propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]
1. [Escriba tex[Escr
http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS
UNIVERSIDAD POLITÉCTICA
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
INGENIERÍA
FUNCIONES VECTORIALES, CURVAS EN 3
R LÍMITES Y CONTINUIDAD
Las ecuaciones paramétricas al considerar una partícula que se mueve en un plano de modo que
las coordenadas ( ),x y de su posición en cualquier instante t están determinadas por las
ecuaciones ( )=x f t y ( )=y g t
y en el espacio tridimensional, con las coordenadas ( ), ,x y z de
la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por las tres ecuaciones paramétricas
( ) ( ) ( )= = =x f t y g t z h t
a ≤ t ≤ b esto significa que para cualquier tiempo t, podemos
localizar la posición ( ), ,x y z de la partícula.
Una manera adecuada para describir el movimiento de esta partícula es mediante el vector
posición, esto es ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k
Donde ( ) ( ) ( ), ,f t g t h t se llaman las funciones de los componentes.
FUNCIÓN VECTORIAL: Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su
rango (contradomino) es un conjunto de vectores en .n
ℜ : n
r D ⊆ ℜ → ℜ
El dominio de una función vectorial es el conjunto de t, para que todos los componentes de las
funciones estén definidos. ( )t r t→
Es decir, para cada númerot de D, ( )r t ) es un único vector de n
ℜ que lo podemos escribir
( )1 2( ) ( ) , ( ), , ( )).nr t f t f t f t= … por esta razón, es habitual que la función r se denote
( )1, , ,nr f f= … donde las funciones reales ¡f son llamadas funciones componentes de r .
Sean ,f g y h funciones reales de la variable real t . Entonces se define la función vectorial en el
espacio R por medio de: ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k o ( ) ( ) ( ) ( )= , ,R t f t g t h t
donde t es
cualquier número real del dominio común ,f g y h .
En el plano, se define una función vectorial R mediante ( ) ( ) ( )= +ˆ ˆR t f t i g t j donde t
pertenece al dominio común de f y g .
EJEMPLO. Determine el dominio de la siguiente función. ( )= − +cos ,ln(4 ), 1)R t t t t
El primer componente se define para todos "t”. El segundo componente sólo está definido para
<4t . El tercer componente sólo está definido para ≥ −1t . Poniendo todos estos juntos le da el
dominio siguiente. [ )−1,4 .
Este es el mayor intervalo posible para que los tres componentes se definan.
Ejemplo Sea R la función vectorial definida por: ( ) ( )−
= − + − +
1
ˆˆ ˆ2 3 (ln )R t t i t j t k
Si ( ) ( ) ( )−
= − = −
1
2, 3f t t g t t y ( ) =lnh t t , entonces el dominio de R es el conjunto de
valores de t para los cuales ( ) ( ),f t g t y ( )h t están definidas. Como ( )f t está definida para
( )≥2,t g t está definida para todo número real diferente de 3, y ( )h t está definida para todos
los números positivos, el dominio de R es { }≥ ≠2, 3t t t .
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La ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k se denomina ecuación vectorial la cual describe la
curva C definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas esto es, una curva puede
definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
GRÁFICA DE FUNCIONES VECTORIALES
Recordemos que un vector de posición, por ejemplo = , ,V a b c . Es un vector que comienza en el
origen y termina en el punto ( , , )a b c
y además que cualquier función vectorial se puede dividir en
un conjunto de ecuaciones paramétricas que representan el mismo gráfico.
EJEMPLO. Grafique la curva plana definida por la ecuación vectorial ( ) ( ) ( )= − + +2 2ˆ ˆ4 4R t t i t t j
Se define sus ecuaciones paramétricas = − 2
4x t y = +2
4y t t
Y ahora utilizamos software matemáticos para representarlos.
Nota: Revisar guía de gráficas de ecuaciones paramétricas con derive 6.0.
EJEMPLO 4. Trazar la gráfica de la función vectorial siguiente ( ) ( ) ( )= +ˆ ˆ6cos 3R t t i sent j
Se define sus ecuaciones paramétricas = =6cos ; 3x t y sent . Y ahora graficamos.
EJEMPLO. Trazar la gráfica de la función vectorial ( ) ( ) ( )= + + ≥ˆˆ ˆ2cos 2 3 ; 0R t t i sent j k t
Las ecuaciones paramétricas de la curva son = = =2cos ; 2 ; 3x t y sent z
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Los puntos de la curva están situados en el cilindro + =2 2
4x y , el valor constante = 3z hace que
la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy .
Una ecuación vectorial de una curva proporciona una dirección a la curva en cada punto. Esto es,
si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a
lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t
aumenta. En tal caso, t puede ser una medida del tiempo, de modo que al vector ( )R t se le
llama vector de posición.
EJEMPLO. Dibuje la curva que tiene la ecuación vectorial ( ) π= + + ≤ ≤ˆˆ ˆ2cos 2 ; 0 4R t ti sentj tk t
Las ecuaciones paramétricas de la curva son = = =2cos 2x t y sent z t
El parámetro t de las dos primeras ecuaciones se elimina al elevar al cuadrado los dos miembros
de estas ecuaciones y sumar los miembros correspondientes, obteniéndose.
+ = + ⇒ + =2 2 2 2 2 2
4cos 4 4x y t sen t x y
Por tanto, la curva está completamente contenida en el cilindro circular recto cuya directriz es la
circunferencia + =2 2
4x y del plano xy y cuyas regladuras (o posiciones de su generatriz) son
paralelas al eje.
La curva se denomina hélice circular.
Una hélice más general tiene la ecuación vectorial ( )= + + ˆˆ ˆcosR t a ti bsentj ctk y ecuaciones
paramétricas = = =cosx a t y bsent z ct donde ,a b y c con constantes diferentes de cero.
Cuando =a b , la curva es una hélice circular. Una curva que tiene la ecuación vectorial
( ) = + +2 3 ˆˆ ˆR t ati bt j ct k donde ,a b y c son constantes diferentes de cero, se denomina cúbica
alabeada. Para graficar la mayoría de las curvas tridimensionales pueden recurrirse a las
computadoras y programas (o software para graficar) para trazar estas curvas.
OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES
Dadas las funciones vectoriales F y G y las funciones reales f y g :
(i) La suma de F y G denotada por +F G , es la función vectorial definida por
( )( ) ( ) ( )+ = +F G t F t G t
(ii) La diferencia de F y G, denotada por −F G , es la función vectorial definida por
( )( ) ( ) ( )− = −F G t F t G t
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(iii) El producto punto de F y G, denotado por iF G , es la función vectorial definida por
( )( ) ( ) ( )=i iF G t F t G t
(iv) El producto cruz deF y G, denotado por ×F G, es la función vectorial definida por
( )( ) ( ) ( )× = ×F G t F t G t
(v) El producto de ( )f t por ( )F t ; denotado por fF , es la función vectorial definida por
( )( ) ( ) ( )=fF t f t F t
(vi) La función compuesta de F y g , denota por F G , es la función vectorial definida por
( )( ) ( )( )=F G t F g t
EJEMPLO. Dada ( ) ( )= + + = − + +ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 cos2 , cos2 2F t sen ti tj tk G t ti sen tj tk y ( ) =
3
2
f t t
Calcule:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )+ − ×i) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )a F G t b F G t c F G t d F G t e fF t f G f t
a) ( )( ) ( ) ( )+ = − + + + ˆˆ ˆ2 cos2 cos2 2 2F G t sen t t i t sen t j tk
b) ( )( ) ( ) ( )− = + + −ˆ ˆ2 cos2 cos2 2F G t sen t t i t sen t j
c) ( )( ) = − + + =i 2
2 cos2 2 cos2F G t sen t t sen t t t t (porque ≥0t )
d)
( )( )
( ) ( )
× = − + + − − =
= − − + +
2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos2 cos2 2 cos 2 2 2
ˆˆ ˆcos2 2 cos2 2
F G t t ti t tj sen tk tk tsen ti tsen tj
t t sen t i t t sen t j k
e) ( )( ) = + +
3 3
22 2 ˆˆ ˆ2 cos2fF t t sen ti t tj t k
f) ( )( ) ( )( )= = − + +
3 3 3
2 2 4 ˆˆ ˆcos2 2G f t G f t t i sen t j t k
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sea R una función vectorial cuyos valores de función están dados por:
( ) ( ) ( ) ( )= + + ˆˆ ˆR t f t i g t j h t k
Entonces el límite de ( )R t cuando r tiende a a está definido por:
( ) ( ) ( ) ( )→ → → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆˆ ˆ
t a t a t a t a
LimR t Lim f t i Limg t j Limh t k
si ( ) ( )→ →
,
t a t a
Lim f t Limg t y ( )→t a
Limh t existen.
