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CAPÍTULO 7: DIFICULTADES DE APRENDIZAJE
DE LA NUMERACIÓN Y EL CÁLCULO
1. INTRODUCCIÓN
Aunque el conocido manual DSM-IV de la Asociación Americana de Psiquiatría
señala que sólo el 1% de los niños en edad escolar sufre un trastorno
específico relacionado con el aprendizaje del cálculo, que se pondría
especialmente de manifiesto en 2º y 3er grado, lo cierto es que las matemáticas
constituyen a menudo la piedra de toque del "fracaso escolar", especialmente
en la Etapa Secundaria: la mayor parte de los estudios internacionales señalan
que entre un 40% y un 60% de los estudiantes de esta etapa no llega a
alcanzar un nivel funcional mínimo en matemáticas para responder a las
demandas y exigencias del entorno social.
Siendo así, no es extraño que las matemáticas se perciban habitualmente
como una especie de misión imposible para la mayoría de la población, ni que
su estudio genere sentimientos de ansiedad, frustración y actitudes negativas
hacia la escuela en un importante sector del alumnado... al tiempo que la
mayoría de los especialistas en el tema ponen de relieve que no estamos tanto
ante un fenómeno masivo de dificultades "de aprendizaje", como ante las
consecuencias de una enseñanza "manifiestamente mejorable", incluso si nos
referimos específicamente al caso de los niños y niñas cuyas dificultades se
han analizado tradicionalmente desde el concepto de «discalculia».
Y es que las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas no pueden
reducirse en ningún caso a variables del alumno, incluso cuando éstas juegan
un papel central en el problema, ni mucho menos dentro de tales variables la
cuestión puede reducirse, como a veces se pretende, ni a fallos en el desarrollo
de ciertos procesos neuropsicológicos, ni a limitaciones en el "razonamiento
lógico". Los objetivos de la educación matemática básica son tan amplios, que
las eventuales dificultades sobrepasan con creces las posibilidades explicativas
de tan restrictivas interpretaciones, ya que se trata de:
a) Posibilitar que cada alumno desarrolle la comprensión y destrezas
matemáticas exigidas para la vida adulta, teniendo en cuenta las
dificultades que algunos puedan experimentar para una comprensión
adecuada.
b) Proporcionar al alumno las bases matemáticas necesarias para el
estudio de otras materias.
c) Desarrollar actitudes positivas hacia las mismas, considerando el
papel relevante que han tenido y seguirán teniendo en el desarrollo
científico y tecnológico de nuestra civilización.

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d) Concienciar al alumno de que las matemáticas constituyen un
medio eficaz para explorar, crear y acomodarse al mundo actual.
Dicho de otro modo, la educación matemática básica se orienta tanto a
desarrollar una serie de actitudes intelectuales, como a adquirir un
conocimiento declarativo y el dominio de ciertas herramientas sin los que, hoy
por hoy, es absolutamente imposible participar de forma activa e inteligente en
la sociedad, y es desde esta perspectiva global, sin reduccionismos, desde
donde creemos que debe abordarse la cuestión de la evaluación
psicopedagógica de las dificultades de aprendizaje en este área, aun cuando
para encarar tanta complejidad no podamos contar, por el momento al menos,
con la cantidad de investigación psicológica y pedagógica (y, por tanto, de
conocimiento sólido y fiable) de que disponemos con respecto a, por ejemplo,
la enseñanza y el aprendizaje de la lengua escrita.
2. LOS APRENDIZAJES MATEMÁTICOS.
Dada la complejidad que, como acabamos de apuntar, caracteriza al área
matemática, el primer paso en un capítulo como éste debe ser clarificar el
contenido al que vamos a referirnos, diferenciando entre los distintos tipos de
aprendizajes que se incluyen en ella.
Aunque las clasificaciones más habituales suelen dividir tales
aprendizajes en ocho grandes categorías (numeración, cálculo, resolución de
problemas, estimación, uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y
decimales, medida y geometría), en la medida en que éstas no son en absoluto
independientes entre sí, sino que mantienen estrechas relaciones, incluso de
tipo jerárquico, creemos que pueden reducirse a tres grupos básicos: (1)
aprendizaje de las nociones y procesos básicos que se encuentran en la base
de los aprendizajes aritméticos y geométricos; (2) aprendizaje de la numeración
y del cálculo; y (3) aprendizaje de la resolución de problemas.
2.1. Nociones y procesos básicos.
Con esta expresión nos referimos a toda una serie de conceptos y de
procesos mentales que suelen caracterizar, en líneas generales, los logros
matemáticos propios de la Etapa Infantil, aunque en muchos casos su
consolidación se retrase hasta el Primer Ciclo de la Enseñanza Primaria. Nos
estamos refiriendo, por tanto, a los siguientes contenidos:
(A) Conceptos básicos.
Los conceptos básicos son denominados así, según A. Boehm, porque
constituyen nociones elementales que sirven de base para otros aprendizajes
conceptuales más complejos y porque, al mismo tiempo, son expresiones
verbales de uso frecuente en la interacción comunicativa en el aula, de modo
que la comunicación profesor-alumno se ve gravemente interferida cuando este
último no los domina, al menos desde el punto de vista comprensivo.

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Aunque esa comunicación se ve favorecida o dificultada por todos los
conceptos básicos (dimensionales, espaciales, temporales, cuantificadores...),
en relación con los aprendizajes matemáticos se suele destacar habitualmente
el papel central de los denominados cuantificadores, o conceptos básicos de
cantidad, que constituyen formas evolutivamente anteriores al número en la
codificación de la cantidad. En general, se trata de conceptos aproximativos
(mucho/poco, nada/todo, algunos/ninguno...) y comparativos (más que, menos
que, tantos como, ...), pero se incluyen también en esta categoría las
transformaciones relacionadas con las operaciones manipulativas que puedan
realizarse afectando a la cantidad (poner, quitar, añadir, repartir, etc).
No obstante, los cuantificadores no son los únicos conceptos básicos
relevantes para los aprendizajes matemáticos; también son fundamentales los
conceptos básicos espaciales (delante/detrás, arriba/abajo...) y temporales
(antes/después, primero, segundo, tercero, ni primero ni último...), que
constituyen la expresión verbal del nivel de desarrollo de la organización
espacio-temporal a partir de la cual el niño puede afrontar al menos ciertos
aspectos de la noción de número, de las operaciones aritméticas y, sobre todo,
los aprendizajes relacionados con la geometría.
Evidentemente, la incidencia de las dificultades de adquisición de los
conceptos básicos es mucho mayor en los primeros años de la escolaridad
básica que en momentos posteriores, pero no es tampoco infrecuente, en
absoluto, encontrar alumnos y alumnas de niveles educativos superiores que,
en el marco de otra serie de problemas, no usan de manera precisa dichos
conceptos. Tanto es así, que programas de mejora del funcionamiento
intelectual como el P.E.I., ideados para alumnos de 12 a 14 años, incluyen
como contenidos específicos el desarrollo de la capacidad de ordenación del
tiempo y el espacio, además de otros destinados a la automatización del
procesamiento de las series numéricas.
(B) Operaciones lógico-matemáticas.
Desde los modelos de enseñanza y aprendizaje derivados de las teorías
psicogenéticas (básicamente, de la de Piaget), se ha puesto de relieve que los
problemas que a veces experimentan los alumnos en el desarrollo de las
operaciones lógico-matemáticas (especialmente de clasificación y seriación),
de la noción de conservación o de la comprensión de la reversibilidad, entre
otras características del pensamiento operatorio, interfieren con la adquisición
de la noción de número y del sistema de numeración, ya que se trataría de
adquisiciones evolutivamente previas y base psicogenética para la posterior
construcción de estos últimos aprendizajes.
Como sabemos, concretamente, la tesis fundamental que se sostiene es
que las operaciones lógicas de clasificación y seriación son el fundamento de la
noción de número, en la medida en que ésta sería el resultado de la síntesis
entre la cardinalidad y la ordinalidad... Una síntesis que sólo sería posible como
consecuencia de un proceso genético de construcción de la noción de
conservación de la cantidad.
El argumento central en este planteamiento es, por tanto, que los
aprendizajes matemáticos elementales se basan en la construcción de un tipo
de pensamiento lógico a partir de las formas "prelógicas" del pensamiento

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intuitivo, sugiriendo que los procesos mentales prerrequisitos para una correcta
iniciación en las matemáticas serían:
La capacidad para retener mentalmente un objeto no presente
o transformado (conservación del objeto).
La capacidad para representarse mentalmente una sustancia
(masa, volumen o cantidad) cuando ésta esté ausente o,
estando presente, sufra variaciones con respecto a su estado
inicial (conservación de la sustancia).
La capacidad para representarse mentalmente el proceso
inverso a una transformación observada (reversibilidad del
pensamiento).
La capacidad para formar clases agrupando los objetos en
función de ciertas características específicas o generales
(clasificación).
La capacidad para jerarquizar mentalmente las agrupaciones
de dichas realidades (inclusión).
La capacidad de ordenar mentalmente las realidades
(seriación).
La capacidad de asociar mentalmente procesos o
agrupaciones iguales (correspondencias).
La capacidad de asociar mentalmente procesos o
agrupaciones iguales generando una nueva (transitividad).
En resumen, podemos decir que desde las posiciones psicogenéticas se afirma
que la adquisición del número está precedida por:
a) La comprensión de los conjuntos que implicaría el uso implícito, o
no, del principio de correspondencia que incluiría los principios de
conservación (del objeto y la substancia), clasificación e inclusión.
b) La compresión de las relaciones de orden entre los objetos
supondría el uso implícito, o no, del principio de seriación.
Aunque estas adquisiciones presuntamente previas a la comprensión del
número constituyen un referente presente en la gran mayoría de las
monografías sobre las dificultades del aprendizaje matemático entre los 5 y los
10 años , lo cierto es que su importancia real suele ser minimizada en los
planteamientos más recientes, que consideran más que discutible su valor
como sustento (no digamos ya prerrequisito) en la adquisición de la noción de
número, ya que ésta parece asociarse más bien a las experiencias infantiles de
«conteo», así como a la realización de actividades, escolares o no, que tienen
que ver con la verbalización de la cuantificación de la realidad que rodea a los
niños, como tendremos ocasión de comentar dentro de un momento
2.2. La noción de número y el sistema numérico.
Aunque es bastante corriente que la noción de número y el sistema
numérico (noción de número, valor posicional de las cifras, etc.) se enseñe en
nuestras escuelas con cierta independencia de los símbolos que expresan

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relaciones entre números (<, >, =, +...) y que, por tanto, tiendan a considerarse
aprendizajes separados, diferentes, desde nuestra perspectiva se trata de
aprendizajes profundamente relacionados entre sí, sobre todo por el nivel de
representación que exigen del sistema cognitivo, de modo que en este
apartado incluiremos unos y otros.
(A) Adquisición de la noción de número.
Como acabamos de señalar hace un momento, frente a lo defendido por
las teorías psicogenéticas, la adquisición de la noción de número no parece
que sea un proceso de todo o nada, producto de una reestructuración
constructiva que tenga lugar gracias a la aparición de un nuevo tipo de
pensamiento lógico en el desarrollo infantil (o lo que es lo mismo, resultan
imprescindibles la ejecución de las llamadas operaciones "prelógicas":
conservación, correspondencia y seriación); bien al contrario, hoy existe un
relativo consenso, sobre que la adquisición de la noción de número,
considerándose como el resultado de un proceso gradual, una adquisición
progresiva relacionada con la experiencia de atender a las cantidades de las
cosas a través del "conteo" y de las actividades asociadas al mismo. Para
algunos autores tales experiencias de conteo ponen de manifiesto que el
aprendizaje de la numeración implica la elaboración de 5 principios por parte
del niño:
1) Principio de correspondencia uno a uno: Aparece cuando el niño
coordina el proceso de participación (mantener en mente dos grupos de
objetos: los contados y los aún por contar) y el proceso de etiquetación
(utilización del nombre de los números para hacer corresponder cada nombre
con un objeto contado). Aquí aparece el conocimiento del nombre de los
números, pero está claro que ese nombre no conlleva el «concepto» de
número.
2) Principio de orden estable: Este principio, cuando aparece, establece
que para contar es indispensable establecer una secuencia de «palabras
numéricas» (nombre de números) estable y coherente, no supone que la
secuencia empleada sea la convencional (uno, dos, tres, cuatro, etc.), pero sí
es ya, al menos, siempre la misma, cosa que no ocurría antes.
3) Principio de cardinalidad: La noción de cardinal aparece cuando el niño
comprende que la última «palabra numérica» de su secuencia de recuento
significa el número total de elementos del conjunto contado, y no es sólo el
nombre del último de ellos.
4) Principio de abstracción: Aparece cuando, en el proceso que
describimos, el niño comprende que los números simbolizan una cualidad
abstracta, que no depende en absoluto del aspecto físico de los objetos; los
principios anteriores se aplican entonces tanto a conjuntos de objetos
homogéneos como heterogéneos.
5) Principio de irrelevancia de orden: El proceso culmina cuando el niño
comprende que el orden de enumeración es del todo irrelevante para
determinar el cardinal de un conjunto, ese conjunto se puede enumerar de
cuantos modos se desee y, pese a todo, el cardinal del conjunto será siempre
el mismo. Este principio supone:

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- Comprender que lo contado son cosas distintas a los números que se
les aplican al enumerarlos.
- Comprender que las «palabras numéricas» se aplican arbitrariamente a
los elementos del conjunto porque son cosas distintas a ellos.
- Que el mismo número cardinal resulta siempre de los distintos tipos de
recuento posible, ya que es independiente del orden del conteo y
constituye una propiedad cuantitativa del conjunto.
La mayoría de los niños de cuatro a cinco años memorizan la secuencia
numérica progresivamente (0,1,2,3,...) y regresivamente (10,9,8,...) a través de
los medios informales en que se desenvuelven. Si el aprendizaje no se ha
producido a esta edad es preferible practicar en la adquisición de la habilidad
de contar que dirigir los esfuerzos al desarrollo de operaciones lógicas y los
conceptos básicos, contrariamente a lo que indican los modelos piagietianos,
aunque ambos procedimientos pueden simultanearse.
Como señala Martínez Montero, existen determinados ejercicios que
facilitan la comprensión de la noción de número más que otros, como pueden
ser:
a) Actividades de reparto (dealing), que permiten establecer diverso tipo
de correspondencias entre dos conjuntos de objetos y que irían desde la
correspondencia uno a uno (por ejemplo, un lápiz para cada niño),
pasando por reparto uniforme (a cada elemento le corresponde la misma
cantidad, por ejemplo, 6 entre 3, entre 2; etc.), reparto irregular (por
ejemplo, repartir de todas las formas posibles 4 lápices para 2 alumnos),
reparto proporcional (por ejemplo, dar 2 lápices a Juan por cada uno que
le demos a José), hasta el reequilibrio de repartos (por ejemplo, volver a
repartir 8 lápices entre 2 alumnos habiéndolos repartidos previamente
entre 4)
b) Actividades de mezcla de códigos: en este tipo, el alumno habría de
cardinalizar las cantidades de diversas maneras (por ejemplo, 2, II, @@,
etc.).
c) Actividades con la cadena numérica: se trataría de identificar los
números que se encuentran definidos por una posición, para lo que puede
utilizarse la recta numérica (por ejemplo: Cuenta hasta el 7; cuenta 5
números a partir del 3; ¿Cuántos números hay entre el 4 y el 8?;...).
Para finalizar este comentario sobre el aprendizaje de la numeración nos
gustaría precisar que, aun cuando en la asimilación de los conceptos
examinados resulta útil, si no necesario, el uso y manipulación reiterados de
materiales concretos (objetos de la vida real, bloques lógicos, regletas...), no es
la experiencia en sí lo que realmente parece contar: manipulación y
vivenciación son útiles en la medida en que propician la formación de
representaciones mentales que darán significado a las nociones aritméticas al
irse elaborando por el alumno, primero en forma de "conceptos" intuitivos (a
través de la representación gráfica figurativa) y luego en forma de auténticos
conceptos matemáticos, que tienen un marcado carácter simbólico.

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(B) El sistema de numeración.
Aunque las dificultades relacionadas con la adquisición de la noción de
número son importantes y frecuentes durante toda la Primaria (una etapa en
donde un importante número de alumnos no llegan a elaborar los principios
citados de cardinalidad, abstracción e irrelevancia de orden), no son las únicas;
bien al contrario, son aún más frecuentes las dificultades en la comprensión del
carácter «ordenado» del sistema de numeración y la Iógica del sistema
decimal, que implica reagrupaciones a partir de unidades secundarias:
decenas, centenas... como lo pone de manifiesto, por ejemplo, el tipo de
errores más comunes en el cálculo en estas edades.
Si nos estuviésemos refiriendo a una comprensión matemática profunda
de la naturaleza del sistema decimal, evidentemente, este fenómeno no sería
extraño, pero lo es cuando consideramos que el problema incluye la falta de
una comprensión meramente «intuitiva» de estas nociones, entendiendo por
ello que el alumno disponga de representaciones mentales concretas de estas
nociones, como «imaginar» la decena como una bolsita, caja, etc. que con-
tiene10 unidades, la centena como una colección de diez «bolsitas» que
contienen 10 unidades cada una y así, sucesivamente.
Por supuesto, esta dificultad conceptual corre pareja con otras de tipo
procedimental, que se derivan directamente de no entender el valor posicional
de las cifras, es decir, que 7 representa cantidades diferentes según su
posición (7, 70, 700,...), como son no comenzar los cálculos escritos desde la
derecha o fallar con las "llevadas", por ejemplo; asimismo, no comprender la
naturaleza del sistema de numeración lleva a dificultades en la comprensión y
manejo de los decimales, las fracciones, etc.
Para llegar al dominio del sistema decimal resulta fundamental el que el
alumno realice y establezca particiones, agrupaciones y relaciones entre los
diferentes elementos constitutivos de un número. De esta manera, las
actividades que facilitarían el dominio del sistema decimal serían:
a) Actividades de partición de un número. Resaltando dicho autor la
importancia que tiene el que las descomposiciones que se realicen
tengan carácter múltiple (p.e.: 24 se puede descomponer en 20 + 4;
en, 10 + 10 + 10 +4; ...).
- Consideración simultánea de las unidades de un número
(p.e.: ¿Cuantas decenas existen en 3214? ¿Cuántas
centenas? ¿Cuántas unidades de millar?
- Descomposición de un número en sus unidades
constitutivas (unidades, decenas, centenas,...)
- Dada una parte de un número, hallar la otra.
b) Actividades de agrupación, que pretenden que el alumno
componga un número a partir de sus unidades constitutivas, como:
- Composición de un número a partir de sus unidades.
- Operaciones mixtas de sumar.

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c) Actividades de relación, que se refiere a las relaciones que se
establecen entre las cifras que componen un número. Las
actividades que pueden hacerse son:
- Composición de todos los números posibles.
- Determinación de los números mayores y menores que
pueden componerse con cifras dadas.
A todas ellas podemos añadir las relativas a diferentes sistemas de
numeración, como:
- Identificar números números realizados en una base diferente a la
decimal.
- Leer y escribir números en sistemas diferentes al decimal.
Entre los problemas más frecuentes relacionados con la numeración, nos
encontramos con los siguientes:
- Dificultad para adquirir la noción de número (comprensión)
- La dificultad para reconocer y escribir algunos números.
- La dificultad en la adquisición de los órdenes de unidades y el
valor proposicional de los números, por ejemplo, el número 25 se lee
veinticinco, y no dos y cinco.
- La dificultad en la adquisición de la regla de los ceros
intermedios, por lo difícil que resulta comprender los órdenes de
unidades y las reglas para codificar y decodificar las relaciones entre
dichas cifras.
A pesar de la insistencia de numerosos autores sobre la necesidad de
realizar actividades diversas, como las indicadas por Martínez Montero, para la
comprensión y dominio del sistema de numeración, en nuestra opinión, una
cuestión básica es que dichas actividades se planteen con un nivel de
abstracción (manipulativo-vivencial, gráfico o simbólico) adecuado a las
competencias del sujeto, ya que en caso contrario las dificultades pueden
mantenerse en lo relativo a la comprensión del mismo, aunque pueda aprender
determinados algoritmos de identificación de unidades.
Cuando se procede a evaluar el dominio de la numeración por parte de un
alumno es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones:
a) En primer lugar, es necesario subrayar que el uso de los números
(contar) no significa que se posea la noción de número. Ya que la
comprensión de la noción de número se pone de manifiesto a través
de la ejecución correcta de actividades como:
- Completación/continuación de series ascendentes y
descendentes de números.
- Identificación de los números "vecinos" de otro dado.
b) La comprensión del sistema numérico decimal no puede
comprobarse mediante la ejecución de las actividades de
descomposición habituales (p.e.:?Cuántas unidades, decenas y
centenas tiene el número 234¿) ya que el alumno puede aplicar un

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algoritmo de identificación que no implique la comprensión del valor
posicional, por ello será necesario utilizar actividades como:
- Consideración simultánea de las unidades de un números.
- Actividades de composición
Para finalizar, queremos resaltar el papel preponderante que tiene en el
dominio del sistema de numeración los conocimientos previos que el sujeto
posea en un momento determinado.
2.3. El cálculo numérico.
A los aprendizajes anteriores, en la Etapa Primaria se le deben añadir
aquellos otros que afectan específicamente a la correcta adquisición de las
operaciones de cálculo aritmético, aunque es preciso distinguir distintas
dificultades en relación con esta nueva faceta.
(A) Comprensión de las operaciones.
La primera tiene que ver con la comprensión de los conceptos mismos de
suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces, etc., que son a menudo
asimiladas en términos puramente algorítmicos, es decir, como procedimientos
mecánicos que se aplican rutinariamente para la obtención de un resultado.
No olvidemos en este sentido, que el propio término «operaciones» trata
de expresar que nos encontramos ante «acciones interiorizadas» que
conforman un sistema de relaciones lógico-matemáticas entre ellas: sólo así es
posible realizar una adquisición comprensiva de las propiedades de cada una
de ellas (que suelen estudiarse de manera absolutamente desconectada de las
operaciones reales mismas) y, sobre todo, emplear ese conocimiento en la
resolución de problemas y, más adelante, en la realización de aprendizajes
matemáticos más complejos y de nivel jerárquico superior.
Lo cierto es que este aprendizaje no suele constituir motivo de consulta al
orientador escolar porque, generalmente, el propio profesorado de la etapa no
considera su enseñanza como algo importante o, al menos, al alcance de sus
alumnos y alumnas; causa más preocupación, entonces, otro tipo de problemas
más relacionados con una insuficiente automatización de cálculo, hábitos
incorrectos de resolución de las operaciones escritas, etc...
(B) La “mecánica” de las operaciones aritméticas.
Con este expresión queremos referirnos a uno de los problemas más
frecuentes en los primeros años de la escolaridad obligatoria; en concreto,
incluimos aquí la persistente tendencia a realizar los cálculos escritos en
órdenes inadecuados (sumar y restar comenzando desde la columna situada a
la izquierda, multiplicar sin ordenar el producto de cada multiplicación -cuando
el multiplicador tiene dos o más cifras- comenzando por dejar libre la columna
de la derecha, etc.), los errores de cálculo derivados de imprecisiones en la
suma, resta, multiplicación o división de dos cifras, inexistencia o imprecisión

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en el cálculo mental, etc. En definitiva, un conjunto de errores que suelen
relacionarse con:
- las dificultades ya comentadas,
- la falta de una práctica suficientemente bien supervisada,
- la falta de atención, y
- la inexistencia de estrategias de verificación en el desarrollo de
tareas que se ejecutan mecánicamente, aplicando una secuencia de
pasos impuestos sin explicación y memorizada sin más.
El dominio de las cuatro operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y
dividir) es uno de los objetivos de la enseñanza elemental, al igual que otros
cálculos más complejos (potencias, raíces, logaritmos...) lo son de la educación
matemática de la Educación Secundaria.
En relación con las llamadas operaciones básicas, según algunos
autores, antes de ser iniciados en el cálculo escrito de estas cuatro
operaciones, los niños deben adquirir los conceptos y los símbolos de las
mismas. Y también, el aprendizaje de los algoritmos, es decir, procedimientos
de cálculo compuestos por una secuencia ordenada de pasos que permiten
llegar a la solución correcta en operaciones con multidígitos.
A partir de las experiencias informales y formales de contar, los niños van
elaborando los conceptos básicos de adición, sustracción, multiplicación y
división, así como los algoritmos para su resolución.
En la suma se utilizan estrategias que van desde el apoyo de los dedos u
objetos físicos al uso de las combinaciones numéricas básicas, pasando por los
algoritmos de cálculo escrito y por las estrategias y reglas de cálculo mental
que se apoyan en la composición y descomposición de los números ( por
ejemplo, para calcular 5 + 3, se usa la estrategia de sumar 5 + 5 quitando 2),
produciéndose los errores más frecuentes con las «llevadas», en la alineación
o colocación correcta de las cifras y en los procedimientos de llevada cuando
está presente el cero.
Para la sustracción , los niños también desarrollan y aplican estrategias
que varían en función de los problemas a resolver, del grado de abstracción de
la tarea y de la edad. La sustracción, en general, al suponer mayor nivel de
complejidad, no es dominada hasta tercero o cuarto de Primaria. La
comprensión de esta complejidad y el dominio de las estrategias de resolución
no es un proceso de todo o nada, sino que supone la ascensión gradual de un
camino no exento de dificultades.
Si se tiene bien adquirido el concepto de adición, el de la multiplicación no
presenta grandes dificultades, ya que la multiplicación se representa como la
adición sucesiva del mismo número. Los errores más frecuentes están
relacionados con las combinaciones básicas, con la suma de los números que
se llevan, con la escritura de una hilera de ceros cuando hay un cero en el
multiplicador, con los errores en la adición y al tomar el multiplicando como
multiplicador.
En cuanto a la división, al ser la operación inversa a la multiplicación
implica una reorganización de este concepto, cuyo resultado final debe ser una

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estructura de conocimiento aritmético unificada que incluya las cuatro
operaciones. Ello significa la consolidación de una red de conexiones entre los
diferentes conceptos aritméticos, que es la que permitirá su aplicación flexible.
En cualquier caso, el aprendizaje de la división es el más difícil de todos los
algoritmos:
-porque se lleva de izquierda a derecha, al contrario que los
anteriores,
-porque aporta dos resultados, cociente y resto; en los anteriores
sólo uno,
-porque requiere que los otros algoritmos estén automatizados, y
-porque es un procedimiento sólo semiautomático, ya que tiene una
fase de tanteo que conlleva ciertas probabilidades como que el resto
sea mayor que el cociente.
Estos errores suelen tener su origen en un mal aprendizaje, de manera
que, cuando algunos de los pasos del procedimiento no están claros, el niño
inventa una regla, generalmente inadecuada, para resolver la situación. Así, los
errores más frecuentes en las operaciones básicas de los alumnos con DAM
(Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas), son:
- operar sin tener en cuenta la posición,
- operar de izquierda a derecha,
- omitir el cero y
- errores con las llevadas,
sosteniendo como principio general que la mayoría de los errores se producen
por una inadecuada o incompleta asimilación del valor posicional de los
números.
Cuando las dificultades aparecen en otras operaciones matemáticas más
complejas (como las potencias, raíces, logaritmos, etc.), a menudo los orígenes
suelen remontarse, de un lado, a un inadecuado dominio de las operaciones
básicas implicadas (estas operaciones siempre suponen el dominio de las
operaciones básicas) y, de otro, a un inadecuado aprendizaje del algoritmo
correspondiente de otro.
(C) Errores conceptuales en el cálculo.
Con esa tercera categoría de dificultades nos referimos a todos aquellos
errores que se derivan de la inexistencia de los conceptos adecuados.
Posiblemente, el más frecuente de ellos tenga que ver con las habitualmente
denominadas «restas con llevada», es decir, cuando en la sustracción nos
encontramos con que la cifra del sustraendo en una posición dada (unidades,
decenas, centenas,...) es mayor que la correspondiente en el minuendo; en
este caso, no existen problemas si el alumno comprende, aunque sea
intuitivamente, que el «déficit» de esa determinada posición en el minuendo
desaparece cuando trasladamos a él una «unidad secundaria» de la posición
siguiente (es decir, para restar 9 a 27, este último 7 se aumenta hasta 17, pero
ello implica que ya sólo queda un decena, en lugar de dos, en la siguiente

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columna). Cuando tal comprensión no existe, el alumno se ve entregado a
practicar un ritual incomprensible y arbitrario de «préstamos entre vecinos»
sujeto a una secuencia de actos que, en cuanto falla en cualquier eslabón,
condena al error.
Otro tanto cabe decir de las dificultades para el cálculo con números
fraccionarios, la obtención de porcentajes, etc. o la realización de operaciones
más complejas.
(D) Lectura y escritura de símbolos numéricos.
La expresión símbolos numéricos escritos incluye, en el sentido que aquí
se le da, tanto a los números propiamente dichos como a los símbolos de las
operaciones numéricas (+, -, x, /) y aquellos otros que representan relaciones
matemáticas esenciales (=, =, >, <, ...). Evolutivamente, se adquiere antes el
reconocimiento de estos símbolos y el acto de nombrarlos que su escritura,
siendo relativamente lento el proceso que permite al niño terminar por leer y
escribir los signos y los números, lo que implica el aprendizaje, además, del
valor posicional de estos últimos.
Este tipo de error ha sido investigado bastante en la historia del trabajo
sobre dificultades del aprendizaje matemático, ya que es muy evidente su
presencia, que ha ido asociada tanto a trastornos específicos (lesiones
cerebrales con efecto sobre las adquisiciones matemáticas), como a
dificultades evolutivas, que serían las más frecuentes en la escolaridad
obligatoria, el la cual aparecen con abundancia -en particular en el primer ciclo
de primaria- los fallos en la identificación de los números, confusiones entre
números semejantes, confusión en la lectura de los signos de operación y,
sobre todo, de relación, escritura «en espejo» de números, cambios
posicionales de cifras, omisiones de números, etc.
Respecto a la incidencia de dificultades en este tipo de aprendizajes, hay
que decir que aparecen como algo muy corriente durante la fase de iniciación
de los alumnos en numeración y cálculo aritmético, persistiendo a veces hasta
los 8 ó 10 años en alumnos de medios desfavorecidos e, incluso, en grupos-
clase completos que han sufrido una enseñanza inicial irregular.
Se trata, pues, de un fenómeno natural en ciertos momentos del proceso
de aprendizaje matemático; más allá de ese punto, sin embargo, son errores
que no suelen persistir sino en sujetos con discalculia asociada a trastornos
específicos de la lecto-escritura, así como en algunos alumnos impulsivos e
hiperactivos.
La evaluación del nivel de competencia de un sujeto respecto a las
operaciones aritméticas, es necesario diferenciar su comprensión de su
dominio algorítmico. La evaluación de este último, puede realizarse con una
colección de ítems relativos a cada operación y secuenciados en orden de
dificultad, como por ejemplo la siguiente referida a la suma:
- Sumas de dígitos que totalizan menos de 10 (p.e.: 7 + 2).
- Sumas de números con dos cifras sin "llevadas" (p.e.: 27 +11).

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- Sumas de dos números de una y dos cifras, "sin llevadas"(p.e.:
12+7).
- Sumas de dos dígitos rebasando la decena (p.e.: 6 + 9).
- Sumas de tres dígitos:
a) Sin rebasar la decena (p.e.: 3 + 4 + 2)
b) Rebasándola en el tercer sumando (p.e.: 3 + 5 + 3).
c) Rebasándola en el segundo solamente.
- Etc.
Este tipo de colecciones, que resulta fácil elaborar una el automatismo de
cada operación básica, conforman lo que se denomina una prueba analítica,
que nos permite chequear en poco tiempo, y de manera sistemática, los
distintos logros y errores de un alumno o alumna.
A la hora de evaluar el dominio de las operaciones aritméticas por los
alumnos es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones:
a) En la valoración de cada operación es necesario diferenciar su
comprensión del dominio algorítmico que se posea de la misma, ya
que pudiera ocurrir que un alumno poseyera uno y no el otro.
b) Se deben emplear diferentes modelos de operaciones: verticales
y horizontales.
2.4. Resolución de problemas.
En cuanto a la resolución de problemas, aunque no lo parezca a veces,
está claro que constituye uno de los objetivos finales en la enseñanza de las
matemáticas en la escuela obligatoria, para cuya consecución no basta con
que el alumno domine las operaciones elementales de cálculo: requiere un
aprendizaje específico de ciertas habilidades de representación, reglas y
estrategias generales y específicas, así como de la capacidad de traducir de
unos lenguajes (modos de representación) a otros.
Además de todo ello, el aprendizaje de esta capacidad incluye la
comprensión de los enunciados, que exige la decodificación adecuada del
mensaje verbal para formarse una representación mental adecuada al estado
de cosas descrito en el problema, y la habilidad para establecer relaciones
entre los conceptos y procedimientos implicados para, desde ahí, analizar las
vías de solución posibles en cada caso y valorar cuál de ellas es la apropiada.
En cualquier caso, para entender el modo en que el alumno llega a
aprender a resolver correctamente los problemas matemáticos (o por qué no
llega a hacerlo), es necesario analizar el concepto mismo de problema y el
conjunto de operaciones mentales implicadas en su resolución.
Así, comenzaremos señalando que un problema puede considerarse, en
general, como una situación en la que a partir de un cierto estado de cosas
inicial se trata de alcanzar una meta identificando y aplicando el único
procedimiento adecuado o seleccionando uno entre varios posibles; en este
sentido, podría afirmarse que existe un problema siempre que la situación

