Gradivo za 1. razred srednje škole

1. SKRIPTA
IZ FIZIKE
za 1. razred
MEHANIKA
KINEMATIKA 2 - 11
DINAMIKA 12 - 16
1. dio ( I. polugodište ) 17 - 21
2. dio ( II. polugodište )
Energija, rad ,snaga 22, 23
GRAVITACIJA 24 - 27
HIDROMEHANIKA
Hidrostatika 27- 32
Hidrodinamika 33 - 35
Dodatak 35 - 41
Nina Obradović, prof.

2. 2
MEHANIKA
KINEMATIKA
fizika – je temeljna prirodna znanost koja proučava opća svojstva i zakone gibanja materije
fizikalna veličina – je mjerljivo svojstvo fizikalnog stanja, procesa ili tijela, koje omogućuje
definiranje fizikalne pojave i njeno opisivanje u matematičkom obliku pomoću odgovarajućih
jednadžbi
fizikalna veličina = broj · mjerna jedinica ( npr. m = 16 kg )
mjerenje – mjeriti neku veličinu znači odrediti broj koji pokazuje koliko puta ta veličina
sadrži u sebi istovrsnu veličinu dogovorom uzetu za jedinicu.
Međunarodni sustav mjernih jedinica, SI – sustav (MKSA) :
Potencije broja 10 ( predmeci )
Potencija Znak Naziv
1024
Y yotta
1021
Z zetta
1018
E eksa
1015
P peta
1012
T tera
109
G giga
106
M mega
103
k kilo
102
h hekto
101
da deka
100
= 1
10-1
d deci
10-2
c centi
10-3
m mili
10-6
μ mikro
10-9
n nano
10-12
p piko
10-15
f femto
10-18
a ato
10-21
z zepto
10-24
y jokto

3. 3
PONOVIMO :
1. Definicije : fizika, fizikalna veličina, mjerenje
2. Tablice : SI – sustav
predmeci broja 10 ( potencije )
3. Uvježbati pretvaranje mjernih jedinica :
npr. :
23 mm = ? km
23 mm = 23·10-3
m = 23·10-3
·10-3
km = 23·10-6
km = 0,000023 km
15 dam = ? cm
15 dam = 15·10 m = 15·10·102
cm = 15·103
cm = 15 000 cm
7 dm2
= ? km2
7 dm2
= 7 ·(10-4
km)2
= 7 ·10-8
km2
= 0,00000007 km2
1 L = 1 dm3
1 mL = 1 cm3
1 gcm-3
= 103
kgm-3
Mehanika je dio fizike koja proučava zakone gibanja tijela, tj. vremensku promjenu položaja
tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, dinamiku i statiku ( kao poseban slučaj
dinamike ). Kinematika proučava i opisuje gibanja, bez obzira na njegove uzroke i na
svojstva tijela koja se gibaju. Dinamika proučava uzroke gibanja i utjecaj sile i mase na
gibanje. Statika proučava uvjete ravnoteže tijela.
KINEMATIKA – opisuje gibanje tijela ( put, brzina, ubrzanje )
gibanje – promjena položaja tijela u odnosu na okolinu
referentni sustav - odabrani sustav promatranja gibanja
- svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnom sustavu
put, s – dio staze ( niz susjednih točaka kroz koje prolazi tijelo tijekom gibanja )
• put je skalar koji opisuje ukupnu duljinu putanje ( skalar je određen samo
iznosom )
• na slici desno to je luk PQ
• put je uvijek pozitivna veličina
pomak, x – najkraća udaljenost između dvije točke
• pomak je vektor koji opisuje promjenu položaja u
odnosu na prethodni položaj
( vektor je određen iznosom, smjerom i orijentacijom )
• na slici desno to je vektor PQ
• iznos pomaka može biti pozitivan ili negativan ( ovisi o dogovorenoj orijentaciji )
( ─ + , obično je dogovor kao kod osi x u matematici )
1 ms-1
= 3,6 kmh-1
1 kmh-1
=
6,3
1
ms-1

4. 4
SKALARNE I VEKTORSKE VELIČINE
SKALAR – veličina određena samo iznosom ( i mjernom jedinicom )
- primjer skalarnih veličina : masa, vrijeme, obujam, gustoća, energija,
snaga, …
Svaka fizikalna veličina sastoji se od broja ( iznos ) i mjerne jedinice :
npr. : m = 5 kg
broj mjerna jedinica
fizikalna veličina
VEKTOR - veličina određena iznosom, smjerom i orijentacijom ( i mjernom
jedinicom )
- primjer skalarnih veličina : pomak, brzina, ubrzanje, sila, ….
ZBRAJANJE vektora
ODUZIMANJE vektora udžbenik, str. 10. – 14.;
Množenje vektora sa skalarom Primjeri 2, 4 i 5
RASTAVLJANJE vektora
BRZINA, v
r
Definicijska formula prosječne brzine :
t
s
v
Δ
Δ
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
s
m
napomena : 1−
= ms
s
m
−v prosječna ili srednja brzina
−Δs prijeđeni put ( zapravo pomak ) POČKON sss −=Δ ( KON znači „konačno“ )
−Δt vremenski interval POČKON ttt −=Δ ( POČ znači „početno“ )
Napomena : općenito, promjena neke fizikalne veličine x je razlika između konačne i početne
vrijednosti te veličine : POČKON xxx −=Δ
VAŽNA NAPOMENA :
Može se definirati prosječna brzina po putu i prosječna brzina po pomaku :
Prosječna brzina po putu : v
uk
uk
putupo
t
s
= −uks ukupni put
Prosječna brzina po pomaku : v
uk
uk
pomakupo
t
x
= −ukx ukupni pomak
Promjena neke fizikalne veličine Δx je razlika između konačne i početne vrijednosti te
veličine :
POČKON xxx −=Δ

5. 5
Trenutačna brzina, vt – brzina u „određenom trenutku, tj. trenutačna brzina je jednaka
prosječnoj brzini u izvanredno kratkom vremenskom intervalu ( ili, … kada vremenski
interval teži nuli ) : tvv = 0→Δt
JEDNOLIKO PRAVOCRTNO GIBANJE
Najjednostavnije gibanje je jednoliko gibanje po pravcu. To je gibanje sa brzinom stalnog
iznosa. Dakle, srednja brzina jednaka je trenutačnoj, pa se može pisati :
⇒=== .konstvvv t
t
s
v = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
s
m
⇒ vts = i
v
s
t =
GRAFIČKI PRIKAZ jednolikog pravocrtnog gibanja :
s/ t grafikon
Put je razmjeran ( proporcionalan ) vremenu :
s ~ t
Općenito : dvije su veličine razmjerne ako im je
kvocijent ( omjer ) stalan broj.
v/ t grafikon
Glavna osobina jednolikog pravocrtnog gibanja je stalna brzina.
U v/t grafu put se može
prikazati kao površina lika
ispod pravca ovisnosti
v = konst. brzine o vremenu ( slika )
:
a/ t grafikon
Kod jednolikog pravocrtnog gibanja nema
promjene brzine, pa je ubrzanje nula.

6. 6
1 2
1 2
...
...
uk
uk
s s s
v
t t t
+ +
= =
+ +
NEJEDNOLIKO GIBANJE
- gibanje sa prosječnim brzinama različitoga iznosa
Kod nejednolikog gibanja tijela srednja ( prosječna ) brzina se
računa kao omjer ukupnog puta i ukupnog vremena :
UBRZANJE ( akceleracija )
Kada tijekom gibanja tijela dolazi do promjene brzine, definira se veličina :
t
v
a
Δ
Δ
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
s
m
, srednja ili prosječna akceleracija ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
s
m
= [ ]2−
ms
Srednja akceleracija je omjer promjene brzine i odgovarajućeg vremenskog intervala :
12 vvv −=Δ i 12 ttt −=Δ tj.
12
12
tt
vv
a
−
−
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
s
m
Ako se promjena brzine odvija u jako malom vremenskom intervalu ( )0→Δt , onda
se taj omjer naziva trenutačna akceleracija ili samo akceleracija :
0→Δ= tt aa
Trenutačna akceleracija jednaka je srednjoj kada vremenski interval teži nuli.
Akceleracija je, poput brzine, vektorska veličina. Gornje formule daju samo iznos
ubrzanja.
Kada je gibanje ubrzano onda je : 0>a , ubrzanje je pozitivno
Kada je gibanje usporeno onda je : a < 0 , ubrzanje je negativno ( deceleracija )
JEDNOLIKO UBRZANO PRAVOCRTNO GIBANJE
Najjednostavnije ubrzano gibanje je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu . To je gibanje sa
akceleracijom stalnog iznosa. Dakle, srednje ubrzanje jednako je trenutačnom, pa se može
pisati :
⇒=== .konstaaa t
t
v
a = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
s
m
⇒ atv = i
a
v
t =
Izvod formule asv 22
= :

7. 7
⇒==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=⇒
a
v
a
av
a
va
s
222
2
2
22
a
v
tatv
t
a
s
=⇒=
= 2
2
asv 22
=
Formulu za put kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja dobit ćemo analizom v/t
grafikona.
GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja :
v ~ t
a = konst.
Prijeđeni put se može prikazati kao površina u v/t grafu :
vts
2
1
=
2
2
1
2
1
2
1
attatvts =⋅== ⇒ 2
2
1
ats =
Graf ove funkcije je parabola :
Slobodni pad je primjer jednoliko ubrzanog gibanja sa akceleracijom g :
81,9=g ms-2
10≈ ms-2
2
2
1
gts = asv 22
=

8. 8
asv
t
a
s
atv
aikonsta
2
2
0.
2
2
=
=
=
<=
ELEKTRIČNO TIPKALO ( skica desno )
- sprava pomoću koje možemo analizirati gibanje
- sa trake izmjerimo put i vrijeme
- možemo izračunati brzinu, promjenu brzine, ubrzanje, …
.
traka
Važno je znati da vremenski interval između bilo koje dvije susjedne točkica na traci
iznosi 0,02 s. To je zbog toga što je frekvencija struje gradske mreže 50 Hz. Budući su
frekvencija i vrijeme obrnuto razmjerne veličine, slijedi :
50
1
=Δt s = 0,02 s
JEDNOLIKO USPORENO PRAVOCRTNO GIBANJE
Kada se tijelo giba jednoliko usporeno od neke brzine ( npr. v ) do
zaustavljanja ( 0=v ), vrijedit će iste formule kao za jednoliko
ubrzano gibanje. Razlika je što se u ovom slučaju brzina smanjuje, a
akceleracija je negativna.
GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko usporenog pravocrtnog gibanja :
a) b) c)
a) usporavanje “u naprijed”tj. giba se usporeno u smjeru +x
b) usporavanje “u rikverc”, tj. usporeno u smjeru – x
c) ubrzavanje “u rikverc”, tj. ubrzano u smjeru – x

9. 9
v-t grafikon za usporeno gibanje :
a-t grafikon za usporeno gibanje :
NAPOMENA : U zadacima sa ovom vrstom gibanja uzima se da je akceleracija a > 0.
JEDNOLIKO UBRZANO PRAVOCRTNO GIBANJE sa početnom brzinom v0
v0 – početna brzina
Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom je složeno gibanje. Za svako
složeno gibanje vrijedi tzv. zakon neovisnosti gibanja, koji glasi :
Jednostavna gibanja od kojih je sastavljeno složeno gibanje odvijaju se neovisno i traju jednako
dugo.
Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje sa početnom brzinom složeno je od jednolikog gibanja
po pravcu brzinom 0v i jednoliko ubrzanog gibanja.
Zbog načela neovisnosti, u formulama ( za put i brzinu ) samo se zbroje pojedine komponente
(sastavnice) toga gibanja :
2
0
2
t
a
tvs += atvv += 0 ⇒
t
vv
a 0−
=
−tv0 komponenta jednolikog gibanja po pravcu −0v stalna brzina jednolikog gibanja
po pravcu
−2
2
t
a
komponenta jednoliko ubrzanog gibanja −at komponenta jednoliko ubrzanog
gibanja

10. 10
GRAFIČKI PRIKAZ jednoliko ubrzano gibanje sa početnom brzinom :
s/ t grafikon v/ t grafikon a/ t grafikon
Za usporedbu, na s/ t grafu crtkana krivulja je grafički prikaz jednoliko ubrzanog gibanja bez početne
brzine.
Izvod formule za put pomoću v/t grafa :
( )
222
0
0
0
0
tvvt
tvt
vv
tvs −+=⋅
−
+= ⇒
( ) t
vv
s ⋅
+
=
2
0
Može se izvesti još jedna formula, koja povezuje brzine sa ubrzanjem i prijeđenim putom.
Pogledajte izvod :
(1)
(2)
Kada se (2) uvrsti u (1) : imamo :
I, konačno : asvv 22
0
2
+=
( )
( )
a
vv
a
v
a
v
s
a
v
a
vv
a
v
a
v
a
vv
s
a
vvvv
a
v
a
vv
s
a
vva
a
v
a
vv
s
a
vva
a
vv
vs
222
22
2
2
2
2
2
0
22
0
2
2
0
2
0
2
00
2
0
2
0
2
00
2
2
0
2
00
2
00
0
−
=−=
+−+−=
+−
+−=
−
⋅+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
⋅=
a
vv
tatvv
t
a
tvs
0
0
2
0
2
−
=⇒+=
+=

11. 11
2
0
0
2
.
t
a
tvs
atvv
konsta
−=
−=
=
asvv 22
0
2
−=
a
vv
tatvv
t
a
tvs
−
=⇒−=
−=
0
0
2
0
2
Dodatak : JEDNOLIKO USPORENO PRAVOCRTNO GIBANJE do brzine v ≠ 0
Kada promatramo usporavanje tijela od početne brzine 0v do neke brzine 0≠v , imat ćemo
slične algebarske izraze ( formule ) kao i kod jednoliko ubrzanog gibanja sa početnom
brzinom.
Riječ je o složenom gibanju, koje se sastoji od jednolikog gibanja po pravcu sa stalnom
brzinom 0v i jednoliko usporenog gibanja sa akceleracijom a < 0. Kada upotrijebimo načelo
neovisnosti gibanja, možemo pisati :
Grafikoni :
KAKO biste napisali formulu za računanje npr. puta prijeđenog u petoj sekundi ?
Odgovor :
( ) ( ) ....
222
2
4
2
5450
2
440
2
5504554 =−−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=−=Δ − tt
a
ttvt
a
tvt
a
tvsss itd.
44 =t s 55 =t s
Može se izvesti još jedna formula, koja povezuje brzine sa ubrzanjem i prijeđenim putom.
Pogledajte izvod :
(1)
(2)
Kada se (2) uvrsti u (1) imamo :
I, konačno : asvv 22
0
2
−=
( )
( )
a
vv
a
v
a
v
s
a
v
a
vv
a
v
a
vv
a
v
s
a
vvvv
a
vv
a
v
s
a
vva
a
vv
a
v
s
a
vva
a
vv
vs
222
22
2
2
2
2
22
0
22
0
2
0
2
00
2
0
2
0
2
00
2
0
2
2
00
2
0
2
00
0
−
=−=
−+−−=
+−
−−=
−
⋅−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
⋅=

12. 12
DINAMIKA
Isaac Newton ( 1643.-1727) – najveći fizičar 17.stoljeća
Izrekao je 3 zakona mehanike.
Oni su temelj cjelokupne klasične fizike.
I. Newtonov zakon ( ZAKON INERCIJE, tromosti, ustrajnosti ):
Ako je ukupna sila koja djeluje na tijelo nula, tada tijelo ili miruje ili se giba jednoliko po
pravcu. (miruje ako je i prije mirovalo, a giba se jednoliko ako se i prije tako gibalo – to je
smisao tromosti)
Definicija mase, m : Budući je masa temeljni pojam u fizici, definira se pomoću svojstava
koje ima. Tako se kaže da je masa mjera tromosti tijela. Može se reći i da je masa veličina
koja opisuje opiranje tijela prema promjeni brzine ( djelovanju sile ).
Oznaka za masu je m ili M, a mjerna jedinica u SI-sustavu je kg.
II. Newtonov zakon ( Temeljna jednadžba gibanja )
Akceleracija koju tijelo dobiva djelovanjem sile, razmjerna je toj sili a obrnuto razmjerna
masi tijela :
m
F
a = [ ]=a ms-2
Potpuni zapis je u vektorskom obliku :
m
F
a
r
r
=
Popularnija je formula pisana u obliku : maF = [ ]=F N , njutn
Dakle, sila je jednaka umnošku mase i ubrzanja.
Ovdje je dobro napomenuti da se misli na rezultantnu, tj. ukupnu silu koja djeluje na tijelo.
Dugi naziv ( sinonim) za silu je međudjelovanje ili interakcija.
Postoji još jedan, često primjenjivan zapis 2. Newtonovog zakona :
t
p
F
Δ
Δ
= ( u vektorskom obliku :
t
p
F
Δ
Δ
=
rr
)
Izvod gornje formule : zbog definicije ubrzanja 2. Newtonov zakon se može napisati :
v
F m
t
Δ
=
Δ
i množenjem sa tΔ , dobivamo:
IMPULS SILE može se još obilježiti i slovom I : tFI Δ=
F tΔ - IMPULS SILE, umnožak sile i vremena njenog djelovanja
pvm Δ=Δ - PROMJENA KOLIČINE GIBANJA, umnožak mase i promjene brzine
pmv = - KOLIČINA GIBANJA, umnožak mase i brzine tijela
Mjerne jedinice su : [ ]=Δ⋅ tF Ns, njutn sekunda [ ]=Δ⋅ vm kgms-1

13. 13
III. Newtonov zakon ( zakon AKCIJE i REAKCIJE ili sile i protusile )
Ako tijelo 1 djeluje na tijelo 2 silom 2,1F , tada će i tijelo 2 djelovati na tijelo 1 silom 1,2F , koja
je jednakog iznosa ali suprotnog smjera u odnosu na prvu silu. SVAKA REALNA SILA ima
svoju PROTUSILU.
Vektorski zapis tog zakona : 1,22,1 FF
rr
−= Skalarni zapis : 1,22,1 FF =
Primjeri nekih sila
težina , G
r
Tijela imaju težinu jer se nalaze u gravitacijskom polju Zemlje ( naravno, tijela su teška na
drugim planetima ), pa ih Zemlja privlači prema svom središtu.
Težina tijela u nekom referentnom sustavu je sila koja daje tijelu akceleraciju jednaku
akceleraciji slobodnog pada u tom istom sustavu.
Težina se računa prema formuli : gmG
rv
=
Najčešće se u zadacima koristi skalarni oblik formule : mgG = [ ]G =N
m – masa tijela
g - akceleracija slobodnog pada (ubrzanje Zemljine gravitacije)
Najčešće se u zadacima koristi da je : 10≈g ms-2
; inače, za naše zemljopisno područje :
81,9=g ms-2
Slobodni pad je primjer gibanja tijela u gravitacijskom polju Zemlje. To je jednoliko ubrzano
gibanje. Jedina sila koja djeluje na tijelo ja gravitacijska sila. Sila otpora zraka se zanemaruje.
Ubrzanje koje dobiva svako tijelo koje slobodno pada iznosi g.
Važne napomene :
1. Ako nije drugačije rečeno (tj., ako se tijelo nalazi u tzv. inercijskom referentnom sustavu),
težina tijela je jednaka gravitacijskoj sili na to tijelo : G = Fg
2. Tijelo zbog svoje težine pritišće podlogu ili ovjes. Tu silu zovemo pritisna sila. Dakle,
pritisna sila je sila kojom tijelo djeluje na podlogu ili ovjes ( točku u kojoj je obješena ).
Hvatište pritisne sile je u podlozi ili ovjesu.
Pasivne sile
Sile reakcije , javljaju se nakon djelovanja neke sile (akcije). Primjer za sile reakcije su :
Napetost niti , N
r
a) to je sila kojom nit ( konop, točka ovjesa ) djeluje na tijelo (obješeno na tu nit)
b) ona je protusila pritisnoj sili ( tj. sili kojom tijelo djeluje na ovjes )
c) hvatište joj je u tijelu

14. 14
mgFN g == mgFR g ==
Reakcija podloge , R
r
1. to je sila kojom podloga djeluje na tijelo (koje stoji na njoj)
2. ona je protusila pritisnoj sili (tj. sili kojom tijelo djeluje na podlogu)
3. hvatište joj je u tijelu
Tumačenje mirovanja tijela
Poznavajući I. Newtonov zakon i značenje sila napetosti niti i reakcije podloge možemo
protumačiti mirovanje tijela na podlozi ili ovjesu :
Tijelo je u mirovanju zbog toga što se izjednačavaju gravitacijska sila i sila reakcije podloge
( ili napetost niti ) :
0=+ gFR
rr
Zakon očuvanja količine gibanja
Zakon očuvanja količine gibanja glasi :
U ZATVORENOM FIZIKALNOM SUSTAVU UKUPNA KOLIČINA GIBANJA JE
OČUVANA.
Matematički zapis zakona : 22112211 vmvmvmvm ′+′=+
m1- masa prvog tijela m2- masa drugog tijela
m v – količina gibanja tijela mase m i brzine v
v1- brzina prvog tijela prije interakcije v'1- brzina prvog tijela poslije
interakcije
v2- brzina drugog tijela prije interakcije v'2- brzina drugog tijela poslije
interakcije
Zatvoreni fizikalni sustav je onaj koji ne međudjeluje sa okolinom. Drugim riječima, to je
sustav za koji vrijedi da je suma svih vanjskih sila i momenata sila na taj sustav nula.
0=+ gFN
rv

15. 15
22
lhx −=
⇒=− gFFhlh :: 2
22
l
hl
mg
l
hl
FF g
2222
2
−
⋅=
−
=
Zakon očuvanja količine gibanja se može izreći i ovako : Ukupna promjena količine
gibanja u zatvorenom fizikalnom sustavu je nula, tj. nema promjene ukupne količine
gibanja: 0=ukp
r
Umnožak mase tijela i njegove brzine nazivamo KOLIČINA GIBANJA ili kratko IMPULS ( p = mv ).
Umnožak mase tijela i promjene njegove brzine nazivamo PROMJENA KOLIČINA GIBANJA :
vmp Δ=Δ
Primjena zakona očuvanja energije :
1. elastični sudar ( sudar bilijarskih kugli ) 22112211 vmvmvmvm ′+′=+
2 . neelastični sudar ( sudar glinenih kugli ) vmmvmvm ⋅+=+ )( 212211
−v brzina oba tijela nakon sudara
KOSINA
Kosina je ravnina nagnuta pod nekim kutom (α ) prema horizontalnoj ravnini.
oznake veličina: h – visina kosine l – duljina kosine x – treća stranica kosine
SILE koje djeluju na TIJELO na kosini su:
RFg
rr
, i trF
r
( gravitacijska sila, reakcija podloge i trenje )
Gravitacijska sila se rastavlja na komponente : 21 FFFg
rrr
+=
−1F
r
komponenta gravitacijske sile duž kosine (paralelna s kosinom)
−2F
r
komponenta gravitacijske sile okomita na kosinu
−R
r
reakcija podloge
Rastavljanje sila na kosini:
Iz sličnosti trokuta → ⇒= gFFlh :: 1
l
h
mg
l
h
FF g ⋅==1
U slučaju kosine, sila trenja se računa po formuli : 2FFtr ⋅= μ
Analiza gibanja tijela na kosini:
I. UVJET MIROVANJA tijela na kosini :
UKUPNA SILA na TIJELO mora biti jednaka nuli ( 1. Newtonov zakon )
duž kosine : trFF ≤1 okomito na kosinu : RF =2

16. 16
22
22
1
hl
h
l
hl
mg
l
h
mg
FF tr
−
=⇒
−
=
=
μμ
II. GIBANJE tijela na kosini :
a) jednoliko niz kosinu; uvjet je da ukupna sila koja djeluje na tijelo duž kosine bude jednaka
nuli
b) jednoliko ubrzano niz kosinu : ⇒> trFF
rr
1 razlika tih dviju sila ubrzava tijelo
amF
FFF tr
rr
rrr
=
+= 1
Jednadžba gibanja u vektorskom obliku : trFFam
rrr
+= 1
Jednadžba gibanja u skalarnom obliku : trFFma −= 1
sila trenja na kosini :
l
hl
mgFFtr
22
2
−
== μμ
l
hl
mg
l
h
mgma
22
−
−= μ : m
ubrzanje tijela niz kosinu :
l
hl
g
l
h
ga
22
−
−= μ
c) da bi se tijelo ubrzavalo uz kosinu, trenje mora biti dovoljno veliko da omogući takvo
gibanje : trF > 1F

17. 17
DINAMIKA – 2. dio ( 2. polugodište ) :
Sila trenja , trF
r
- je sila između tijela i okoline koja pruža otpor gibanju
- ona ovisi o vrsti i svojstvima dodirnih površina
- ona ne ovisi o veličini dodirnih površina
Formula : NFtr ⋅= μ
N - normalna sila, tj. sila pritiska na podlogu ( okomita komponenta )
sμ - koeficijent ( faktor ) statičkog trenja
statičko trenje = trenje mirovanja
dμ - koeficijent ( faktor ) dinamičkog trenja NF dstr ⋅≤ ,μ
dinamičko trenje = trenje klizanja
U pravilu je sμ > dμ .
Faktor trenja je uvijek manji od 1 : μ < 1 ( jer sila trenja ne može biti veća od težine
tijela )
Grafički prikaz ovisnosti sile trenja o vanjskoj sili F :
Dok tijelo miruje, statičko trenje raste
jednako kao i sila F, sve do iznosa Ftrmax.
Nakon toga, povećanje sile F uzrokuje
klizanje, a iznos statičkog trenja pada na
iznos trenja klizanja.
Primjeri :
a) Kada se tijelo giba po horizontalnoj podlozi formula za silu trenja je :
mgGFtr ⋅=⋅= μμ
jer je normalna sila u tom slučaju jednaka težini tijela G.
b) Kada se tijelo giba po kosini formula za silu trenja je :
l
hl
GFtr
22
−
⋅⋅= μ

