Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN
BAB IX
RUAS GARIS BERARAH
disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd
Oleh
Niamatus Saadah 1201125122
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA
2015
2. RUAS GARIS BERARAH
9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sederhana
Untuk melajutkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian
tentang ruas garis berarah sebagai berikut:
Definisi: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu
ujungnya dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan
titik akhir.
Apabila A dan B dua titik, lambang ðŽðµÌ Ì Ì Ì kita gunakan sebagai ruas garis
berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan AB
melukiskan dua hal yang berbeda. Seperti diketahui bahwa ðŽðµâââââ
menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui
B.
Dua ruas garis ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì disebut kongruen apabila AB = CD. Walaupun AB
= CD, ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì tidak perlu sama; ðŽðµÌ Ì Ì Ì adalah sebuah himpunan sedangkan
AB adalah bilangan real. Jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì kongruen ditulis ðŽðµÌ Ì Ì Ì â ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì . Dalam
membandingkan dua ruas garis berarah ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì tidaklah sukup, jika AB =
CD; kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian, dikatakan bahwa ruas
garis berarah ðŽðµÌ Ì Ì Ì ekivalen dengan ruas garis berarah ð¶ð·Ì Ì Ì Ì yang ditulis sebagai
ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Definisi: ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì apabila Sp(A) = D dengan P titik tengah ðµð¶Ì Ì Ì Ì .
Gambar 9.1
Teorema 9.1:
A
B
C
D
P
3. Andaikan ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dua ruas garis berarah yang tidak segaris, maka segi-4
ABCD sebuah jajargenjang jika dan hanya jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Bukti:
Akan ditunjukkan jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì adalah dua ruas garis berarah yang tidak
segaris maka ABCD jajargenjang ⺠ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
(â¹) Akan ditunjukkan jika ABCD sebuah jajar genjang dengan ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì
adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Dipunyai ABCD sebuah jajar genjang.
Diagonal-diagonal ðŽð·Ì Ì Ì Ì dan ðµð¶Ì Ì Ì Ì berpotongan di tengah-tengah, misalkan
titik P.
Dengan demikian Sp(A) = D, dengan P adalah titik tengah ðŽð·Ì Ì Ì Ì maupun
ðµð¶Ì Ì Ì Ì .
Berdasarkan definisi keekivalenan diperoleh ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
(âž) Akan ditunjukkan jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka ABCD jajargenjang dengan ðŽðµÌ Ì Ì Ì
dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.
Dipunyai ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Misalkan titik P adalah titik tengah ðµð¶Ì Ì Ì Ì .
Menurut definisi keekivalenan maka Sp(A) = D.
Berarti AP = PD, jadi P juga titik tengah AD.
Hubungkan titik A ke C dan titik B ke D sehingga terbentuklah
segiempat ABCD.
ðŽð·Ì Ì Ì Ì dan ðµð¶Ì Ì Ì Ì adalah diagonal-diagonal segiempat ABCD yang terbagi
sama panjang di P (definisi jajar genjang).
Akibatnya segiempat ABCD sebuah jajar genjang.
Jadi terbukti jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì adalah dua ruas garis berarah yang tidak segaris
maka ABCD jajargenjang ⺠ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì .
Akibat Teorema 9.1:
Jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka AB = CD dan ðŽðµâ¡ââââ dan ð¶ð·â¡ââââ sejajar atau segaris.
Bukti:
4. Akan dibuktikan ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì â¹ ðŽðµ = ð¶ð· dan ðŽðµâ¡ââââ dan ð¶ð·â¡ââââ sejajar atau segaris.
Dipunyai ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì
Kasus ð â ðŽðµâ¡ââââ :
Karena ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì , maka menurut definisi keekivalenan, Sp(A) = D dengan
P adalah titik tengah ðµð¶Ì Ì Ì Ì sehingga BP = PC.
Pilih titik P pada perpanjangan ðŽðµÌ Ì Ì Ì .
Karena Sp(A) = D, maka AP = PD.
Diperoleh AP = PD ⺠AB + BP = PC + CD.
Karena BP = PC, maka AB + PC = PC + CD ⺠AB = CD.
Buat garis yang melalui titik A dan D.
Diperoleh ðŽðµÌ Ì Ì Ì â ðŽðµâ¡ââââ dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì â ð¶ð·â¡ââââ sehingga ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì â ðŽð·â¡ââââ .
Karena ðŽðµÌ Ì Ì Ì segaris dengan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka ðŽðµâ¡ââââ segaris dengan ð¶ð·â¡ââââ .
Kasus ð â ðŽðµâ¡ââââ :
Karena ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì , maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì tidak segaris.
Berdasarkan teorema 9.1, diperoleh segiempat ABCD jajar genjang.
Menurut karakteristik jajar genjang bahwa sisi-sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar, akibatnya AB = CD.
Karena ðŽðµÌ Ì Ì Ì // ð¶ð·Ì Ì Ì Ì , ðŽðµÌ Ì Ì Ì â ðŽðµâ¡ââââ dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì â ð¶ð·â¡ââââ maka ðŽðµâ¡ââââ //ð¶ð·â¡ââââ .
Teorema 9.2:
Diketahui ruas-ruas garis berarah ðŽðµÌ Ì Ì Ì , ð¶ð·Ì Ì Ì Ì , dan ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka
1. ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì (sifat reflexi);
2. jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì (sifat simetrik);
3. jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì (sifat transitif).
Bukti:
1. Akan dibuktikan ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì (sifat reflexi)
Misalkan P adalah titik tengah ðŽðµÌ Ì Ì Ì , maka Sp(A) = B
Menurut definisi keekivalenan diperoleh ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì .
2. Akan dibuktikan jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì (sifat simetrik)
5. Menurut teorema 9.1 jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka segiempat ABCD jajargenjang,
diagonal-diagonal ðµð¶Ì Ì Ì Ì dan ðŽð·Ì Ì Ì Ì membagi sama panjang di P,
maka P dalah titik tengah ðŽð·Ì Ì Ì Ì
akibatnya Sp(C) = B
menurut definisi kekeivalenan apabila Sp(C) = B dengan P titik tengah ðŽð·Ì Ì Ì Ì
maka ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì .
3. Akan dibuktikan jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì (sifat
transitif):
Diperoleh ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka Sp(A) = D dengan P titik tengah ðµð¶Ì Ì Ì Ì
Diperoleh ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka Sq(C) = F dengan Q titik tengah ð·ðžÌ Ì Ì Ì
Menurut teorema 9.1 jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka segiempat ABCD jajargenjang
sehingga ðŽðµÌ Ì Ì Ì //ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì //ðžð¹Ì Ì Ì Ì akibatnya ðŽðµÌ Ì Ì Ì //ðžð¹Ì Ì Ì Ì .
Menurut akibat dari teorema 9.1 bahwa jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka AB = CD,
jika ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka CD = EF
Akibatnya AB = EF.
Karena AB = EF dan ðŽðµÌ Ì Ì Ì //ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka ABFE jajargenjang.
Menurut teorema 9.1 jika ABCD jajargenjang maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì //ðžð¹Ì Ì Ì Ì .
Teorema 9.3:
Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas garis berarah ðŽðµÌ Ì Ì Ì maka ada titik
tunggal Q sehingga ððÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì .
Gambar 9.2
Bukti:
Akan dibuktikan keberadaan Q sehingga ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ððÌ Ì Ì Ì
Andaikan ada titik Q
misal R adalah titik tengah ðµðÌ Ì Ì Ì dengan Sp(A) = Q maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ððÌ Ì Ì Ì
A Q
B
R
P
6. Menurut teorema 9.2 (2) maka ððÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
Akan dibuktikan Q tunggal,
Andaikan ada titik T sehingga ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ððÌ Ì Ì Ì
Karena R titik tengah ðµðÌ Ì Ì Ì maka SR(A) = T
Setengah putaran A terhadap R atau SR(A) tunggal sehingga ð ðÌ Ì Ì Ì = ðŽð Ì Ì Ì Ì
Akibat 1:
Jika
Jika ð1(ð¥1, ðŠ1), ð2(ð¥2, ðŠ2), dan ð3(ð¥3, ðŠ3) titik-titik yang diketahui maka
titik ð(ð¥3 + ð¥2 â ð¥1, ðŠ3 + ðŠ2 â ðŠ1) adalah titik tunggal sehingga ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì =
ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì .
Andaikan P bukan titik tungga maka ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì â ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì artinya ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì â ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì â 0
diperoleh ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì â ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì =(ð â ð3) â (ð2 â ð1)
= [(ð¥3 + ð¥2 â ð¥1, ðŠ3 + ðŠ2 â ðŠ1) â (ð¥3, ðŠ3)] â [(ð¥2, ðŠ2) â (ð¥1, ðŠ1)]
= [(ð¥3 + ð¥2 â ð¥1 â ð¥3, ðŠ3 + ðŠ2 â ðŠ1 â ðŠ3)] â [(ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1)]
= (ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1) â (ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1)
= (0,0)
= 0.
Akibat 2:
Jika ðð = (ð¥ ð, ðŠð), ð = 1,2,3,4, maka ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
⺠ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3, ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3
(â¹) Akan dibuktikan jika Jika ðð = (ð¥ ð, ðŠð), ð = 1,2,3,4 maka
ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì â¹ ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3, ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3
Karena ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka ð1 ð2=ð3 ð4 sehingga ð2 â ð1 = ð4 â ð3
⺠[(ð¥2, ðŠ2) â (ð¥1, ðŠ1)] = [(ð¥4, ðŠ4) â (ð¥3, ðŠ3)]
⺠(ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1) = (ð¥4 â ð¥3, ðŠ4 â ðŠ3)
menurut definisi sebuah titik pada aljabar, dua titik A(a,b) = B(c,d)
jika dan hanya jika ð = ð dan ð = ð
diperoleh ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3 dan ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3
(âž) Akan ditunjukkan jika ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3, ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3 maka
Jika ðð = (ð¥ ð, ðŠð), ð = 1,2,3,4 maka ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
7. Dipunyai ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3, ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3 maka dapat dibuat
titik yang sama misalkan R dan S, dengan ð = (ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1)
dan ð = (ð¥4 â ð¥3, ðŠ4 â ðŠ3)
misalkan R = S ⺠(ð¥2 â ð¥1, ðŠ2 â ðŠ1) = (ð¥4 â ð¥3, ðŠ4 â ðŠ3)
⺠[(ð¥2, ðŠ2) â (ð¥1, ðŠ1)] = [(ð¥4, ðŠ4) â (ð¥3, ðŠ3)]
⺠ð2 â ð1 = ð4 â ð3
⺠ð1 ð2=ð3 ð4 ⺠ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
Jadi jika ð¥2 â ð¥1 = ð¥4 â ð¥3, ðŠ2 â ðŠ1 = ðŠ4 â ðŠ3 maka Jika ðð =
(ð¥ ð, ðŠð), ð = 1,2,3,4 maka ð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ð3 ð4
Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
Mengalikan Ruas Garis Berarah dengan Sebuah Skalar
Definisi:
Andaikan ðŽðµÌ Ì Ì Ì sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real, maka
kðŽðµÌ Ì Ì Ì adalah ruas garis berarah ðŽðÌ Ì Ì Ì sehingga ð â ðŽðµÌ Ì Ì Ì dan AP = k (AB) jika
k>0.
Apabila k<0 maka kðŽðµÌ Ì Ì Ì adalah ruas garis berarah ðŽðÌ Ì Ì Ì dengan P anggota
sinar yang berlawanan arah dengan ðŽðµâââââ sedangkan AP = |ð|ðŽðµ.
Dikatakan bahwa ðŽðÌ Ì Ì Ì adalah kelipatan ðŽðµÌ Ì Ì Ì .
8. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui titik-titik A, B, C, dan D, tiap tiga titik tidak segaris.
Ditanya:
a. Lukis titik D sehingga ð¶ðžÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
b. Lukis titik F sehingga ð·ðžÌ Ì Ì Ì = ðµðŽÌ Ì Ì Ì
c. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
Jawab:
a. Misalkan titik D adalah titik tengah ðžðŽÌ Ì Ì Ì sehingga ð ð·(ð¶) = ðµ
b. Misalkan titik F merupakan titik tengah ðžðµÌ Ì Ì Ì sehingga ð ð¹(ð·) = ðŽ
c. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tidak segaris.
Lukislah:
a. Titik D sehingga ðŽð·Ì Ì Ì Ì = 3ðŽðµÌ Ì Ì Ì
b. Titik F sehingga ðŽðžÌ Ì Ì Ì = â
4
3
ðŽðµÌ Ì Ì Ì
c. Titik F sehingga ð¶ð¹Ì Ì Ì Ì = â2 ðŽðµÌ Ì Ì Ì
E
B
C
C
A
D
Bâ
E
A
D B
F
B
A
9. Jawab:
a. Titik D sehingga ðŽð·Ì Ì Ì Ì = 3ðŽðµÌ Ì Ì Ì
b. Titik F sehingga ðŽðžÌ Ì Ì Ì = â
4
3
ðŽðµÌ Ì Ì Ì
c. Titik F sehingga ð¶ð¹Ì Ì Ì Ì = â2 ðŽðµÌ Ì Ì Ì
3. Diantara ungkapan-ungkapan di bawah ini manakah yang benar?
a. ðŽðµÌ Ì Ì Ì = âðµðŽÌ Ì Ì Ì
b. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì ) = ðµðŽÌ Ì Ì Ì
c. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì ) = ð ðµ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
d. Jika ðŽâ²
= ð ðµ(ðŽ) maka ðŽðŽâ²Ì Ì Ì Ì Ì = 2ðŽðµÌ Ì Ì Ì
e. Jika ðµâ²
= ððŽ ð ðµ(ðµ) dan ðŽâ²
= ððŽ ð ðµ(ðŽ), maka ðŽâ² ðµâ²Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
Jawab:
a. ðŽðµÌ Ì Ì Ì = âðµðŽÌ Ì Ì Ì
ðŽðµÌ Ì Ì Ì
ðµðŽÌ Ì Ì Ì
âðµðŽÌ Ì Ì Ì
(Benar)
â2
C
A B
F
A BE Bâ
A B
BA
A B
DBA
10. b. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì ) = ðµðŽÌ Ì Ì Ì
ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
ðµðŽÌ Ì Ì Ì
(Benar)
c. ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì ) = ð ðµ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
ððŽ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
ð ðµ(ðŽðµÌ Ì Ì Ì )
(Benar)
d. Jika ðŽâ²
= ð ðµ(ðŽ) maka ðŽðŽâ²Ì Ì Ì Ì Ì = 2ðŽðµÌ Ì Ì Ì
(Benar)
e. Jika ðµâ²
= ððŽ ð ðµ(ðµ) dan ðŽâ²
= ððŽ ð ðµ(ðŽ), maka ðŽâ² ðµâ²Ì Ì Ì Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
(Benar)
4. Diketahui A (0,0), B (5,3), dan C (-2,4). Tentukan:
a. R sehingga ðŽð Ì Ì Ì Ì = ðµð¶Ì Ì Ì Ì
b. S sehingga ð¶ðÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
c. T sehingga ððµÌ Ì Ì Ì = ðŽð¶Ì Ì Ì Ì
Jawab:
a. R sehingga ðŽð Ì Ì Ì Ì = ðµð¶Ì Ì Ì Ì
Berdasarkan teorema akibat jika ðŽð Ì Ì Ì Ì = ðµð¶Ì Ì Ì Ì maka AR = BC sehingga
(
ð¥ ð
ðŠ ð
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) = (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) â (
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) ⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) â (
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) + (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
)
⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
â2
4
) â (
5
3
) + (
0
0
) = (
â7
1
)
A BBâ
BA
A BBâ
A B Aâ
BA Aâ
Bâ A BAâ
11. Jadi R = (-7,1).
b. S sehingga ð¶ðÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì
Berdasarkan teorema akibat jika ð¶ðÌ Ì Ì Ì = ðŽðµÌ Ì Ì Ì maka CS = AB sehingga
(
ð¥ ð
ðŠð
) â (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) = (
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) ⺠(
ð¥ ð
ðŠð
) = (
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) + (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
)
⺠(
ð¥ ð
ðŠð
) = (
5
3
) â (
0
0
) + (
â2
4
) = (
3
7
)
Jadi R = (3,7).
c. T sehingga ððµÌ Ì Ì Ì = ðŽð¶Ì Ì Ì Ì
Berdasarkan teorema akibat jika ððµÌ Ì Ì Ì = ðŽð¶Ì Ì Ì Ì maka TB = AC sehingga
(
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) ⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) + (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
)
⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
5
3
) â (
â2
4
) + (
0
0
) = (
7
â1
)
Jadi R = (7,-1).
5. Diketahui: A (2,1), B (3,-4), dan C (-1,5). Tentukan:
a. D sehingga CD = AB
b. E sehingga AE = BC
c. F sehingga AF =
1
2
ðŽð¶
Jawab:
a. D sehingga CD = AB
â(ð¥ ð· â ð¥ ð¶)2 + (ðŠ ð· â ðŠ ð¶)2 = â(ð¥ ðµ â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ðµ â ðŠ ðŽ)2
⺠â(ð¥ ð· + 1)2 + (ðŠ ð· â 5)2 = â(3 â 2)2 + (â4 â 1)2
⺠â(ð¥ ð· + 1)2 + (ðŠ ð· â 5)2 = â(1)2 + (â5)2
⺠â(ð¥ ð· + 1)2 + (ðŠ ð· â 5)2 = â26
⺠(ð¥ ð· + 1)2
+ (ðŠ ð· â 5)2
= 26
⺠ð¥ ð·
2
+ 2ð¥ ð· + 1 + ðŠ ð·
2
â 10ðŠ ð· + 25 = 26
⺠ð¥ ð·
2
+ðŠ ð·
2
+ 2ð¥ ð· â 10ðŠ ð· + 26 = 26
⺠ð¥ ð·
2
+ðŠ ð·
2
+ 2ð¥ ð· â 10ðŠ ð· = 0
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran ð¥ ð·
2
+ðŠ ð·
2
+ 2ð¥ ð· â 10ðŠ ð· = 0
b. E sehingga AE = BC
â(ð¥ ðž â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ðž â ðŠ ðŽ)2 = â(ð¥ ð¶ â ð¥ ðµ)2 + (ðŠ ð¶ â ðŠ ðµ)2
13. Karena K titik tengah BC maka ðŸ = (
ð¥ ðµ+ð¥ ð¶
2
,
ðŠ ðµ+ðŠ ð¶
2
) = (
2â1
2
,
7+4
2
) = (
1
2
,
11
2
)
Karena K titik tengah AD maka ðŸ = (
ð¥ ðŽ+ð¥ ð·
2
,
ðŠ ðŽ+ðŠ ð·
2
)
⺠(
1
2
,
11
2
) = (
1 + ð¥ ð·
2
,
3 + ðŠ ð·
2
)
âº
1 + ð¥ ð·
2
=
1
2
⺠1 + ð¥ ð· = 1 ⺠ð¥ ð· = 0
âº
3 + ðŠ ð·
2
=
11
2
⺠3 + ðŠ ð· = 11 ⺠ðŠ ð· = 8
Jadi koordinat D adalah (0,8).
7. Jika A(-2,4), B(h,3), C(3,0), dan D(5,k) adalah titik sudut jajargenjang
ABCD, tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ABCD jajargenjang maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dan ðŽð·Ì Ì Ì Ì = ðµð¶Ì Ì Ì Ì
Dari ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD maka
(
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) = (
ð¥ ð·
ðŠ ð·
) â (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
)
⺠(
â
3
) â (
â2
4
) = (
3
0
) â (
5
ð
) ⺠(
â + 2
â1
) = (
â2
âð
)
Sehingga diperoleh â + 2 = â2 ⺠â = â4 dan â ð = â1 ⺠ð = 1.
8. Jika A(-h,-k), B(5,-2â3), C(k,8â3) dan D(-9,h) adalah titik-titik sehingga
ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì , tentukan h dan k.
Jawab:
Karena ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh AB=CD
sehingga
(
ð¥ ðµ
ðŠ ðµ
) â (
ð¥ ðŽ
ðŠ ðŽ
) = (
ð¥ ð·
ðŠ ð·
) â (
ð¥ ð¶
ðŠ ð¶
) ⺠(
5 + â
â2â3 + ð
) = (
â9 â ð
â â 8â3
)
⺠5 + â = â9 â ð ⺠â + ð = â14 ... (1)
⺠â2â3 + ð = â â 8â3 ⺠â â ð = 6â3 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k = - 7 - 3â3 dan h = - 7 - 3â3.
9. Diantara relasi-relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi ekivalensi?
a. Kesejajaran pada himpunan semua garis.
b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.
c. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.
14. d. Kekongruenan antara bilangan-bilangan bulat modulo 3.
Jawab:
a. Relasi ekivalensi
b. Relasi ekivalensi
c. Relasi ekivalensi
d. Bukan relasi ekivalensi
e. Bukan relasi ekivalensi
10. Buktikan jika ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì dan ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì maka ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì dengan jalan
memisalkan ðŽ = (ð1, ð2), ðµ = (ð1, ð2), ð¶ = (0,0) ððð ðž = (ð1, ð2).
Bukti:
Dari ðŽðµÌ Ì Ì Ì = ð¶ð·Ì Ì Ì Ì diperoleh AB = CD maka (
ð1
ð2
) â (
ð1
ð2
) = (
ð1
ð2
) â (
ð1
ð2
)
⺠(
ð1
ð2
) = (
ð1 â ð1 + 0
ð2 â ð2 + 0
) = (
ð1 â ð1
ð2 â ð2
)
Dari ð¶ð·Ì Ì Ì Ì = ðžð¹Ì Ì Ì Ì diperoleh CD = EF maka (
ð1
ð2
) â (
ð1
ð2
) = (
ð1
ð2
) â (
ð1
ð2
)
⺠(
ð1 â ð1
ð2 â ð2
) â (
0
0
) = (
ð1
ð2
) â (
ð1
ð2
)
⺠(
ð1
ð2
) = (
ð1 â ð1 + ð1
ð2 â ð2 + ð2
)
Sehingga ðžð¹Ì Ì Ì Ì = (
ð1 â ð1 + ð1
ð2 â ð2 + ð2
) â (
ð1
ð2
) = (
ð1 â ð1
ð2 â ð2
).
11. Jika A=(0,0), B=(1,-3), dan C=(5,7), tentukan:
a. D sehingga AD = 3 AB
b. E sehingga AE =
1
2
ðµð¶
c. F sehingga AF = -2 AB
Jawab:
a. D sehingga AD = 3 AB
â(ð¥ ð· â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ð· â ðŠ ðŽ)2 = 3â(ð¥ ðµ â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ðµ â ðŠ ðŽ)2
⺠â(ð¥ ð· + 0)2 + (ðŠ ð· â 0)2 = 3â(1 â 0)2 + (â3 â 0)2
⺠âð¥ ð·
2 + ðŠ ð·
2 = 3â(1)2 + (â3)2
⺠âð¥ ð·
2 + ðŠ ð·
2 = 3â10
⺠ð¥ ð·
2
+ ðŠ ð·
2
= 90
15. Jadi D adalah semua titik pada lingkaran ð¥ ð·
2
+ ðŠ ð·
2
= 90
b. E sehingga AE =
1
2
ðµð¶
â(ð¥ ðž â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ðž â ðŠ ðŽ)2 =
1
2
â(ð¥ ð¶ â ð¥ ðµ)2 + (ðŠ ð¶ â ðŠ ðµ)2
⺠â(ð¥ ðž â 0)2 + (ðŠ ðž â 0)2 =
1
2
â(5 â 1)2 + (7 â (â3))2
⺠âð¥ ðž
2 + ðŠ ðž
2 =
1
2
â(4)2 + (10)2
⺠âð¥ ðž
2 + ðŠ ðž
2 =
1
2
â16 + 100
⺠âð¥ ðž
2 + ðŠ ðž
2 =
1
2
â116
⺠ð¥ ðž
2
+ ðŠ ðž
2
=
1
4
. 116
⺠ð¥ ðž
2
+ ðŠ ðž
2
= 29
Jadi E adalah semua titik pada lingkaran ð¥ ðž
2
+ ðŠ ðž
2
= 29
c. F sehingga AF = -2 AB
â(ð¥ ð¹ â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ð¹ â ðŠ ðŽ)2 = -2â(ð¥ ðµ â ð¥ ðŽ)2 + (ðŠ ðµ â ðŠ ðŽ)2
⺠â(ð¥ ð¹ â 0)2 + (ðŠ ð· â 0)2 =-2â(1 â 0)2 + (â3 â 0)2
⺠âð¥ ð¹
2 + ðŠ ð¹
2 = â2â(1)2 + (â3)2
⺠âð¥ ð¹
2 + ðŠ ð¹
2 = 4â10
⺠ð¥ ð¹
2
+ ðŠ ð¹
2
= 40
Jadi D adalah semua titik pada lingkaran ð¥ ð¹
2
+ ðŠ ð¹
2
= 40
12. Jika ð0 = (0,0), ð1 = (ð¥1, ðŠ1), ð2 = (ð¥2, ðŠ2) dan ð3 = (ð¥3, ðŠ3) sedangkan
k>0, tentukan:
a. P sehingga ð0 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð0 ð1
Ì Ì Ì Ì Ì Ì
b. P sehingga ð1 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì
c. Jika ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka ð = [ð¥3 + ð(ð¥2 â ð¥1), ðŠ3 + ð(ðŠ2 â ðŠ1)]
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
Jawab:
a. P sehingga ð0 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð0 ð1
Ì Ì Ì Ì Ì Ì
16. Karena ð0 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð0 ð1
Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh P0P =
kP0P1 sehingga (
ð¥ ð â ð¥ ð0
ðŠ ð â ðŠ ð0
) = ð (
ð¥ ð1
â ð¥ ð0
ðŠ ð1
â ðŠ ð0
) ⺠(
ð¥ ð â 0
ðŠð â 0
) = ð (
ð¥1 â 0
ðŠ1 â 0
)
⺠(
ð¥ ð
ðŠð
) = (
ðð¥1
ððŠ1
)
b. P sehingga ð1 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì
Karena ð1 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P1P=kP1P2 sehingga
(
ð¥ ð â ð¥ ð1
ðŠð â ðŠ ð1
) = ð (
ð¥ ð2â ð¥ ð1
ðŠ ð2
â ðŠ ð1
) ⺠(
ð¥ ð â ð¥1
ðŠ ð â ðŠ1
) = ð (
ð¥2 â ð¥1
ðŠ2 â ðŠ1
)
⺠ð¥ ð â ð¥1 = ðð¥2 â ðð¥1 ⺠ð¥ ð = ðð¥2 â (ð â 1)ð¥1
⺠ðŠ ð â ðŠ1 = ððŠ2 â ððŠ1 ⺠ðŠ ð = ððŠ2 â (ðâ1)ðŠ1
Jadi ð = (ðð¥2 â (ð â 1)ð¥1, ððŠ2 â (ðâ1)ðŠ1)
c. Jika ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka ð = [ð¥3 + ð(ð¥2 â ð¥1), ðŠ3 + ð(ðŠ2 â ðŠ1)]
Karena ð3 ðÌ Ì Ì Ì Ì = ðð1 ð2
Ì Ì Ì Ì Ì Ì maka menurut akibat teorema 9.1 diperoleh
P3P=kP1P2 sehingga
(
ð¥ ð â ð¥ ð3
ðŠ ð â ðŠ ð3
) = ð (
ð¥ ð2â ð¥ ð1
ðŠ ð2
â ðŠ ð1
) ⺠(
ð¥ ð â ð¥3
ðŠ ð â ðŠ3
) = ð (
ð¥2 â ð¥1
ðŠ2 â ðŠ1
)
⺠ð¥ ð â ð¥3 = ðð¥2 â ðð¥1 ⺠ð¥ ð = ð(ð¥2 â ð¥1) + ð¥3
⺠ðŠ ð â ðŠ3 = ððŠ2 â ððŠ1 ⺠ðŠ ð = ð(ðŠ2 â ðŠ1) + ðŠ3
Jadi ð = (ð(ð¥2 â ð¥1) + ð¥3, ð(ðŠ2 â ðŠ1) + ðŠ3)
d. Apakah rumus tetap berlaku apabila k < 0?
rumus tetap berlaku tetapi arahnya berlawanan.
13. Jika A = (0,0), B = (1,3), C = (-2,5), dan D = (4,-2) titik-titik diketahui,
gunakan hasil pada soal nomor 12, untuk menentukan koordinat-koordinat
titik-titik berikut:
a. P sehingga ðŽðÌ Ì Ì Ì = 4 ðŽð¶Ì Ì Ì Ì
b. R sehingga ðµð Ì Ì Ì Ì =
1
2
ðµð¶Ì Ì Ì Ì
c. S sehingga ð·ðÌ Ì Ì Ì = 3ðµð¶Ì Ì Ì Ì
d. T sehingga ð¶ðÌ Ì Ì Ì = â2ð·ðµÌ Ì Ì Ì
Jawab:
a. P sehingga ðŽðÌ Ì Ì Ì = 4 ðŽð¶Ì Ì Ì Ì
17. Karena ðŽðÌ Ì Ì Ì = 4 ðŽð¶Ì Ì Ì Ì maka ðŽð = 4ðŽð¶ sehingga ð â ðŽ = 4(ð¶ â ðŽ)
Diperoleh (
ð¥ ð â ð¥ ðŽ
ðŠ ð â ðŠ ðŽ
) = 4 (
ð¥ ð¶ â ð¥ ðŽ
ðŠ ð¶ â ðŠ ðŽ
) ⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = 4 (
â2 â 0
5 â 0
) + (
0
0
)
⺠(
ð¥ ð
ðŠ ð
) = (
â8
20
)
Jadi koordinat P = (-8,20).
