1. Béton Armé III
Méthode bielles-tirants
Département GCU
Cours de 4ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.fr
Version 1
2. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 2
18.1 Généralités
18.2 Bielles
18.3 Tirants
18.4 Nœuds
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs)
3. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 3
18.1 Généralités
• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception
rationnelle pour le calcul de ferraillage de régions locales des structures
en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• En général dans une structure chargée il y a deux types de régions:
9 Régions de continuité B (pour Bernoulli): les régions où l’hypothèse
de Navier-Bernoulli concernant une distribution linéaire des
déformations s’applique. Dans ces régions, les méthodes de la RdM
peuvent être appliquées pour le dimensionnement, avec certaine
précautions.
D D
D
B B
h
2h
h h
Régions B et D dans une poutre
simplement appuyé
Exemple de région de
discontinuité: Poutre cloison
H
9 Régions de discontinuité D: Les régions où la distribution des déformations relatives est non-linéaire et les
méthodes de la RdM ne peuvent être utilisées pour déterminer l’état de contrainte en un point. Il s’agit des
régions de discontinuité géométrique ou des régions au voisinage des points d’application des charges
concentrées).
4. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 4
D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
h
h h
D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
D
h
h
D
h
h
h
Régions de discontinuités géométriques ou dues à l’application de charge ponctuelle
(a) Poutre avec un changement
brutal de hauteur
(c) Nœud poteau/poutre
(b) Entourant une ouverture
(d) Jonction
poteau/semelle épaisse
(e) Poutre-cloison
(f) Poteau avec
corbeau
5. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 5
• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception rationnelle pour le calcul de ferraillage de
régions locales des structures en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• La méthode BT concerne l’idéalisation de zone de discontinuité par le biais d’un treillis interne capable de
représenter la distribution et le cheminement des forces à l’intérieur de la structure. Le treillis est composé des :
9 Bielles (ou membrures comprimées) représentant les chambres de contraintes de compression uniaxiale.
Les bielles sont généralement en béton mais peuvent inclure les armatures de compression ou des
armatures transversales servant à confiner le béton.
9 Tirants (éléments en traction) qui modélisent la traction dans les armatures.
9 Nœuds qui représentent les zones de rencontre des bielles, des tirants, des forces ou des réactions
d’appuis. Ce sont des volumes de béton sur lesquels des forces provenant de plusieurs directions se
rencontrent et s’équilibrent.
2F
F F
Modèle BT d’une poutre-cloison
soumis à une charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
nœud
nœud nœud
8. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 8
18.4 Nœuds (EC2-1-1 §6.5.4)
• Les règles pour les nœuds s'appliquent également aux
régions dans lesquelles des forces concentrées sont
transmises à un élément mais qui ne sont pas
dimensionnées à l'aide de la méthode des bielles.
• Les efforts agissant dans les nœuds doivent s'équilibrer.
On doit notamment tenir compte des efforts transversaux
de traction perpendiculaires au plan du nœud.
poutre-cloison soumis à une
charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
Nœud sans tirant
Nœud avec
tirants
cd,3
F cd,2
F
Nœud soumis à compression sans tirant
• Le dimensionnement des nœuds de concentration d’effort et les dispositions constructives correspondantes sont
déterminants pour l’établissement de la capacité résistante. Les nœuds de concentration d’effort peuvent
apparaître par exemple là où sont appliquées des charges ponctuelles, au droit des appuis, dans les zones
d'ancrage (avec concentration d'armatures de béton armé ou d'armatures de précontrainte), dans les parties
courbes des armatures et enfin dans les jonctions et angles des éléments.
1
a
cd,1 cd,1 cd,1
r l
F F F
cd,1r
F
cd,1l
F
cd,2
F
cd,3
F
V
R
d
,
2
V
R
d
,
3
VRd,1
2
a
3
a
nœud
11. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 11
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
L
H
a a
1
F
z
1
p
2
p
P
P
P
2
F
p
L
H
a a
F
F
4
L
4
L
z
Bielle
Tirant
2
pL
2
pL
Cas de charge répartie uniforme Cas de charge répartie linéaire
d d
0.6 0.8
L z L
12. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 12
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
• Cas d’une charge ponctuelle
Modèle BT pour une poutre-cloison de
petites dimensions
L
H
a a
F
F
2F
L
H
a a
F
F
Bielle
Tirant
2F
Modèle BT pour une poutre-cloison de
grandes dimensions
13. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 13
Exemple
• Considérons une poutre-cloison soumise à une charge concentrée à mi-portée. La charge concentrée consiste
en une charge permanente de 3000 kN incluant le poids propre de la poutre-cloison et une charge d’exploitation
de 1500 kN. Les dimensions de la poutre-cloison sont indiquées à la figure ci-dessous. Cette poutre-cloison sera
réalisée avec le béton C40. Dimensionner les armatures.
9 m
1 1
0.8
3.5
Ed
F
0.4
section droite
14. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 14
18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
• Ce modèle BT est applicable pour une console courte (corbeau) qui
vérifie la condition suivante:
• L’inclinaison de la bielle est limitée par
corbeau
c 0
a z
T
d d
1 tan 2.5
La hauteur du corbeau
peut être constante ou
variable le long de sa
portée
Nœud
Nœud
Rd,max
V
Ed
F
Ed
H
Ed
F
td
F
wd
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
15. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 15
Etape 1: Vérification de la compression des bielles de béton
Il faut que ( cas d’absence de traction transversale, slide 5)
où Vc est la contrainte de compression dans la bielle principale de béton:
Rd,max cd
c
f
V V
d
c
c
F
ab
V
• Fc est l’effort de compression dans le bielle principale de béton, déterminé
en faisant l’équilibre de moment au point A au droit de la face du poteau:
• ܽ est la largeur de la bielle, déterminée par
• ܾ est la largeur du corbeau.
Ed Ed
c Ed Ed c
sin 0
sin
c H
c c H
A
c
F a H a
M F a F a H a F
a
T
T
o
¦
est l'angle d'inclinaison de la bielle vérifiant 1 tan 2.5
T T
d d
19. Ed Ed
2
c
1 tan
tan tan
2
c H
c
c c
F a H a
F
ab ba d a
T
T T
V
o
Nota: est une fonction décroissante sur l'intervalle 1 tan 2.5
on choisit le cas le plus défavorable tan 1
c
V T
T
d d
o
Avec le choix de cotT il faut vérifier les conditions géométriques suivantes
pour assurer qu’il s’agit bien d’une console courte et que le modèle BT
s’applique:
1) 0 tan
2) sin
c
h p
a d a
a a h
T
T
! o !
d
Ed
F
Ed
H
td
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
c
F
c
V
A
B
a
h
a
v
a
T
p
h
20. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 16
Etape 2: Calcul des armatures tendues « principales » As,main
Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte Vs = fyd . D’où
leur section As,main est déterminée par:
td
s,main
yd
F
A
f
22. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 17
Etape 3: Dispositions constructives des armatures dans les corbeaux
1. Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées:
• De cadres horizontaux
• De barres avec crochet d’extrémité, ancrées:
9 dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette
paroi ;
9 au voisinage du nez du corbeau, au-delà du bord intérieur de la zone chargée.
• L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de corbeau pour éviter la rupture de l’angle
supérieur du corbeau.
23. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 18
2. Armatures horizontales de répartition
Si ac 0,5hc, en plus des armature principales, As,main,
des armatures horizontales de répartition, As,lnk ≥ As,main,
sont à prévoir sous la forme de cadres fermés
horizontaux ou inclinés.
s,main
A
s,main
A
s s n
,lnk ,mai
cadres fermés horizontaux ou n
0.25
incli és
A A
t
¦
A
A - Dispositif d’ancrage ou boucles
c
h
c
a) Ferraillage pour 0.5 c
a h
d
c 0.5 c
a h
d
24. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 19
3. Armatures verticales
Si ac 0,5hc et FEd VRd,c, en plus des armature
principales, As,main, il convient de prévoir des cadres
fermés verticaux As,lnk ≥ 0,5FEd/fyd
s,main
A
VRd,c : l’effort tranchant de
référence = effort tranchant
résistant de l’élément sans
armatures verticales (voir
Chapitre 9)
Note: Les armatures horizontales de répartition ne sont pas requises dans ce cas.
Néanmoins, par mesure de sécurité, on met la section minimale requise 0,25As,main
s,main
A
A
- Armatures de couture (cadres fermés verticaux)
c
h
c Ed Rd,c
b) Ferraillage pour 0.5 et
c
a h F V
! t
c 0.5 c
a h
!
B
B
E
v
s,lnk
d
yd
0.5
F
A
f
t
¦
Ed
F
s,main
h
s,lnk 0.25A
A
¦
25. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 20
Exemple
Considérons deux corbeaux d’appui de la poutre. Il est demandé de vérifier la rupture locale du béton et de
dimensionner les armatures dans ces corbeaux.
Données:
- Les dimensions des élément sont indiquées dans la figure ci-dessous.
- Actions sur la poutre:
• Charges permanentes (poids propre inclus):
• Charges d’exploitation
¾ Composante verticale:
¾ Résultante des composantes horizontales:
11.26 kN/m
k
g
15.73 kN/m
k
q
26.95 kN
k
H
Béton C40
Acier B500B
1000
25
10
15
35
40
50 cm
50 cm
15
Poutre 30x50ht
50
Poteau
40x50
H
2
25
40
10
35
Poteau
40x50
26. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 21
Ed 40.425 kN
H
Ed 193.98 kN
F
25
10 35
50 cm
Poteau
40x50
2
40
As,main
4HA14
Cadre HA6 Armatures verticales
cadres HA6
5 55
Armatures horizontale de répartition
cadres HA6
27. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 22
18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
Dans un portique en BA, le moment d’encastrement d’une poutre doit se retourner dans le poteau. Il faut donc
assurer la continuité des armatures tendues au niveau des angles du portique.
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
Cas 1: poutre et poteau de dimensions sensiblement égales
Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
avec 45
T q
29. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 24
Cas 2: Poutre et poteau de dimensions très différentes (hp/ht 1,5)
Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
30. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 25
Cas 2: Poutre et poteau de dimensions très différentes (hp/ht 1,5)
Dans ce cas, la traction des armatures ne peut être équilibrée par une bielle faisant 45°. Les bielles Fcd3 doivent être
sous-tendues par un réseau d’armatures horizontales. La compression des bielles Fcd1, Fcd2 et Fcd3 doit rester
inférieure à la compression admissible VRd,max
Les principes de calcul sont les suivants:
Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique