2018.8.18の日曜数学会ミニin札幌で発表した内容です。

1. 全ての3の倍数は
153に通ずるらしいけどホント？
2018.8.18
日曜数学会ミニin札幌
二世

2. 今日のおはなし
153の性質
確かめる
証明する

3. 153の性質

4. フリー百科事典
ウィキペディア

5. ホントに？

6. 13 = 1
53 = 125
33 = 27
13+53+33 = 1+125+27 =153
本当だ…

7. 例：477（=32×53）の場合
43+73+73=750 → 73+53+03=468 → 43+63+83=792
→ 73+93+23=1080 → 13+03+83+03=153
本当だ…

8. 全ての3の倍数は153に通ず
るかもしれない

9. 確かめる

10. （i）1桁の数
3：33=27 → 23+73=351 → 33+53+13 =153
6：63=216 → 23+13+63=225 → 23+23+53=141
→ 13+43+13=66 → 63+63=432 → 43+33+23=99
→ 93+93=1458 → 13+43+53+83=702 → 73+03+23=351
→ 33+53+13 =153
9：93=729 → 73+23+93=1080
→ 13+03+83+03=513 → 53+13+33 =153
本当だ…

11. （ii）2桁の数
12：12 → 9 → 729 → 1080 → 513 → 153
15：15 → 126 → 225 → 141 → 66 → 432 → 99
→ 1458 → 702 → 351 → 153
18：18 → 153
21：（12と同じ）
24：24 → 72 → 351 → 153
もっと
見やすく…

12. （ii）2桁の数
なるほど
3
27
351
153
6
216
225
141
66
432
99
1458
702
9
729
1080
513
12
15
126
18
21
24
72
30
33
54
189
1242
81
36
243
39
756
684
792 42
45
48
576
51
57
468
60
6369
945
918
75
78
855
762
567
84
87
90
93 96

13. （iii）3桁の数
Oh…

14. （iv）4桁の数
本当だ…

15. このまま
調べていっても
「全て」は
証明できないのでは？

16. 証明する

17. 03 = 0
13 = 1
23 = 8
33 = 27
43 = 64
53 = 125
63 = 216
73 = 343
83 = 512
93 = 729
操作：各桁の数を3乗して足し合わせる
N桁の数に対して１回操作をしたときの
「次の数」が最大になるときを考える
最大の数 「次の数」の最大値
1桁 9 93 = 729
2桁 99 93+93 = 93×2 = 1458
3桁 999 93+93+93 = 93×3 = 2187
4桁 9999 93+93+93+93 = 93×4 = 2916
5桁 99999 93+93+93+93+93 = 93×5 = 3645
6桁 999999 93+93+93+93+93+93 = 93×6 = 4374

18. 最大の数 「次の数」の最大値
1桁 9 93 = 729
2桁 99 93+93 = 93×2 = 1458
3桁 999 93+93+93 = 93×3 = 2187
4桁 9999 93+93+93+93 = 93×4 = 2916
5桁 99999 93+93+93+93+93 = 93×5 = 3645
6桁 999999 93+93+93+93+93+93 = 93×6 = 4374
最大の数=10N-1
「次の数」の最大値
=93×N
5桁以上では必ず
元の数より「次の数」が小さくなる

19. まとめ
5桁以上の3の倍数は、操作により必ず桁が下がる
4桁以下の3の倍数は、操作を繰り返すと
いずれ153に到達する
「10進数で各位の数字に分割し、
それぞれの数を3乗して足し合わせる」
という操作について

20. まとめ
5桁以上の3の倍数は、操作により必ず桁が下がる
4桁以下の3の倍数は、操作を繰り返すと
いずれ153に到達する
「10進数で各位の数字に分割し、
それぞれの数を3乗して足し合わせる」
という操作について
「全て」が
証明できた！！！

21. 感想

22. 全ての3の倍数は153に通ず
真実だった
「自分で証明する」って気持ちいい
楽しむだけなら自由

23. 新たな疑問

24. 3の倍数以外はどうなる？
3n+2型：371または407に収束
3n+1型：
・1に収束
・370に収束
・（55-250-133）のループに収束
・（136-244）のループに収束
・（919-1459）のループに収束
・（160-217-352）のループに収束

25. 3n+2型の数（2〜998）
371に集合 407に集合

26. 3n+1型の数（1〜997）
370に到達
（136-244）
のループ
1に到達
（55-250-133）のループ
（160-217-352）
のループ
（919-1459）
のループ

27. 今後の課題
3乗でなかったらどうなる？
10進数以外ではどうなる？
楽しみはまだまだつづく…（かも）