b. R sehingga ðµð Ì Ì Ì Ì =
1
2
ðµð¶Ì Ì Ì Ì
Karena ðµð Ì Ì Ì Ì =
1
2
ðµð¶Ì Ì Ì Ì maka BR=
1
2
BC sehingga R â B =
1
2
(ð¶ â ðµ)
Diperoleh (
ð¥ ð â ð¥ ðµ
ðŠ ð â ðŠ ðµ
) =
1
2
(
ð¥ ð¶ â ð¥ ðµ
ðŠ ð¶ â ðŠ ðµ
) ⺠(
ð¥ ð â 1
ðŠ ð â 3
) =
1
2
(
â2 â 1
5 â 3
)
⺠ð¥ ð â 1 =
â3
2
⺠ð¥ ð =
â1
2
⺠ðŠ ð â 3 = 1 ⺠ðŠ ð = 4
Jadi koordinat R = (
â1
2
, 4).
c. S sehingga ð·ðÌ Ì Ì Ì = 3ðµð¶Ì Ì Ì Ì
Karena ð·ðÌ Ì Ì Ì = 3ðµð¶Ì Ì Ì Ì maka S â D = 3 (C â B)
Diperoleh (
ð¥ ð â ð¥ ð·
ðŠð â ðŠ ð·
) = 3 (
ð¥ ð¶ â ð¥ ðµ
ðŠ ð¶ â ðŠ ðµ
) ⺠(
ð¥ ð â 4
ðŠð â (â2)
) = 3 (
â2 â 1
5 â 3
)
⺠ð¥ ð â 4 = â9 ⺠ð¥ ð = â5
⺠ðŠð + 2 = 6 ⺠ðŠð = 4
Jadi koordinat S = (â5,4).
d. T sehingga ð¶ðÌ Ì Ì Ì = â2ð·ðµÌ Ì Ì Ì
Karena ð¶ðÌ Ì Ì Ì = â2ð·ðµÌ Ì Ì Ì maka T â C = -2 ( B â D )
Diperoleh (
ð¥ ð â ð¥ ð¶
ðŠ ð â ðŠ ð¶
) = â2 (
ð¥ ðµ â ð¥ ð·
ðŠ ðµ â ðŠ ð·
) ⺠(
ð¥ ð â (â2)
ðŠ ð â 5
) =
â2 (
1 â 4
3 â (â2)
)
⺠ð¥ ð + 2 = 6 ⺠ð¥ ð = 4
⺠ðŠ ð â 5 = â10 ⺠ðŠ ð = â5
Jadi koordinat R = (4, â5).
14. Diketahui garis-garis g dan h yang sejajar. Titik ð â ð sedangkan titik ð
tidak pada g maupun h.
a. Lukislah Pâ=MhMg(P) dan Qâ=MhMg(Q)
18. b. Buktikan bahwa ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì = ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì
Jawab:
a. Gambar Pâ=MhMg(P) dan Qâ=MhMg(Q)
b. Bukti bahwa ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì = ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì
15. Diketahui garis-garis u dan v yang sejajar; ada titik-titik Z dan W tidak pada
garis-garis itu.
a. Lukislah Zâ=MvMu(Z) dan Wâ=MvMu(W)
b. Buktikan bahwa ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì = ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
Jawab:
a. Gambar Zâ=MvMu(Z) dan Wâ=MvMu(W)
b. Bukti bahwa ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì = ððâ²Ì Ì Ì Ì Ì Ì Ì
16. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2; garis itu tidak
memotong lingkaran-lingkaran. Dengan memperhatikan Mg(L1), tentukan
Mg(Q)
h
g
P
Pâ
Qâ
Q
Zâ
u
v
ZWâ
W
Mu(Z)
Mu(W)
19. semua titik X pada g sehingga â ðððŽ â â ðððµ dengan ðŽ â ð¿1, ðµ â ð¿2
sedangkan ððŽâ¡ââââ dan ððµâ¡ââââ adalah garis-garis singgung.
Jawab:
17. Diketahui garis g dan lingkaran-lingkaran L1 dan L2. Garis tidak memotong
L1 maupun L2. Gunakna sebuah transformasi untuk melukis sebuah bujur
sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g, satu titik sudut ada pada L1
dan titik sudut yang keempat ada pada L2.
Jawab: