 2 = -5  x = -3, dan y + 3 = 5  y = 2.
Jadi A = (-3,2).
b.
garis PP’ ⊥ h berarti m = 1 dan
melalui (a,b).
Persamaan garis PP’: y – y1 = m(x – x1)
 y – b = 1(x – a)
 y = x – a + b.
Perpotongan garis h dan PP’
y = y  -x = x –a + b  2x = a – b  x =
𝑎−𝑏
2
y = -x = −
𝑎−𝑏
2
.
Titik tengah PP’ = (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
)
Jelas (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
) = (
𝑥+𝑥′
2
,
𝑦+𝑦′
2
)
 (
𝑎−𝑏
2
, −
𝑎−𝑏
2
) = (
𝑎+𝑥′
2
,
𝑏+𝑦′
2
)
Diperoleh x’ = -b dan y’ = -a.
Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P’=(-b,-a)=(-y,-x).
P (a,b)
a
b
h

22. 22
15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap
titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis
orthogonal dari P ke g.
a. Apakah T suatu transformasi?
b. Apakah T suatu isometri?
c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A),
B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:
Jawab:
a. Ditunjukkan T suatu transformasi
i. Ditunjukkan T surjektif
Ambil sebarang titik P’V
Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’
Jika P’ ∉ 𝑔, maka ∃𝑥 ∈ 𝑉 sehingga 𝑔 jadi sumbu ruas 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅
Ini berarti Ms(P)=P’
Jadi  P’V memiliki prapeta
Jadi T surjektif
ii. Ditunjukkan T injektif
Ambil sebarang titik P,QV dengan P≠Q
𝑃 ≠ 𝑄 {
𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′
, 𝑇(𝑄) = 𝑄′ ≠ 𝑃 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)
𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′
≠ 𝑄, 𝑇(𝑄) = 𝑄 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)
Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan
ruas garis orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P
ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan
Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.

23. 23
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis
orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu
titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan P≠Q
Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
b. Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q g
Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P
Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Q’
Jelas PQ≠P’Q’=PQ’
Jadi T bukan Isometri
c. T isometri jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
Jadi AB = A’B’ jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
16. Andaikan h =   3xy, yx , Apabila A = (4,3)
Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A).
Selesaian:
Jelas gradient dari garis 𝑦 = 3𝑥 adalah 𝑚 = 3. Gradient garis yang tegak
lurus garis tersebut adalah 𝑚 = −
1
3
Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = −
1
3
adalah
P

24. 24
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
⟺ 𝑦 − 3 = −
1
3
(𝑥 − 4)
⟺ 𝑦 − 3 = −
1
3
𝑥 +
4
3
⟺ 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
Perpotongan garis h dan 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
dapat dicari dengan mensubtitusikan
𝑦 = 3𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
13
3
, diperoleh
3𝑥 = −
1
3
𝑥 +
13
3
⟺
10
3
𝑥 =
13
3
⟺ 𝑥 =
1,3
3
⟺ 𝑦 = 3𝑥
= 1,3
Diperoleh titik terjadi 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (
1,3
3
; 1,3)
Jelas (
1,3
3
; 1,3) = (
𝑥 𝐴+𝑥 𝐴′
2
,
𝑦 𝐴+𝑦 𝐴′
2
)
⟺ (
1,3
3
; 1,3) = (
4 + 𝑥 𝐴′
2
,
3 + 𝑦 𝐴′
2
)
⟺ (
2,6
3
; 2,6) = (4 + 𝑥 𝐴′, 3 + 𝑦 𝐴′)
⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (
2,6
3
−
12
3
; 2,6 − 3)
⟺ (−
9,4
3
; −0,4)
Jdi koordinat 𝐴′
= (−
9,4
3
; −0,4).
17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T
suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.
Penyelesaian:
Karena Isometri, maka |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|

25. 25
 √(𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵)2 = √(𝑥 𝑐 − 𝑥 𝐷)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷)2
 √(1 − 4)2 + (−1 − 0)2 = √(−4 + 2)2 + (1 − 𝑘)2
 √(−3)2 + (−1)2 = √(−2)2 + (1 − 𝑘)2
 9+1 = 4+ (1-k)2
 (1-k)2
= 10 – 4
 (1-k)2
= 6
 1-k = √6
 k = 1 + √6.
19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.
Ada g =   1yx, yx .
a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .
b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B
c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!
Jawab:
a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus
garis tersebut adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
1
21
)1(12
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan
persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 1, diperoleh
𝑥 + 𝑥 + 1 = 1
⟺ 2𝑥 = 0
⟺ 𝑥 = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'AA (0,1).

26. 26
Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka
  




 





 

2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 ''' AAAAAA yxyyxx
  )2,1(2,0 '' AA yx 
   0,1, '' AA yx
Jadi A’ = (-1,0)
b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan
m=1 adalah
6
42
)2(14
)( 11




xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.
𝑦 = 𝑦
⟺ 1 − 𝑥 = 𝑥 + 6
⟺ 2𝑥 = 1 − 5
⟺ 𝑥 = −2
substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 3.
Jadi titik tengah BC (-2,3).
Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka
  




 





 

2
4
,
2
2
2
,
2
3,2 CCCBCB yxyyxx
  )4,2(6,4 CC yx 
   2,2, CC yx
Jadi A’ = (-2,2)

27. 27
c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah
21
21 )(
PPxy
PxmPy


Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (Q1,Q2) = 




 
2
,
2
'22'11 PPPP
 
   2211'2'1
'22'1121
2,2,
),(2,2
QPQPPP
PPPPQQ


Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ =  2211 2,2 QPQP  .