Por supuesto, esta definición también se aplica a las funciones vectoriales del plano al considerar
la componente k como cero.
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EJEMPLO. Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → → →
= + + = + + = + +
0 0 0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos 2 3 , cos 2 3 2 3t t
t t t t
R t ti e j k LimR t Lim t i Lim e j Lim k i j k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )→ → →
= + + = = =1 2 3
ˆˆ ˆ , , ,
t a t a t a
R t f t i g t j h t k Lim f t a Limg t a Limh t a y = + +1 2 3
ˆˆ ˆL a i a j a k .
La función vectorial R define la curva C , la cual contiene a los puntos ( ) ( ) ( )( ), ,Q f t g t h t y
( )1 2 3, ,P a a a . Las representaciones de los vectores R y L son, respectivamente, 0Q y 0P .
Conforme t se aproxima a ( ),a R t tiende a L , de modo que el punto Q se aproxima al punto P
a lo largo de C .
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La función vectorial R es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
i. ( )R a existe;
ii. ( )→t a
LimR t existe;
iii. ( ) ( )→
=
t a
LimR t R a
De esta definición, una función vectorial es continua en el número a si y sólo si sus componentes
reales son continuas en a .
EJEMPLO. Determine los números en los que la siguiente función vectorial es continua:
( )
−
= + +
−
2
1 ˆˆ ˆln
1
t
R t senti tj k
t
Puesto que t está definido para todos los números reales, lnt está definida sólo cuando >0t , y
( )
( )
−
−
2
1
1
t
t
está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es { }> ≠0 1t t yt . Si
a es cualquier número del dominio de R , entonces: ( ) ( )= + + + ˆˆ ˆln 1R a senai aj a k
( ) ( )→ → → →
−
= + + = + + +
−
2
1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆln ln 1
1t a t a t a t a
t
LimR t Limsenti Lim tj Lim k senai aj a k
t
Así ( ) ( )→
= ˆ
t a
LimR t R a , y R es continua en a .
Por tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio.
EJERCICIOS RESUELTOS
Determine el dominio de las funciones vectoriales dadas
( )
1 ˆ ˆ1) R 4t i t j
t
= + −
{ } { } ( ) ](1 1ˆ ˆDom 4 Dom Dom 4 0 4 ,0 0,4i t j t t t
t t
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − = ∩ − = ≠ ∩ ≤ = −∞ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
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( ) ( )2 1ˆ ˆ2) R 3
1
t t i j
t
= + +
−
( ) ( ) ( ) ( ) ]{ { }
1 12 2ˆ ˆDom 3 1 Dom 3 Dom 1 1 1t i t j t t R t t
− −
⎡ ⎤+ + − = + ∩ − = ∩ ≠ = ≠
⎣ ⎦
( ) ( ) ( )1 ˆ ˆ3) R s n ln 1t e t i t j−
= + −
( ) ( ) ( ) [ ] }{ ( ]1 1ˆ ˆDom ln 1 Dom Dom ln 1 1,1 1 1,1sen ti t j sen t t t− −
⎡ ⎤+ + = ∩ + = − ∩ > − = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) ( )1 1ˆ ˆ4) ( ) cos secR t t i t j− −
= +
Como: ( ) [ ]1
cos 1,1Dom t−
= − y ( ) ] )(1
sec , 1 1,Dom t−
= −∞ − ∪ +∞⎡⎣
( )Dom R⇒ Consiste en los dos números 1− y 1.
( ) ˆˆ ˆ5) R 2 4 cott t i t j tk= + + − +
[ ) ( ] { } [ ) ( ) ( ]ˆˆ ˆDom 2 4 cot 2, ,4 2,0 0, ,4t i t j tk t kx π π⎡ ⎤+ + − + = − +∞ ∩ −∞ ∩ ≠ = − ∪ ∪⎣ ⎦
( ) ( )2 2 ˆˆ ˆ6) R 9 ln 3 2 8t t i t j t t k= − + − + + −
[ ] ( ) ( ]{ [ ) { }
( ] ( )
2 2 ˆˆ ˆDom 9 ln 3 2 8 , 3 3, 3
, 3 3,
t i t j t t k t R⎡ ⎤+ + − + + − = −∞ − ∪ +∞ ∩ ≠ ∩ =
⎣ ⎦
= −∞ − ∪ +∞
( ) 2 ˆˆ ˆ7) R ln 16 ln 4t sent i t j t k= + − + +
{ } ] { }{
( ) ( ) ( ) ( ]
2 ˆˆ ˆDom ln 16 ln 4 4,4 4
4, ,0 0, ,4
sent i t j t k t kx t
π π π π
⎡ ⎤+ − + + = ≠ ∩ − ∩ ≠ − =
⎣ ⎦
= − − ∪ − ∪ ∪
( ) 2 1 ˆˆ ˆ8) R tan 4
2
t ti t j k
t
= + − +
+
( )
1
tan
2
Dom t t k π
⎧ ⎫⎛ ⎞
= ≠ +⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
Donde k es cualquier entero ( ) [ ]2
4 2,2Dom t− = − y
( )
1
2
2
Dom t
t
⎛ ⎞
= ≠ −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
porque ( )1 1 1 1 1
1.57 2, , ,2
2 2 2 2 2
Dom Rπ π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤
≈ ⇒ = − − ∪ − ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦
( ) ( )ˆ ˆ9) ln 1 20R t t i t j= − + −
El domino de ( ) ( )ln 1f t t= − es ( )1,∞ . El dominio de ( ) 20g t t= − es ( ],20−∞ . Por lo
tanto, el dominio de r es ( ]1,20 o { }:1 20t t∈ < ≤ .
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( ) ( )1 1 ˆˆ ˆ10) ln tanR t t i tj tk− −
= + +
El domino de ( ) ( )1
lnf t t−
= es ( )0,∞ . El dominio de ( ) 1
tang t t−
= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de
( )h t t= es ( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( )0,∞ o { }: 0t t∈ > .
( ) 2 2
1 1 ˆˆ11)
1 9
R t j k
t t
= +
− −
El dominio de ( ) 2
1
1
g t
t
=
−
es ( )1,1− . El dominio de ( ) 2
1
9
h t
t
=
−
es ( )3,3− . (La función
f es ( ) 0f x = el cual tiene dominio ( ),−∞ ∞ ) Por lo tanto, el dominio de r es ( )1,1− .
12) ( )
2 ˆˆ ˆ3 ln 4
4
R t i t j t k
t
= + − + −
−
El domino de ( )
2
4
f t
t
=
−
es ( ) ( ),4 4,−∞ ∪ ∞ . El dominio de ( ) 3g t t= − es ( ],3−∞ ,el
dominio de ( ) ln 4h t t= − es ( ) ( ),4 4,−∞ ∪ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( ],3−∞ o
{ }: 3t t∈ ≤ .
13) ( ) 2 ˆˆ ˆ20 3R t t i t j k⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦ (denota la función máximo entero).
El domino de ( ) 2
f t t= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de ( ) 20g t t= − es ( ],20−∞ . El
dominio de ( ) 3h t = es ( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, el dominio de r es ( ],20−∞ o
{ }: 20t t∈ ≤ .
14) ( ) 2 ˆˆ ˆcos 9R t ti sentj t k= + + −
El domino de ( ) cosf t t= es ( ),−∞ ∞ . El dominio de ( )g t sent= es también ( ),−∞ ∞ . El
dominio de ( ) 2
9h t t= − es [ ]3,3− . Por lo tanto, el dominio de r es [ ]3,3− o
{ }: 3 3t t∈ − ≤ ≤ .