14. 96
actual sea diferente de la situación (meta) deseada... Por ejemplo, si queremos
tomar una copa de vino de una botella cerrada, hemos de resolver el problema
de abrirla.
Resolver un problema, por tanto, comporta pasar de una situación a otra,
realizar ciertas operaciones sobre el estado inicial para alcanzar el objetivo: si
queremos tomarnos esa copa de vino, una posible solución es tener un
sacacorchos a mano y probar a abrir la botella.
Finalmente, en el proceso de resolución de cualquier problema es posible
que tengamos que enfrentarnos a unas reglas que especifican cuáles son las
operaciones que están permitidas, y que se conocen como límites o
restricciones.
Dada esta naturaleza de los problemas, en el proceso de resolución
podríamos distinguir, al menos, dos partes principales, la de representación del
problema, en la que debemos construir un modelo del estado de cosas que
representa el enunciado, y la solución del problema propiamente dicha, que
consistiría en la aplicación del procedimiento apropiado (los operadores mate-
máticos, en el tema que nos ocupa) para alcanzar la meta final perseguida a
partir de la situación de partida. No obstante, cada una de estas fases supone
la ejecución correcta de una serie de pasos o tareas.
Como es obvio, en los diferentes tipos de problemas matemáticos que
pueden plantearse, tales tareas no se dan en compartimentos siempre
independientes y perfectamente distinguibles unos de otros; bien al contrario,
las lindes entre ellos suelen ser difusas durante el proceso mismo de la
resolución del problema; así, la planificación y la ejecución pueden presentarse
juntas dado que, en ocasiones, no podemos estar verdaderamente seguros de
haber elegido la estrategia correcta hasta no haberla ejecutado y haber
observado si se ha logrado hacerla funcionar.
(A) Fases en la resolución de problemas.
Además, cuando se resuelve un problema, no siempre se es consciente
de que se está procediendo mediante una secuencia lineal que respeta el
orden en que aquí se presentan las diferentes tareas sino que, por ejemplo,
uno puede empezar por planificar la solución del problema antes de ser
consciente de la traducción del problema mismo. Para resolver el problema de
las prendas de vestir es posible que alguien, que haya desarrollado antes con
éxito la estrategia de construir una tabla numérica de doble entrada y
completar los datos que faltan, comience aplicando dicha estrategia aún antes
de que sea consciente de los términos en que está definiendo el problema.
1) La traducción del problema. De los componentes mencionados, el
pri-mero (la traducción del problema), supone definirlo; es decir, transformar
cada proposición del problema en una representación interna. Cuando
traducimos un problema nos valemos de las ideas y conceptos elaborados por
personas que ya se han enfrentado con problemas similares o, incluso,
desarrollamos nuestras propias ideas y conceptos. La creación de unidades de
medida tales como litros de gasolina por cada cien kilómetros, tasa de éxito en
la universidad, índice de precios al consumo... son otros tantos ejemplos a
propósito.

15. 97
Veamos un ejemplo tomado de Bransford y Stein (Solución IDEAL de
problemas; Editorial Labor), en el que el problema es el siguiente: Un
estudiante dedicó 22 horas de estudio a la preparación de sus exámenes de
Lengua, Matemáticas e Historia. Si dedicó el doble de tiempo a Lengua que a
Matemáticas y 3 horas menos a Historia que a Lengua, ¿cuánto tiempo dedicó
a cada asignatura?
Al traducir el problema, el alumno considera cada una de las materias de
forma independiente, es decir, define el tiempo dedicado a la preparación del
examen de Lengua como no vinculado con el tiempo dedicado a la preparación
del examen de Matemáticas o al de Historia; consecuentemente, resuelve
dividiendo las 22 horas entre las tres asignaturas mencionadas y, claro es, se
equivoca.
Una forma diferente de traducir el problema es a partir de proposiciones
que incluyan las relaciones entre los tiempos de preparación de dos
asignaturas. Así, decimos que el tiempo dedicado a Matemáticas es L/2 (la
mitad que el dedicado a Lengua) o que el tiempo dedicado a Historia es L-3
(tres horas menos que las dedicadas a Lengua).
2) La integración del problema. El segundo componente, la integración
del problema, implica agrupar las proposiciones textuales del problema en una
representación coherente. Esa representación que hace el alumno refleja su
forma de entenderlo (p.e.: "Es un problema de regla de tres simple") y, por
consiguiente, está asociada al conocimiento que posee acerca del tipo de
problemas matemáticos que se le pueden plantear. El alumno, por tanto, utiliza
su conocimiento esquemático para situar las proposiciones extraídas del
enunciado del problema dentro de una de las categorías de problemas con las
que ya ha tenido alguna experiencia previa.
Los investigadores conciben el esquema como una estructura de
información modificable que representa conceptos genéricos almacenados en
la memoria. En este sentido, los esquemas contienen una información
prototípica sobre las situaciones experimentadas frecuentemente y se utilizan
para interpretar nuevas situaciones y observaciones.
Supongamos que, en medio de la zaragata de la cena de fin de año,
alcanzamos a oír en la televisión la siguiente noticia: El toro no embestía al
caballo ... el picador sobrepasó la raya ... el matador pagó una multa a la
autoridad.
Para poder entender un incidente como éste, bastante frecuente en las
plazas de toros, la persona que escucha la noticia en la radio debe poseer un
buen conocimiento sobre la lidia de reses bravas. Este conocimiento previo se
representa en la memoria mediante un esquema que especifica las reglas del
juego que deben observar las personas que participan en una corrida de toros,
las funciones y cometidos que tiene cada uno (picador, subalternos, matador,
presidente, etc.) en el desarrollo de la lidia y el tipo de situaciones que
acontecen durante la misma.
La teoría de los esquemas supone que existen estructuras (esquemas) en
la memoria para las situaciones repetidas que se experimentan, y que una
función importante de los esquemas es la de construir interpretaciones de
nuevas situaciones. Los objetos de un esquema pueden entenderse como

16. 98
variables o "ranuras" en las que puede acomodarse la nueva información. Si se
rellenan suficientes ranuras de un esquema determinado, éste se convierte en
activo. Un esquema activo puede guiar al sujeto en la búsqueda de información
para rellenar las restantes ranuras pero, si esa información adicional no está
disponible en el entorno, se rellenarán sus ranuras con la información normal
de una situación determinada, se activarán sus procedimientos y se accederá a
cualquier otro conocimiento que contenga.
En efecto, el esquema es una estructura prototípica que puede incorporar
fenómenos observados, gracias a la cual las personas reaccionamos a menudo
muy rápida y eficazmente ante nuevos estímulos. Así, en los diversos estudios
pudo comprobarse que los alumnos eran capaces de categorizar los problemas
de forma casi inmediata. Después de oír las primeras palabras de un problema
como "Un barco fluvial recorre 36 kms a favor de la corriente...", un alumno
puede decir: "¡Ya está! Éste es uno de aquellos problemas de corriente de
ríos".
Otros investigadores, como Robinson y Hayes, han encontrado que los
alumnos utilizan sus esquemas para hacer juicios acertados respecto a cuál es
la información importante en un problema y cuál es la accesoria.
Si aplicáramos las conclusiones de estos investigadores a un problema
como éste:
"Dos estaciones de ferrocarril distan 100 kilómetros. A la una del
mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren,
cada uno de los cuales se dirige hacia el otro. En el instante en que los
trenes arrancan, un halcón echa a volar en el sentido de la marcha del
primer tren, hasta la máquina del segundo tren. Cuando el halcón alcanza
el segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero. El halcón
prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan. Supongamos que
ambos trenes viajen a la velocidad de 50 km/h. y que el halcón vuele a la
velocidad constante de 200 km./h: cuando los trenes se crucen, ¿cuántos
kilómetros habrá recorrido el halcón?" (Bransford y Stein, obra citada),
veríamos que en él resultan accesorias la mayoría de las informaciones (a la
una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren,
echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren hasta la máquina del
segundo tren, cuando el halcón alcanza el segundo tren, da media vuelta y
vuela en dirección al primero, el halcón prosigue de igual modo hasta que los
trenes se cruzan,...); en cambio, son relevantes las informaciones relativas a la
velocidad de los trenes y del halcón o la distancia entre estaciones.
Cuando un alumno utiliza un esquema equivocado para comprender un
problema, tiene bastantes dificultades para hallar la solución correcta, al igual
que cuando el alumno no posee el esquema de un tipo de problema
determinado, bien porque no lo conozca o porque se trate de un tipo de
problema poco habitual en su experiencia previa.
Por ejemplo, consideremos el problema del reloj y la pulsera, y ana-
licemos algunas de las dificultades que pueden planteársele al alumno cuando
no conoce este tipo de problemas.

17. 99
El precio de la pulsera de un reloj es igual a la tercera parte del precio del
reloj. El reloj con la pulsera cuesta 2.400 pesetas ?Cuál es el precio de la
pulsera?
Una posible respuesta puede ser: 1/3 de 2.400 = 800. Por tanto, el reloj
vale 1.600 y la pulsera vale 800. En este caso, no se ha interpretado
correctamente la proposición "el precio de la pulsera ... es igual a la tercera
parte del precio del reloj, dado que el precio del reloj debería ser igual al triple
del precio de la pulsera (el inverso de 3 es 1/3) y con la solución aportada no lo
es (1.600 no es el triple de 800).
Si el alumno hubiera conocido los problemas sobre múltiplos y divisores
hubiera procedido de forma diferente. Así, utilizando dicho esquema diría:
"Dado que el precio de la pulsera es igual a un tercio del precio del reloj, el
precio del reloj será igual al triple del precio de la pulsera; el precio total incluye
el del reloj y el de la pulsera y, por tanto, el precio de la pulsera es 1/4 del total.
Por consiguiente 1/4 + 3/4 = precio total".
Existen muchos ejemplos de aplicaciones de esquemas inadecuados para
resolver problemas. Algunas de las confusiones más frecuentes al seleccionar
los esquemas a utilizar son: problemas de sumas por problemas de restas;
problemas de m.c.m. por los m.c.d.; problemas de correlación por problemas
de contraste, etc.
Por todo lo expuesto, cada vez está más extendida la idea de que se
necesitan y, por ende, se usan esquemas cognitivos para integrar o
comprender los problemas. Como hemos visto, esos esquemas representan
modos ya experimentados de abordar un problema, que traemos de nuestra
memoria para afrontar el mismo tipo de problema o uno similar al que alguna
vez hemos resuelto. Integrar la información relativa a un problema requiere, sin
duda, un conocimiento específico de los tipos de problemas.
En el ejemplo de la dedicación del estudiante a la preparación de los
exámenes, que veíamos hace un momento, la tarea de integración requiere
reunir las distintas proposiciones que afectan a las relaciones entre las horas
invertidas en las asignaturas. Lo que el estudiante dedica a preparar sus
exámenes es, en realidad, L + L/2 + L-3. Estamos utilizando un esquema que
corresponde al de la resolución de una ecuación con una sola incógnita: x + x/2
+ x-3 = 22.
3) La planificación de la solución. Un nuevo componente, la
planificación de la solución, aborda el diseño de un plan para solucionar el
problema, esto es, para resolver problemas se necesita poseer alguna
estrategia acomodada a las propias exigencias de cada problema: tantear,
hacer un dibujo que represente cosas y sus relaciones, pensar un problema
más fácil, hacer una tabla o empezar por el final (se parte del resultado final y
se van recorriendo los pasos pero al revés)... son algunas de las estrategias
que los alumnos ya aprenden en el último ciclo de la Educación Primaria.
En matemáticas, nos valemos de estrategias generales aplicables a un
sinfín de tipos de problemas (p.e. empezar por el final) y, desde luego,
aprendemos a apoyarnos en estrategias desarrollados por otros para afrontar
un tipo particular de problemas (p.e. los que se utilizan para encontrar el área
bajo la curva normal).

18. 100
Consideremos, en primer lugar, las estrategias generales que utilizamos
al planificar la solución de un problema.
Una de ellas es la conocida como pensar un problema más fácil y
consiste en considerar un problema que sea parecido al que tenemos, pero que
sepamos hacer. Veamos el siguiente problema tomado de nuevo de la obra de
Bransford y Stein: Es usted el director de un campeonato de tenis, que ha de
celebrarse próximamente. Se han inscrito 103 participantes en el torneo, que
se juega por simple eliminación (en cuanto pierda una vez, el jugador queda
eliminado). Si hace falta para cada encuentro una ficha de puntuaciones e
incidencias, ¿cuántas serán necesarias, suponiendo que todos los jugadores
comparezcan?
Se trata de un problema del tipo N-1 y que puede resolverse más
fácilmente si probamos primero una situación concreta más sencilla como p.e.
N = 3. De este modo, podemos comprobar que siempre se necesita un número
de fichas de puntuaciones e incidencias menor (una unidad) que el total de
participantes.
En el problema "El cociente de dos números es 3 y su suma 72, ¿qué
números son?", la estrategia más adecuada podría ser el tanteo; en cambio, en
el problema "Teresa compra un lote de tres cuadernos en espiral tamaño folio y
una mochila para ir al colegio por 1.344 pesetas. La mochila cuesta 297
pesetas más que el doble del lote de cuadernos ¿Cuál es el precio de cada
cosa?" (Matemáticas 6º Primaria. Editorial SM) la estrategia más adecuada
podría ser la de empezar por el final (si a 1.344 le restamos 297, queda el
precio de tres lotes iguales de cuadernos).
Respecto a las estrategias específicas, habría casi tantas como tipos de
problemas puedan identificarse en matemáticas. Veamos como muestra un
problema en 4º Curso de Primaria (Editorial Santillana): Inés y Álvaro están
haciendo una carretera para jugar a las chapas. Inés ha hecho 2 m y 48 cm. de
carretera y Álvaro 1 m y 73 cm. ¿Cuántos centímetros de carretera han hecho
en total?
Por muy elemental que nos parezca el problema, para resolverlo un
alumno necesita conocer la estrategia específica que le permite situar todas las
medidas en una misma unidad y, por supuesto, necesita conocer que un 1
metro equivale a 100 centímetros. Veamos ahora un problema más
complicado, que puede ayudarnos a entender mejor el concepto de estrategia
específica:
Aplicamos una prueba de inteligencia a una muestra de 129 estudiantes
universitarios de menos de 20 años y obtenemos una media de 28 y una
desviación típica de 4,59. Igualmente aplicamos la misma prueba a otra
muestra de 95 estudiantes universitarios comprendidos entre los 20 y 24
años de edad, y obtenemos una media de 25,36 y una desviación tipo de
5,07 ?Podemos afirmar a un nivel de confianza del 5% que la población
de universitarios menores de 20 años es más inteligente que la de 20-24
años?
Como habrá observado, se trata de un problema de comparación entre
medias en grupos independientes y, para resolverlo, el alumno debe conocer la
estrategia que le lleva a aplicar una fórmula de comparación determinada (z =

19. 101
*x1 - x2 * / s s2/N1-1 + s2/N2-1), a operar con un riesgo concreto a= 0.05 y a
decidir en función del valor teórico encontrado para z.
4) La ejecución de la solución. Esta última etapa implica que el alumno
efectúe una serie de operaciones , que pueden ser tan simples como los
implicados en la suma o tan complejos como los asociados al cálculo
infenitesimal y, contra lo que pudiera pensarse en un principio, no es en
absoluto un mero trámite; incluso cuando todo lo anterior ha sido correcto,
hasta que ponemos en práctica la solución ideada no podemos estar
completamente seguros de que las etapas anteriores se hayan cubierto de
forma adecuada. Sólo al ejecutar la estrategia de resolución podemos verificar
la adecuación del proceso seguido.
En la muy citada obra de Holt How Children Fail, que describe las
conductas de los alumnos en la escuela y el tipo de actuaciones que les llevan
a suspender en determinadas materias, se destaca que con frecuencia los
alumnos no piensan demasiado en la estrategia a seguir para resolver un
problema, así como que una vez hecha la elección la aplican a ciegas, sin
verificación de ningún tipo.
Por ejemplo, uno de los chicos que Holt describe estaba trabajando en el
siguiente problema: Si tenemos 6 jarras y queremos verter en cada una 2/3 de
libro de limonada, ¿cuánta limonada nos hará falta? y respondió que18 litros.
Holt le preguntó entonces "¿Cuánto hay en cada jarra?", a lo que respondió
"¡Dos tercios de litro!". A continuación, Holt le preguntó si esa cantidad era
mayor o menor que un litro y, tras decir el alumno que menos, le volvió a
interrogar: "¿Cuántas jarras hay?", a lo que el chico contestó que eran 6.
Cuando se le hizo observar que, si había seis jarras y todas contenían menos
de un litro, la respuesta "18 litros" era absurda, el chico se limitó a encogerse
de hombros: "¡Eso es lo que sale al calcularlo!".
Otros ejemplos parecidos tienen lugar cuando el alumno obtiene como
media de un conjunto de valores otro valor superior a cualesquiera de ellos,
cuando la probabilidad de un suceso aleatorio es superior a la unidad o cuando
la suma de las partes superan al todo. Emplear el tanteo (cuánto puede dar
esto) puede ser una estrategia adecuada para pronosticar una solución
aproximada y verificar lo verosímil de la solución finalmente encontrada al
problema.
(B) Conocimientos implicados en la resolución de problemas.
Cada uno de los componentes en la resolución de problemas requiere de
una serie de conocimientos en el alumno.
La traducción del problema requiere algún conocimiento del lenguaje por
parte del alumno que le permita, por ejemplo, transformar la proposición: Juan
tiene cinco duros más que Pedro, en una relación cuantitativa entre las dos
variables implicadas (Juan y Pedro), pero, también requiere de algún tipo de
conocimiento general que permita al alumno, en el ejemplo, entender
afirmaciones del tipo Juan tiene un duro como equivalentes a Juan tiene cinco
pesetas.

20. 102
Por su parte, la integración del problema demanda del alumno alguna
forma de conocimiento estructurado que le ayude en su representación del
problema, es decir, el alumno debe poseer cierto conocimiento esquemático del
tipo de problemas que se le pueden presentar. Un esquema contiene una
información prototipo sobre las situaciones que ya hemos experimentado con
anterioridad y que, una vez recuperadas de la memoria, utilizamos para
interpretar nuevas situaciones y observaciones. En el ejemplo, el alumno tiene
que identificar el problema como un problema de comparación en el que deben
compararse dos variables entre sí.
En la planificación de la solución, el alumno debe poseer algún
conocimiento heurístico o estratégico de la resolución de problemas.
Finalmente, la ejecución de la solución demanda del alumno algún
conocimiento sobre los procedimientos de solución, es decir, sobre los
conocimientos algorítmicos. En nuestro ejemplo, el alumno tiene que saber
sumar, de modo que pueda resolver que la suma de 3 +5 es igual a 8.
Relacionado con el tipo de conocimiento necesario para resolver un problema
está el de los distintos tipos de problemas de matemáticas a los que se
enfrentan los escolares, como resultado de las exigencias que se derivan del
propio currículum de educación primaria y educación secundaria.
De cara a la intervención con alumnos que tienen dificultad en la
resolución de problemas, la mayor parte de los autores y programas existentes
se centran en mayor o menor medida en cada una de estas tres fases. En
general, y de cara a la práctica educativa convendrá tener en cuenta las
siguientes recomendaciones:
-Que el alumno comprenda el problema, antes de pensar en la forma
de resolverlo, para lo cual es necesario que se acostumbre a leerlo
varias veces y desentrañar cada uno de los conceptos del mismo.
-Que preste atención a las ideas fundamentales y las ordene según
su importancia o en secuencias espacio-temporales.
-Que el problema a resolver se simplifique al máximo para hacerlo
más comprensible, aplicando el principio científico de la parsimonia,
redactándolo de una manera más sencilla, breve y comprensible.
-Que aprenda a analizar la estructura semántica subyacente a los
problemas, ya que según como sea presentará niveles de dificultad
distintos. En este sentido, generalmente se distinguen tres tipos de
problemas (de cambio, combinación y comparación), siendo los de
cambio los más fáciles y los de comparación los más complejos. De
ahí que se insista en la necesidad de instruir al alumno en
procedimientos a través de los cuales aprenda a realizar análisis y
esquemas.
En cuanto a la evaluación de la resolución de problemas, pueden
aplicarse colecciones de problemas del estilo de los mencionados para cada
operación de cálculo, la que implicaría en el caso de los problemas de suma,
una colección incluyendo:
a) Problemas que exigen los diferentes tipos anteriores de sumas
para su resolución.

21. 103
b) Problemas en donde los elementos objeto de adición son de
diferente naturaleza (homogéneos, heterogéneos, magnitudes
diversas).
c) Problemas que exigen diferentes vías de solución (una suma
simple y directa, trabajo con números negativos, problemas que
ofrecen distintas alternativas de solución posibles, problemas que
exigen una respuesta diferente al algoritmo aritmético, problemas en
donde debe inventarse un texto para una solución ofrecida...).
El empleo de tipo de colecciones respecto a los diferentes tipos de
problemas debe completarse con una valoración explícita de los aspectos
conceptuales del aprendizaje matemático: noción de número, concepto de
decena, de centena, comprensión del sentido de las operaciones aritméticas,
etc. En cualquier caso, lo que estos ejercicios deben permitirnos es averiguar
en que fase de la resolución del problema aparecen las dificultades: traducción,
integración, planificación o ejecución de la solución; con la finalidad de que
sirva de punto de apoyo fundamental en el ajuste correspondiente del
programa educativo.
2.5. Otros conocimientos matemáticos.
Aunque la investigación educativa se ha centrado principalmente en la
numeración, cálculo y resolución de problemas, vamos a considerar, aunque
sea muy brevemente los contenidos de las categorías restantes relacionadas
con la estimación, el uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales,
medida y geometría.
La estimación se refiere al ejercicio o capacidad de calcular el resultado
de un problema antes de resolverlo, o mejor, es una forma de cálculo mental
utilizada con frecuencia en la vida cotidiana. Además, juega un papel
importante en los procesos de control de la propia actividad matemática el
poner de relieve las incoherencias entre el cálculo realizado y el estimado.
También es necesaria cuando sólo se pueda dar una respuesta aproximada,
así como para resolver situaciones que demandan una rápida respuesta y no
es posible realizar los cálculos exactos. Se lleva a cabo mediante:
-el redondeo o reformulación de los números para hacerlos más
manejables,
-el ajuste o compensación para anular una operación, haciendo otra
equivalente en dirección contraria y
-por selección de otra estrategia cambiando la estructura del
problema, por ejemplo, si es de sumar por una multiplicación.
El dominio de las magnitudes (unidades de longitud, peso, superficie,
volumen y sistema monetario) constituyen uno de los aprendizajes
matemáticos de mayor utilidad práctica ya que forman parte de la vida cotidiana
de manera habitual, y el alumno se va a ver condenado a uso. En dicho
dominio inciden dos tipos de dificultades: de una parte, las derivadas de la
ausencia de dominio de las operaciones básicas; y de otra, las que tienen
relación directa con los conocimientos que implican cada una de ellas.

22. 104
3. LAS DIFICULTADES EN LOS APRENDIZAJES
MATEMÁTICOS
Aun cuando las dificultades específicas con los aprendizajes matemáticos
son un motivo relativamente infrecuente de consulta y derivación en la Etapa
Primaria, más marcada por los problemas relacionados con las dificultades en
la lengua escrita, ello no supone que no haya problemas en este ámbito;
simplemente, la debilidad de los aprendizajes adquiridos en matemáticas
durante la etapa de los 6 a los 12 años suele manifestarse con más fuerza en
la Secundaria, cuando el fracaso en el área aparece como el más notorio y
escandaloso (aunque, todo hay que decirlo, no es un problema exclusivo de
nuestro país).
Consecuentemente, contamos con una cierta cantidad de investigación
acerca de las dificultades de aprendizaje en el área matemática; una
investigación que a menudo se ha llevado a cabo desde perspectivas
diferentes, cuando no enfrentadas, dependiendo de las teorías del aprendizaje
en las que se apoyan, y aunque son muchas esas teorías, lo cierto es que la
mayor parte de los trabajos se han realizado desde dos perspectivas: la
neuropsicológica y la cognitiva.
Como en el caso de la lecto-escritura, la perspectiva dominante ha sido
durante muchos años (y lo es todavía, en parte, en el ámbito profesional,
aunque no en el investigador) la neuropsicológica, que relaciona las dificultades
en estos aprendizajes con alteraciones en las funciones cerebrales y
dispositivos básicos del aprendizaje, pudiéndose advertir, como en el lenguaje
escrito, tanto una posición "fuerte" que asocia directa y contundentemente las
dificultades en los aprendizajes matemáticos con alteraciones neurológicas
más o menos concretas, por ejemplo, anomalías en la zona occipito-parietal,
como otra más moderada que sitúa el origen de las dificultades matemáticas en
déficits en la maduración .
Desde ambas posiciones, pese a sus diferencias, se supone que los
aprendizajes matemáticos se edifican sobre una serie de funciones previas y
más generales, como son la orientación espacio-temporal, el esquema
corporal, las aptitudes visomotrices, etc.
3.1. El enfoque neuropsicológico.
La aparición de dificultades en los aprendizajes descritos son,
casuísticamente, muy frecuentes en la Enseñanza Primaria, dado el conjunto
de variables implicadas en el aprendizaje matemático que se comentaba en la
introducción al tema. No obstante, desde el siglo pasado se han venido
identificando individuos que presentan una dificultad específica para los
aprendizajes de tipo aritmético, y si en un principio se trató de adultos que
padecían tales trastornos como consecuencia de lesiones cerebrales
adquiridas, pronto quedó en evidencia que ciertos niños y jóvenes presentaban
alteraciones matemáticas conductualmente semejantes sin que existiera
constatación posible alguna de lesión cerebral adquirida.

23. 105
Términos como los de acalculia y discalculia se acuñaron para referirse
con precisión y de manera particular a trastornos específicos del aprendizaje
matemático no ocasionados por un déficit intelectual global, sino presentes en
individuos de inteligencia normal y que han disfrutado de oportunidades socio-
culturales y educativas apropiadas para adquirir tales aprendizajes; individuos,
además, sin trastornos emocionales graves a los que poder atribuir la dificultad
específica de aprendizaje, tal y como los describe el DSM en su definición de la
dificultad específica del aprendizaje aritmético.
Como en el caso del trastorno específico de la lectura denominado
dislexia (con el que frecuentemente se asocian algunos de los problemas
matemáticos antes descritos), han sido muy diferentes las definiciones y
explicaciones etiológicas propuestas en la literatura especializada. Así, los
primeros investigadores y clínicos interesados por el problema hablaron de la
acalculia como de un trastorno sintomático asociado bien a un déficit primario
unido a una lesión cerebral adquirida (no coexistente con otras alteraciones del
lenguaje ni del razonamiento), bien secundario a otros trastornos de base
verbal o espacio-temporal.
Al generalizarse el tema al mundo de los niños sin lesión cerebral, se ha
tendido más bien a hablar de discalculia, aunque -desde una orientación
neuropsicológica- se ha mantenido la idea de su relación con alguna alteración
neurológica no identificable por su alcance limitado (como «disfunción cerebral
mínima») o, alternativamente, con la insuficiente «madurez» de algunas
funciones neuropsicológicas supuestamente prerrequisito de los aprendizajes
aritméticos. Para los defensores de esta interpretación, la discalculia es un
trastorno estructural de las habilidades matemáticas debido a una alteración del
substrato anatómico-fisiológico de las funciones vinculadas al aprendizaje
matemático (audio-temporales, viso-espaciales...), la cual no afecta sin
embargo al resto de las funciones mentales.
Tradicionalmente, y desde este enfoque, se han venido utilizando
indistintamente los términos de discalculia o acalculia para hacer referencia a la
dificultad para procesar números y realizar cálculos con ellos. Sin embargo
otros autores utilizan el término de «acalculia» para referirse a trastornos
adquiridos como resultado de una lesión cerebral, posterior a la adquisición de
las habilidades matemáticas. Dentro de esta categoría se establecen, a su vez,
dos modalidades: acalculia primaria y secundaria. En la acalculia primaria se
presentan las dificultades sólo en el ámbito de las matemáticas, sin que existan
alteraciones en otras funciones como el lenguaje, la memoria o las habilidades
visoespaciales. En la acalculia secundaria las dificultades matemáticas van
asociadas a trastornos en otras áreas, diferenciándose la acalculia secundaria
atáxica (unida a alexia y/o agrafía de número) y acalculia secundaria
visoespacial (unida a alteraciones visoespaciales. Por otra parte, utilizan el
término de «discalculia» en referencia a la dificultad del alumno para
comprender el número y dominar las combinaciones numéricas básicas y la
solución de problemas.
Kosch, partiendo de esas posibles bases del aprendizaje matemático,
propuso en los años setenta una clasificación muy difundida de diferentes
subtipos posibles de discalculia, que podían presentarse aisladamente o en
combinación:

24. 106
1. Verbal: Incapacidad para comprender conceptos matemáticos y
relaciones presentadas verbalmente.
2. Pratognósica: trastorno en la manipulación de objetos tal y como
es requerida para hacer comparaciones de tamaño, cantidad, etc.
3. Léxica: Describe la falta de habilidad para entender símbolos
matemáticos o números.
4. Gráfica: Discapacidad específica para manipular símbolos
matemáticos mediante la escritura, es decir, para escribir números.
5. Ideognósica: Falta de habilidad para entender conceptos
matemáticos y relaciones entre ellos, además de para efectuar
cálculos mentales.
6. Operacional: Describe la falta de capacidad para efectuar
operaciones aritméticas básicas de cualquier tipo, verbales o
escritas.
Este mismo autor, en un estudio con 68 niños con DAM, encontró que el
35% de ellos mostraban signos menores de trastorno neurológico (dificultades
de orientación derecha-izquierda, agnosia digital, etc.) sugiriendo lo que el
denominó discalculia evolutiva.
Desde la perspectiva que estamos comentando en este apartado, se
considera que el alumno con dificultades específicas para las matemáticas,
discalcúlico, presenta un conjunto más o menos amplio de problemas
añadidos, como son:
(a) Déficits perceptivos: Generalmente, con especial incidencia en el
área perceptivo-visual y más concretamente, en las habilidades de
discriminación, figura-fondo y orientación espacial.
(b) Déficit de memoria: En particular, en el funcionamiento y
resultados de la memoria a corto plazo o memoria de trabajo, que
dificulta mantener activas en el almacén de memoria informaciones
durante un cierto tiempo... Algo, sin duda, problemático para la
realización de operaciones mínimamente complejas y para la so-
lución de problemas.
(c) Déficits simbólicos: Especialmente en el ámbito lingüístico
general, pero que también se registran en las actividades de lectura
y escritura.
(d) Déficit cognitivos que afectan a los procesos elementales de
pensamiento: comparación, clasificación, deducción de inferencias,
etc.
(e) Alteraciones conductuales: Como en la práctica totalidad de los
individuos con trastornos específicos del aprendizaje, suele
apreciarse la tríada hiperactividad/déficit atencional/impulsividad,
unida a menudo a perseverancia.

25. 107
Ana Miranda, resumiendo las descripciones de otros autores, concreta
este conjunto de alteraciones en un «perfil típico» del sujeto con discalculia, el
cual incluiría: déficit en la organización viso-espacial e integración verbal;
déficits en la integración del esquema corporal; apraxia viso-motriz; problemas
de orientación en el análisis y representación de las relaciones espaciales;
déficits de la percepción y el juicio sociales; dificultades para hacer
estimaciones de tiempo y distancia; desequilibrio a favor de las capacidades
verbales frente a las no verbales en escalas de inteligencia tipo Wechsler.
3.2. El enfoque cognitivo.
El estudio e investigación de los aprendizajes matemáticos desde la
perspectiva neuropsicológica tradicional ha recibido en los últimos años,
abundantes críticas, siendo las más importantes las siguientes.
En primer lugar, se critica el hecho de que careciendo de una definición
operativa, rigurosa y universalmente aceptada de "dificultades específicas de
aprendizaje" se parta de una definición descriptiva, realizada en términos
negativos (son alumnos que a pesar de mostrar una inteligencia normal, no
tener problemas emocionales, ni deficiencias sensoriales, tienen un
rendimiento es-colar pobre, definido por las bajas puntuaciones en pruebas de
rendimiento y, naturalmente, por las calificaciones escolares) y se llegue a una
definición positiva: las conciben como una "entidad", como algo que el niño
"tiene" y que probablemente esté causado por alguna alteración neurológica.
La segunda crítica tiene que ver con la relación que se establece entre
dificultades matemáticas y los "signos neurológicos menores" insistiendo la
mayoría de los investigadores en la ausencia de demostración de dicha
relación. Y es que dicha relación se establece, mayoritariamente, a partir de
estudios de carácter correlacional, con lo inadecuadas que pueden resultar las
conclusiones derivadas exclusivamente de estudios de esa índole.
En tercero, se critica el que los estudios se basen en concepciones
superficiales de las actividades matemáticas en lugar de en una teoría
fundamentada de la competencia matemática, empleándose tareas inadecuada
para la medida de ésta. Resulta algo más que anecdótico que la mayoría de los
estudios neuropsicológicos no profundice en los procesos cognitivos implicados
en cada uno de los aprendizajes matemáticos.
Finalmente, se ha criticado la escasez y debilidad metodológica de los
estudios neuropsicológicos sobre la discalculia.
En resumen, pues, y en el mejor de los casos, como señalara Rivière
hace más de una década, "conviene guardar una prudente reserva antes de
trasladar el modelo de lesión o disfunción a los niños que encuentran difícil
adquirir representaciones matemáticas o habilidades de cálculo en la
escolaridad normal (a diferencia de los adultos con lesiones, que pierden las
capacidades previamente adquiridas). Sin negar que pueda existir un grupo
reducido de ellos con algún trastorno neurológico subyacente, no hay pruebas
para aceptar la idea de que éste se produce en todos los niños con dificultades
específicas para el aprendizaje de las matemáticas".

26. 108
Desde el enfoque alternativo a estas viejas teorías sobre las DAM, se
considera en términos generales que tanto para el aprendizaje de las
matemáticas, como para remediar las dificultades se debe de instaurar una
enseñanza que esté en correspondencia con los procesos cognitivos que
subyacen a la ejecución de dichos aprendizajes. En este sentido, hay que tener
en cuenta que la competencia matemática sigue un proceso de construcción
lento y gradual que va de lo concreto a lo abstracto y de lo específico a lo
general, de tal manera que la habilidad matemática es susceptible de
descomponerse en una serie de habilidades entre las que podemos distinguir la
numeración, el cálculo, la resolución de problemas, la estimación, el concepto
de medida y algunas nociones de geometría, habilidades que a su vez pueden,
y deben, descomponerse en cada uno de los procesos y estrategias que se
emplean en su ejecución.
Asimismo, se suele llamar la atención de la importancia que poseen para
la adquisición de los aprendizajes matemáticos algunos procesos cognitivos
como:
a) La atención. Una cuestión crucial en la operatividad matemática es la
exigencia de poseer estrategias que faciliten la acumulación momentánea de
recursos atencionales dedicados exclusivamente a la tarea matemática que se
ejecuta. Hasta las tareas matemáticas más simples (p.e.: intente seguir leyendo
y realizar mentalmente la operación 27 + 15) exigen suspender temporalmente
otras tareas que estemos realizando para de esa manera ahorrar "recursos
atencionales" que puedan dedicarse a la resolución de la tarea en cuestión. Es
obvio, que una manera importante de "ahorrar" este tipo de recursos es
mediante la automatización de todos los procesos posibles en cada caso
(tablas de multiplicar, algoritmos de las operaciones aritméticas, etc.)
Los recursos atencionales que se "ahorran" al centrar la atención en la
tarea matemática van a posibilitar los procesos de recuperación y
almacenamiento de información en la Memoria de Trabajo y en la Memoria a
Largo Plazo.
La realización de tareas matemáticas exige una distribución adecuada de
los recursos de procesamiento mental y memoria así como el empleo de
estrategias ordenadas y jerarquizadas, que implican un encaje progresivo de
unos procedimientos en otros: la acción de sumar, implica necesariamente la
de contar.
Es bastante probable que una parte de los alumnos o alumnas que
presentan dificultades en las matemáticas posean estrategias inadecuadas en
el "ahorro" de esfuerzos cognitivos y su posterior redistribución para la
realización de los diferentes subprocesos que componen cada tarea
matemática.
b) La memoria. Como han señalado prácticamente todos los
investigadores cognitivos, los diferentes tipos de memoria y especialmente la
memoria de trabajo (working memory), juegan un papel trascendental en la
realización de la mayor parte de los procesos intelectuales. En la memoria de
trabajo es posible realizar, al menos, las siguientes operaciones: de un lado,
sirven de almacén donde se "guardan" los resultados parciales de las
operaciones cognitivas que realizamos, y que en el caso de los aprendizajes
matemáticos son especialmente abundantes (en cualquier operación de cálculo

27. 109
es necesario "guardar" los resultados obtenidos en cada una de las columnas
de cada "cuenta"); de otro, sirve de almacén temporal para la información
recuperada de la MLP (Memoria a Largo Plazo); o sirve de escenario para la
conjunción entre la nueva información (adquirida) y la recuperada de la MLP.
La importancia de la Memoria en los aprendizajes matemáticos, además
de por los datos empíricos, viene demostrada por estudios como los de Russell
y Ginsburg, que afirman que el funcionamiento cognitivo de los niños con
dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas es normal, si se
exceptúa su pobre conocimiento de hechos numéricos.
Esta idea, sobre la importancia de la memoria se ha visto reforzada por
otras muchas investigaciones que establecen de una manera clara que la
dificultad de los niños que poseen dificultades específicas en los aprendizajes
matemáticos para operar con información de carácter numérico debido al
carácter de "dominio específico" de la Memoria de Trabajo, que llevaría a que
algunas personas tuvieran un procesamiento desigual dependiendo del tipo de
estímulo que se utiliza (verbal o numérico).
De lo anterior, puede derivarse la importancia de poseer estrategias
adecuadas para la recuperación, almacenamiento y manipulación de la
información en los diversos niveles de la Memoria. Cuestión que muy
probablemente se encuentre entre los orígenes de las dificultades matemáticas
de muchos alumnos y alumnas.
c) Los conocimientos previos. Estos conocimientos juegan un papel
importante en cualquier actividad intelectual (son los que posibilitan la
construcción de los nuevos aprendizajes, así como la ejecución de los
mecanismos de aplicación), pero resultan de una especial relevancia en el
ámbito matemático.
¿Por qué son tan "importantes" los conocimientos previos en la ejecución
de las tareas matemáticas?:
- Primero, porque a partir de un determinado nivel de aprendizajes
matemáticos, estos van perdiendo la conexión con el mundo
concreto y se constituyen en una "abstracción" desvinculada de las
intenciones y metas del que aprende: tienen que superar su
tendencia a hacer depender las relaciones de la intenciones para
comprender las relaciones matemáticas.
- Segundo, porque mientras en otras áreas los conocimientos tienen
esencialmente un carácter declarativo, en las matemáticas resultan
clave dos tipos de conocimientos previos: los declarativos
(conceptos de las operaciones, tipo de números, etc.) y los
procedimentales (algoritmos de las diferentes operaciones,
estrategias de solución de problemas...).
- Y tercero, porque los conocimientos matemáticos tienen un elevado
nivel de interrelación y jerarquización.
El elevado nivel de abstracción, jerarquización e interrelación del
conocimiento matemático junto con el doble carácter del conocimiento previo
necesario para realizar tareas matemáticas, posibilitan el que los "bloqueos" en

28. 110
las tareas de este área sean más abundantes que en otras áreas del
conocimiento.
La existencia de conocimientos previos y de las estrategias adecuadas
para su recuperación de la MLP aparecen de esta manera como un elemento
central en la adquisición y desarrollo de las habilidades matemáticas.
Consecuentemente y desde esta perspectiva, se aportan una serie de
principios bien establecidos que pueden aplicarse a las situaciones educativas
concretas en el proceso enseñanza-aprendizaje:
1. Para el conocimiento matemático el alumno tiene que ser capaz
de establecer relaciones conceptuales, lo que le conducirá a nuevas
elaboraciones y reestructuraciones del conocimiento, ya lograr las
representaciones cognitivas adecuadas.
2. Los conocimientos previos constituyen la base para la adquisición
y comprensión de los nuevos. De manera que, la conexión e
integración del conocimiento previo con el nuevo es lo que dará
lugar a las reestructuraciones y representaciones, ricas y complejas.
3. Tanto el conocimiento declarativo (conocimiento de los conceptos
matemáticos) como el procedimental (conocimiento de las
estrategias y habilidades matemáticas) deben ser enseñados
explícitamente, porque el conocimiento formal no produce
automáticamente competencia procedimental.
4. Considerando las limitaciones de la capacidad de procesamiento
del alumno es necesario adquirir los automatismos elementales
relacionados con las operaciones básicas (+, -, x, y : ) para liberar
recursos cognitivos que puedan ser utilizados en tareas de orden
superior como el control de la ejecución matemática y la
interpretación de los problemas.
5. La competencia matemática se logra aplicando los conocimientos
adquiridos a los distintos contextos en los que se desenvuelve el
alumno, superando así la fase de acumulación de conocimientos
aislados y descontextualizados.
6. Los procesos metacognitivos de control y guía de la propia
actividad tienen mucha importancia en la ejecución competente. Esta
importancia es menor en las fases iniciales, en las que predomina la
regulación externa.
7. Precisamente porque el análisis de los errores sistemáticos
constituyen muchas veces las únicas ventanas de acceso a las
mentes de los alumnos, el estudio de estos errores pone de relieve
que se aplican principios, reglas o estrategias incorrectas por su
parte.
8. Los procesos motivacionales y sociales desempeñan también un
importante papel, en cuanto que son factores que favorecen o
entorpecen el aprendizaje por el efecto circular que provoca el éxito
o fracaso experimentado. Así, muchos fracasos iniciales conducen al
alumno a evitar implicarse y a desarrollar actitudes negativas hacia

29. 111
las matemáticas, entrando en una circularidad negativa de difícil
solución.
3.3. Algunos factores básicos en las dificultades de aprendizaje
de las matemáticas.
Aunque a partir de los conocimientos actuales sólo se pueden dar
respuestas parciales e incompletas acerca de cuáles son los factores que
inciden en el elevado fracaso en este área, en un capítulo como éste es
inevitable hacer referencia, si no a las "causas" de las DAM, sí a toda una serie
de variables que influyen de manera decisiva en ellas; unas inherentes a la
propia naturaleza de las matemáticas, otras relacionados con las creencias y
expectativas existentes por parte de alumnos, padres y profesores con
respecto a estos aprendizajes, un tercer grupo relacionado con las formas de
enseñanza y, finalmente, otras centradas en el propio alumno.
No obstante, la descripción de los factores de esa diversa índole
relacionados con las DAM, que hacemos a continuación no debería servir para
explicar las dificultades concretas que un alumno en particular presenta en un
momento determinado; en la medida en que, en cada caso, tales dificultades
son el resultado de una compleja ecuación causal en la que cada factor
concreto posee unos valores propios y específicos, las siguientes líneas sólo
pueden ayudarnos como una especie de esquema general para la exploración
individualizada del caso (especialmente, si tenemos en cuenta que con los
instrumentos de medición existentes es imposible establecer con un nivel de
credibilidad aceptable, el peso relativo de cada factor en una situación
concreta).
(A) Factores relacionados con los alumnos
Desde el enfoque neuropsicológico, se busca determinar la existencia de
trastornos neurológicos en los alumnos con DAM y se asume que pueden ser
debidas a un desorden estructural congénito de las zonas cerebrales
concernidas por las habilidades matemáticas, principalmente del hemisferio
derecho.
Son numerosos los estudios, llevados a cabo, y las críticas a los mismos
que se han realizado desde todos los frentes por lo que, sin negar que la
presencia de ciertas alteraciones neurológicas puedan acompañar a las DAM
(Dificultades en Aprendizajes Matemáticos), resulta arriesgado establecerlas
como causa, y más si es causa única. En las DAM que presentan muchos
alumnos no se aprecia correlato neurológico alguno.
Desde el enfoque cognitivo y en relación con la problemática centrada en
el sujeto, las DAM se relacionan, en general, de la misma manera que con los
problemas de lectoescritura, con representaciones internas y estrategias
cognitivas inadecuadas que se producen indistintamente en la entrada,
procesamiento y/o salida de la información, tal y como hemos analizado más
detenidamente en capítulos anteriores, en relación con este enfoque.

30. 112
De forma más específica, se han considerado como factores
responsables de las diferencias en la ejecución matemática a la actividad
perceptivo motora, la organización espacial, las habilidades verbales, la falta de
conciencia de los pasos a seguir y los fallos estratégicos. También se han
considerado las dificultades de pensamiento abstracto, el lenguaje o la lectura,
la falta de motivación, la lentitud en la respuesta o los problemas de memoria
para automatizar las combinaciones numéricas básicas.
Aunque los alumnos suelen aparecer como el único factor de este tipo de
dificultades, como vamos a ver continuación, a ello sólo es atribuible lo
siguiente , según Rguez. Ortiz (La intervención psicoeducativa en las
dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Apuntes de psicología, 93, 79-
107):
1) El dominio de los recursos. El aprendizaje matemático implica el
conocimiento de conceptos y métodos matemáticos que dependen
de la historia acumulada de aprendizajes del alumno en el área,
condicionada a su vez por aspectos como su estilo de aprendizaje,
el material empleado, las estrategias de enseñanza seguidas, etc.
Los problemas más frecuentes en relación con este factor son:
- El desconocimiento acerca de cuándo deben ser aplicados
estos conocimientos adquiridos, lo que puede llevar a no
usarlos cuando se precisa y a usarlos cuando no es ade-
cuado.
- La aplicación del conocimiento disponible sólo en aquellas
actividades y aprendizajes que lo demandan explícitamente.
- Déficits en ese conocimiento, cuando es de tipo semántico,
que dificulta la comprensión de las nuevas tareas.
- Déficits en ese conocimiento, cuando es de tipo
procedimental, que pueden interferir con el aprendizaje de
nuevos procedimientos.
2) Manejo de heurísticos. Los heurísticos son estrategias generales
de resolución de problemas, carentes de contenido matemático
específico, pero que aumentan la posibilidad de aplicar
adecuadamente el conocimiento disponible en situaciones
problemáticas. Son un complemento necesario para el correcto
aprendizaje matemático, pero fallan a menudo en los alumnos por
los inadecuados planteamientos de la educación matemática (poco
reflexiva, demasiado apegada a la adquisición de rutinas).
3) Procesos de autorregulación. Estos procesos son los
responsables de que el alumno tenga conciencia de sus propios
conocimientos, así como del aprendizaje independiente y de la
realización autónoma de tareas (matemáticas y de otro tipo). Su
carencia o disminución hace que el alumno:
- No perciba cuáles son los recursos apropiados de que dis-
pone para afrontar la resolución de una tarea.

31. 113
- Se muestre inflexible cuando debe abandonar una
estrategia o punto de vista que le está dificultando una
ejecución apropiada.
- No ponga en juego las destrezas de verificación
necesarias para comprobar los resultados a los que llega.
- No sepa por qué emplear un procedimiento, aunque sepa
que debe emplearlo, ni -por tanto- autovalorar la adecuación
de la aplicación del mismo.
- Actúe de manera rutinaria y no reflexione en la realización
de las actividades de enseñanza-aprendizaje que se le
proponen.
4) Las creencias, actitudes, emociones y motivaciones. Últimamente
se ha incrementado la investigación que pone de relieve la gran
importancia de estos factores en el enfoque (superficial, profundo,
estratégico) de aprendizaje que adopta el alumno frente a los con-
tenidos, así como en su manera de utilizar los conocimientos
adquiridos. En cualquier caso, ese mismo cuerpo de investigadores
tiende a poner de relieve que las concepciones previas y
motivaciones del alumno no son sólo responsabilidad de éste, sino
que dependen estrechamente de las estrategias y estilos de
enseñanza que se le dirija, así como de la significatividad personal
de los contextos y situaciones de enseñanza-aprendizaje.
(B) Factores relacionados con la tarea o la naturaleza propia de la
matemáticas.
Todas las asignaturas, especialmente las matemáticas entrañan
dificultades, si no se da un cierto dominio o capacidad relacionada con
habilidades como la abstracción y la generalización, la comprensión de los
conceptos y su estructura jerárquica, así como un relativo dominio de su
carácter lógico y su lenguaje específico.
La construcción de las matemáticas ha implicado el desarrollo de
conceptos cada vez más abstractos y desligados de representaciones
habituales. En este sentido, el conocimiento matemático intenta reflejar lo
esencial de las relaciones eliminando las inferencias, el contexto o las
situaciones particulares, de ahí su carácter eminentemente abstracto. Por otra
parte, y unido a la abstracción, la generalización constituye también otro factor
importante del conocimiento matemático a través del cual se tiende a buscar y
utilizar conceptos. Leyes o teoremas lo más generales posible. La dificultad se
plantea cuando los alumnos perciben las características particulares de algo
como parte integral de las ideas o conceptos asociándolos naturalmente con
ellos. Por eso, uno de los objetivos del desarrollo matemático es conseguir que
el alumno aprenda a despojarse de lo no esencial, quedándose con lo
abstracto y fundamental.
Otra dificultad se deriva de la complejidad de los conceptos matemáticos,
por lo que el profesor tiene que realizar actividades y utilizar estrategias de
aprendizaje que permitan al alumno conocer y desentrañar el concepto

32. 114
mediante una programación apropiada. Para ello, es frecuente el uso de
analogías y la abstracción. Una de las funciones de la analogía es hacer
disponibles las ideas relevantes y estimular al alumno a integrar activamente la
nueva información con la anterior aprendida. De esta manera se convierten los
contenidos informativos en algo más imaginativo y concreto. Por otra parte,
dada la tendencia del alumno a fijarse en aspectos y variaciones de los
contextos en que se presentan los conceptos matemáticos, hay profesores que
consideran que la simplicidad de la idea matemática se capta mejor
exponiéndola sola. Es decir, se trata de alejar los conceptos matemáticos de
las experiencias significativas de los alumnos, porque el nivel de abstracción
que se necesita para llegar a la pretendida simplicidad puede estar fuera de su
alcance.
Además del nivel de abstracción y la complejidad, los conceptos
matemáticos tienen una estructura jerárquica y una organización lógica precisa.
Por ello, los aprendizajes matemáticos constituyen una cadena en la que cada
conocimiento se apoya en el anterior. Este carácter lógico de la disciplina tiene
que ser adaptado a las características evolutivas del pensamiento del alumno
individual y colectivamente para no plantear objetivos por encima de sus
posibilidades. Este ha sido un error muy frecuente en la enseñanza de esta
disciplina.
El carácter lógico (deductivo formal) de las matemáticas se ha
considerado como una de las principales dificultades en su aprendizaje. Y el
hecho es que la falta de atención sobre el pensamiento lógico es muy frecuente
por lo que se constituye en uno de los orígenes de las DAM. Una de las
dificultades más frecuentes desde los aspectos formales es el de las formas de
notación y el uso de las reglas en sí mismas. Al principio, estas deben ser
justificadas por su significado pero, en la utilización habitual, son las formas de
notación las que determinan la elección de las reglas. Y, a su vez, el uso forma
de la notación puede llevar al uso de reglas sin fundamento, a una
manipulación sin significado; no obstante, la manipulación formal deberá seguir
siendo una característica esencial de las matemáticas.
Finalmente, el desconocimiento del lenguaje matemático genera también
dificultades de aprendizaje, en cuanto que en esta materia se utiliza un
lenguaje formal muy distinto al lenguaje natural que se usa habitualmente. De
ahí que el lenguaje natural en contextos matemáticos pueda generar
confusiones en cuanto que su flexibilidad y amplitud interpretativa choca con el
lenguaje matemático, caracterizado por su rigor, exactitud y formalidad. El
lenguaje matemático traduce el lenguaje natural a un lenguaje universal
formalizado que permite la abstracción de lo esencial de las relaciones
matemáticas implicadas, así como un aumento del rigor y la exactitud que
viene dada por la estricta significación de los términos.
El dominio del lenguaje matemático requiere la comprensión de un
significado formal intrínseco en el que unos símbolos hacen referencia a otros
dentro de un código específico y un significado pragmático que permite la
traducción al lenguaje natural y al mundo real. Al alumno le resulta difícil
coordinar ambos significados. En definitiva, las dificultades más frecuentes
relacionadas con el lenguaje y la lectura en matemáticas son debidas a la
complejidad sintáctica del lenguaje utilizado, a la utilización de un vocabulario

33. 115
técnico, a la utilización de notación matemática y a la dificultad de relacionar las
matemáticas con el contexto.
Rodríguez Ortiz relaciona con el currículum matemático, los siguientes
factores:
1) Factores relacionados con los contenidos. Las dificultades en el
aprendizaje de las matemáticas no se pueden comprender sin tener
en cuenta aspectos como su naturaleza esencialmente abstracta,
que es el resultado de un largo proceso de elaboración histórica; la
naturaleza jerárquica del proceso de aprendizaje que exigen (cada
nueva adquisición descansa en una adquisición sólida de otras
anteriores: de ahí la manifestación en secundaria de muchos
problemas que se gestaron en primaria); las peculiaridades del
lenguaje matemático, un verdadero sistema simbólico con reglas
propias, con conceptos complejos, de un lado, y términos también
empleados con otro sentido en el lenguaje ordinario, de otro,
factores ambos que complican el proceso de aprendizaje adecuado.
2) Los métodos de enseñanza. De los métodos más habituales en el
área priman los aprendizajes pasivo-receptivos, sin tener en cuenta
los procesos de aprendizaje comprensivo del alumno, al tiempo que
adoptan un enfoque rutinario de los procedimientos. En primaria, se
descubren los conceptos y el uso reflexivo de los procedimientos, el
«pensamiento matemático»; en secundaria, se sigue habitualmente
un enfoque deductivo rígido (exposición de un concepto o principio
«-ilustración del mismo con un ejemplo-» problemas de control de
comprensión- problemas de consolidación). Estas dificultades, por
otra parte, se incrementan por la escasez de recursos empleados
para favorecer la comprensión matemática auténtica y la elaboración
de nociones y principios abstractos.
3) La evaluación. Como en el resto de las áreas, suele ser el
«pariente pobre»; se evalúa sólo la ejecución de los alumnos, se
hace de manera puntual y asistemática, y se valoran sólo a petición
de principios y conceptos, y la ejecución mecánica de
procedimientos aprendidos como algoritmos.
(C) Factores relacionados con el contexto educativo.
Tradicionalmente existen creencias y actitudes, procedentes del mismo
campo educativo, que tienen una influencia negativa en el aprendizaje y que
llegan a generar ansiedad y trastornos socioemocionales.
Las percepciones y actitudes que con mayor frecuencia se observan en
los alumnos sobre la naturaleza de las matemáticas, son descritas como fijas,
inmutables, externas, abstractas y que no están relacionadas con la realidad:
un conocimiento cuya comprensión está reservada a muy pocos, una colección
de reglas y hechos que deben ser recordados y una ofensa al sentido común
en algunas de las cosas que asegura, ya que no tienen por qué tener sentido;
un área en la que se harán juicios no sólo sobre la capacidad intelectual, sino
también sobre la propia valía personal.

34. 116
Esta actitud se deriva, en parte, de las tendencias formalistas de la
enseñanza tradicional, basada más en la manipulación sintáctica de los
símbolos y reglas que en el significado de los mismos. Sin embargo, cuando se
enseña el uso adecuado de las reglas, los alumnos desarrollan la confianza en
sí mismos y la motivación para el logro.
Independientemente de las actitudes previas sobre las matemáticas, que
existen tanto en la mentalidad de los padres y de los alumnos, como en la de
los profesores, vamos a considerar algunos factores explicativos de las DAM
que se encuentran en el propio contexto educativo, como los procedimientos
didácticos y la programación inadecuada de los contenidos.
Los contenidos suelen estar estructurados en torno a objetivos, que habrá
que conseguir en los diferentes niveles escolares, adaptando los programas a
las características del alumno, especialmente cuando presenta algún problema
de maduración o lentitud de aprendizaje. Por ello, es fundamental conocer si
hay ausencia de conocimientos previos o dominio de los anteriores, si el nivel
de abstracción es el adecuado y si se da por parte del alumno la capacidad
suficiente para abordar los contenidos que se proponen. Las dificultades se
presentarán bajo diversas modalidades cuando los conocimientos, sobre todo
los básicos, no están bien comprendidos y cuando los niveles de abstracción y
competencia cognitiva sean inadecuados. Cubrir unos objetivos sin haber
resuelto suficientemente estos prerrequisitos es conducir al fracaso seguro al
alumno en esta disciplina.
Las metodologías inadecuadas en cuanto a la exposición de los
contenidos y al ritmo de trabajo establecido es otra de las posibles causas
externas de las DAM. La exposición poco clara y fuera del contexto del
alumnado, la ausencia de ejemplos y ejercicios que ilustren las explicaciones,
la ausencia de supervisión del progreso del alumno y la utilización de un
lenguaje poco comprensible, son algunos de los errores metodológicos que
generan fracasos en este ámbito. Por otra parte, podemos encontrar toda una
serie de dificultades o limitaciones centradas en el ritmo de trabajo. Intentar
compatibilizar la consecución de los objetivos del curso con la adaptación a las
características propias del grupo de clase requiere establecer un ritmo que se
ajuste a la evolución y progreso de los alumnos sin forzar demasiado, pero sin
detenerse más de lo necesario, con suavidad y al mismo tiempo con fortaleza.
Rodríguez Ortiz señala como factores del contexto de enseñanza, los
siguientes elementos:
a) El proceso de aprendizaje matemático se concibe como un pro-
ceso unidireccional de conocimientos «empaquetados», sin dar lugar
a una interacción social y cognitiva auténtica entre implicados y entre
estos y los contenidos, lo que dificulta una verdadera elaboración de
aprendizajes significativos, sustituidos por la apropiación mecánica
de formulaciones verbales carentes de significado y de «rituales» de
actuación.
b) En los contextos habituales de enseñanza-aprendizaje,
unidireccionales, como hemos dicho, toda la situación está en
manos del profesor, lo que favorece la creación de aprendices
pasivos y sin capacidad para autorregular su aprendizaje.