18. 18
Elastičnost
Sila koja djeluje na tijelo može mu promijeniti položaj, ali i oblik.
Ako se tijelo nakon djelovanja sile vrati u prvobitan oblik, kažemo da se radi o
elastičnoj deformaciji tijela.
U drugom slučaju, ako se tijelo nakon djelovanja sile ne vrati u prvobitan oblik, kažemo da se
radi o plastičnoj deformaciji.
Elastična sila , elF
r
• sila koja se javlja kao protusila na djelovanje
vanjske sile, koja želi promijeniti oblik tijela
• posljedica je elastičnih svojstava tijela, koja
proizlaze iz karaktera veze između čestica tijela
Elastična sila se najlakše može protumačiti na
primjeru el. opruge ( slika ) :
oznake :
k – konstanta elastičnosti opruge
x = 0 , položaj ravnoteže
x – pomak iz položaja ravnoteže ili produljenje
Formula elastične sile : xkFel ⋅−=
Elastična sila je razmjerna pomaku : F ~ x
Predznak minus u formuli znači da je sila suprotna pomaku. Elastična sila vraća tijelo u
ravnotežni položaj.
Može se napisati formula za konstantu elastičnosti, koja proizlazi iz formule za elastičnu silu :
x
F
k = [ ]k =Nm-1
Primjena elastične sile : DINAMOMETAR
Dinamometar je sprava za mjerenje sile.
Jednoliko gibanje po kružnici - kinematika
Jednoliko gibanje po kružnici je gibanje sa brzinom stalnog iznosa : ..konstv =
−v linijska brzina, ophodna brzina, obodna brzina
T
r
v
π2
= T – period, ophodno vrijeme, vrijeme za koje tijelo
jedanputa obiđe kružnicu

19. 19
−f frekvencija, učestalost :
t
N
f = [ ]f =s-1
=Hz
Frekvencija je broj periodičnih događaja u jedinici vremena :
t
N
f = frv ⋅=⇒ π2
Frekvencija i period su obrnuto razmjerne veličine :
T
f
1
=
Uvodi se i veličina ω , kutna brzina : f⋅= πω 2 tj.
T
π
ω
2
= [ ]ω = rads-1
Sada se brzina može izraziti kao : ωrv =
Kod jednolikog gibanje po kružnici stalni iznos imaju ove veličine : brzina, period,
frekvencija i kutna brzina.
Iako je gibanje po kružnici primjer gibanja sa brzinom stalnog iznosa,
smjer brzine nije stalan, mijenja se.
Vektor brzine je uvijek tangencijalan na kružnicu,
tj. okomit je na radijus :
Jednoliko gibanje po kružnici – dinamika
Budući da postoji promjena brzine, zapravo znači da mora postojati i ubrzanje :
r
v
a
2
= ili ra 2
ω= [ ]=a ms-2
Čim postoji ubrzanje, mora postojati i sila koja će ga uzrokovati / podržavati to gibanje. Sila
nosi naziv :
CENTRIPETALNA SILA - cpF
r
Iz 2. Newtonovog zakona proizlazi : cpcp amF
rr
⋅= [ ]=F N
Smjer centripetalne sile određen je smjerom centripetalne
akceleracije. Smjer centripetalne sile je prema središtu kružnice, ona
je RADIJALNA sila ( slika ) :
Iznos sile se računa po formuli :
r
v
mFcp
2
=
Budući da postoji sila koja prisiljava tijelo da se giba po kružnici, u svojoj osnovi jednoliko
gibanje po kružnici je zapravo ubrzano gibanje.

20. 20
Centripetalna sila u primjerima
DA BI TIJELO STALNO KRUŽILO POTREBNA JE SILA KOJA ĆE GA ODRŽAVATI
NA KRUŽNOJ PUTANJI. Dakle, centripetalna sila nije neka nova, posebna sila, već ona
nastaje kao rezultanta drugih sila. Kaže se da ulogu centripetalne sile igraju razne sile :
- sila trenja, kod gibanja automobila u zavoju : cptr FF =
- gravitacijska sila, kod gibanje planeta oko Sunca : gcp FF = ⇒ mg
r
v
m =
2
- Lorentzova sila, kod gibanja naboja u magnetskom polju okomito na silnice :
Lcp FF = ⇒ QvB
r
v
m =
2
- i td. ….
Referentni sustavi
Gibanje tijela ili njegovo međudjelovanja sa drugim tijelom uvijek promatramo iz nekog
određenog sustava, tzv. referentnog sustava.
Dakle, referentni sustav je odabrani sustav promatranja određene fizikalne pojave ( gibanja,
međudjelovanja, itd. …)
Postoje dvije osnovne grupe referentnih sustava :
1. Inercijski sustavi – oni sustavi koji međusobno ili miruju ili se gibaju jednoliko po
pravcu ; definirani su 1. Newtonovim zakonom
2. Neinercijski sustavi ili ubrzani ( akcelerirani ) sustavi - oni sustavi koji se prema
inercijskima gibaju ubrzano
- u neinercijskim sustavima se javlja tzv. inercijska sila,Fi
Osobine ( svojstva ) INERCIJSKE sile :
– javlja se u ubrzanim sustavima
- posljedica je tromosti tijela
- ona je nerealna sila (nije rezultat međudjelovanja dva tijela)
- nema protusilu, tj. za nju ne vrijedi 3. Newtonov zakon
- po iznosu je jednaka realnoj sili, ali je suprotnog predznaka ( orijentacije )
Važna napomena : SVAKA REALNA sila ima svoju PROTUSILU.
Primjeri inercijske sile :
1. centrifugalna sila
2. inercijska sila u dizalu

21. 21
a
a
UBRZANI SUSTAV – dizalo
Na dizalo i sva tijela u njemu djeluje inercijska sila, koja uzrokuje promjenu težine tijela.
G – težina tijela u mirujućem dizalu G' – težina tijela u dizalu koji ubrzava/usporava
a) ubrzava prema dolje - težina se smanjuje b) ubrzava prema gore – težina se povećava
G′ < G G′ > G
( )agmmaGG −=−=′ maGG +=′
( )gamG +=
UBRZANI SUSTAV koji jednoliko rotira – Centrifugalna sila
CENTRIFUGALNA sila je inercijska sila koja se javlja prilikom gibanja tijela pri kružnici.
Primjer : Vrtuljak
a) Promatranje gibanja iz sustava tzv. mirnog promatrača :
gcp FNF
rrr
+=
Centripetalna sila je zbroj gravitacijske sile i sile napetosti
niti.
b) Promatranje gibanja iz sustava tijela koje se giba po
kružnici :
gcf FNF
rrr
+=
Centrifugalna sila uravnotežena je sa gravitacijskom silom i silom napetosti niti. Ukupna sila
na tijelo je 0. Tijelo kaže: „ Ja mirujem, a sve oko mene se vrti ! “
Najčešći zadatak sa centrifugalnom silom je kada se pita koliki bi morao biti period rotacije
Zemlje da tijela na ekvatoru ne pritišću podlogu. Takav primjer se rješava jednostavnom
činjenicom da centrifugalna sila poništava gravitacijsku silu, pa je ukupna sila na tijelo u
njegovom vlastitom sustavu nula. Tada tijelo ne pritišće podlogu, kažemo da ju u tzv.
„bestežinskom stanju“, tj. nema težinu :
gcf FF =
mg
R
v
m
Z
=
2
i
T
R
v Zπ2
= ⇒ gRT Z ⋅= π2

22. 22
αcos⋅⋅=⋅= sFsFW p
2
2
1
kxEel =
FsW =
2
2
1
ksW =
α
pF
oF
Energija - sposobnost obavljanja rada
1) Kinetička energija – energija gibanja
2
2
1
mvEkin = [ J ] → džul
2) Potencijalna energija – energija položaja
a) Gravitacijska
b) Elastična
a) Gravitacijska energija gpE mghEgp = [ J ]
- je energija koju ima tijelo zbog položaja u gravitacijskom polju Zemlje
b) Elastična potencijalna energija elE [ J ]
k - konstanta elastičnosti opruge
x
F
k = x - produljenje opruge
Rad – djelovanje ( savladavanje ) sile na putu
FsW = [ J = N m ]
Formula vrijedi samo kada je sila paralelna s putom.
Ovdje treba biti oprezan :
Dakle, kada je sila okomita na put ONA NE OBAVLJA RAD. Npr. centripetalna sila ne radi, tj. njen
rad je nula.
Općenito kada sila nije paralelna s putom, uzima se njezina paralelna komponenta :
−α kut između sile i puta
pF - komponenta sile paralelne s putom oF - komponenta sile okomita na put
Rad je jednak promjeni energije : EΔ=W npr. pockon EEE −=Δ
Grafički prikaz rada
Rad se grafički prikazuje kao površina lika ispod krivulje ( pravca ) ovisnosti sile o putu u F/s grafu.
Razmotrit ćemo dva jednostavna primjera :
1. Ako je sila stalna, F = konst. 2. Ako je sila razmjerna s putom : s~F

23. 23
2
2
1
ksEel =
To je slučaj kod elastične sile.
Zakon očuvanja energije
Ukupna energija u zatvorenom sustavu je konstantna, tj. ne mijenja se pri prijelazu sustava iz jednog stanja u
drugo.
.konstEuk =
Primjer je slobodni pad :
pretvorbe energije kingp EE → ( slobodni pad ) BCAB hhh +=
Z.O.E : gpuk EE = ... u točci A
U točci B :
)( ABBCABBCBkinBgpuk hhmgmghmghEEE +=+=+=
ukgruk EEmghE ===
Snaga i korisnost
SNAGA je fizikalna veličina koja opisuje sustav koji obavlja radi i pokazuje koliki rad obavljen u jedinici
vremena ( pokazuje brzinu obavljenog rada). Snaga je fizikalna veličina koja mjeri brzinu prijenosa
energije.
t
W
P = Mjerna jedinica snage je wat : [ ] W
s
J
P ==
W – rad t - vremenski interval
Korisnost, djelotvornost ( koeficijent iskorištenja, faktor korisnog djelovanja ) je fizikalna
veličina koja karakterizira stroj i pokazuje koliki dio uložene energije (rada) stroj vraća u korisnom obliku.
Korisnost se definira omjerom dobivene dE i uložene energije uE , odnosno dobivenog dW i uloženog rada
uW :
u
d
u
d
W
W
E
E
==η
Jednako tako se može napisati i formula za korisnost preko snaga :
u
d
P
P
=η
Korisnost nikada ne može biti veća od 1, jer bi tada bio narušen zakon očuvanja energije : 1≤η
W
2 3 40
1
2
3
4
s
F [N]
1
F
s

24. 24
GRAVITACIJA , gravitacijska sila
Gravitacija – prirodna pojava privlačenja svih masa u svemiru
Gravitacijska sila – privlačna sila između bilo koje dvije mase u svemiru
Ubrzanje gravitacijske sile, jakost gravitacijskog polja – oznaka : g ili γ
Keplerovi zakoni ( J. Kepler )
Prvi zakon
1) PLANETI se gibaju po elipsama oko Sunca u čijem je jednom žarištu Sunce.
Sunce
Drugi zakon
2) Položajni vektor PLANETA u jednakim vremenskim intervalima
opisuje jednake površine.
Posljedica tog zakona je da se planete, kada su bliže Suncu gibaju
brže.
Treći zakon
3) Kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od
Sunca :
3
2
3
1
2
2
2
1
a
a
T
T
=
U ovom zakonu se uzima da su putanje planeta kružnice.
11 ra = , radijus putanje planete 1
22 ra = , radijus putanje planete 2
On povezuje gibanje planeta u Sunčevom sustavu i omogućuje da se na temelju perioda obilaska planeta oko
Sunca jednostavno odrede prave udaljenosti i odnosi u njemu.
Ovaj zakon vrijedi kako za planete tako i za sustave satelita, pri čemu je vrijednost konstante za svaki sustav
različita.
AU = a.j. = a udaljenost Zemlja-Sunce ( astronomska jedinica )
a ≈150 milijuna km
Podaci za III. Keplerov zakon
Planet T(god) a(AU) T2
a3
Merkur 0.24 0.39 0.06 0.06
Venera 0.62 0.72 0.39 0.37
Zemlja 1.00 1.00 1.00 1.00
Mars 1.88 1.52 3.53 3.51
Jupiter 11.9 5.20 142 141
Saturn 29.5 9.54 870 868
U ovom zakonu, umjesto oznake a mogu se koristiti oznake r ili R.
planet
v
radijus putanje

25. 25
r
2m
1m
ekvg
polg
Opći zakon gravitacije = Newtonov zakon gravitacije
Isaac Newton (1642.-1727.)
Zakon je poznat i kao Newtonov zakon gravitacije.
Newtonov zakon gravitacije je prirodni zakon koji opisuje pojavu općeg
privlačenja među svim tijelima u svemiru.
Smatra se “najveličanstvenijim poopćenjem koje je ikad učinio ljudski um''.
Ista ona sila, koja privlači poslovičnu Newtonovu jabuku tlu, održava Mjesec
u njegovoj putanji oko Zemlje i planete u njihovim putanjama oko Sunca.
Formula za gravitacijsku silu je u biti opći zakon gravitacije : 2
21
r
mm
F Γ=
−21,mm mase planete ( može i slovo M ) 11
1067,6 −
⋅=Γ Nm2
kg‐2
‐ opća gravitacijska
konstanta
−r međusobna udaljenost masa
Gravitacijska sila na Zemlji :
To je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo koje se nalazi na njoj.
Sila je uvijek privlačna, ima hvatište u tijelu a usmjerena je prema središtu Zemlje ( slika ). m
Gravitacijska sila se računa prema formuli : gmFg
rr
= M
Najčešće se u zadacima koristi skalarni oblik formule :
mgFg = [ ]N
m – masa tijela
g - akceleracija slobodnog pada (ubrzanje Zemljine gravitacije)
Najčešće se u zadacima koristi da je : 10≈g ms-2
( inače, za naše zemljopisno područje : 81,9=g ms-2
)
Iz općeg zakona gravitacije možemo zaključiti da se akceleracija slobodnog pada na bilo kojoj planeti
(nebeskom objektu) može izračunati pomoću formule :
2
R
M
g Γ= −M masa planete −R radijus planete
Iz formule je vidljivo da je akceleracija slobodnog pada obrnuto razmjerna radijusu planete :
g ∼ 2
1
R
⇒ polekv gg <
ubrzanje slobodnog pada na Zemlji :
za Zemlju vrijedi :
gpol = 9,83 m/s2
ekvg < polg gekv = 9,78 m/s2
jer je polekv RR >
Time postaje jasno zašto se g na Zemlji mijenja ovisno o zemljopisnoj širini ( slika iznad ).

26. 26
mg
r
v
m =
2
h
Primjeri – primjena općeg zakona gravitacije :
1) računanje težine tijela (npr. na Zemlji)
mgFg = ⇒ 2
Z
Z
R
M
g Γ= , akceleracija slobodnog pada 10≈g ms-2
−ZM masa Zemlje −ZR radijus Zemlje
2) računanje težine tijela,G′ , na nekoj visini od površine Zemlje
−ZR radijus Zemlje −h visina iznad površine Zemlje
( )2
hR
mM
G
Z
Z
+
Γ=′
hRr Z +=
3) računanje g, ubrzanja slobodnog pada (za bilo koje nebesko tijelo) : 2
p
p
R
M
g Γ=
−pM masa planete −pR radijus planete
Gibanje satelita
Satelit je objekt koji se giba oko nekog masivnog tijela u Svemiru.
Da bi neko tijelo postalo satelit, mora biti ispunjen uvjet :
tj. gravitacijska sila ima ulogu centripetalne sile : gcp FF =
rgv =
Za Zemljin satelit ta brzina iznosi : 9,7≈= gRv Z kms-1
, prva svemirska brzina
Za nas su od posebnog značenja tzv. geostacionarni sateliti - ostaju
uvijek iznad iste točke nad Zemljom
GEO sateliti su danas najčešći tipovi korištenih komunikacijskih satelita.
GEO satelit se nalazi na kružnoj orbiti 36 853 km iznad površine Zemlje i
rotira u ekvatorijalnoj ravnini Zemlje istom brzinom kojom rotira i Zemlja.
PRVA SVEMIRSKA ( KOZMIČKA ) BRZINA
- prva kozmička brzina je brzina koju treba dati tijelu da postane UMJETNI SATELIT neke planete
uvjet : ⇒=⇒= mg
R
mv
FF cpg
2
IvgRv == R – radijus planete
Za Zemlju : 9,7=Iv kms-1
( radijus Zemlje : 6400≈ZR km )

27. 27
gRv
mgRmv
2
2
1
2
2
=
=
⇒ IIvgRv == 2
s
km
vII 2,11=
III vv ⋅= 2
2
2
2
2
2
4
T
r
r
M
rM
r
MM
FF
S
P
PS
gcp
π
ω
=Γ
=Γ
=
3
: rM SΓ
322
4 rTM S π=Γ
22
Tr⋅ T
π
ω
2
=
DRUGA SVEMIRSKA ( KOZMIČKA ) BRZINA
- brzina koju treba dati tijelu da zauvijek napusti planetu
uvjet : kinetička energija tijela na površini planeta mora biti jednaka (ili veća) gravitacijskoj
potencijalnoj energiji
Za Zemlju je :
Vidi se da postoji veza :
DODATAK : Izvod trećeg Keplerovog zakona
−SM masa Sunca
−PM masa planeta
.
4 2
3
2
konst
Mr
T
S
=
Γ
=
π
⇒ 3
2
2
2
3
1
2
1
r
T
r
T
= tj. 3
2
3
1
2
2
2
1
r
r
T
T
=
HIDROMEHANIKA
HIDROSTATIKA
TLAK p - je skalarna veličina; predstavlja silu koja djeluje okomito na jedinicu površine :
A
F
p =
Ako sila ne djeluje okomito, uzima se njena okomita komponenta.
Mjerna jedinica tlaka : [ ]=p Nm-2
= Pa , paskal ( počasna mjerna jedinica po znanstveniku B. Pascalu )
Ostale jedinice za tlak : 1 bar = 105
Pa
1 mm Hg = 1 torr = 133,33 Pa
1 atm = 760 mm Hg = 101 325 Pa ≅ 1 013 hPa
Vrste tlakova : UNUTARNJI – hidrostatski tlak
VANJSKI – hidraulički tlak
HIDROSTATSKI TLAK - unutrašnji tlak u fluidu; posljedica je težine fluida ( slika gore )

28. 28
A B C D
1 2 3 4 5
Računa se po formuli : ghp ρ= g – akceleracija slobodnog pada h - dubina
Izvod formule :
A
Vg
A
mg
A
G
p
ρ
=== ; AhV = ; gh
h
V
Vg
p ρ
ρ
==
Spojene posude – hidrostatski paradoks
Hidrostatski tlak u točkama 1 – 5 je isti.
Ukupni tlak (na nekoj dubini) dobije se zbrajanjem atmosferskog i hidrostatskog tlaka :
Puk = Patm + ρgh
2211 ghghpp atmuk ρρ ++= ρ1
ρ2
VAŽNO : Razlika tlakova NE ovisi o atmosferskom tlaku.
Dokaz :
( )
( ) hghhgghghp
ghpghpp
ppp
atmatm
Δ=−=−=Δ
+−+=Δ
−=Δ
ρρρρ
ρρ
1212
12
12
Razlika tlaka ovisi samo o razlici dubina hΔ : hgp Δ=Δ ρ
HIDRAULIČKI TLAK - vanjski tlak u fluidu
Blaise Pascal, 17.st. – francuski fizičar
Pascalov zakon ( Pascalova kugla – slika desno ) :
Vanjski tlak u fluidu širi se na sve strane jednako.
Načelo rada hidrauličke dizalice ili preše
Uvjet : u uređaju mora biti tekućina, jer je ona za razliku od plina nestlačiva.
Malom silom ( 2F ) na dužem putu savladava se veća sila ( F2 ) na kraćem putu.
Manjom silom savladava se veća sila → načelo poluge ( vidi sliku ) :
dizalica preša F2
2
h2
A1 A2 h1
p2
p1 = p2
F1 p1

29. 29
2
2
1
1
21
A
F
A
F
pp
=
=
Zbog Pascalovog zakona tlakovi ispod lijevog i desnog klipa su jednaki :
⇒
2
1
2
1
A
A
F
F
=
Zbog nestlačivosti tekućine : 21 VV =
2211 hAhA ⋅=⋅ ⇒
1
2
2
1
h
h
A
A
=
Što ima za posljedicu :
1
2
2
1
h
h
F
F
=
Ovo je tzv. zlatno pravilo mehanike : koliko smo dobili na sili izgubili smo na putu.
Primjer :
ATMOSFERSKI TLAK, atmp
je hidrostatski tlak, koji postoji zbog težine atmosfere
atmosferski tlakopada sa visinom, a raste sa dubinom
(na svakih 10 m opada/raste za 1mmHg = 133,33 Pa)
grubo se može izračunati prema formuli : h – dubina/visina
h
m
Pa
pp atmh ⋅±=
10
33,133
, tlak na nekoj dubini / visini
Znak + se koristi kada se ide u dubinu, a znak – kada se penje u visinu.
patm – tlak na 00
nadmorske visine ( ili onoj koja je odabrana za početnu)
Preciznija formula je : ghpp zrakatm ρ±= 0 znak + se uzima za tlak na nekoj dubini
znak – se koristi za računanje tlaka na nekoj visini
3
/29,1 mkgzrak =ρ
UREĐAJ ZA MJERENJE TLAKA
živin barometar → E. Torricelli, 17. st.
Skica :
vakuum
( napomena : Torricelli je prvi „otkrio vakuum“ – stanje tlaka 0≈ )
Načelo rada Hg-barometra :
hidrostatski tlak stupca žive drži ravnotežu atmosferskom tlaku
hgp Hgatm ⋅⋅= ρ
Normirani tlak : 7600 =p mmHg = 101325 Pa

30. 30
2ρ
1ρ
hgghphgp atm
′++=′+ ρρρ
ghpp atm ρ+=
atmpghp =+ ρ
ghpp atm ρ−=
U - cijev
U – cijev služi za određivanje gustoće nepoznatog fluida
Na granici dva fluida tlakovi su jednaki :
2211 ghpghp atmatm ρρ +=+
211 ghgh ρρ = ⇒
1
22
1
h
hρ
ρ =
Otvoreni manometar
o uređaj za mjerenje tlaka u zatvorenom prostoru
o u načelu je to U-cijev
h
h
p > patm p < patm
SILA UZGONA, uzgon
Zašto brod pliva, a sjekira ne, iako su oboje od željeza?
Arhimedov zakon
Arhimed (grč. Arhimedes, oko 287.-212. p. n. e.) je
najveći
fizičar i jedan od najvećih matematičara Starog
vijeka.

31. 31
tijela
uronjenog
tekucine
istisnute VV =
urtekuz VgF ⋅⋅= ρ
uzg FF =
ARHIMEDOV zakon - volumen istisnute tekućine jednak je volumenu uronjenog tijela.
TEŽINA tijela uronjenog u fluid smanjuje se za iznos
težine istisnutog fluida . Ta sila nosi naziv sila uzgona –
ili kratko, uzgon.
Težinu uronjenog tijela osjeća fluid.
( pogledajte ovaj link http://www.walter-
fendt.de/ph14cr/buoyforce_cr.htm )
- sila kojom fluid djeluje na uronjeno tijelo
- smanjuje težinu tijela
- djeluje vertikalno prema gore, posljedica je djelovanja hidrostatskih tlakova na donju i
gornju plohu tijela
−tekρ gustoća tekućine (fluida)
Formula : −urV volumen uronjenog tijela (samo onaj dio koji je u fluidu)
Ovisno o omjeru gravitacijske sile i uzgona, tijelo u fluidu može ili lebdjeti ili tonuti ili izranjati iz fluida :
balon se diže balon se spušta
Kada tijelo u fluidu miruje, vrijedi da je gravitacijska sila jednaka sili uzgona :
Ukupna sila na tijelo je nula.
Detaljnije : urtek gVmg ρ=
Težina tijela uronjenog u fluid je :
tijelauronjtekućeku
uz
VgmgG
FGG
.⋅⋅−=′
−=′
ρ
Pitanje :
Zašto padobranac i kapljice kiše najčešće padaju stalnom brzinom, a ne ubrzano?

32. 32
uzF
r
gF
r
gF
r
gF
r
uzF
r
uzF
r
tijelatek
tijelatek
guz
gVgV
FF
ρρ
ρρ
=
=
=
Uzgon – ponavljanje
1) urtekuz VgF ⋅⋅= ρ Volumen istisnute tekućine jednak je
volumenu uronjenog tijela
.
−ρ gustoća uronjenog tijela
−tekρ gustoća tekućine
zakonArhimedovVV tekucineistisnuteur ⇐=
2) Sila uzgona jednaka je TEŽINI ISTISNUTOG FLUIDA :
tekucineistisnutetekucineistisnutetekucineistisnutetekuz GgmVgF =⋅=⋅⋅= ρ
uztekucineistisnute Fgm =⋅
uztekucineistisnute FG =
3) Težina tijela u fluidu smanjuje se za iznos sile uzgona : uzFGG −=′
tijela
tekurtekuz
m
gmggVmgFGG
ρ
ρρ ⋅−=−=−=′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=′
tijela
tek
mgG
ρ
ρ
1
UVJETI koji proizlaze iz odnosa gravitacijske sile i sile uzgona :
a. tonjenja → tijelatek ρρ < npr. slučaj b.
b. plivanja → tijelatek ρρ = vidi sliku
c. izranjanja → tijelatek ρρ > dolje
c.
a. b.

33. 33
t
V
q
Δ
Δ
=
HIDRODINAMIKA
Pojmovi – definicije :
jakost struje fluida = protok, q
idealni fluid – nestlačiv, nema unutarnjeg trenja ( viskoznosti )
strujnice – zamišljene krivulje koje opisuju strujanje fluida
Protok q je količina fluida koji u jedinici vremena proteče okomito kroz poprečni presjek strujne cijevi :
−ΔV volumen
−Δt vrijeme
Mjerna jedinica za protok je : [ ]
s
m
q
3
=
( Napomena : gore definirani protok je, preciznije rečeno,
volumni protok. Postoji i maseni protok, koji je omjer mase i vremena. )
stacionarno strujanje – ono kod kojega, u jednakim vremenskim intervalima, kroz svaki presjek cijevi proteče
jednaka količina fluida
Jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti)
Za stacionarno strujanje idealnog fluida vrijedi da je protok stalan : .konstq =
- to znači da u jednakim vremenskom intervalima kroz svaki presjek strujne cijevi proteče jednaka količina
fluida.
Zato se, za stacionarno strujanje može pisati :
t
V
q = , što dalje daje :
⇒
⋅
=
t
vtA
q Avq = −vt put koji prijeđe fluid
Tako smo dobili „novu“ formulu za protok → protok je jednak umnošku brzine v i površine presjeka A
Za stacionarno strujanje će, zbog jednadžbe kontinuiteta će biti : 2211 vAvA ⋅=⋅
Iz ove posljednje jednadžbe se vidi da, ako se cijev sužava, brzina raste; odnosno, ako se cijev proširuje brzina
strujanja se smanjuje.
Dakle, tamo gdje je cijev uža, fluid struji brže.
Brzina istjecanja tekućine
pretpostavke : idealni fluid, stacionarno strujanje
Prema E.Torricelliju, idealni fluid, kada istječe iz posude u kojoj je otvor za
istjecanje na dubini h, imat će brzinu istjecanja ( Torricellijev zakon istjecanja ) :
ghv 2= g – akceleracija slobodnog pada

34. 34
2
2
221
2
11
21
2
2
2221
2
111
2
2
221
2
11
2
1
2
1
.
2
1
2
1
2
1
2
1
VghVvVpVghVvVp
V
m
izVm
konstVVV
mghmvVpmghmvVp
mghmvWmghmvW
ρρρρ
ρρ
++=++
==
===
++=++
++=++
Formula proizlazi iz zakona očuvanja energije :
2
2
mv
mgh = ⇒ ghv 22
=
Formula podsjeća na onu od slobodnog pada.
Rad pri strujanju fluida
Fluid struji kada u njemu, na istoj dubini u različitim točkama, postoji razlika tlakova pΔ .
Dimenziona analiza : [ ] JNmm
m
N
mPaVp ==⋅=⋅=⋅ 3
2
3
Umnožak tlaka i volumena ima dimenziju (mjernu jedinicu) energije, tj. rada.
Dakle, promjena energije, koja će odgovarati radu pri protjecanju fluida će biti: pVVpW Δ⋅+Δ⋅=
Kako mi razmatramo samo stacionarno strujanje uz .konstV = , bit će : pVW Δ⋅= [ ]=W J
12 ppp −=Δ , razlika tlakova
Kada fluid struji kroz cijevi, on obavlja rad.
Bernoullijeva jednadžba ili Bernoullijeva jednadžba
Daniel Bernoulli, (1700. – 1782.), švicarski fizičar i matematičar
1. vrijedi za idealni fluid i za stacionarno strujanje
2. proizlazi iz zakona očuvanja energije ( Z.O.E.) primijenjenog na fluid :
U zatvorenom fizikalnom sustavu ukupna energija fluida koji struji mora biti očuvana
Izvod formule: oznake veličina :
−W rad vanjske sile
−2
2
1
mv kinetička energija fluida
−mgh potencijalna energija fluida
−v brzina strujanja fluida
−p vanjski tlak statički
−ghρ hidrostatski tlak tlak
−
2
2
2vρ
dinamički tlak
Dinamički tlak je tlak zbog strujanja fluida.
2.
1.
v
hp1
p2
p1
p2

35. 35
2
22
2
11
2
1
2
1
vpvp ρρ +=+
Zbog Bernoullijevog učinka
mlaz koji izlazi iz slavine se
sužuje pri istjecanju.
Ako držite dva lista papira
vertikalno na udaljenosti od
par centimetara i pušete
između njih, papiri će se pri
dnu približiti.
Razlog je opet Bernoullijev
učinak (efekt).
2
2
221
2
11
2
1
2
1
ghvpghvp ρρρρ ++=++Podijelivši gornju jednadžbu sa volumenom V dobijemo :
ili kraće : ...konstpuk = , pri stacionarnom
strujanju idealnog fluida ukupni tlak je
stalan; to je Bernoullijev zakon ili
Bernoullijeva jednadžba.
Ako je cijev kroz koju protječe fluid horizontalna, bit će 21 hh = , pa imamo :
Pri stacionarnom strujanju idealnog fluida kroz horizontalnu cijev, zbroj statičkog i dinamičkog tlaka je stalan
(jednak u svakom presjeku cijevi). To je pojednostavljeni Bernoullijev zakon.
Iz gornje jednadžbe vidimo da se na mjestima gdje se poveća brzina fluida povećava dinamički tlak, a smanjuje
statički ( jer njihova suma mora ostati stalna ).
Ta činjenica se naziva Bernullijev učinak (efekt).
Primjena Bernoullijevog učinka
Zbog Bernullijevog učinka Bernoullijeva jednadžba ima važnu primjenu. Npr., pri plovidbi brodova, ako su oni
relativno blizu jedan drugome, može u prostoru između njih doći do velikog porasta dinamičkog tlaka vode uz
istodobni pad statičkog tlaka vode. Time se javi razlika statičkih tlakova između vode sa strane i vode u prostoru
između brodova, što uzrokuje pojavu negativnog tlaka vode i pojavu sile koja jedan brod gura prema
drugome.
Također, pri gradnji odvodnih kanala treba voditi računa o Bernoullijevom učinku.

36. 36
Zašto su avionu za letenje potrebna krila?
Sa eskole – fizika : http://eskola.hfd.hr/hokus_pokus
Pokusi i primjeri primjene Bernoullijeve jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta
Promjena tlaka (∆p) pri većim brzinama protjecanja fluida naziva se podtlakom. Ta se pojava može
demonstrirati na više načina, sredstvima iz svakodnevne uporabe.
Avionsko krilo
Što će se dogoditi s listom papira koji držiš blizu usta i uz rub
ga prstima pridržavaš u vodoravnom položaju pa snažno pušeš
iznad njega?
Kakva je brzina zraka iznad papira? Zašto se papir podignuo? Što ga podiže? Što je ispod papira?
Koliki je tlak zraka ispod papira? Na koju njegovu površinu, odozgo ili odozdo, zrak djeluje većom silom?

37. 37
Puhanjem se dinamički tlak poveća, a statički se tlak
smanji, tj. stvori se podtlak pa je tlak iznad lista papira
manji od atmosferskog tlaka s donje strane.
Posljedica razlike tlakova ispod i iznad papira jest rezultantna sila koja je usmjerena prema gore. To je
aerodinamički uzgon.
Djelovanjem aerodinamičkog uzgona diže se zrakoplov.
Geometrija i položaj krila, te velika brzina gibanja
aviona uzrok su nastajanju razlike tlakova ispod i iznad
krila.
Demonstraciju djelovanja aerodinamičkoga uzgona na avionsko krilo možeš izvesti pomoću papirnatoga modela.
Laganim presavijanjem lista papira napravi jednostavan
model avionskog krila pa snažno puši iznad njega držeći
ga ispred usta i pridržavajući ga prstima da stoji
vodoravno.
Što će se dogoditi s ''avionskim krilom'' u snažnoj zračnoj struji? Zašto se ''avionsko krilo'' podiže? Kakva je
brzina zraka iznad modela? A tlak? Što je s tlakom ispod? Koji je to tlak? Kamo je usmjerena sila? Kako ju
nazivamo?
Podizanje krila je posljedica aerodinamičkog uzgona uzrokovanoga razlikom tlakova ispod i iznad krila.
Napomena: U ovim pokusima razlika tlakova i aerodinamički uzgon nastaju strujanjem zraka iznad mirnoga
avionskog krila, a u stvarnosti je aerodinamički uzgon posljedica velike brzine gibanja aviona i sloja zraka uz
njega.
Avionska nesreća
Što bi se dogodilo da se tijekom vožnje avionom, razbije prozor ili se nasilno otvore vrata aviona?
Tlak zraka je na većoj nadmorskoj visini manji jer je iznad te točke manji sloj atmosfere nego uz površinu
Zemlje i zrak je razrijeđen, a avion zbog velike brzine gibanja ''nosi'' sa sobom sloj zraka koji struji oko njega
velikom brzinom pa nastaje još i podtlak zbog strujanja. Vanjski je tlak zraka vrlo mali, a u avionu se održava
normalan atmosferski tlak.
Razbijanjem prozora ili iznenadnim otvaranjem vrata aviona, putnici bi bili ''isisani'' iz aviona, a zapravo bi ih

38. 38
sila, uzrokovana velikom razlikom tlakova u avionu i izvan njega, izbacila iz aviona.
Nešto drugo
Napravi jednostavan model krova kuće od presavijenoga lista papira i
pridržavaj ga prstima.
Što očekuješ da će se dogoditi kada snažno pušeš u vodoravnom smjeru
iznad ''krova''?
Primjer je sličan onom sa avionskom krilom!
Boca i kuglica
U grlo boce koja leži na vodoravnoj površini postavi lopticu od
salvetnoga papira ili stiropora.
Kako možeš lopticu ubaciti u bocu, a da ih ne dodirneš?
Puhnut ćeš? Što će se dogoditi ako puhneš?
Što se dogodi s tlakom zraka ispred boce kada pušeš?
Kakav je tlak u boci? Je li, kao i prije puhanja, atmosferski?
Kamo je usmjerena sila uzrokovana razlikom tlakova?
Savjet za pokušaj ubacivanja loptice u bocu:
Puhati se može paralelno s otvorom boce ili na udaljenosti desetak centimetara okomito na otvor boce.
Trikovi s puhanjem
Uputa: Dva lista papira (A4) postavi uspravno i pridržavaj ih prstima da budu međusobno paralelni i na razmaku
od desetak centimetara. Snažno puši između njih odozgo ili sa strane.
Što predviđaš da će se dogoditi kada pušeš između dva lista papira koja stoje uspravno? Hoće li se razdvojiti?
Zašto se događa suprotno? Što je s brzinom zraka između papira? A s tlakom? Kakav je tlak s vanjske strane?
Koji je to tlak? Kamo će biti usmjerena sila? Je li to ista sila koja je ''stisnula'' mlaz vode iz slavine?
Intuitivno očekivanje da će se listovi razdvojiti nije se pokazalo točnim. Dogodilo se suprotno, listovi se približe.
Puhanjem se između listova poveća brzina strujanja, a smanji se statički tlak,
stvori se podtlak. Atmosferski je tlak s vanjske strane papira veći od tlaka između listova pa je sila usmjerena
prema i listovi se spoje.
Napravi pokus sa slamkama i limenkama.
Dvije slamke za pijenje soka postavi usporedno, a na njih poprečno, kao na tračnice, položi dvije limenke od
coca-cole ili pive na razmaku oko 5 cm pa između njih, odozgo ili sprijeda, snažno puši kroz treću slamku.

39. 39
Što će se dogoditi kada pušeš između limenka? Kako se promijeni tlak zraka između njih zbog strujanja zraka?
Kakav je tlak s vanjske strane? Koji je to tlak? Kamo će biti usmjerena sila?
Strujanjem zraka između boca nastaje podtlak pa atmosferski tlak s vanjske strane djeluje tako da se one približe.
Neočekivano
Stavi žlicu s konveksne (ispupčene) strane u blizinu mlaza vode iz slavine, lagano ju
pridržavajući s dva prsta za dršku. Što očekuješ? Hoće li mlaz odbiti ili privući žlicu k
sebi? Što je s udubljene strane žlice? Kakav je tlak zraka? A tlak zbog strujanja vode s
ispupčene strane žlice? Zašto se žlica prilijepi uz mlaz? Kamo je usmjerena sila?
Ako uz mlaz vode iz slavine položiš žlicu ispupčenom stranom okrenutu prema mlazu,
intuitivno očekuješ da će mlaz vode odbiti žlicu, a dogodi se suprotno,
žlica se uz njega "prilijepi". Na ispupčenoj je strani zbog brzine protjecanja vode
dinamički tlak veći, a statički se tlak smanji. S udubljene je strane žlice tlak atmosferski
te, zbog razlike tlakova, okomito na površinu žlice djeluje sila koja "prilijepi" žlicu za
mlaz.
U tom se primjeru može vidjeti kako intuicija može prevariti. Pojava se naziva Coanda–učinak.
Napravi pokus sa svijećom:
Ispred svijeće koja gori stavi lijevak te snažno puši kroz njega. Što očekuješ ?
EINSTEINOV čaj
U čaši zavrti vodu s listićima čaja koji su se prethodno dobro natopili i promatraj
što će se dogoditi kada prestaneš miješati. Što očekuješ, gdje će se listići zaustaviti?
Uz rub?
Savjet: umjesto listića čaja možeš upotrijebiti mrvice krep papira. Voda treba biti
vrela.
Krvne žile i tlak
Pokazat ćemo i dva primjera koja pojavu strujanja
tekućina povezuju s poremećajem protjecanja krvi kroz
krvne žile. Zbog ateroskleroze (arterioskleroze) stijenke
krvnih žila postaju manje elastične pa na nekim
mjestima može nastati suženje (stenoza) ili proširenje
krvne žile (aneurizma).
Što se događa kada se na suženju krvne žile skupljaju naslage na stijenkama?
Kakav je presjek arterije na tome mjestu? Kakva je brzina protjecanja krvi u tom dijelu? Što je s tlakom na
stijenku žile? Djeluje li tlak i izvana na žilu? Što se događa ako vanjski tlak postane veći od unutarnjeg tlaka krvi
na stijenku?

40. 40
Lebdenje
Lebdenje tijela u zračnoj struji također se objašnjava Bernoullijevom jednadžbom.
Načini tanku vertikalnu zračnu struju velike brzine, npr. sušilom za kosu pa joj prinesi lopticu za stolni tenis.
Zračna će ju struja "usisati" i nakon toga će ona ostati lebdjeti.
Kada lopticu približavaš zračnoj struji, u uskome ''kanalu'' između struje i loptice zrak se
giba brzinom v. Prema Bernoullijevoj jednadžbi, zbog veće brzine, statički je tlak ispred
loptice manji nego iza loptice gdje je tlak atmosferski. Postoji, dakle, razlika tlakova i
tlačna sila koja djeluje prema
zračnoj struji, tako da lopticu ugura u nju. Kada se loptica,
koja nema aerodinamičan oblik, nađe u zračnoj struji, na nju
djeluje Zemlja silom težom i iznad nje se stvara zračni vrtlog, a
odozdo djeluje sila otpora. Loptica lebdi u zraku jer na nju s obje strane djeluju po
iznosima jednake sile.
Pokušaj i ovo: Postavi iznad loptice tuljac malo većega promjera od promjera loptice. Što će se dogoditi?
Loptica u ovom slučaju izleti kroz tuljac, jer iznad nje nema vrtloga.
Ako se loptica polako približava zračnoj struji, u zračnoj struji je tlak manji pa ''usiše'' lopticu. Zrak se uz
lopticu, zbog viskoznosti, giba zajedno s njom u istome smjeru, a kada zračna struja i loptica nisu strogo
centrirani, javlja se moment sile koji uzrokuje vrtnju loptice.
Naginjanjem zračne struje, loptica može ostati ''visjeti'' ispod zračne struje. Naime,
odozdo na lopticu djeluje tlačna sila koja je posljedica razlike tlakova ispod
(atmosferski tlak) i iznad loptice, a prema dolje Zemlja na lopticu djeluje silom težom.
U toj ravnoteži, lopticu zapravo ''drži'' podtlak
stvoren strujanjem.
Pokušaj pokus s dvije loptice.
Približavanjem druge loptice loptici koja već
lebdi u zračnoj struji, loptice će nastaviti
lebdjeti zajedno. Obrati pozornost na to kako
se privlače, udaraju jedna o drugu, malo se
odbiju i ponovo privuku i tako će nastaviti kao
da su vezane nevidljivim elastičnim nitima.
Što bi se dogodilo da iznad loptica postaviš
tuljac?
Magnusov efekt

41. 41
Nogometaš ili tenisač ponekad udare loptu tako da ona dobije dovoljno veliku početnu brzinu i jak spin (rotacija
oko osi). Tako mogu postići zakrivljenje njezine putanje i zavarati protivničkog igrača (poznati gol Roberta
Carlosa).
Zašto lopta promijeni putanju ako se udarcem zarotira i giba se velikom brzinom? Tko je bio Magnus?
Heinrich Gustav Magnus (1802 – 1870) njemački kemičar i fizičar po kojem je
nazvan Magnusov učinak bio je poznat kao vrstan predavač fizike. Bavio se izučavanjem i otkrivanjem
kemijskih spojeva (Magnusova zelena sol) apsorpcijom plinova u krvi, ekspanzijom plinova, izučavanjem para i
kondenzacije vlage na površinama, termoelektriciteta, elektrolize te vođenja topline u plinovima.
Još možete pogledati :
TSUNAMI
http://www.wyp2005.hr/interaktivni_pokusi/Tsunami/index.htm
MODEL BURE
http://www.wyp2005.hr/interaktivni_pokusi/Bura/index.htm