Calcule ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ); ; ;a F G t b F G t c F G t d F G t+ − ×i en los siguientes
ejercicios:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ15)F 1 1 1 ; 1 1t t i t j t k G t t i j t k= + + − + − = − + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
( ) ( ) 2 , ,2 ; ( ) ( ) 2, 2, 2
( ) ( ) 1 1 3 3
a F t G t t t t b F t G t t
c F t G t t t t
+ = − = − −
= − + − = −i
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( ) ( ) ( )2 3 2 3 2
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ1 t 1 1 2 4 2
1 1 1
i j k
d F G t t t t t i tj t t t k
t t
× = + − − = + − − + − +
− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ16) F 4 4 4 ; 4 4t t i j t k G t t i t j k= − + − − = + − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2 4 2 2 2 4
( ) ( ) 4, , 8
( ) ( ) 4,2 ,8 ,
( ) ( ) 4 4 16 4 16 4
a F t G t t t
b F t G t t t t
c F t G t t t t t t t
+ = −
− = −
= − + − − + = −i
( ) ( )2 2 4 2 4 2 4 2
2 2
ˆˆ ˆ
4 4 4 8 32, 8 16, 4 16
t 4 4
i j k
d F G t t t t t t t t
t
× = − − = − + − − + − + −
− −
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ17) F cos ; G cost ti sentj tk t senti tj tk= − + = + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 2 2
ˆ ˆ( ) ( ) cos cos
ˆˆ ˆ( ) ( ) cos cos 2
( ) ( ) cos cos
a F t G t t sent i t sent j
b F t G t t sent i t sent j tk
c F t G t tsent sent t t t
+ = + + −
− = − − + +
= − − = −i
( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
cos
i j k
d F G t sent t t sent t i t sent t j k
sent t t
× = − = − + + +
−
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ18) F sec tan 2 ; G sec tant ti tj k t ti tj tk= + − = + −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
ˆˆF G sec 2
ˆˆF G 2 tan 2
F G sec tan 2 2 1
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆF G sec tan 2 2 tan 2 sec tan sec
sec tan
a t t ti t k
b t t ti t k
c t t t t t t
i j k
d t t t t t ti t tj t tk
t t t
+ = + −
− = − +
= − − = − +
× = − = − − + −
−
i
En los ejercicios siguientes calcule: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ); ; ;a fF t b fG t c F g t d G g t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ19)F 1 1 1 ; G 1 1t t i t j t k t t i j t k= + + − + − = − + + +
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( ) ( )1; 1.f t t g t t= − = +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 3 2 2
2 2
2
1, 1, 2 1
2 1, 1, 1
2, 2 ,
,1, 2
a f t F t t t t t t t
b f t G t t t t t
c F g t t t t t
d G g t t t
= − − − + − +
= − + − −
= + +
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ20)F 4 4 4 ; G 4 4 ; ; 2
2
t t i j t k t t i t j k f t g t t
t
= − + − − = + − − = = −
−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2 2
4
2 , , 2
2
4
, 2 ,
2 2
4 ,4, 4
4 4, 4 , 4
a f t F t t t
t
t
b f t G t t
t t
c F g t t t t t
d G g t t t t t
⎛ ⎞
= + − +⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
= − −
= − + − −
( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ21) F cos ; G cos ; ;t ti sentj tk t senti tj tk f t sent g t sen t−
= − + = + − = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
2 1
2 1
ˆˆ ˆF cos
ˆˆ ˆG cos
ˆˆ ˆF 1
ˆˆ ˆG 1
a f t t sent ti sen tj tsentk
b f t t sen ti sent tj tsentk
c g t t i tj sen tk
d g t ti t j sen tk
−
−
= − +
= + −
= − − +
= + − −
( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ22) F sec tan 2 ;G sec tan ; cos ; cos .t ti tj k t ti tj tk f t t g t t−
= + − = + − = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 1
1ˆˆ ˆF 2cos ,
2
1ˆˆ ˆG cos ,
2
1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF sec cos tan cos 2 2
a f t t i sentj tk t k
b f t t i sentj t tk t k
t
c g t t i t j k i j k
t t
π
π
− −
⎛ ⎞
= + − ≠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − + ≠ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞−⎛ ⎞
= + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )( )
2
11 1 ˆˆ ˆG cos
t
d g t i j tk
t t
−
⎛ ⎞−⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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UNIVERSIDAD POLITÉCTICA
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
INGENIERÍA
Calcule el límite si existe.
( ) ( ) ( )
2
2
4 ˆˆ ˆ23) R 2 ; limR
2 t
t
t t i j tk t
t →
−
= − + +
−
( ) ( )
2
2 2
4 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 0 lim 2 2 4 2
2t t
t
t i j tk i t j tk j k
t→ →
⎡ ⎤−
− + + = + + + = +⎢ ⎥−⎣ ⎦
( ) ( )
2
1
1 1 ˆˆ ˆ24) R 1 ; lim R
1 1 t
t t
t i j t k t
t t →−
− +
= + + +
− −
( )
2 2
1 1
1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 1 lim 1 0 0 2
1 1t t
t t
i j t k t i j k i
t t→− →−
⎡ ⎤− +
+ + + = − + + = −⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
( ) ( )0
ˆˆ ˆ25) R cos ; limR
t
sent
t senti tj k t
t →
= + +
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim cos 0 1 1
t
sent
senti tj k i j k j k
tα→
⎡ ⎤
+ + = + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )0
1 cos ˆˆ ˆ26) R ; limRt t
t
t
t i e j e k t
t
−
→
−
= + +
( ) ( )0
1 cos ˆˆ ˆR ;limRt t
x
t
t i e j e k t
t
−
→
−
= + +
( )
0/0
0
0 0 0
1 cos ˆ ˆˆ ˆ ˆlim lim 0;lim 1 lim R 0 1 1
1
t
t t t t o
t sent
e e t i j k j k
t→ → → →
−
= = = = ⇒ = + + = +
0
0
lim 1t
t
e e−
→
= =
( ) ( )2 1
2 tan ˆˆ ˆ27)R ; limR
2 1 1 t
t sen t t
t i j k t
t t t
π π
→
−
= + +
− − −
0
20
21 1 1
2 tan cos sec 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 1 lim lim
2 1 1 2 1 2t t t
t sen t t t t
i j k i j k i j k
t t t t
π π π π π π
π π
→ → →
⎡ − ⎤
+ + = − + + = − − +⎢ ⎥
− − −⎣ ⎦
( ) ( )
2 2
0
1 cos 1 cos ˆˆ ˆ28) R ; limR
1 1 cos t
t t
t i j k t
sent t sent →
+ −
= + +
− −
( )
2
0 0
1 cos 1 cos ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 lim 1 cos 0 1 2 2
1 1 cost t
t t t
i j t k i t j k i j
sent t sent→ →
⎡ ⎤+ −
+ + = + + + ⋅ = +⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
1
1 1
0
ˆˆ ˆ29) R 1 ; limRt t
t
t
t e i e j t k t+ −
→
= + + +
( ) ( )
1
1 1
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim 1t t
t
t
e i e j t k e i j k+ −
→
⎡ ⎤
+ + + = + +⎢ ⎥⎣ ⎦
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( )
( )
( )
ln 1 ˆˆ ˆ30) R cosh ; limR
t o
t
t i senhtj tk t
t →
+
= + +
( )
( )
( )0
ln 1 ˆˆ ˆR cosh ;limR
x
t
t i senhtj tk t
t →
+
= + +
( ) ( )
( )
0
0
0 0 0
1
ln 1 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆlim lim 1 limR 1 0 cosh 0
1t t t
t t
t i senh j k i k
t→ → →
+ +
= = ⇒ = + + = +
2
1
ˆ ˆ31)lim 2
t
ti t j
→
⎡ ⎤−⎣ ⎦
( ) ( )2 2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 lim 2 lim 2
t t t
ti t j t i t j i j
→ → →
⎡ ⎤− = − = −⎣ ⎦
( )
2 3
3
ˆ ˆ32)lim 2 3 7
t
t i t j
→
⎡ ⎤− −
⎣ ⎦
( ) ( ) ( )2 23 3
3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 3 7 lim 2 3 lim 7 189
t t t
t i t j t i t j j
→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − = − − = −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
21
1 2 3ˆ ˆ33)lim
1 1t
t t t
i j
t t→
⎡ ⎤− + −
−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( )( )
( )( )
( )
2
21 1 1
1 1
1 31 2 3 1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim
1 1 1 1 1
1 1ˆ ˆ ˆ ˆlim lim 3 4
1 2
t t t
t t
t tt t t t
i j i j
t t t t t
i t j i j
t
→ → →
→ →
⎛ ⎞ − +⎛ ⎞⎡ ⎤− + − −
− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − − + −⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − + = −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
2 3
2
2 10 28 7ˆ ˆ34) lim
2 3t
t t t
i j
t t→−
⎡ ⎤− −
−⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
( )
2 3 2 3
2 2 2
2
2 10 28 7 2 10 28 7ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim
2 3 2 3
56 56ˆ ˆ ˆ ˆlim 2 14 18
5 5
t t t
t
t t t t t t
i j i j
t t t t
t i j i j
→− →− →−
→−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −
− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − = − −
3
0
cos 7 ˆˆ ˆ35)lim
1tt
sent t t t
i j k
t e t→
⎡ ⎤
− +⎢ ⎥+⎣ ⎦
3 3
0 0 0 0
cos 7 cos 7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim
1 1t tt t t t
sent t t t sent t t t
i j k i j k i
t e t t e t→ → → →
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = − + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠
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3
2 3
7 ˆˆ ˆ36)lim
3t
t sent t sent
i j k
t t t t→∞
⎡ ⎤
− −⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 3
2 3 2 3
7 7ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim
3 3
ˆˆ ˆ ˆlim 7 lim 7
t t t t
t t
t sent t sent t sent t sent
i j k i j k
t t t t t t t t
sent sent
i j k i
t t
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )3 2
0
37) lim ln , ln ,
t
t t t t+
→
( )3 2
0
lim ln , ln ,
t
t t t t+
→
no existe porque ( )3
0
lim ln
t
t+
→
= −∞ .
2
1
0
38)lim , ,t
t
t
e t
t
−
→
2 2
1 1
0 0 0 0
lim , , lim , lim , lim 0, 1,0t t
t t t t
t t
e t e t
t t− − − −
− −
→ → → →
= = −
Dadas las funciones vectoriales ( ) ( ) ( ) ( )U V lim U limV
x a x a
t y t t y t
→ →
⇒ Existen.
Demuestre:
( ) ( ) ( ) ( )39)lim U V lim U lim V
t a t a t a
t t t t
→ → →
⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦
Sea ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
ˆˆ ˆU t U t i U t j U t k= + + y ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
ˆˆ ˆV t V t i V t j V t k= + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2
ˆˆ ˆlim U V lim
ˆˆ ˆlim lim lim
ˆˆ ˆlim lim lim lim lim lim
ˆ ˆlim lim
t t
t t t
t t t t t t
t t
U V i U V j U V k
U V i U V j U V k
U V i U V j U V k
U i U j
α α
α α α
α α α α α α
α α
→ →
→ → →
→ → → → → →
→ →
⎡ ⎤⎡ ⎤+ = + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3
ˆ ˆˆ ˆlim lim lim lim lim U limV
t t t t t t
U k V i V j V k
α α α α α α→ → → → → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + = +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
40)lim V lim limV
lim V lim
lim lim lim
lim lim lim lim lim lim
t a t a t a
t t
t t t
t t t t t t
U t t U t t
U t t U t V t U t V t U t V t
U t V t U t V t U t V t
U t V t U t V t U t V t
α α
α α α
α α α α α α
→ → →
→ →
→ → →
→ → → → → →
⎡ ⎤ = =⎣ ⎦
⎡ ⎤= = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
= + + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + +
i i
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim lim lim
lim lim V
t t t t t t
t t
U t i U t j U t k V t i V t j V t k
U t t
α α α α α α
α α
→ → → → → →
→ →
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
i
i
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( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 2
41) lim V lim limV
ˆˆ ˆlim lim
ˆˆ ˆlim lim lim
lim lim lim lim
t a t a t a
t t
x x x
t t t t
U t t U t t
U V U V U V i U V U V j U V U V k
U V U V i U V U V j U V U V k
U V U V
α α
α α α
α α α α
→ → →
→ →
→ → →
→ → → →
⎡ ⎤× = ×⎣ ⎦
⎡ ⎤× = − + − + − =
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − =
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡= −
⎣ 3 1 1 3
ˆ ˆlim lim lim lim
t t t t
i U V U V j
α α α α→ → → →
⎤ ⎡ ⎤+ − +
⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 1 1 2 3
1 2 3
ˆ ˆˆ ˆlim lim lim lim lim lim lim
ˆˆ ˆlim lim lim lim limV
t t t t t t t
t t t t t
U V U V k U i U j U k
V i V j V k U
α α α α α α α
α α α α α
→ → → → → → →
→ → → → →
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − = + + ×
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤× + + = ×⎢ ⎥⎣ ⎦
42) Si f es una función real tal que ( )lim
t a
f t
→
existe y V es una función vectorial tal que
( )lim
t a
V t
→
existe, demuestre que ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
t a t a t a
f t V t f t V t
→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
11.1.3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆlim lim lim lim lim
ˆˆ ˆ6 lim lim lim lim lim lim
ˆˆ ˆlim lim lim lim lim
t t t t t
t t t t t t
t t t t t
fV fV i fV j fV k fV i fV j fV k
LT f V i f V j f V k
f V i V j V k
α α α α α
α α α α α α
α α α α
→ → → → →
→ → → → → →
→ → → → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + =
⎡ ⎤= + + =
⎢ ⎥⎣ ⎦
lim
t
f V
α α→
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
¿Para cuáles valores de t es continua cada una de las funciones del problemas 9?
43) ( )
2
4
f t
t
=
−
Es continua en ( ) ( ) ( ),4 4, . 3g t tθ−∞ ∪ = − es continua en ( ] ( ),3 . ln 4h t t−∞ = − es
continua en ( ),4−∞ y en ( )4,∞ . Por lo tanto, r es continua en ( ),3−∞ o { }: 3t t∈ ≤ .
44) ( ) 2
f t t=
Es continua en ( ) ( )1, , 1n n n n− + − ∪ + donde n es un entero negativo.
( ) 20g t t= − es continua en ( ),20−∞ o { } ( ): 20 . 3t t h t∈ < = es continua en ( ),−∞ ∞ .
Por lo tanto, r es continua en ( ) ( )1, , 1n n k k− + − ∪ + donde n y k son números
enteros negativos y 400k < o { }2
: 20, noesun enterot t t∈ <
45) ( ) cosf t t= y ( )f t sent=
Son continua en ( ) ( ) 2
, . 9h t t−∞ ∞ = − es continua en [ ]3,3− Por lo tanto, r es continua
en [ ]3,3− .
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¿Para cuáles valores de t es continua cada una de las funciones dadas?
46) ( ) ( )ln 1f t t= −
Es continua en ( ) ( )1, . 20g t tθ = − es continua en ( ),20−∞ . Por lo tanto, r es continua
en ( )1,20 o { }:1 20t t∈ < < .
47) ( ) ( )1
lnf t t−
=
Es continua en ( ) ( ) 1
0, . tang t t−
∞ = es continua en ( ) ( ), .h t t−∞ ∞ = es continua en
( ),−∞ ∞ . Por lo tanto, r es continua en ( )0,∞ o { }: 0t t∈ > .
48) ( ) 2
1
1
g t
t
=
−
es continua en ( ) ( ) 2
1
1,1 .
9
h t
t
− =
−
es continua en ( )3,3− . (La función
f es ( ) 0f x = que es continua en ( ),−∞ ∞ ). Por lo tanto, r es continua en ( )1,1− .
Determine los números para los que la función vectorial es continua
( ) ( )2 1 ˆˆ ˆ49) R ln 1
2
t t i t j k
t
= + − +
−
( ) ( ) ( )2 1 ˆˆ ˆln 1 1,2 2,
2
t i t j k
t
+ − + ⇒ ∪ +∞
−
( ) ( )
11 ˆˆ ˆ50) R 1
1 1t
t
t t i j k
e t
−
= − + +
− −
( ) { }
11 ˆˆ ˆ1 0,1
1 1t
t
t i j k t
e t
−
− + + ⇒ ≠
− −
( ) ˆˆ ˆ51)R cos sec tant ti tj tk= + +
1ˆ ˆ ˆˆ ˆcos sec tan , es cualquier entero
2
ti tj tk t k kπ
⎧ ⎫⎛ ⎞
+ + ⇒ ≠ +⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
( ) ( )2 1 ˆˆ ˆ52) R ln 1
2
t t i t j k
t
= + − +
−
La función tangentes es continua salvo en los múltiplos impares de
2
π
, la cotangentes es
continua salvo en los múltiplos hasta
2
π
. Por lo tanto, R es continua en todas partes
excepto en
2
k
, donde k es cualquier entero.
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( )
2
1
2 ˆˆ ˆ si 053) R
0 si 0
t
e i t j k tt
t
−⎧
⎪ + + ≠= ⎨
⎪ =⎩
2
1
2 ˆˆ ˆ si 0
si 0
t
e i t j tk t
t
⎧
⎪ + + ≠⎨
⎪ =⎩
Todos los números reales.
( )
1 cos 1 ˆˆ ˆ si 0
54) R
ˆˆ si 0
t
sent t e
i j k t
t t t t
i k t
⎧ − −
+ + ≠⎪
= ⎨
⎪ − =⎩
1 cos 1 ˆˆ ˆ si 0
ˆ1 si 0
t
sent t e
i j k t
t t t
k t
⎧ − −
+ + ≠⎪
⎨
⎪ − =⎩
Todos los números.
En los ejercicios del 55 al 42 Grafique la función vectorial
( ) ( )2 ˆ ˆ55) R 1t t i t j= + +
( ) 2
4 4ˆ ˆ56) R t i j
t t
= +
